1

BAB I

TURUNAN/DIFFERENTATION

1.1. Turunan Fungsi

Definisi 1.1.1:

Misalkan I R adalah interval fungsi :f I R dan c I , Bilangan real L

dikatakan derivatif dari f di c jika diberikan sebarang bilangan 0 terdapat

bilangan ( , ) 0c sehingga untuk setiap x I dengan C berlaku:

L

cx

cfxf )()(.

Dalam hal ini dikatakan bahwa, f diferensiabel di c, dan L ditulis dengan '( )f c .

Dengan kata lain, derivatif dari f di c diberikan oleh limit

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)('

asalkan limitnya ada. Sebagai akibat ketunggalan limit fungsi, maka derivatif (jika

ada) dari fungsi di suatu titik adalah tunggal.

Catatan: Domain fungsi f tidak harus berupa interval (karena titik c yang

diperlukan hanyalah elemen dari domain yang sekaligus titik limit dari domain

tersebut). Hanya saja, akan lebih mudah bagi pembaca untuk memahami

pengertian derivatif pada fungsi yang terdefinisi pada interval. Oleh karena itu,

pembahasan dibatasi pada fungsi yang demikian.

Contoh:

1. Jika 2( )f x x untuk x R , maka untuk setiap c R ,

ccxcx

cx

cx

cfxfcf

cxcxcx2)(limlim

)()(lim)('

22

Dalam hal ini, fungsi f terdefinisi pada R dan '( ) 2f x x untuk x R .

2. Jika ( )h x x , x R maka h tidak diferensiabel di 0. Karena untuk 0x

1 jika 0( ) (0)

1 jika 00

xxh x h

xx x

, sehingga

0

( ) (0)lim

0x

h x h

x

tidak ada.

2

Teorema 1.1.2:

Jika fungsi :f I R differensiabel di c I , maka f kontinu di titik c.

Bukti: Untuk sebarang x I , x c , diperoleh

)()()(

)()( cxcx

cfxfcfxf

Karena '( )f c ada, maka dengan mengaplikasikan teorema perkalian limit

diperoleh

00)(')(lim)()(lim))()((lim

cfcx

cx

cfxfcfxf

cxcxcx

Jadi )()(lim cfxfcx

, sehingga f kontinu di c.

Kekontinuan fungsi di suatu titik tidak menjamin eksistensi derivatif fungsi di

titik tersebut. Sebagai contoh, fungsi h pada contoh 2 di atas kontinu di titik 0

tetapi h tidak diferensiabel di titik tersebut. Jadi, kekontinuan fungsi di suatu titik,

bukan syarat cukup agar fungsi tersebut diferensiabel di titik tersebut.

Teorema 1.1.3:

Jika I R adalah interval, c I , dan fungsi , :f g I R adalah fungsi-fungsi

yang differensiabel di c, maka

(a) Jika R , maka fungsi f differensiabel di c dan

)('))('( cfcf

(b) Fungsi f g differensiabel di c dan

)(')(')()'( cgcfcgf

(c) (Aturan perkalian) Fungsi fg differensiabel di c dan

)(')()()(')()'( cgcfcgcfcfg

(d) (Aturan pembagian) Jika ( ) 0g c , maka fungsi /f g differensiabel di c , dan

2))((

)(')()()(')('

cg

cgcfcgcfc

g

f

3

Bukti:

(a) Jika cx

cfxfcf

cx

)()(lim)(' , maka

( ) ( )

' ( ) limx c

f x f cf c

x c

( ) ( )limx c

f x f c

x c

( ) ( )limx c

f x f c

x c

( ) ( )limx c

f x f c

x c

'( )f c ..............................terbukti.

(b) Misalkan p f g , maka ( ) ( )

'( ) limx c

p x p cp c

x c

sehingga, ( ) ( )

'( ) limx c

p x p cp c

x c

( ) ( )

'( ) limx c

f g x f g cf g c

x c

( )limx c

f x g x f c g c

x c

( )limx c

f x g x f c g c

x c

( )limx c

f x f c g x g c

x c

( )lim limx c x c

f x f c g x g c

x c x c

'( ) '( )...............................f c g c terbukti

(c) Misalkan p fg , untuk ,x I x c , diperoleh

4

cx

cgxgcfxg

cx

cfxf

cx

cgcfxgcfxgcfxgxf

cx

cgcfxgxf

cx

cpxp

)()()()(

)()(

)()()()()()()()(

)()()()()()(

Karena g kontinu di c, dengan teorema 1.1.2, maka )()(lim cgxgcx

. Karena f

dan g diferensiabel di c, dari teorema limit perkalian fungsi, disimpulkan bahwa

)(')()()(')()(

lim cgcfcgcfcx

cpxp

cx

Jadi p fg diferensiabel di c dan )(')()()(')()'( cgcfcgcfcfg terbukti.

(d) Misalkan /q f g . Karena g diferensiabel di c, maka dengan teorema 1.1.2, g

kontinu di c. Karena ( ) 0g c , maka terdapat interval J I dengan c J sehingga

( ) 0g x untuk setiap x J . Untuk x J , x c , diperoleh:

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

q x q c f x g x f c g c

x c x c

f x g c f c g x

g x g c x c

f x g c f c g c f c g c f c g x

g x g c x c

f x f c g xg c f c

g x g c x c

( )g c

x c

Dengan memanfaatkan kekontinuan dari g di c dan bahwa f dan g diferensiabel di

c, disimpulkan bahwa

2))((

)(')()()(')()(lim)('

cg

cgcfcgcf

cx

cqxqcq

cx

Jadi /q f g diferensiabel di c dan 2))((

)(')()()(')('

cg

cgcfcgcfc

g

f

terbukti.

Dengan induksi matematika teorema di atas dapat dikembangkan aturan

diferensiasi berikut.

5

Akibat 1.1.4:

Jika 1 2, ,..., nf f f adalah fungsi-fungsi dari interval I ke R yang diferensiabel di c,

maka

(a) Fungsi 1 2 ... nf f f diferensiabel di c, dan

1 2 1 2... ' '( ) '( ) ... '( )n nf f f c f c f c f c ,

(b) Fungsi 1 2... nf f f diferensiabel di c, dan

1 2 1 2 1 2

1 2

... '( ) '( ) ( )... ( ) ( ) '( )... ( ) ...

( ) ( )... '( )

n n n

n

f f f c f c f c f c f c f c f c

f c f c f c

Khususnya, jika 2 ... 1 nf f f maka (6.8) menjadi

1

'( ) ( ) ( )

n

n n nf c n f c f c

Catatan: Jika I R adalah interval dan fungsi :f I R , kita telah

memperkenalkan notasi 'f untuk menyatakan fungsi yang domainnya adalah

subset dari I dan nilainya di titik c adalah derivatif '( )f c dari f di titik c. Ada

notasi lain yang kadang-kadang digunakan untuk 'f ; sebagai contoh, ada yang

menulis Df untuk 'f . Oleh karena itu, bentuk sifat (b) dan (c) kadang-kadang

ditulis dalam bentuk:

( )D f g Df Dg , ( ) . .D fg Df g Dg f

Ketika x adalah variabel bebas, dalam perkuliahan awal, pada umumnya 'f

ditulis /df dx . Sehingga bentuk sifat (c) kadang-kadang ditulis dalam bentuk

( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )d df dg

f x g x x g x f x xdx dx dx

.

