Vektor dan Aplikasi Rangkaian Listrik Hukum Kirchoff

FISIKA MATEMATIKA 1

Anggota Kelompok :

1. Annida Melia Zulika 11011350022. Arshinta Eka Putri 11011350033. Devis Maredona 11011350304. Indah Budiningtyah 11011350105. Intan Septiani Rosa 1101135011

PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2013

VEKTOR

Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan,

gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena

semuanya memiliki besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya

hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang – n ( Rn) jika

vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R2maka

dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di

R3maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan

di ruang vektor merupakan segmen garis berarah yang memiliki titik awal

dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau

huruf kecil dengan ruas garis.

Contoh 1:

Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah ( vektor )

seperti AB, AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan

titik B, C dan D disebut titik akhir.

Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O

( untukvektor di bidang , titik O adalah ( 0,0 )).

Vektor dinyatakan dengan :

1. Matriks satu kolam-Vektor kolam X= [124 ].

2. Matriks satu baris- Vektor baris X = [ 1 2 4 ].

Untuk selanjutnya bila disebut vektor yang dimaksud Vektor Kolom.

Contoh : X= [124 ] mempunyai 3 komponen.

y = [ 2 4 ] mempuyai 2 komponen.

Secara Umum = [a11

a11

⋮an 1

]A. Geometri dan Notasi Vektor

Penampilan vektor secara geometri dapat digambarkan pada sebuah

panah yang ditarik pada sebuah titik (A) ke titik yang lain (B). Panjang

antra A dan B ini disebut besar vektor dan arah garis yang ditarik dari A ka

B dikatakan arah vektor tersebut. Titk awal vektor (A) disebut titik

tangkap atau titik awal atau titik asal dan titik B disebut titik terminal atau

titik terminus.

A B

A B

Pernyataan vektor ini biasanya dinotasikan pada sebuah huruf yang

ditebalkan atau diatasnya diberi tanda panah F dibaca vektor F yang

mempunyai|F| atau F. Vektor dapat juga ditampilakan sebagai dua huruf,

( AB ) artinya vektor ini mempunyai panjang arah AB dan arahnya dari A ke

B.

Jika kita mempunyai vektor yang ditarik dari B ke A, ( BA ) maka

vektor ini mempunyai besar adalah panjang BA (sama dengan panjang

AB) dan arahnya dari B ke A. Mari kita bandingkan vektor AB dan BA

ini. Kedua vektor mempunyai besar sama tetapi arahnya berlawanan,

AB=−BA .

Sekarang kita dapat ,mengatakan A=B jika besar vektor A dan B

sama dan arahnya sama. Dari pernyataan ini, kita dapat mengatakan bahwa

sebuah vektor A tidak berubah jika vektor A dipindahkan, asalkan arahnya

tetap searah dengan arah mula-mula.

A=−B berarti besar vektor A sama denganbesar vektor B tapi

arahnya berlawanan. A=k B, dengan konstata, berarti vektor A besarnya k

kali besar vektor B dan arahnya akan sama jika k¿0 dan arahnya akan

berlawanan jika k¿ 0. Jadi dapat kita katakan, jika sebuah skalar k

dikalikan dengan sebuah vektor, hasil yang didapat adalah sebuah vektor

yang besarnya k kali vektor mula-mula.

−B

A=−B

B. Vektor Satuan dan Vektor Nol

Jika sebuah vektor A dibagi dengan besarnya A

|A|= A

A diperoleh

sebuah vektor yang besarnya satu dan arahnya searah vektor A, vektor ini

disebut vektor satuan atau unit vektor. Vektor satuan dari vektor A biasa

dinotasikan sebagai a,

a= A|A|

= AA

Untuk vektor yang vesarnya nol disebut vektor nol, yaitu vektor yamg

besarnya nol dan arahnya dapat kita buat sendiri sesuai dengan keperluan

diberi notasi o.

1.1 OPERASI-OPERASI PADA VEKTOR

A. Penjumlahan Vektor

Misalkan ( udan v ) adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang

sama, maka vektor ( u+ v ) didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya

=titik awal u dan titik akhirnya = titik akhir v .

