BAB 1. BILANGAN REAL

A. Sistem Bilangan Real

1. Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah sekumpulan bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irasional, atau bilangan real adalah bilangan yang dapat berkorespodensi satu-satu dengan sebuah titik pada garis bilangan.

2. Macam-macam Bilangan

a. Bilangan AsliHimpunan bilangan asli dilambangkan dengan A.A = { 1, 2, 3, 4, … }A mempunyai beberapa himpunan bagian, antara lain :

Himpunan bilangan ganjil = { 1, 3, 5, 7, … }Himpunan bilangan genap = { 2, 4, 6, 8, … }Himpunan bilangan prima = { 2, 3, 5, 7, … }Himpunan bilangan komposit= { 4, 6, 8, 9, 10, … }

b. Bilangan CacahHimpunan bilangan cacah dilambangkan dengan C.C = { 0, 1, 2, 3, … }

c. Bilangan BulatHimpunan bilangan bulat B = { …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … }

d. Bilangan Pecahan

Bentuk umum :

e. Bilangan RasionalHimpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q.

Q = { dan }

f. Bilangan IrasionalHimpunan bilangan irasional dilambangkan dengan I.

g. Bilangan RealHimpunan bilangan real dilambangkan dengan R.R = Q I

h. Bilangan KompleksHimpunan bilangan kompleks dilambangkan dengan K.K = { a+bi a,bR dan i = }

Macam-macam bilangan tersebut dapat dibuat dalam bentuk skema sebagai berikut :

B. Operasi Bilangan Real

Bilangan Kompleks

Bilangan Real Bilangan Imaginer

Bilangan Rasional Bilangan IrasionalBilangan Bulat

Bilangan Pecahan

Bilangan Bulat Positif Nol Bilangan Bulat Negatif

1

Kegiatan Belajar 1 : Operasi Bilangan Real

1. Sifat-sifat Operasi Bilangan Real

a. Sifa komutatifJika a,bR, maka :a + b = b + a komutatif terhadap penjumlahan.

a x b = b x a komutatif terhadap perkalian.

b. Sifat asosiatifJika a,b,cR, maka :(a + b) + c = a + (b + c) asosiatif terhadap penjumlahan.(a x b) x c = a x (b x c) asosiatif terhadap perkalian.

c. Sifat distributifJika a,b,cR, maka :a(b + c) = (axb) + (axc) distributif kanan. (a + b)c = (axc) + (bxc) distributif kiri.

d. Elemen identitas- Elemen identitas terhadap penjumlahan adalah 0, karena aR maka a + 0 = 0 + a = a.- Elemen identitas terhadap perkalian adalah 1, karena aR maka a x 1 = 1 x a = a.

e. elemen invers- Elemen invers pada operasi penjumlahan adalah lawannya.Jika aR maka a + (-a) = 0, -a adalah invers terhadap penjumlahan dari a.Contoh : invers terhadap penjumlahan dari 2 adalah -2.

- Elemen invers pada operasi perkalian adalah kebalikannya.

Jika aR maka a x = 1, adalah invers terhadap perkalian dari a.

Contoh : invers terhadap perkalian dari 5 adalah .

f. Sifat tertutupJika a,bR, maka :a + b R tertutup terhadap penjumlahan.a x b R tertutup terhadap perkalian

2. Operasi Hitung Pada Bilangan Bulat

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.Jika a,b,c,d R, maka :1) a + b = a – (-b)2) a – b = a + (-b)3) –a – b = – (a + b)4) –a + b = b – a

b. Operasi perkalian dan pembagian.Jika a,b,c,d R, maka :1) a x b = b + b + b + … + b a suku

2) b

a = a .

3. Operasi Hitung Pada Bilangan Pecahan

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan.Jika a,b,c,d R, maka :

1) + =

2) - =

3) c

a + =

2

4) - =

b. Operasi perkalian dan pembagian.Jika a,b,c,d R, maka :

1) x =

2) c

a : = x =

3) : b = x b

1 =

4) : c = x =

C. Konversi Bilangan Pecahan

1. Bentuk-bentuk bilangan pecahan :

a. Pecahan biasa, yaitu pecahan yang berbentuk ; a,bB ; b 0 ; b bukan faktor a.

b. Pecahan desimal, yaitu pecahan yang dinyatakan dalam tanda koma.c. Persen, yaitu pecahan yang penyebutnya 100, ditulis …%.

