1. Sistem Bilangan Real

Kalkulus didasarkan pada pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Oleh sebab itu penting

untuk mengetahui konsep iystem bilangan riil. Apakah bilangan riil dan bagaimana sifat-sifatnya?

Mari disimak berikut ini.

Sistem bilangan yang paling sederhana adalah bilangan asli, yaitu:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Dengan bilangan asli ini kita dapat menghitung banyaknya buku yang dimiliki, jumlah mobil yang

melewati suatu jalan, banyaknya orang-orang dalam suatu ruang dan lain-lainnya. Himpunan

semua bilangan asli biasa dinotasikan dengan N. Jadi,

N = {1, 2, 3, 4, }

Jika himpunan semua bilangan asli ditambahkan semua negatifnya dan nol, maka diperoleh

bilangan-bilangan bulat, yaitu:

, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,

Himpunan semua bilangan bulat disimbolkan dengan Z. Jadi,

Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, }

Namun bila kita berusaha mengukur besaran-besaran seperti panjang, berat dan arus listrik maka

bilangan bulat tidak memadai karena bilangan bulat tidak dapat memberikan ketelitian yang cukup.

Untuk keperluan ini maka dapat digunakan bilangan-bilangan rasional, seperti :

2

5,21

57,18

47,9

1 dan

18

15

Bilangan rasional didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan

dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b 0.

Dengan demikian bilangan-bilangan bulat termasuk bilangan rasional juga. Bilangan bulat 5

merupakan bilangan rasional sebab 5 dapat ditulis sebagai 10

2 . Himpunan semua bilangan

rasional biasa dinotasikan dengan Q.

Jadi,

0,,, bZbab

aQ

Bilangan rasional dapat menjadi ukuran dengan ketelitian yang cukup, namun masih tidak dapat

menjadi ukuran semua besaran, misalnya panjang sisi miring segitiga siku-siku dengan sisi 1.

Seperti yang ditunjukkan gambar berikut:

Panjang sisi miring dari segitiga siku-siku dengan panjang 1, yaitu 2, adalah bilangan

irrasional. Bilangan irrasional yang lain misalnya:

3, 5 , 73

, dan

Sekumpulan bilangan rasional dan irrasional beserta negatifnya dan nol dinamakan bilangan-

bilangan real (bilangan nyata).

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan (real).

Himpunan semua bilangan real dinotasikan dengan R. Hubungan keempat himpunan N, Z, Q, dan

R dapat dinyatakan dengan N Z Q R dan digambarkan dengan diagram berikut.

Ada berbagai jenis interval pada bilangan real. Interval terbuka (a,b) adalah himpunan semua

bilangan real yang lebih besar dari a dan kurang dari b. Jadi (, ) = {| < < }. Sedangkan

interval tertutup [a,b] adalah himpunan semua bilangan real yang lebih besar atau sama dengan a

dan kurang atau sama dengan b. Jadi [, ] = {| }. Beberapa interval

1 2

1

ditunjukkan dalam daftar berikut.

Sifat-sifat urutan pada bilangan real:

1. Trikotomi:

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau

x > y atau x = y

2. Ketransitifan:

Jika x < y dan y < z maka x < z

3. Penambahan:

< + < +

4. Perkalian:

Jika z positif maka < <

Jika z negatif maka < >

Pertidaksamaan

Pertidaksamaan merupakan kalimat terbuka yang menggunakan relasi , atau .

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang

membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga sebagai Himpunan

Penyelesaian (HP). Cara menentukan HP adalah sebagai berikut:

1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :

0)(

)(

xQ

xP

2. Faktorkan P(x) dan Q(x) menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat

3. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear). Gambarkan titik-titik pemecah

tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, ) pertidaksamaan di setiap

selang bagian yang muncul

Latihan Soal

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari :

1. 13 2 3 5

2. 2 < 6 4 8

3. 22 5 3 < 0

4. 2 4 6 7 3 + 6

5. 1

+1