Aturan Rantai

6

Teorema diferensiasi pada fungsi komposisi berikut dikenal sebagai

Aturan Rantai. Teorema ini memberikan bentuk derivatif dari fungsi

komposisi fg .

Jika f diferensiabel di c dan g diferensiabel di ( )f c , maka akan

ditunjukkan bahwa derivatif dari fungsi komposisi fg di c adalah (

) ' c '( ( )) '( )g f g f c f c . Dalam hal ini dapat ditulis dengan

( ) ' ( ' ) 'g f g f f .

Ide dari aturan rantai didapat dari pengamatan bahwa

cx

cfxf

cfxf

cfgxfg

cx

cfgxfg

)()(

)()(

))(())(())(())((.

Tetapi sayangnya faktor pertama dalam perkalian di atas dapat saja tidak

terdefinisi, yaitu pada saat penyebutnya ( ) ( )f x f c bernilai 0 untuk nilai dari x

yang mendekati c dan hal ini merupakan suatu permasalahan. Hasil berikut akan

mengatasi masalah tersebut.

Teorema 1.1.5 (Aturan Rantai)

Misalkan ,I J R adalah interval-interval di dalam R, :g I R dan

:f J R . Jika f diferensiabel di c I dan g diferensiabel di ( )f c , maka fungsi

komposisi fg diferensiabel di c dan

)('))((')()'( cfcfgcfg

Bukti: Misalkan d = f(c) dan G didefinisikan pada I dengan

( ) ( );

( )

'( ) ;

g y g dy d

y dG y

g d y d

Karena g diferensiabel di d, maka diperoleh )()(')(lim dGdgyGdy

. Jadi, G

juga kontinu di d. Sekarang, karena f kontinu di c (dengan Teorema 1.1.2) dan

( )f J I dari teorema komposisi fungsi kontinu, maka fG kontinu di c, yaitu

7

))((')(lim)(lim cfgyGxfGdycx

.

Selanjutnya dari definisi G diperoleh bahwa

( ) ( ) ( )( )g y g d G y y d untuk setiap y I .

Oleh karena itu, jika ,x J x c diperoleh

cx

cfxfxfG

cx

cfgxfg

)()()(

)()(

Akibatnya diperoleh

)('))((')()(

lim cfcfgcx

cfgxfg

cx

.

Jadi, fg diferensiabel di cI dan persamaan (6.10) dipenuhi.

Jika g diferensiabel pada I dan f diferensiabel pada J, maka dengan Aturan

rantai diperoleh ( ) ' ( ' ) 'g f g f f , yang juga dapat ditulis sebagai

DffDgfgD ))(()( .

Contoh:

(a) Jika :f I R diferensiabel pada I dan ( ) ng y y untuk ,y R n N , maka

1'( ) . ng y ny Sehingga dengan Aturan rantai diperoleh

)('))((')()'( xfxfgxfg

untuk .x I Oleh karena itu diperoleh 1'( ) ( ( )) '( )n nf x n f x f x untuk semua

.x I

(b) Misalkan :f I R diferensiabel pada I, ( ) 0f x ,dan '( ) 0f x untuk .x I

Jika ( ) 1/h y y untuk 0y , maka 2'( ) 1/ h y y , 0y . Sehingga diperoleh

2))((

)(')('))((')()'()('

1

xf

xfxfxfhxfhx

f

untuk .x I

(c) Jika ( ) sinS x x dan ( ) cosC x x untuk x R maka '( ) cos ( ) S x x C x dan

'( ) sin ( ) C x x S x untuk x R . Dengan menggunakan fakta ini dan definisi

8

xx

x

xx

cos

1sec,

cos

sintan

untuk 2 1 ,x k k N , maka dengan mengaplikasikan Aturan Pembagian,

diperoleh

2

22)(sec

)(cos

1

)(cos

)sin)((sin))(cos(costan x

xx

xxxxxD

dan

))(tan(sec)(cos

sin

)(cos

)sin(10sec

22xx

x

x

x

xxD

untuk 2 1 ,x k k N .

Fungsi Invers

Teorema 1.1.6 Misalkan I R adalah interval dan fungsi :f I R monoton

murni dan kontinu pada I. Misalkan ( )J f I dan :g J R monoton murni dan

merupakan fungsi invers kontinu dari f. Jika f diferensiabel di c I dan '( ) 0f c

, maka g diferensiabel di ( )d f c , dan

))(('

1

)('

1)('

dgfcfdg

Bukti:

Untuk , y J y d didefinisikan

)()(

))(())(()(

dgyg

dgfygfyH

Karena :g J R monoton murni, maka ( ) ( )g y g d untuk , y d J dengan y d

, sehingga H well-defined pada J. Juga karena ( ( ))d f g d , maka diperoleh

)()()(

dgyg

dyyH

,

sehingga ( ) 0H y untuk , y J y d .

Akan dibuktikan bahwa )(')(lim cfyHdy

. Diberikan sebarang 0 .

Karena f diferensiabel di ( )c g d , maka terdapat >0 sehingga untuk

0 , x c x I , berlaku

9

)('

)()(cf

cx

cfxf.

Tetapi karena g kontinu di ( )d f c , maka untuk di atas, terdapat 0

sehingga untuk 0 , y d y J berlaku

( ) ( ) g y g d .

Karena g satu-satu dan ( )c g d , diperoleh ( ) g y c untuk

0 , y d y J . Hal ini mengakibatkan

)('

)()(

))(())(()(')( cf

dgyg

dgfygfcfyH

apabila 0 , y d y J . Karena 0 sebarang, maka )(')(lim cfyHdy

.

Tetapi, telah diketahui sebelumnya bahwa ( ) 0H y untuk , y J y d . Karena

)(

1)()(

yHdy

dgyg

untuk , y J y d , maka disimpulkan bahwa

)('

1

)(lim

1

)(

1lim

)()(lim

cfyHyHdy

dgyg

dydydy

Jadi, '( )g d ada dan nilainya sama dengan 1/ '( ).f c

Teorema 1.1.7

Misalkan I R adalah interval dan fungsi :f I R monoton murni pada I.

Misalkan ( )J f I dan :g J R merupakan fungsi invers dari f. Jika f

diferensiabel pada I dan '( ) 0f x untuk x I , maka g diferensiabel pada J, dan

gf

g'

1'

Bukti: Jika f diferensiabel pada I, menurut Teorema 6.1.3 maka f kontinu pada

I. Sehingga dengan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g kontinu pada J.

Selanjutnya dengan Teorema 1.1.6, maka persamaan gf

g'

1' dipenuhi.