Contoh 2

Perhatikan gambar. Misalkan u= AB dan v= BC ,

jikavektordidefinisikan sebagai w= u+ v, maka w akan memiliki titik

awal= A dan titik terakhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah

AC.

Penjumlahan vektor =

a=[a1

a2] dan b=[b1

b2]Maka a+b = ¿

Hukum Komulatif : A+ B = B+ A

Hukum Assosiatif : A+(B+ C) =( A+ B ) + C

B. Perkalian Vektor dengan Skalar

Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang

=0.Misalkan uvektor tak nol dan k adalah skalar , k ∈R . Perkalian vektor

u dengan skalar k , ku didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya‖u‖

kali panjang udengan arah :

Jika k > 0 →searah dengan u

Jika k < 0 →berlawanan arah dengan u

Contoh 3

u=[u1

u2] maka ku = k [u1

u2] = [ ku1

k u2]u = [u1 ,u2 ] maka ku = k [u1 , u22 ] = [ku1 , ku2 ]

C. Perhitungan Vektor

Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen–

komponennyaadalah a= (a1,a2, a3¿dan b = (b1,b2, b3 ).

Maka :

a+ b= (a1 +b1, a1+b2,a3+b3 )

ab = (a1 -b1, a1-b2,a3-b3)

k . a= ( ka1, ka2, ka3)

Jikac = AB kemudian titik koordinat A = (a1,a2, a3 ) dan B = (b1,b2, b3)

makac = (b1a1 , b2a2, b3b3 )

1.2 SISTEM KOORDINAT KARTESIAN

Pada sistem koordinat kartesian, kita hendakanya selalu memakai

sisitem sumbunya sesuai denagan aturan tanagn kanan yaitu dari sumbi x

berputar arah lawan jarum jam ke sumbu y positif dan ibu jari menujukan

arah sumbu z negatif.

Vektor satuan dengan titik lengkapanya di (0,0.0) yang searah dengan

sumbu x positif, sumbu y positif dan sumbu z positif, masing-masing

diberi notasi dengani , j , k .

Selanjutnya kita perkenalkan pula vektor posisi yaitu vektor yang

mempunyai titik tangkap di titik asal (0,0) ke titik (x,y) pada bidang (dua

dimensi) atau dari (0,0,0) ke titik di (x,y,z) dalam ruang (tiga dimensi).

Atau vektor posisi adalah vektor yang menujukan atau memberikan

informasi tentang posisi sebuah benda atau obyek. Vektor posisi ini bisa

diberi notasi ratau R dan dapat dinyatakan dalam komponen-komponen

yang sejajar dengan sumbu x, sumbu y dan sumbu z.

r=x i+ y j atau r=(x , y ) pada bidang besar r = √ x ²+ y ²

r=x i+ y j+z k atau r=(x , y , z) pada bidang besar r=√ x ²+ y ²+z ²

j

Jika α , β , γmasing-masing antara vektor posisi ( r ) dengan sumbu x,y

dan z. Maka

cos α= xr

,cos β= yr

, cos γ= zr

Secara umum kita dapat mengatakan bahwa sebuah vektor dapat

diuraikan menjadi komponen-komponen vektor yang searah dengan sumbu

x, sumbu y dan sumbu z. Misalkan sebuah vektor :

A=Ax i+Ay j+Azk atau A=A x+Ay+Az

y

j

i x

y

k

i

jx

y

j

i x

ry

k

ix

Dengan A=A x+Ay+Az adalah komponen vektor A pada sumbu x,y

dan z. Oleh sebab itu, penjumlahan vektor dapat kita lakukan dengan

menjumlahkan setiap komponennya.

