ANALISIS REAL II Tujuan Mata Kuliah : Mahasiswa memahami konsep dasar analisis real. BARISAN MONOTON Kompetensi : Memahami konsep barisan monoton dan menerapkannya untuk memecahkan masalah terkait. Definisi : Barisan bilangan real X = (xn) dikatakan naik (turun) apabila xn+1 xn (xn+1 xn) untuk setiap n bilangan asli. Barisan X dikatakan monoton apabila barisan tersebut naik / turun. Barisan monoton naik : (1,2,3,4,) (1,1,2,2,3,3,) Barisan monoton turun : (1,,1/3,,...) (-1,-1,-2,-2,-3,-3,) Dari contoh tadi dapat kita lihat bahwa : Jika barisan bilangan real X = (xn) monoton naik (turun) maka barisan X = (xn) monoton turun (naik). Jika barisan bilangan positif X = (xn) monoton naik (turun) maka barisan 1/X = (1/xn) monoton turun (naik). Barisan bilangan real yang monoton akan konvergen jika dan hanya jika barisan itu terbatas. Lebih lanjut, jika barisan X = (xn) monoton naik (turun) maka lim (xn) = sup {xn} (lim(xn) = inf {xn}). Tunjukkan bahwa barisan konvergen dan tentukan limitnya. ( )|.|

\|= =nx Xn1 Karena untuk setiap n bilangan asli maka X monoton turun. Karenauntuk setiap n bilangan asli maka X terbatas. Menurut Teorema Kekonvergenan Monoton, X konvergen dengan n nxn nx = s+=+1111110 s sn)`=nX1inf limAkan ditunjukkan bahwa Telah diketahui bahwa 0 adalah batas bawah Ambil z > 0 sebarang.Menurut Sifat Archimedes, terdapat bilangan asli n yang memenuhi n > 1/z2 atau Jadi z bukan batas bawah Dengan demikian 0 adalah batas bawah terbesar (infimum). 01inf =)`n)`n1zn + +=+++= +n n nnnnx xn n( )( )21221211 2120 s+ =+++=+sn n nnnnAkan ditunjukkan bahwa sup {xn} = 2.Telah diketahui bahwa 2 adalah batas atas {xn}.Ambil y < 2 sebarang.Tulis y = 2 c dengan c > 0.Kita lihat bahwa untuk bilangan asli m dengan m > 2/c berlaku sehingga Jadi y bukan batas atas {xn} dan dengan demikian 2 adalah batas atas terkecil (supremum). cc = s + =+c 212212 Tunjukkan bahwa jika 0 < r < 1 maka barisan X = (xn) = r + r2 + ... + rn konvergen kemudian tentukan limit barisan tersebut. Mudah untuk melihat bahwa untuk setiap n bilangan asli, xn+1 xn 0 dan xn rxn = r + r2 + r3 + ... + rn (r2 + r3 + r4 + ... + rn+1) atau xn(1 r) = r rn+1. Jadi Dengan demikian X monoton naik dan terbatas. 1 11 1 1 1n nnr r r r rxr r r r+ += = s Akan ditunjukkan bahwa sup {xn} = r/(1r).Misal diberikan c > 0 sebarang.Kita ketahui bahwa apabila 0 < r < 1 maka lim rn = 0.Jadi terdapat bilangan asli m sehingga rm+1 < c(1r).Karena maka Jadi r/(1r) c bukan batas atas {xn} untuk setiap c > 0.Dengan demikian r/(1r) adalah batas atas terkecil (supremum). ( )111 1mr rr rcc+< = 11 1 1mmr r rxr r rc+= >