10

Catatan: Jika :f I R dan :g J R fungsi-fungsi yang monoton murni pada

Teorema 1.1.7. Telah ditunjukkan bahwa jika '( ) 0f x untuk x I , maka g

diferensiabel pada J dan persamaan teorema 1.1.7 dapat ditulis sebagai

1

'( )' ( )

g yf g y

untuk y J

atau dalam bentuk

1

' ( )'( )

g f xf x

untuk x I.

Dapat juga ditulis dalam bentuk ' 1 /g x f x .

Contoh

Misalkan n N bilangan genap, [0, )I = , dan ( ) nf x x untuk x I . Dapat

ditunjukkan bahwa f naik murni dan kontinu pada I, sehingga untuk [0, ) y J ,

fungsi invers 1/( ) ng y y juga merupakan fungsi naik murni dan kontinu pada J.

Lebih lanjut, diperoleh 1'( ) nf x nx untuk x I . Akibatnya, jika 0y , maka

'( )g y ada, dan

nnnnn nyynygnygfyg

/)1(1/11

1

)(

1

))((

1

))(('

1)('

.

Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa

1)/1(1

)(' nyn

yg untuk 0y .

Tetapi, g tidak diferensiabel di 0.

1.2 Teorema Nilai Rata-rata

Teorema Nilai Rata-Rata, yang menghubungkan nilai dari suatu fungsi

dengan nilai dari derivatifnya, merupakan salah satu hasil analisis real yang

banyak manfaatnya. Pada subbab ini akan dijelaskan teorema penting tersebut

beserta beberapa contoh aplikasinya.

Akan dimulai dengan melihat hubungan antara ekstrim relatif dari suatu

fungsi dengan nilai dari derivatifnya. Ingat kembali bahwa fungsi f : I

dikatakan mempunyai maksimum relatif [atau minimum relatif] di c I jika

11

terdapat persekitaran ( )V V c dari c sehingga ( ) ( )f c f x [atau ( ) ( )f c f x ]

untuk semua x di dalam V I . Fungsi f dikatakan mempunyai ekstrim relatif di

c I jika f mempunyai maksimum relatif atau minimum relatif di c.

Teorema 1.2.1 (Teorema Ekstrim Dalam)

Misalkan c adalah titik dalam dari interval I dan :f I R mempunyai ekstrim

relative di c. Jika derivatif dari f di c ada, maka '( ) 0f c .

Bukti:

Akan dibuktikan untuk kasus f mempunyai maksimum relatif di c, sedangkan

untuk kasus f mempunyai minimum relatif di c dapat dibuktikan dengan cara

yang sama.

Andaikan '( ) 0f c , maka terdapat persekitaran ( )V c I sehingga

0)()(

cx

cfxf untuk ( ),x V c x c .

Jika ( ),x V c x c , maka diperoleh

.0)()(

)()()(

cx

cfxfcxcfxf

Tetapi hal ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif

di c. Jadi pengandaian '( ) 0f c salah.

Andaikan '( ) 0f c , maka terdapat persekitaran ( )V c I sehingga

( ) ( )

0f x f c

x c

untuk ( ),x V c x c .

Jika ( ),x V c x c , maka diperoleh

.0)()(

)()()(

cx

cfxfcxcfxf

Hal ini juga kontradiksi dengan hipotesis bahwa f mempunyai maksimum relatif

di c. Jadi pengandaian '( ) 0f c juga salah. Jadi, haruslah '( ) 0f c .

12

Akibat 1.2.2

Jika :f I R kontinu pada interval I dan f mencapai ekstrim relatif di titik c

di dalam I, maka berlaku salah satu derivatif dari f di c tidak ada atau nilainya

sama dengan nol.

Untuk memperjelas pemahaman akibat 1.2.2, perhatikan contoh berikut,

jika ( ) f x x pada I = [-1, 1], maka f mempunyai minimum relatif di 0x ,

tetapi f tidak diferensiabel di 0x .

Teorema 1.2.3 (Teorema Rolle)

Jika f kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b dan diferensiabel pada interval

terbuka ( , )a b , dengan ( ) ( ) 0 f a f b , maka terdapat sedikitnya satu titik c di

dalam interval terbuka ( , )a b sehingga '( ) 0f c . (Lihat Gambar 1.2.1)

Bukti: Jika f fungsi nol pada I, maka sebarang titik c di dalam ( , )a b memenuhi

kesimpulan dalam teorema. Oleh karena itu dianggap bahwa f bukan fungsi nol

pada I. Jika perlu

Gambar 1.2.1 Teorema Rolle

gantikan f dengan f dan diasumsikan f nilainya ada yang positif. Dengan

Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai maksimum di suatu titik c I

dengan ( ) 0f c . Karena ( ) ( ) 0 f a f b , maka titik c haruslah berada di dalam

13

( , )a b . Menurut yang diketahui '( )f c ada. Karena f mempunyai maksimum relatif

di c, maka dengan Teorema Ekstrim Dalam 1.2.1, di simpulkan bahwa '( ) 0f c .

Berikut adalah hasil yang merupakan akibat dari Teorema Rolle, yang

dikenal sebagai Teorema Nilai Rata-rata.

Teorema 1.2.4 (Teorema Nilai Rata-Rata)

Jika f fungsi kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b dan diferensiabel pada

interval terbuka ( , )a b , maka terdapat sedikitnya satu titik c di dalam ( , )a b

sehingga

( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a .

Bukti:

Perhatikan fungsi yang didefinisikan pada I dengan

).()()(

)()()( axab

afbfafxfx

[Fungsi adalah nilai dari selisih fungsi f dengan fungsi yang grafiknya adalah

ruas garis yang menghubungkan titik ( , ( ))a f a dan ( , ( ))b f b ; lihat Gambar 1.2.2].

Dalam hal ini hipotesis dari Teorema Rolle dipenuhi oleh , karena kontinu

pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan ( ) ( ) 0 a b . Oleh karena itu, terdapat

titik c di dalam ( , )a b sehingga

.

)()()(')('0

ab

afbfcfc

Jadi ( ) ( ) '( )( ) f b f a f c b a .

Interpretasi geometri dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah bahwa terdapat

suatu titik pada kurva ( )y f x sehingga garis singgung di titik tersebut sejajar

dengan garis yang melalui dua titik ( , ( ))a f a dan ( , ( ))b f b .

14

Dari Teorema Nilai Rata-rata, dapat diambil kesimpulan mengenai sifat-

sifat dari suatu fungsi dengan menggunakan informasi yang didapat dari

derivatifnya. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut.

Teorema 1.2.5

Jika f kontinu pada interval tertutup [ , ]I a b , diferensiabel pada interval terbuka

( , )a b , dan '( ) 0f x untuk ( , )x a b , maka f fungsi konstan pada I.

Bukti:

Akan ditunjukkan bahwa ( ) ( )f x f a untuk semua [ , ]x a b . Jika diberikan

sebarang [ , ]x a b , x a , maka dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-

Rata pada f pada interval tertutup [ , ]xI a x terdapat titik c (yang bergantung pada

x) di antara a dan x sehingga

( ) ( ) '( )( ) f x f a f c x a

Gambar 1.2.2 Teorema Nilai Rata-rata.

a x c b

(x)

15

Karena '( ) 0f c (dari hipotesis), maka disimpulkan bahwa ( ) ( ) 0. f x f a

Karena [ , ]x a b diambil sebarang, maka ( ) ( )f x f a untuk semua [ , ]x a b .