A=A x i+Ay j+Azk dan B=Bx i+By j+Bzk

A+ B=¿ (Ax +Bx)i+(Ay+By) j+(Az+Bz)k

1.3 HASIL KALI TITIK , PANJANG VEKTOR DAN JARAK ANTARA

DUA VEKTOR

A. Hasil Kali Titik Dua Vektor Jika Diketahui Komponennya

Diketahui a = (a1,a2, a3) dan b = (b1,b2, b3) , Hasil kali titik antara

vektor a dan b didefinisikan sebagai :

a. b=(a1.b1)+ (a2.b1) +(a3.b3)

B. Hasil Kali Titik Dua Vektor Jika Diketahui Panjang Vektor dan

Sudut Antara Dua Vektor

Diketahui adan b dua buah vektor yang memiliki panjang berturut –

turut ‖a‖ dan ‖b‖ sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor

adalah θ, sudut θ ,ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor

pada titik awal yang sama. Hasil kali titik antara vektora dan b

didefinisikan sebagai :

a . b= ‖a‖‖b‖cos θ,V ∈[ 0,π] atau a . b= ab cos θ

(dibaca dot B) dan θadalah dudut diantara dua vektor.

Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar. Dengan mengetahui

besarnya θ, akan diketahui apakah hasil kali titik akanbernilai positif atau

negatif

a . b 0↔θlancip , 0 ≤θ90o

a . b = 0 ↔θ= 90o, adan bsaling tegak lurus

a . b 0 ↔θtumpul, 90o θ≤180o

Dari perkalian dot ini, dapat mancari sudut θsebagai berikut :

Cos θ: A . B

|A||B|= A . B

AB

Sekarang lihat perkalian dot ini

θ

A . B = B . A karena dua perkalian dot ini merupakan perkalian skalar

yang sama yaitu perkalian besar vektor A, besar vektor B dan cosinus

sudut diantar kedua vektor.

Perkalian dot antara vektor-vektor satuan dapat ditentukan sebagai

berikut :

i . i= j . j=k . k=|1||1|cos0 °=1

i . j= j . k= k . i=|1||1|cos90 °=0

A=Ax i+Ay j+Azk dan B=Bx i+By j+Bzk

Maka hasil perkalian dot kedua vektor ini adalah

A . B=¿x i+Ay j+Azk) . (Bx i+By j+Bzk)= Ax Bx+AyBy+AzBz

A . B=Ax Bx+AyBy+AzBz

Jadi, hasil perkalian dot dari dua vektor yang sama misalnya vektor A

adalah :

A . A=Ax Ax+AyAy+AzAz = Ax2+Ay

2+Az2= A2

Dari definisi dot diperoleh:

1. A B maka A . B=0 atau Ax Bx+AyBy+AzBz = 0

2. A/¿ B maka AxB x =

AyB y =

AzB z komponen B = 0

Pada perkalian dot ini berlaku hukum :

Komutatif = A . B = B . A

B

A

Distributif = A . (B + C ) = A . B+ A .C

C. Perkalian Dua Vektor Menghasilkan Vektor

Jika vektor A dikalikan dengan vektor B dengan tanda perkalian

silang (cross) disebut perkalian silang atau crooss product yang hasilnya

adalah sebuah vektor.

A x B = sin θ μ

(baca A cross B), θ adalah sudut diantara kedua vektor μ adalah vektor

satuan yang tegak lurus terhadap bidang dimana vektor A dan B terletak.

Vektor hasil perkalian ini mempunyai besar |A||B|sin θ dan arahnya

tegak lurus terhadap bidang dimana kedua vektor A,B. Arahnya menuju

keatas atau kebawah bidang, mengikuti aturan sekerup atau kaidah tanagn

kanan.

Jika vektor A dan vektor B msding-masing

A=A x i+Ay j+Azk dan B=Bx i+By j+Bzk

Maka perkalian crossnya dapat ditampilkan dalam bentuk determinan,

A x B= | i j kAx A y A z

Bx B y B z|

Hasil perkalian cross ini dapat dikalikan dengan debuah skalar

menghasilkan vektor yang serarah dengan vektor hasil perkalian cross dan

letak skalar ini bolehdimana saja asal tidak diberi tanda perkalain dot atau

cross.

k A x B=A x k B=k ( A x B)

A

A x B

B

B x A

Dari definisi cross ini kita dapat menyatakan bahwa :

1. A x B=B . A Anti Komutatif

2. A x B=0 Jika A/¿ B

3. |A||B| maksimum A B

D. Panjang (Norm) =Vektor dan Jarak Antara Dua Vektor

Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen

a = (a1,a2, a3) didapatkan bahwa a .a = a12+a2

2+a32 ... (1)

Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa

a. a= ‖a‖‖a‖cos 0 ….(2)

Dalam hal ini sudut antara a dan a pastilah bernilai 0 karena keduanya

saling berhimpit. Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :

‖a‖2 = a. a →‖a‖ = (a. a )1/2 = √a1 ²+a2²+a3 ²

E. Jarak Antara Dua Vektor

Jarak antara vektor a dan b didefinisikan sebagai panjang dari vektor (

a−b) dan biasa dinotasikan dengan d (a , b).

d ( a ,b).= (a−b. a−b)1/2=√¿¿¿

Secara geometris , dapat digambarkan seperti berikut ini

Misalkan a = AC dan b = AB, maka jarak antara a dan bmerupakan

panjangdari ruas garis berarah BC

1.4 GARIS DAN BIDANG

A. Persamaan Garis

Untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik P (xo.yo.zo)

dantitik Q(x,y,z) dapat dilakukan dengan cara menarik garis lurus dari titik

P ke Q. Vektor PQ dapat dituliskan dalam komponennya,

PQ=(x- xo)i+(y- yo) j+(z- zo)k

Perhatikan gambar dibawah ini :

Vektor posisi r adalah vektor dari (0,0,0) ke titik Q(x,y,z) dan vektor

posisi ro adalah vektor dari (0,0,0) ke titik P (xo.yo.zo). Dengan

menggunakam pengurangan vektor diperoleh :

PQ=r−r o

PQ=¿ (x- xo)i+(y- yo) j+(z- zo)k

Jika garis PQ ini sejajar dengan sebuah vektor yang diketahui

misalnya vektor A=a i+b j+c k maka kita dapat mengatakan bahwa garis

ini merupakan kelipatan dari vektor A. Jadi dapat dituliskan :

PQ=t A , r−r o=t A

(x- xo)i+( x- xo) j+(z- zo)k = tai+tb j+tck

Dengan t parameter

A

P (xo.yo.zo)Q (x.y.z)

A=a i+b j+c z

r0

r

Jika dua buah vektor sama besar berarti komponen dari vektor satuan

yang sejenis pada kedua ruas persamaan akan sama besarnya, sehingga

diperoleh persamaan

r−ro = t A → ro + A t

Atau

x- xo = ta, y- yo=tb, z-zo =tc

Persamaan ini disebut persamaan garis parametrik.

Persamaan parametris ini dapat pula dituliskan dalam bentuk lain,

yaitu:

x−xo

a=

y− yo

a=

z−zo

a

Persamaan garis yang baru ini disebut persamaan garis simetrik.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kita dapat membuat

sebuah persamaan garis jika kita mengetahui sebuah titik (xo.yo.zo) yang

dilewati garis tersebut dan sebuah vektor A=a i+b j+c k yang arahnya

sejajar dengan garis tersebut.

B. Persamaan Bidang

Untuk menentukan persamaan bidang dimana titik P (xo.yo.zo) terletak

pada bidang dan mempunyai vektor normal N=a i+b j+ck , dapat

dilakukan dengan cara menarik garis lurus dari titik P ke Q(x,y,z) yang ju

terletak pada bidang.

Vektor PQ dapat dituliskan dalam komponennya

PQ=r−r o

PQ=¿ (x- xo)i+(y- yo) j+(z- zo)k

Perhatikan gambar dibawah ini :

Vektor yang tegak lurus terhadap sebuah bidang diberi notasi N dan

disebut vektor normal dari bidang n disebut vektor normal satuan. Karena

vektor N ini tegak lurus pada bidang maka vektor N ini tegak lurus pula

terhadap semua garis yang terletak pada bidang. Jadi N PQ atau

N . PQ = 0

Jika N=a i+b j+ckmaka

¿+b j+ck).[ ( x−xo ) i+( y− yo ) j+(z−zo) k ] = 0

a(x-xo)+b(y- yo)+c(z+ zo) = 0

persamaan ini disebut persamaan bidang yang memounyai vektor

normal N=a i+b j+ck dan salah satu titik yang terletak pada bidang

tersebut adalah (xo.yo.zo). Jadi persamaan suatu bidang dapat ditentukan

jika diketahui vektor normalnya serta salah satu titik bidang tersebut.