2. Konversi pecahan ke desimal

Konversi pecahan ke bentuk desimal dapat dilakukan dengan langkah membagi pembilang dengan penyebutnya.Contoh: 1) 4

3 = 0,75

2) = 0,666… (pecahan desimal berulang tak terbatas)

Catatan: 0,666… dapat ditulis 0, 0,323232… dapat ditulis 0,

3. Konversi decimal ke persen

Konversi desimal ke persen dapat dilakukan dengan mengalikan pecahan desimal tersebut dengan 100%.

Contoh: = 0,75 = 0,75 x 100% = 75%

4. Konversi desimal ke pecahan

Konversi desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat kondisinya, yaitu :a. Bilangan desimal terbatas

Contoh: 1) 0,2 = 102 3) 0,324 =

2) 0,23 =

b. Bilangan desimal berulang tak terbatas.Contoh:Tentukan bentuk pecahan biasa dari 0,666… !Jawab:Misal p = 0,666…Diperoleh 10p = 6,666… p = 0,666… −

9p = 6

p = =

5. Konversi persen ke pecahan dan desimal.

Konversi persen menjadi desimal dilakukan dengan langkah mengubah lambang % menjadi ,

kemudian menyederhanakannya. Setelah mendapatkan bentuk pecahan selanjutnya diubah ke desimal.

3

Contoh:

Bentuk pecahan: 44% = 44 x = =

Bentuk desimal: 44% = 44 x = = 0,44

D. Perbandingan, Skala, dan Persen

1. PebandinganPerbandingan dua nilai a : b merupakan bentuk pembagian.Perbandingan a : b dibaca “ a disbanding b “

Contoh: 3 : 5 atau dibaca “ 3 dibanding 5 “

Ada dua jenis perbandingan:

a. Perbandingan Senilai

Contoh:

Mobil dengan kecepatan tetap yaitu 60 km/jam, berarti :Lama berjalan (km) 1 2 3 … nJarak (km) 60 120 180 … 60.n

Jika waktu yang dipergunakan bertambah, maka jarak yang dicapai juga bertambah. Perbandingan antara jarak dan waktu tetap yaitu 1 : 60. Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan senilai.

b. Perbandingan Berbalik Nilai

Contoh:

Suatu pekerjaan jika dikerjakan oleh 1 orang akan selesai 60 hari, jika dikerjakan 2 orang selesai 30 hari, dikerjakan 3 orang selesai 20 hari, dan seterusnya.Banyak orang 1 2 3 … 60Waktu (hari) 60 30 20 … 1

Jika banyaknya orang yang mengerjakan bertambah maka banyaknya hari berkurang. Perbandingan banyaknya orang dengan banyaknya hari tidak tetap ( tetapi hasil kali dua variabel tersebut tetap yaitu 60 ). Dua variabel dengan perbandingan demikian ini disebut perbandingan berbalik nilai.

Secara matematik, jika variabel-variabel yang saling bergantungan tersebut dinamakan x dan y, sehingga x berubah dari x1 menjadi x2 dan y berubah dari y1 menjadi y2, maka disebut :

(i) Perbandingan senilai, jika : = atau x1 : x2 = y1 : y2

(ii) Perbandingan berbalik nilai, jika : = atau x1 : x2 = y2 : y1

Contoh:

1) Suatu “pigura” akan digambar pada rancangan dengan panjang gambar rancangan 15 cm dan lebar gambar rancangan 10 cm. Jika seorang tukang membuat panjang “pigura” tersebut berukuran panjang 3 m, harus berapa meterkah lebar “pigura” itu ?Jawab:Pg = 15 cm; lg = 10 cm; ps = 3m; ls = … ?