Akibat 1.2.6 :

Jika f dan g fungsi kontinu pada [ , ]I a b , diferensiabel pada ( , )a b dan

'( ) '( )f x g x untuk semua ( , )x a b , maka terdapat konstanta C sehingga

f x g x C pada I.

Bukti:

Didefinisikan suatu fungsi ,h x f x g x x I sehingga

' ' 'h x f x g x . Karena ' 'f x g x , maka ' 0h x , sehingga

berdasarkan teorema 1.2.5 h x C pada ,a b . Dengan demikian

, ,f x g x C x I a b .

Contoh:

Diberikan dua fungsi bernilai real f dan g yang masing-masing didefinisikan

dengan 23 , 2,2g x x x dan 23 4, 2,2f x x x .

Perhatikan bahwa ' 'f x g x , 2,2x

Teorema 1.2.7

Jika :f I R diferensiabel pada I, maka

(a) f naik pada I jika dan hanya jika '( ) 0f x untuk semua x I .

(b) f turun pada I jika dan hanya jika '( ) 0f x untuk semua x I .

16

Bukti:

(a) ( )

Misalkan '( ) 0f x untuk semua x I . Jika 1 2, x x I , dengan 1 2x x , maka dengan

mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval 1 2[ , ]J x x

terdapat titik c di antara 1 2( , )x x sehingga

2 1 2 1( ) ( ) '( )( ) f x f x f c x x .

Karena '( ) 0f c dan 2 1 0x x , maka 2 1( ) ( ) 0 f x f x . Sehingga 1 2( ) ( ).f x f x

Karena 1 2x x adalah sebarang titik di dalam I, maka f naik pada I.

( )

Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Untuk sebarang

c I , jika x c atau x c untuk x I , maka diperoleh

( ) ( ) /( ) 0 f x f c x c .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

cx

cfxfcf

cx

)()(lim)(' 0.

(b)

( )

Misalkan '( ) 0f x untuk semua x I . Jika 1 2, x x I , dengan 1 2x x , maka

dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata untuk f pada interval

1 2[ , ]J x x terdapat titik c di antara 1 2( , )x x sehingga

2 1 2 1( ) ( ) '( )( ) f x f x f c x x .

Karena '( ) 0f c dan 2 1 0x x , maka 2 1( ) ( ) 0f x f x . Sehingga

1 2( ) ( ).f x f x Karena 1 2x x adalah sebarang titik di dalam I, maka f turun

pada I.

17

( ) Untuk bukti sebaliknya, misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Untuk

sebarang c I , jika x c atau x c untuk x I , maka diperoleh

( ) ( ) / ( ) 0f x f c x c .

Akibatnya dengan teorema kemonotonan limit disimpulkan bahwa

( ) ( )'( ) lim 0

x c

f x f cf c

x c

.

Fungsi f dikatakan naik murni pada interval I jika untuk sebarang titik

1 2, x x I , dengan 1 2x x maka 1 2( ) ( ).f x f x Selanjutnya akan ditentukan syarat

cukup bagi suatu fungsi agar mempunyai ekstrim relatif di titik dalam pada suatu

interval. Kondisi tersebut lebih dikenal sebagai Uji Derivatif Pertama.

Teorema 1.2.8 (Uji Derivatif Pertama untuk Ekstrim)

Misalkan f fungsi kontinu pada interval [ , ]I a b dan c titik dalam dari I. Jika f

diferensiabel pada ( , )a c dan ( , )c b , maka:

(a) Jika terdapat persekitaran ( , ) c c I sehingga '( ) 0f x untuk

c x c dan '( ) 0f x untuk c x c , maka f mempunyai maksimum

relatif di c.

(b) Jika terdapat persekitaran ( , ) c c I sehingga '( ) 0f x untuk c x c

dan '( ) 0f x untuk c x c , maka f mempunyai minimum relatif di c.

Bukti:

(a) Jika ( , ) x c c , maka menurut Teorema Nilai Rata-Rata terdapat titik

( , )xc c x sehingga ( ) ( ) '( )( ) xf c f x f c c x . Karena '( ) 0xf c , maka ( ) ( )f x f c

untuk ( , ) x c c . Dengan cara yang sama (tunjukkan) akan diperoleh

( ) ( )f x f c untuk ( , ) x c c . Jadi f mempunyai maksimum relatif di c.

(b) Bukti menggunakan cara yang sama seperti pada (a).

18

Kebalikan dari Uji Derivatif Pertama 1.2.8 tidak benar. Sebagai contoh,

fungsi :f R R yang didefinisikan dengan

4 4 12 sin( ) ; 0( )

0 ; 0

xx x x

f xx

mempunyai minimum global di 0x tetapi 'f bernilai positif dan negatif di

sekitar titik 0x .

Ketaksamaan

Salah satu kegunaan dari Teorema Nilai Rata-Rata adalah untuk

memperoleh beberapa ketaksamaan. Ketika informasi mengenai derivatif dari

suatu fungsi diberikan, informasi tersebut dapat digunakan untuk mengambil

kesimpulan mengenai beberapa sifat dari fungsi itu sendiri.

Contoh :

(a) Fungsi eksponensial ( ) xf x e mempunyai derivatif '( ) xf x e untuk semua

x R . Oleh karena itu '( ) 1f x untuk 0x , dan '( ) 1f x untuk 0.x Dari

hubungan tersebut dapat digunakan untuk menurunkan ketaksamaan

1 xe x untuk x R (*)

dengan kesamaannya akan diperoleh jika dan hanya jika 0x .

Jika 0x , maka kedua ruas ketaksamaan bernilai 1. Jika 0x , dengan

menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata 6.2.4 terhadap fungsi f pada interval [0, ]x

, maka terdapat c dengan 0 c x sehingga

0 ( 0) x ce e e x .

Karena 0 1e dan 1ce , maka 1 xe x untuk 0x . Argumen yang sama juga

digunakan untuk menghasilkan ketaksamaan yang sama untuk 0.x Jadi

ketaksamaan (*) dipenuhi untuk semua x, dan kesamaan akan diperoleh hanya jika

0x .

19

(b) Fungsi ( ) sing x x mempunyai derivatif '( ) cosg x x untuk semua .x Jelas

bahwa 1 cos 1 x untuk semua .x Akan ditunjukkan bahwa

sin x x x untuk semua 0x . (**)

Pertama, jika diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata terhadap g pada interval

[0, ]x , dengan 0x , diperoleh

sin sin0 cos ( 0) x c x

untuk suatu c diantara 0 dan x. Karena sin0 0 dan 1 cos 1 c , maka

sin x x x . Karena kesamaan dipenuhi untuk 0x , maka ketaksamaan (**)

dipenuhi.