1.5 PERKALIAN TIGA VEKTOR

A. Perkalian Tiga Vektor yang Menghasilkan Skalar

Perkalian tiga vektor A . (B x C ) yang menghasilkan sklar dapat ditulis

sebagai,

A . (B x C )=B . (C x A )=C .( A x B)

A . (B x C )=|Ax A y A x

B x B y B x

C x C y C x|

B. Perkalian Tiga Vektor yang Menghasilkan Vektor

Perkalian tiga vektor A , B , C yang menghasilkan vektor dapat

dinyatakan sebagai :

A x ( B x C )=(C x A ) B−( A x B)C

Pada A x ( B x C ) diperoleh hasil cross vektor A dengan vektor yang

dihasilkan ( B x C ). Untuk perkalian A x ( B x C ) diperoleh vektor hasil

perkalian ( A x B) dengan vektor C .Jadi tanda kurung pada perkalian tiga

vektor perlu dituliskan karena arah vektor yang dihasilkan dari perkalian

tiga vektor ditentukan oleh vektor yang sama terlebih dahulu di crosskan.

1.6 PROYEKSI ORTOGHONAL

Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama

seperti terlihat pada gambar dibawah ini :

Vektor adisusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 dan

w2,jadi dapat dituliskan a= w1+ w2 ,Dari proses pembentukannya w1juga

disebut sebagai vektor proyeksi orthogonal aterhadapbkarena merupakan

hasil proyeksi secara orthogonal vektor aterhadapb, sedangkan w2disebut

sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadapb.

Karena w1 merupakan hasil proyeksi di b maka dapat dituliskan w1= k

b,nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara

adan b, adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti

arahw1 akan berlawanan dengan arah b.

A. Menghitung w1

Untuk menghitung w1, harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan

menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :

a. b = (w1+ w2 ) . b

= ‖w1‖‖b‖(karena w2 dan bsaling tegak lurus maka w1.b = 0)

= ‖w1‖‖b‖cosθ

= ‖kb‖‖b‖cosθ (sudut yang dibentuk adalah 0 atau 180 )

Jadi k= a . b‖b‖²

w1 = k b = a . b‖b‖²

b dan w2 = a−w1

Panjang dari w1 adalah a . b‖b‖

1.7 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Sering kali dalam percakapan matriks pada persoalan fisika, kita

jumpai persamaan dalam bentuk Ax = λx

Dengan A = aij adalah matriks bujur sangkar berorde (n) dan λ

adalah suatu bilangan (skalar). Untuk solusu trival x=0 berapapun harga λ

akan memenuhi, dan biasanya solusi ini tidak banyak gunanya dalam

fisika.

Untuk solusi non-trival, yaitu x≠0, harga λyang memenuhi

persamaan tersebut disebut nilai eigen, atau nilai karakteristik dari matriks

A dan solusi yang bersesuaian dengan persamaan yang diberikan Ax = λx

disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A.

Bila persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem

persamaan yang terpisah, kita peroleh.

a11 a12 a13⋯ a1n1 x1 x1

a11 a12 a13⋯ a1n1 x2 = λ x2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

An1 an2 an3⋯ ann xn xn

Atau

a11x1+a12x2+a13x3+⋯+a1nxn = λx1

a21x1+a22x2+a23x3+⋯+a2nxn = λx2

a31x1+a32x2+a33x3+⋯+a3nxn = λx3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

An1x1+an2x2+an3x3+⋯+anmxn = λx1

Bila ruas kanan dipindah ke ruas kiri, persamaannya menjadi

(a11-λ¿x1 + a12x2 + a13x3 + ⋯ +a1nxn =0

a21x1+ (a22-λ ¿x2 + a23x3 + ⋯+ a1nxn =0

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

an1x1 +an2x2 +an3x3 +⋯+ (anm-λ¿xn = 0

atau

(a11-λ) a12 a13 ⋯ a1n

|A−λ I|= a21 (a22-λ) a12 ⋯a2n

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

A31 a32an2 ⋯(anm-λ)

Jadi,

Ax = λx

Jika ruas kanan dipindahkan ruas kiri didapat,

(A-λI)x=0

Perhatikan bahwa kita telah menyisipkan matriks satuan kedalam

persamaannya karena matriks hanya bisa dikurangi dengan matriks lagi.