Maka : =

ls = = = 2

Jadi lebar “pigura“ itu harus 2 meter.

2) Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 4 orang tukang dalam 20 hari. Jika pekerjaan itu harus selesai dalam 2 hari, maka berapa orang tukang yang diperlukan untuk menyelewaikan pekerjaan itu ?Jawab:T1 = 4; H1 = 20; H2 = 2; T2 = … ?

4

Maka : =

T2 = = = 40

Jadi untuk selesai selama 2 hari, harus mempekerjakan 40 rang tukang.

2. Skala

Skala adalah perbandingan antara jarak/panjang pada gambar dengan jarak/panjang sebenarnya. Dalam perbandingan tersebut jarak pada gambar biasanya dinyatakan dengan 1.

Contoh:Skala pada peta 1 : 150.000. Jarak dua kota pada peta 7,5 cm. Berapakah jarak yang sesungguhnya ?Jawab:Jarak yang sesungguhnya = 7,5 x 150.000

= 1.125.000 cm= 11,25 km

3. PersenSuatu pecahan dapat ditulis dalam tiga cara, yaitu: pecahan biasa, pecahan decimal, dan persen.

Misalnya : = 0,3 = 30%

30% berasal dari = = 30%, hal ini berarti pecahan dalam persen sebenarnya adalah bilangan

pecahan biasa yang penyebutnya 100. Dengan demikian setiap bilangan pecahan biasa dapat diubah ke bentuk yang lain atau sebaliknya.

Contoh:

1) Sebatang perunggu terbuat dari 100 kg tembaga, 20 kg timah hitam, dan 30 kg timah putih.Berapakah persentase tiap-tiap bahan tersebut dalam perunggu itu ?Jawab:Mtotal = 100 + 20 + 30 = 150 kg

Persentase tembaga = x 100% = 66,7%

Persentase timah hitam = x 100% = 13,3%

Persentase timah putih = x 100% = 20%

2) Banyaknya emen pada suatu adonan dengan pasir hanya 10%. Jika semen itu sebanyak 5 kg, berapa kilogramkah pasir dalam adonan tersebut ?Jawab:Adonan pasir dan semen = 100%Persentase pasir = persentase adonan – persentase semen

= 100% - 10% = 90%

Banyaknya pasir = 5 x = 45

Jadi banyaknya pasir 45 kg.

LATIHAN 1.11. -19 + {21 + (-37)}= …

2. 117 – (213 – 127) = …3. 17 + 15 x 12 – 10 = …

4. = …

5. = …

6. = …

7. = …

8. = …

9. = …

10. Ubahlah pecahan biasa di bawah ini ke bentuk decimal !

a. b. c. d.

11. Ubahlah pecahan berikut ke bentuk biasa !

5

a. b. 85% c. 160% d.26,5%

12. Ubahlah pecahan berikut ke bentuk persen !a. 0,80 b. 0,66 c. 2,15 d. 1,3

13. Seorang pengendara mobil menempuh jarak 150 km dalam waktu 3 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak 300 km?

14. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 15 orang dalam 20 hari. Berapa hari dibutuhkan jika pekerja ada 10 orang?

15. Sebuah pompa air dapat mengalirkan 1.800 liter air dalam 2 jam. Berapa waktu yang diperlukan untuk mengisi tangki bahan baker berukuran 2 m x 1,5 m x 3 m ?

16. Sebuah mesin dibeli dengan potongan harga 16%. Pembeli membayar Rp 820.000,00. Tentukan harga mesin tersebut tanpa potongan harga !

17. Suatu peta berskala 1 : 1.500. Berapa luas daerah yang berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 13,5 cm dan lebar 9,25 cm ?

A. Pengertian Bilangan Berpangkat = a x a x a x … x a

sebanyak n faktor

dibaca a pangkat na disebut bilangan dasar / bilangan pokok / basisn disebut pangkat / eksponenContoh: = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

B. Aturan Dasar Mengenai Pangkat

1. x = 2. : = untuk mn atau

: = untuk mn

3. =

4. = 15. (am)n = amn

6. (ab)n = an.bn

7.