(c) Jika bilangan real sehingga 0 1 , 0a dan 0b , maka

1 (1 )a b a b . (#)

Misalkan ( )g x x x untuk 0x , maka 1'( ) (1 )g x x . Sehingga

'( ) 0g x untuk 0 1x dan '( ) 0g x untuk 1x . Akibatnya, ( ) (1)g x g

untuk 0x , dan ( ) (1)g x g jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika 0x

dan 0 1 , maka

(1 )x x .

Khususnya, jika diambil x a b dan kedua ruas dikalikan dengan b, diperoleh

ketaksamaan (#) yang kesamaannya dipenuhi jika dan hanya jika a = b.

Sifat Nilai Antara dari Derivatif

Pada bagian ini akan dipelajari Teorema Darboux. Dimulai dengan jika f

fungsi diferensiabel di setiap titik dari suatu interval I, maka fungsi 'f

mempunyai Sifat Nilai Antara. Hal ini berarti bahwa, jika 'f mempunyai nilai A

dan B, maka 'f juga mengambil semua nilai diantara A dan B. Pembaca akan

menyadari bahwa sifat ini merupakan salah satu konsekuensi dari kekontinuan

20

yang telah ditetapkan pada Teorema Nilai Antara Bolzano. Hal yang luar biasa

adalah bahwa derivatif yang tidak kontinu juga dapat memenuhi sifat ini.

Lemma 1.2.11

Jika I R adalah interval, :f I R diferensial di c, maka:

(a) Jika '( ) 0f c , maka terdapat bilangan 0 sehingga ( ) ( )f x f c untuk x I

dengan c x c .

(b) Jika '( ) 0f c , maka terdapat bilangan 0 sehingga ( ) ( )f x f c untuk x I

dengan . c x c

Bukti:

(a) Karena 0)(')()(

lim

cf

cx

cfxf

cx, maka terdapat 0 sehingga untuk

0 x c , x I , berlaku

0)()(

cx

cfxf

.

Akibatnya, untuk x I dengan x c , maka diperoleh

( ) ( )( ) ( ) ( ) 0

f x f cf x f c x c

x c

.

Jadi, jika x I dengan c x c , maka ( ) ( )f x f c .

(b) Bukti menggunakan cara yang sama dengan (a).

Teorema 1.2.12 (Teorema Darboux)

Jika f diferensiabel pada [ , ]I a b dan k bilangan diantara '( )f a dan '( )f b ,

maka terdapat paling sedikit satu titik ( , )c a b sehingga '( )f c k .

Bukti:

Misalkan '( ) '( )f a k f b . Definisikan g pada I dengan ( ) ( )g x kx f x untuk

x I . Mudah difahami bahwa g kontinu pada I, sehingga ia mencapai maksimum

pada I. Karena '( ) '( ) 0g a k f a , maka dengan Lemma 1.2.11 (a) maksimum

21

dari g tidak terjadi di x a . Serupa, karena '( ) '( ) 0g b k f b , maka dengan

Lemma 1.2.11 (b) maksimum dari g tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g

mencapai maksimum di suatu titik ( , )c a b . Akibatnya dengan Teorema 1.2.1

haruslah 0 '( ) '( )g c k f c . Jadi '( )f c k .

Contoh :

Fungsi : 1,1g R yang didefinisikan dengan

1 ; 0

( ) 0 ; 0

1 ; 0

x

g x x

x

jelas tidak memenuhi sifat nilai antara pada interval [-1,1]. Oleh karena itu,

dengan Teorema Darboux, tidak ada fungsi f sehingga '( ) ( )f x g x untuk semua

[ 1,1]x . Dengan kata lain, g bukan derivatif dari sebarang fungsi pada [-1,1].

1.3 Aturan LHospital

Marquis Guillame Franqois LHospital (1661-1704) adalah pengarang

buku kalkulus pertama, Lanalyse des infiniment petits, yang diterbitkan pada

tahun 1696. Dia mempelajari kalkulus diferensial dari Johann Bernoulli (1667-

1748), saat pertama kali Bernoulli mengunjungi negaranya LHospital dan

kemudian melanjutkannya melalui surat. Buku yang dikarangnya itu merupakan

hasil studinya LHospital. Teorema limit, yang dikenal sebagai Aturan LHospital

lebih dulu muncul dalam buku tersebut, meskipun pada kenyataannya teorema itu

ditemukan oleh Bernoulli.

Pada subbab ini akan dijelaskan teorema tersebut beserta hasil-hasilnya

dan menunjukkan bagaimana teorema yang lain bisa diturunkan.

Bentuk Tak Tentu

Jika lim ( )x c

A f x

dan )(lim xgBcx

dengan 0B , maka

B

A

xg

xf

cx

)(

)(lim .

22

Tetapi, jika =0B , maka tidak ada kesimpulan yang bisa diambil. Akan dilihat

bahwa jika =0B dan 0A , maka limitnya tak berhingga (jika limitnya ada).

Kasus 0A , =0B belum pernah diberikan sebelummnya. Pada kasus ini,

limit dari pembagian f/g dikatakan tak tentu. Akan dilihat bahwa pada kasus ini

limitnya bisa tidak ada atau dapat bernilai sebarang bilangan real, tergantung pada

fungsi f dan g. Simbol 0/0 digunakan untuk menotasikan situasi tersebut. Sebagai

contoh, jika adalah sebarang bilangan real, dan jika didefinisikan xxf )( dan

xxg )( , maka

000

limlim)(

)(lim

xxx x

x

xg

xf.

Oleh karena itu bentuk tak tentu bisa saja menghasilkan sebarang bilangan real

sebagai limitnya.

Bentuk tak tentu yang lain disajikan dengan simbol ,/ ,0 ,00 ,,1 0

dan . Tetapi perhatian akan lebih difokuskan pada bentuk 0/0 dan ,/

karena bentuk yang lain biasanya dapat diturunkan dari kedua bentuk tak tentu

tersebut dengan menggunakan manipulasi logaritma, eksponensial, atau aljabar.

Aturan LHospital Bentuk 0/0

Untuk menunjukkan bahwa kegunaan diferensiasi dalam konteks ini

merupakan hal yang biasa dan bukan hal yang baru, akan diberikan terlebih

dahulu hasil dasarnya dengan menggunakan definisi dari derivatif.

Teorema 1.3.1

Misalkan f dan g terdefinisi pada [ , ]a b , ,0)()( agaf dan misalkan 0)( xg

untuk a x b . Jika f dan g diferensiabel di a dan 0)(' ag , maka limit dari /f g

ada nilainya sama dengan )('/)(' agaf . Jadi,

( ) '( )lim .

( ) '( )x a

f x f a

g x g a

23

Bukti: Karena ,0)()( agaf maka pembagian )(/)( xgxf dapat dituliskan

sebagai

.)()(

)()(

)()(

)()(

)(

)(

ax

agxgax

afxf

agxg

afxf

xg

xf

Dengan mengaplikasikan teorema pembagian limit diperoleh

( ) ( )lim

( ) '( )lim .