Agar sistem persamaan linier homogen ini (yaitu semua konstantadi ruas

kanan sama dengan nol) mempunyai solusi non-trival, maka haruslah :

|A−λ I|

|A−λ I| disebut determinan karakteristik dari A, dan atau disebut

persamaan karakteristiknya. Dengan menjabarrkan determinan tersebut,

akan kita peroleh sebuah palinomial berderajat n dan pemecahan

karakteristiknya meberikan harga λ yaitu nilai eigen dari A.

1.8 Beberapa Teorema Mengenai Kombinasi Linier

Misalkan V adalah ruang vektor atas F dan  S himpunan bagian V.

Kombinasi linear(linear combination) dari S adalah jumlahan berhingga

yang berbentuk   a1v1 +  a2v2 …  + anvn dengan ai F     dan viS,  i=1,2,…,n.

Contoh : Misalkan  S = {(1, 3, 1) , (2, 0, -1)}. Tentu  S Ì Â3

Kombinasi linear dari S di antaranya adalah :

2 (1, 3, 1) + 1 (2, 0, -1) = (4, 6, 1)

1 (1, 3, 1) + 0 (2, 0, -1) = (1, 3, 1)

(4, -6, -6) adalah kombinasi linear dari S sebab

(4, -6, -6)  = (-2) (1, 3, 1) + 4 (2, 0, -1)

(3, 1, 2)  bukanlah kombinasi linear dari S, sebab tidak ada bilangan

real a dan b sehingga  (3, 1, 2) = a (1, 3, 1) + b (2, 0, -1). Hal ini

dijelaskan sebagai berikut :

Andaikan  (3, 1, 2) = a (1, 3, 1) + b (2, 0, -1) = (a + 2b, 3a, 2a-b).

Ini berarti  a+2b=3, 3a = 1, dan 2a – b = 2. Padahal tidak ada bilangan real

yang memenuhi ketiga persamaan terakhir. 

Misalkan dipunyai vektor-vektor  v1 , v2 , … , vn V. Kombinasi linear

dari vektor-vektor tersebut antara lain  a1v1 +  a2v2 …  + anvn , b1v1 +  b2v2 … 

+ bnvn , g1v1 +  g2v2 …  + gnvn  dengan  ai , bi , gi  adalah skalar-skalar untuk i =

1, 2, .. , n. Kombinasi linear tersebut merupakan vektor-vektor dalam V

(mengapa ?). Jumlahan dua kombinasi linear dari v1 , v2 , … , vn juga

merupakan kombinasi  linear dari v1, v2, … , vn , demikian juga sebarang

kombinasi linear dari v1, v2, …,vn apabila dikalikan dengan sebarang skalar

juga merupakan kombinasi linear dari v1, v2 , … , vn (mengapa?). Akibatnya

jika semua kombinasi linear tersebut dikumpulkan dalam satu himpunan,

maka himpunan yang terbentuk akan merupakan ruang bagian dari ruang

vektor V. Hal ini diberikan dalam teorema berikut ini.

1.8 Vektor dalam Persoalan Fisika

Berikut ini diberikan beberapa contoh sederhana penggunaan

analisa vektor

dalam persoalan Fisika yang sering dijumpai.

• Posisi suatu benda pada saat t = 0 dinyatakan dengan r0 = 2i−3j+k.

Dalam selang waktu ∆t = 3 s perpindahan yang dialami benda adalah

∆r = −3i + 4j + 2k, maka posisi benda pada saat t = 3 s adalah

r(t = 3) = r0 + ∆r

= (2i − 3j + k) + (−3i + 4j + 2k)

= −i + j + 3k

Sebuah gaya F = i + 3j bekerja pada benda sehingga benda bergerak

lurus sejauh 2 m sepanjang sumbu x.