Contoh:1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

LATIHAN 1.2Sederhanakan bentuk berikut!1.

2.

3.

4.

5.

6. 7. maka x = ….8. maka x = …

6

Kegiatan Belajar 2: Konsep Bilangan Berpangkat

9. a.

b.

c.

10. Carilah harga x dari persamaan berikut ini!

a.

b.

c.d.

11. Tulislah dalam bentuk baku!a. (4,5 x 80 x 10-4) : (400 x 10-8) = …b. 1.500 x 4 x 106 x 2 x 10 = …

12. Carilah harga x! (ingat a0 = 1)a. b.

13. Jika a = 27 dan b = 32, nilai dari

adalah…14. Jika a = 27, b = 4, dan c = 4, nilai dari

adalah…

A. Pengertian Bentuk AkarRumus :

dibaca akar pangkat n dari am

Contoh:

Bentuk akar (Bilangan irasional) adalah bilangan di bawah tanda akar yang tidak mempunyai pengganti yang eksak.Perhatikan bilangan berikut :

; ; ; Sehingga dan disebut bentuk akar sedangkan dan bukan bentuk akar.

B. Operasi Bentuk Akar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk AkarSyarat kedua bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika keduanya sejenis.Contoh:

+ 3 = 43 + 9 = 3 + 9.2 = 3 + 18 = 21

- 4 = 5 - 4 =

2. Perkalian Bentuk Akar

abbxa

Contoh:

3. Pembagian Bentuk Akar

Contoh:

C. Merasionalkan Penyebut

1. Bentuk , b 0

7

Kegiatan Belajar 3 : Konsep Bilangan Irasional

= x =

Contoh:

= x =

2. Bentuk ,

Contoh:

3. Bentuk ,

Contoh:

LATIHAN 1.3

Rasionalkan penyebut bentuk-bentuk berikut!

1. 3.

2. 4.

5. 7.

6. 21

1

8.

Tentukan bentuk sederhana dari pecahan berikut!

9.

10.

A. Logaritma Briggs (Biasa)8

Kegiatan Belajar 4 : Konsep Logaritma

1. Pengertian Logaritma

Rumus : an = ba : bilangan pokok (jika a tidak dituliskan, berarti bilangan pokok logaritma itu adalah 10)b : numerus, bilangan yang dicari nilai logaritmanyan : nilai logaritma

2. Sifat-sifat Logaritma1. artinya a1 = a

Contoh: ;

2. artinya a0 = 1Contoh:

3. Contoh:

4.

Contoh:

5. Contoh:

6.

Contoh:

7. Contoh:

8.

Contoh:

9.

Contoh:

B. Logaritma Napier

Logaritma Napier yaitu logaritma dengan bilangan pokok / basis e dengan nilai e = 2,7182.Secara umum ditulis sebagai ln a.

, dengan a0Sifat-sifat logaritma Napier sama dengan sifat-sifat logaritma biasa, antara lain :

ln ab = ln a + ln b

ln = ln a – ln b

ln an = n.lna

ln a =

ln a = 2,3030 log alog a = 0,4342 ln a

Contoh:1. ln 25 = 2,3030 log 25

= 2,3030 . 1,3979= 3,21936

2. ln 5 = 2,3030 log 5= 2,3030 . 0,6990= 1,6098

9

C. Tabel Logaritma

1. Menggunakan tabel logaritma

Hal-hal yang perlu diketahui dalam menggunakan tabel logaritma :a. Mantisa adalah bagian desimal / bilangan di belakang koma.Mantisa dapat dilihat pada tabel.

Contoh: log 3,27 = 0,5145, mantisanya adalah 5145 log 0,05628 = 0,7504 – 2 , mantisanya adalah 7504

b. Karakteristik adalah bagian bulat / bilangan di depan koma.Cara menentukan karakteristik : lihat bilangan yang dicari nilai logaritmanya, jika:1) 1 maka nilai karakteristiknya adalah banyaknya bilangan di depan koma dikurangi 1.2) Antara 0 dan 1 maka nilai karakteristiknya adalah banyaknya nol di depan bilangan bukan nol

yang pertama.