( ) ( )( ) '( )lim

x a

x a

x a

f x f a

f x f ax ag x g ag x g a

x a

Catatan: Hipotesis ( ) ( ) 0,f a g a sangat penting di sini. Sebagai contoh, jika

( ) 2f x x dan ( ) 5 3g x x untuk xR, maka 0

( ) 2lim

( ) 3x

f x

g x , sedangkan

'(0) 1

'(0) 5

f

g .

Dengan menggunakan cara yang sama, limit berikut dapat dicari

.2

1

0cos2

102

2sinlim

2

0

x

xx

x

Untuk menentukan limit dimana f dan g tidak diferensiabel di a,

diperlukan hasil yang yang lebih umum dari Teorema Nilai Rata-Rata.

Teorema 6.3.2 (Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy)

Jika f dan g kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan 0)(' xg untuk

semua ( , )x a b , maka terdapat ( , )c a b sehingga

.)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf

Bukti:

Sebagaimana pembuktian Teorema Nilai Rata-Rata, didefinisikan suatu fungsi

yang memenuhi Teorema Rolle. Pertama, karena 0)(' xg untuk setiap ( , )x a b ,

maka dengan Teorema Rolle ).()( bgag Untuk [ , ]x a b , didefinisikan

24

)).()(())()(()()(

)()()( afxfagxg

agbg

afbfxh

Mudah difahami bahwa h kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , dan

( ) ( ) 0h a h b . Oleh karena itu dengan Teorema Rolle, terdapat titik ( , )c a b

sehingga

).(')(')()(

)()()('0 cfcg

agbg

afbfch

Karena 0)(' xg , maka dengan membagi persamaan di atas dengan )(' cg akan

diperoleh hasil yang diinginkan.

Catatan:

Teorema di atas mempunyai interpretasi geometri yang mirip dengan Teorema

Nilai Rata-Rata 6.2.4. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai kurva dalam bidang

dengan memakai persamaan parameter ( ), ( )x f t y g t dengan .a t b

Sedangkan kesimpulan dari teoremanya yaitu terdapat titik ( ( ), ( ))f c g c pada kurva

untuk suatu ( , )c a b , sehingga gradien garis singgung di titik tersebut sama

dengan gradien garis lurus yang melalui titik ( ( ), ( ))f a g a dan ( ( ), ( ))f b g b .

Perhatikan jika ( )g x x , maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy menghasilkan

Teorema Nilai Rata-Rata 1.2.4.

Berikut ini diberikan hasil utama yang lebih dikenal sebagai Aturan

L`Hospital. Pembaca harus mengamati bahwa hal ini berbeda dengan Teorema

6.3.1, yaitu tidak diperlukan asumsi bahwa f diferensiabel di titik a.

Teorema 1.3.3 (Aturan LHospital)

Jika f dan g fungsi kontinu pada [ , ]a b , diferensiabel pada ( , )a b , f(a) = g(a) = 0,

dan 0)( xg , dan 0)(' xg untuk a x b , maka

(a) Jika '( )

lim'( )x a

f xL

g x untuk L , maka

( )lim

( )x a

f xL

g x .

25

(b) Jika '( )

lim'( )x a

f x

g x (atau ), maka

( )lim

( )x a

f x

g x (atau ).

Bukti:

(a) Diberikan sebarang 0 . Dari yang diketahui terdapat 0 sehingga untuk

a x a berlaku

.)('

)(' L

xg

xf

.

Untuk sebarang x yang memenuhi a x a diperoleh suatu titik xc (dengan

Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy) sehingga xa c x dan

.)('

)('

)(

)(

x

x

cg

cf

xg

xf

Karena xc memenuhi xa c a , dengan ketaksamaan sebelumnya

mengakibatkan

.)('

)('

)(

)( L

cg

cfL

xg

xf

x

x

Karena hal ini benar untuk semua x dengan a x a , maka dapat

disimpulkan

( )

lim( )x a

f xL

g x .

(b) Hanya dibuktikan untuk kasus +. Diberikan sebarang 0K . Terdapat 0

sehingga untuk a x a berlaku

'( ) / '( )f x g x K .

Untuk setiap x yang demikian, dapat diaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata

Cauchy 1.3.2 untuk memperoleh xc sehingga xa c x a dan

.)('

)('

)(

)(K

cg

cf

xg

xf

x

x

26

Karena K sebarang, maka disimpulkan bahwa '( )

lim'( )x a

f x

g x .

Contoh:

3

2

8lim

2x

x

x

adalah bentuk tak tentu 0/0.

Maka

33

2 2

2

2

8 '8lim lim

2 2 '

3lim

1

12

x x

x

xx

x x

x

Teorema 1.3.4

Misalkan f dan g fungsi kontinu dan diferensiabel pada [ , )b , dan

0)(lim)(lim

xgxfxx

dengan 0)(' xg untuk x b , maka

.)('

)('lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

xx

Bukti:

Dengan mengambil xt /1 , pada interval [0,1/ ]b didefinisikan fungsi F dan G

dengan

1 1( ) ; 0( )

0 ; 0

t bf tF x

t

dan

1 1( ) ; 0( )

0 ; 0

t bg tG x

t

.

Perhatikan bahwa 0

lim ( ) lim ( )t x

F t f x

dan 0

lim ( ) lim ( ).t x

G t g x

Selanjutnya fungsi F

dan G memenuhi syarat hipotesis pada Teorema 1.3.3. Untuk 10 bt , dengan

27

Aturan Rantai 1.1.5 diperoleh )/1(')/1()(' 2 tfttF dan )./1(')/1()(' 2 tgttG

Sehingga dengan Teorema 1.3.3 disimpulkan bahwa

0 0

( ) ( ) '(1/ ) '( )lim lim lim lim .

( ) ( ) '(1/ ) '( )x t t x

f x F t f t f x

g x G t g t g x

Contoh

(a) 0 0 0

sin coslim lim lim2 cos 0.

1/(2 )x x x

x xx x

x x

Perhatikan bahwa penyebut tidak diferensiabel di x = 0 sehingga Teorema

1.3.1 tidak dapat diaplikasikan.

(b) .2

sinlim

)cos1(lim

020 x

x

x

x

xx

Pembagian pada limit kedua masih merupakan

bentuk tak tentu 0/0. Sehingga aturan LHospital masih dapat digunakan.

Akibatnya

.2

1

2

coslim

2

sinlim

)cos1(lim

0020

x

x

x

x

x

xxx

(c) .11/lim/)1(lim00

x

x

x

xexe Dengan cara serupa, .

2

1

2

1lim

1lim

020

x

e

x

xe x

x

x

x

(d) 0 0

lim(log )/( 1) lim(1/ ) /1 1x x

x x x

.

(e) Misalkan diketahui fungsi f dengan

cos 1; 0

( )

0 ; 0

xx

f x x

x

.

Karena 0 0 0

cos 1lim ( ) lim lim( sin ) 0 (0)x x x

xf x x f

x

, maka f kontinu di 0.