Besar usaha yang oleh gaya F terhadap benda adalah

W = F · r

= (i + 3j) · (2i)

= 2 joule

Sudut antara gaya F dengan arah perpindahan adalah

cosθ= F . r|F||r|

¿ 2(√12+32) (√22 )

¿ 22√10

= 110 √10

¿arccos( 110 √10)

Benda titik bermassa m = 2 kg bergerak sepanjang garis y = 2x + 3

dalam arah kuadran satu pada bidang koordinat xy dengan laju v = 3

m/s.

Arah gerak benda dapat dinyatakan menggunakan gradien persamaan

garis tersebut. Maka vektor satuan dalam arah garis tersebut adalah

v=1+2 j√5

Vektor kecepatan benda tersebut adalah

v=v v= 3√5

(i+2 j)

Momentum sudut terhadap suatu titik tertentu didefinisikan sebagai

L = r × p dengan p = mv adalah momentum linier benda dan rnadalah

vektor posisi benda dari titik acuan yang dimaksud. Misalkan posisi awal

benda adalah r0 = 3j, maka posisi benda tiap saat dapat dinyatakan sebagai

r ( t )= 3 t√5

i+( 6 t√5

+3) j

Sehingga momentum sudut terhadap titik pusat koordinat O adalah

l=r x p

¿( 3 t√5

i+( 6 t√5

+3) j) x (m 3√5

( i+2 j ))¿( 18 tm

5−18 tm

5−9m

√5 )k

¿( 9m√5 )k

Sebuah benda bermassa m bergerak dengan kecepatan yang dinyatakan

dengan v = v0xi + v0yj

Energy kinetik tersebut adalah

T=12

m ( v . v )

¿ 12

m(v0 x i+v oy j)

¿ 12

m v2

Dalam persoalan kesetimbangan gaya seperti ditunjukkan dalam Gam-

bar 1.15, kesetimbangan terjadi jika jumlah total gaya (ingat bahwa gaya

merupakan besaran vektor) sama dengan nol. Artinya, bila gaya-gaya

yang ada diuraikan pada sumbu-sumbu koordinat (misalnya sumbu x dan

sumbu y), maka resultan gaya pada arah sumbu x sama dengan nol dan

demikian juga halnya dengan resultan gaya pada arah sumbu y.

Agar titik O berada dalam keadaan setimbang, maka haruslah F1 +F2 + F3

= 0. Artinya jumlah gaya dalam arah sumbu x harus sama dengan nol,

ini memberikan

∑ F x=F1 cosα−F2cos β=0

Demikian halnya dengan jumlah gaya dalam arah sumbu y juga harus

sama dengan 0 yang berarti

∑ F x=F1 sin α−F2 sin β−F3=0

1.9 Aplikasi Rangkaian Listrik pada Hukum Kirchoff

Robert Gustav Kirchoff merupakan penemu Hukum Kirchoff I

yang dikenal dengan Kirchoff’s Current Law (KCL) dan Hukum Kirchoff

II yang dikenal dengan Kirchoff’s Voltages Law (KVL). Dimana Gustav

Kirchoff menyatakan bahwa “jumlah kuat arus listrik yang masuk ke suatu

titik percabangan sama dengan jumlah kuat arus yang keluar dari titik

percabangan tersebut” yang pernyataan ini dikenal dengan bunyi Hukum

Kirchoff I. Gustav Kirchoff juga menyatakan bahwa “Didalam suatu

rangkaian tertutup jumlah aljabar gaya gerak listrik dengan penurunan

tegangan sama dengan nol” yang kemudian dikenal sebagai Hukum

Kirchoff II.

Secaramatematis, dapatdituliskansebagaiberikut:

Σ𝐼𝑚𝑎𝑠𝑢𝑘=Σ𝐼𝑘𝑒𝑙𝑢𝑎𝑟𝐼1+𝐼2=𝐼3+𝐼4+𝐼5

HukumKircoff II

secaramatematisdapatditulissebagaiberikut: Σ𝜀+Σ𝐼𝑅=0

PadapenggunaanhukumKirhoff II padarangkaiantertutup (loop)

terdapatbeberapaaturanpenting, yaitu: Pilih loop untukmasing-

masinglintasantertutupdenganarahtertentuKuatarusbertandapositif (+)

jikasearahdengan loop danbertandanegatif (-) jikaberlawanandenganarah

loop.