Contoh: Dengan tabel, tentukan nilai dari log 2,34 !Jawab:

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90123:::

23

0000 3010 0000 0414 0792 3020 4772

3617

4771 6021 6990 7782 1139 1461 1761 2041

8451 9081 9542 2304 2553 2788

Cara menentukan logaritma dengan tabel logaritma untuk log 23,4 :1) Lihat pada tabel logaritma baris 23 dan kolom 4, tertulis 3692 disebut mantisa2) Lihat bilangan yang dicari nilai logaritmanya 23,4 1

Maka nilai karakteristik : banyaknya bilangan di depan koma dikurangi 1 (2-1=1).Sehingga log 23,4 = 1,3692 ; karakteristik = 1 dan mantisa = 3692.Dengan cara yang sama : log 2,34 = 0,3692

log 0,0234 = 0,3692 – 2log 0,00234 = 0,3692 – 3

2. Menggunakan tabel anti logaritmaCara mencari :1) Mencari pada daftar mantisanya (bilangan di belakang koma), setelah ketemu lihat ke kiri dank e

atas menunjuk angka berapa.2) Menentukan koma (karakteristik ditambah 1)Contoh:

log x = 2,8179 x = 657,5log x = 1,8179 x = 65,75log x = 0,8179 x = 6,575log x = 0,8179 - 1 x = 0,6575

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

657

D. Persamaan LogaritmaMenyelesaikan persamaan logaritma adalah menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma itu. Bentuk-bentuk persamaan logaritma adalah sebagai berikut:

1. Bentuk

10

3692

8179

Jika maka f(x) = b

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari :1)

Jawab: 2x – 1 = 9

x = 5Jadi, HP = {5}

2) log (x2 + 3x -3) = 0Jawab: log (x2 + 3x -3) = log 1 x2 + 3x -3 = 1 x2 + 3x -4 = 0 (x + 4)(x – 1) = 0

x1 = -4 atau x2 = 1Jadi, HP = {-4, 1}

2. Bentuk Jika maka f(x) = g(x) dan f(x) 0 , g(x) 0Contoh:1) log (x2 – 4x + 2) = log (x +2)

Jawab: x2 – 4x + 2 = x +2 x2 – 4x – x + 2 -2 = 0 x2 – 5x = 0 x(x – 5) = 0

x1 = 0 atau x2 = 5Untuk x1 = 0 dan x2 = 5 , bentuk x2 – 4x + 2 dan x +2 keduanya positif.Jadi HP = {0, 5}

2) log (x2 – 4x + 2) = log (2 - x)Jawab: x2 – 4x + 2 = 2 - x x2 – 4x + x + 2 -2 = 0 x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0

x1 = 0 atau x2 = 3Untuk x1 = 0 maka bentuk x2 – 4x + 2 dan 2 – x keduanya positif.Sedangkan x2 = 3 maka bentuk x2 – 4x + 2 dan 2 – x keduanya negatif. Jadi HP = {0, 5}

LATIHAN 1.4

1. Jika maka nilai x = …2. Jika 3 = p dan 5 = q maka 45 = …3. Diketahui log 3 = 0,4772 dan log 2 = 0,3010. Nilai dari log 75 = …4. Diketahui x = -4 maka nilai dari 2x = …5. Jika maka nilai -5x + 2 = …6. Nilai dari 4 + 12 - 6 = …

11

7. Nilai dari

8.

9. Tentukan nilai dari log 567, jika diketahui log 7 = a dan log 3 = b !10. Kerjakan dengan menggunakan daftar logaritma !

a. log 6,13 = … b. log 37 = … c. log 0,7286 = …11. Tentukan himpunan penyelesaian dari :

a. (x – 4) + (x – 6) = 3b. (x – 5) + (x – 2) =

c. (x – 2) + (x – 3) =

d. log (2x - + 13) = 1

e. log {log (3x + 4) + 2} = log 4

12