Lebih lanjut, f juga diferensiabel di 0 dengan

1220 0 0

( ) (0) cos 1 sin'(0) lim lim lim

0 2x x x

f x f x xf

x x x

.

(f) Misalkan f diferensiabel dua kali di persekitaran dari c, hitung

28

20

( ) ( ( ) '( ) )limh

f c h f c f c h

h

.

Limit ini adalah bentuk tak tentu 0/0 (terhadap h), sehingga

20 0

12

0

( ) ( ( ) '( ) ) '( ) '( )lim lim

2

''( ) lim "( )

2

h h

h

f c h f c f c h f c h f c

h h

f c hf c

Bentuk /

Teorema 1.3.6

Jika f dan g diferensiabel pada ( , )a b , lim ( )x a

f x

dan lim ( )x a

g x

, serta

0)( xg dan 0)(' xg untuk a x b , maka :

(a) Jika '( )

lim'( )x a

f xL

g x untuk L R , maka

( )lim

( )x a

f xL

g x .

(b) Jika '( )

lim'( )x a

f x

g x (atau ), maka

( )lim

( )x a

f x

g x (atau ).

Bukti:

(a) Diberikan sebarang 0 1/2 . Dari hipotesis terdapat 0 sehingga untuk

a x a berlaku

.)('

)(' L

xg

xf

Dipilih c1 di dalam ( , )a a , dan karena f mempunyai limit kanan di a, maka

dapat dipilih c2 di dalam 1( , )a c sehingga 1( ) ( )f x f c untuk 2a x c .

Selanjutnya didefinisikan fungsi F pada 2( , )a c dengan

)()(1

)(/)(1)(

1

1

xgcg

xfcfxF

untuk 2a x c .

29

Karena 0)(' xg untuk a x b , maka 1( ) ( )g x g c untuk 2a x c . Dari

definisi fungsi F, lim ( ) 1x a

F x

. Oleh karena itu terdapat titik c3 dengan

3 2a c c sehingga 1)(xF untuk 3a x c . Jadi, jika 3a x c , maka

.21

1

)(

1

xF

Perhatikan bahwa

.)(

1

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

1

1

xFcgxg

cfxf

xF

xF

xg

xf

xg

xf

Kemudian dengan mengaplikasikan Teorema Nilai Rata-Rata Cauchy 1.3.2,

terdapat di dalam 1( , )x c sehingga

.)(

1

)('

)('

)(

)(

xFg

f

xg

xf

Karena acccxa 123 , maka diperoleh

LxFg

fL

xg

xf

)(

1

)('

)('

)(

)(

1

)()()('

)('

xFxLF

g

f

1

)()()('

)('

xFxLFLL

g

f

.)1(22)( LL

Karena > 0 sebarang, maka disimpulkan bahwa Lxg

xf

ax

)('

)('lim .

(b) Buktinya ditinggalkan sebagai latihan.

30

Terdapat suatu teorema yang sejalan dengan Teorema 1.3.6, yang berlaku

untuk x . Hasil ini diperoleh dari Teorema 6.3.6 dengan cara yang sama

seperti ketika menurunkan Teorema 1.3.4 dari Teorema 1.3.3.

Contoh

(a) Misalkan (0, )I dan perhatikan lim(log ) /x

x x

. Jika diaplikasikan modifikasi

dari Teorema 1.3.6, maka lim(log )/ lim(1/ ) /1 0x x

x x x

.

(b) Misalkan I = R dan perhatikan 2xlim / xx e

. Dalam hal ini diperoleh

2xlim / lim2 / lim2/ 0x x x

x xx e x e e

.

(c) Misalkan (0, )I dan perhatikan 0

lim(logsin ) / logx

x x

. Dengan

mengaplikasikan Teorema 1.3.6 diperoleh

.cossin

lim/1

sin

cos

limlog

sinloglim

000

xx

x

x

x

x

x

x

xxx

Karena 1sin/lim0

xxx

dan 1coslim0

xx

, maka disimpulkan

0lim(logsin ) / log 1x

x x

.

Bentuk-bentuk Tak Tentu yang Lain

Bentuk-bentuk tak tentu seperti 0 , ,00 01 , dan dapat

diperoleh dari bentuk tak tentu sebelumnya dengan menggunakan manipulasi

aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi eksponensial.

Contoh

(a) Misalkan (0, / 2)I dan perhatikan

0

1 1lim

sinx x x

,

yang mempunyai bentuk tak tentu . Bentuk direduksi ke bentuk 0/0,

31

0 0

1 1 sinlim lim

sin sinx x

x x

x x x x

0 0

cos 1 sin 0lim lim 0.

sin cos 2cos sin 2x x

x x

x x x x x x

(b) Misalkan (0, )I dan perhatikan x 0lim logx x

, yang mempunyai bentuk tak

tentu 0 . Diperoleh 2x 0 x 0 x 0 x 0

log 1/lim log lim lim lim( ) 0.

1/ 1/

x xx x x

x x

(c) Misalkan (0, )I dan perhatikan x 0lim xx

, yang mempunyai bentuk tak tentu

00 . Dengan mengingat kembali aturan pada kalkulus bahwa logx x xx e ,

maka dari (b) dan kekontinuan fungsi yy e untuk 0y , diperoleh

0

x 0lim 1.xx e

(d) Misalkan (1, )I d an perhatikan xlim (1 1/ )xx

, yang mempunyai bentuk tak

tentu 1 . Karena

log(1 1/ )(1 1/ )x x xx e (*)

dan

1 2

2

log(1 1/ ) (1 1/ ) ( ) 1lim log(1 1/ ) lim lim lim 1

1/ 1 1/x x x x

x x xx x

x xx

,

maka dengan kekontinuan yy e di 0y , disimpulkan bahwa xlim (1 1/ )xx

= .e

1.4 Teorema Taylor

Nilai fungsi dari suku banyak dapat ditentukan dengan melakukan

sejumlah berhingga operasi penjumlahan dan perkalian. Tetapi terdapat beberapa

fungsi lain seperti fungsi logaritma, eksponensial dan fungsi trogonometri yang

nilainya tidak dapat ditentukan dengan mudah. Pada subbab ini akan

diperlihatkan bahwa banyak fungsi yang dapat dihampiri oleh suku banyak, dan

suku banyak tersebut sebagai pengganti fungsi asalnya dapat digunakan untuk

32

perhitungan apabila perbedaan diantara nilai fungsi asalnya dan hampirannya

dengan suku banyak cukup kecil.

Terdapat berbagai metode untuk meghampiri fungsi yang diberikan

dengan suku banyak. Salah satu cara yang paling sering digunakan adalah dengan

rumus Taylor. Nama ini diabadikan untuk menghormati seorang matematikawan

Inggris, Brook Taylor (1685 1731). Teorema Taylor dapat dipandang sebagai

perluasan dari Teorema Nilai Rata-Rata.

Jika fungsi f mempunyai derivatif ke-n di titik 0x , tidak sulit untuk

mengkonstruksi suku banyak berderajat n, nP , sehingga 0 0( ) ( )nP x f x dan

( ) ( )

0 0( ) ( )k k

nP x f x untuk k = 1,2,, n. Kenyataanya suku banyak

( )20 0

0 0 0 0 0

''( ) ( )( ) ( ) '( )( ) ( ) ( )

2! !

nn

n

f x f xP x f x f x x x x x x x

n (*)

mempunyai sifat seperti ini. Suku banyak nP ini disebut suku banyak Taylor ke-n

untuk f di 0x . Suku banyak ini diharapkan akan menghampiri f di titik-titik dekat

0x , tetapi untuk mengukur keakuratan dari hampiran perlu informasi dari sisa

n nR f P . Hasil berikut memberikan informasi demikian.

Teorema 1.4.1 (Teorema Taylor)

Misalkan n N , [ , ]I a b , dan :f I R sehingga f dan derivatif ( )', ", , nf f f

kontinu pada I dan ( 1)nf ada pada (a,b). Jika 0x I , maka untuk sebarang x I

terdapat titik c diantara x dan 0x sehingga

200 0 0 0

( ) ( 1)10

0 0

''( )( ) ( ) '( )( ) ( )

2!

( ) ( ) ( ) ( )

! ( 1)!

n nn n

f xf x f x f x x x x x

f x f cx x x x

n n

(**)

Bukti:

Misalkan x I dan J interval tertutup dengan titik ujung x dan 0x . Didefinisikan

fungsi F pada J dengan

( )( )( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )!

nnx tF t f x f t x t f t f t

n

untuk t J . Mudah difahami bahwa

33

( 1)( )'( ) ( )!

nnx tF t f t

n

.

Jika didefinisikan G pada J dengan

1

0

0

( ) ( ) ( )

n

x tG t F t F x

x x

untuk t J , maka G kontinu pada J, diferensiabel diantara x dan 0x , dan

0( ) ( ) 0G x G x . Akibatnya menurut Teorema Rolle 1.2.3 terdapat titik c diantara

x dan 0x sehingga

01

0

( )0 '( ) '( ) ( 1) ( )

( )

n

n

x cG c F c n F x

x x

.

Oleh karena itu,

1

00

( )1( ) '( )

1 ( )

n

n

x xF x F c

n x c

1

( )0( )1 ( ) ( )1 ( ) !

n nn

n

x x x cf c

n x c n

( 1)

1

0

( )( )

( 1)!

nnf c x x

n

yang memberikan persamaan (**).

Jika nP menotasikan suku banyak Taylor berderajat n (1) dari f , dan nR

untuk sisa, maka kesimpulan dari Teorema Taylor dapat dituliskan sebagai

( ) ( ) ( )n nf x P x R x dengan nR diberikan oleh

nR

( 1)1

0

( )( )

( 1)!

nnf c x x

n

(***)

untuk suatu c diantara x dan 0x . Formula nR disebut bentuk Lagrange (atau

bentuk derivatif) dari sisa.

Aplikasi dari Teorema Taylor

Suku sisa nR di dalam Teorema Taylor dapat digunakan untuk

mengestimasi error dari hampiran suku banyak Taylor nP terhadap f. Jika nilai n

ditentukan, maka keakuratan dari hampiran itu dapat dihitung. Sebaliknya, jika

34

keakuratan ditentukan lebih dahulu, maka nilai n dapat ditentukan. Contoh-contoh

berikut menjelaskan keadaan ini.

Contoh

(a) Gunakan Teorema Taylor dengan 2n untuk menghampiri 3 1x , 1x .

Diambil fungsi 1

3( ) ( 1)f x x , 0 0x dan 2n . Karena

231

3'( ) ( 1)f x x

dan

532

9''( ) ( 1)f x x

, maka 1

3'(0)f dan 2

9''(0)f . Jadi

21 12 2 23 9

( ) ( ) ( ) 1 ( )f x P x R x x x R x ,

dengan 8

33 3

2

"( ) 5( ) ( 1)

3! 81

f cR x x c x

untuk suatu c diantara 0 dan x. Jika

diambil 0,3x , maka diperoleh hampiran 2 (0,3) 1,09P untuk 3 1,3 . Lebih

lanjut, karena dalam kasus ini 0c , maka 8

3( 1) 1c

dan sehingga errornya

paling besar adalah

3

2

2

5 3 1(0,3) 0,17 10

81 10 600R

.

Jadi, diperoleh 23 1,3 1,09 0,5 10 , yaitu diperoleh ketelitian sampai dua

tempat desimal.

(b) Hampiri bilangan e dengan error kurang dari 510 .

Ambil fungsi ( ) xf x e , 0 0x dan x = 1 di dalam Teorema Taylor. Akan

ditentukan n sehingga 5(1) 10nR . Untuk melakukan ini, gunakan fakta

bahwa ( ) ( )k xf x e , ( ) (0) 1kf untuk semua k N, dan 3xe untuk 0 1x ,

maka suku banyak Taylor berderajat n adalah

2

( ) 12! !

n

n

x xP x x

n ,

dan sisa untuk x = 1 diberikan oleh

(1)( 1)!

c

n

eR

n

dengan 0 1c . Karena 3ce , 5(1) 10nR jika dan hanya jika 5

310

( 1)!n

.

Ketaksamaan terakhir ini dipenuhi untuk n = 8, sehingga diperoleh

8

1 1(1) 1 1 2,71828

2! 8!e P

35

dengan error kurang dari 510 .

Teorema Taylor dapat juga untuk menurunkan beberapa ketaksamaan.

Contoh:

(a) Tunjukkan bahwa 212

1 cosx x untuk semua .x R

Dengan ( ) cosf x x dan 0 0x di dalam Teorema Taylor diperoleh

2122

cos 1 ( )x x R x

dengan

3 3

2

"'( ) sin( )

3! 6

f c cR x x x ,

dan c bilangan diantara 0 dan x. Jika 0 x , maka 0 c . Lebih lanjut,

karena c dan 3x positif, maka 2 ( ) 0R x . Juga, jika 0x , maka 0.c

Karena c dan 3x negatif, maka 2 ( ) 0R x . Oleh karena itu,

212

1 cosx x untuk x .

Jika x , maka 212

1 3 cosx x dan ketaksamaan dengan sendirinya

dipenuhi. Jadi ketaksamaan di atas dipenuhi untuk semua x .

(b) Untuk sebarang k N, dan untuk semua 0x , berlaku

2 2 2 2 11 1 1 12 2 2 2 1

log(1 )k kk k

x x x x x x x

.

Karena derivatif dari log(1 )x adalah 1 (1 )x untuk 0x , maka suku banyak

Taylor untuk log(1 )x dengan 0 0x adalah

2 11 12

( ) ( 1)n nn nP x x x x

dan sisanya diberikan oleh

11( 1)( )

1

n nn

n

cR x x

n

untuk suatu c yang memenuhi 0 c x . Jadi untuk sebarang 0x dan 2n k

(genap), maka 2 ( ) 0kR x . Sedangkan untuk 2 1n k (ganjil), maka

2 1( ) 0kR x . Akhirnya ketaksamaan di atas terbukti.