Ketika mengikuti arah loop, kutub positif sumbertegangan dijumpai

lebih dahulu maka ε bertanda positif (+) dan sebaliknya.

Dalamrangkaiandengansatu loop, kuatarus yang

mengaliradalahsamayaitusebesar I. Dimanaapabilapadarangkaianseperti yang

ditunjukkanolehgambar 3 dibuat loop a-b-c-d-a, makasesuaihukumKirchoff I

dapatditulis: Σ𝜀+Σ𝐼𝑅=0 𝜀2−𝜀1+𝐼 𝑅4+𝑟2+𝑅3+𝑟1 =0 Selainitu, ada

pula rangkaian yang memilikidua loop ataulebih,

dimanaprinsipnyasamadengansatu loop,

teteapiharusdiperhatikankuataruspadasetiappercobaannya. Dimanajikadua

loop makadapatdiselesaikandengancaraberikutberdasarkangambar 4:

HukumKirchoff I: 𝐼1+𝐼2=𝐼 Loop I: 𝜀1+𝐼𝑟1+𝐼𝑅1+𝐼1𝑅2=0 𝜀1+𝐼 𝑟1+𝑅1 +𝐼1𝑅2=0 Loop II: 𝜀2+𝐼2𝑟2−𝐼1𝑅2+𝐼2𝑅3=0 𝜀2−𝐼1𝑅2+𝐼2 𝑟2+𝑅3 =0 Terdapatberbagaimacamalatukurlistrikyaituamperemeter yang

merupakansuatualatuntukmengukurkuataruslistrik yang

melaluisuaturangkaianlistrikdan voltmeter yang merupakansuatualat yang

digunakanuntukmengukurkuataruslistrik yang

melaluisuaturangkaianlistrikdan voltmeter yang merupakansuatualat yang

digunakanuntukmengukurteganganlistrikpadasuaturangkaianlistrik.

Amperemeter harus dipasang secara seri dengan bagian rangkaian

atau komponen listrik yang akan diukur kuat arusnya, sedangkan voltmeter

harus dipasang paralel dengan bagian rangkaian atau komponen listrik

yang akan diukur tegannya. (Halliday dan Resnick, 1991)

Contoh Soal

1. Tunjukan bahwa v = (3,9,-4,-2) merupakan kombinasi linier u1 = (1,-2,0,3)

u2 = (2,3,0,-1) dan u3 = (2,-1,2,1)

Jawab :

Bila v merupakan kombinasi linier dari u1, u2, dan u3, maka dapat ditentukan

x, y, dan z sehingga :

V = xu1 + yu2 + zu3

(3,9,-4,-2) = x(1,-2,0,3) + y(2,3,0,-1) + z(2,-1,2,1)

(3,9,-4,-2) = (1x,-2x,0x,3x) + (2y,3y,0y,-1y) + (2z,-1z,2z,1z)

(3,9,-4,-2) = (x+2y+2z,-2x+3y-z, 2z,3x-y+z)

Diperoleh persamaan :

x+2y+2z = 3

-2x+3y-z = 9

2z = -4

3x-y+z = -2

x=1, y=3, dan z = -2

jadi v = u1+3u2 – 2u3

jika sistem persamaan di atas tidak memiliki penyelesaian maka v tidak

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari u1,u2,dan u3.

Diketahui v ruang vektor

dan S = (s1,s2,…………….sn)

s1,s2,…………….sn € V

S dikatakan membangun/merentang V bila untuk setiap v € V,

v merupakan kombinasi linier dari S, yaitu :

v = k1s1 + k2s2 + ………. + knsn

k1,k2,………kn adalah skalar.

2. Dengan menggunakan definisi dari perkalian titik (dot product) bahwa i.i

= j. j = k .k = 1 dan i. j = j.k = k i = 0, buktikan bahwa r = |r| = √ r .r akan

memberikan √r x2+ y y

2 +r z2 uraikan dengan detail.

Jawab

Dengan r = r x i + r y j+ r z k maka

r . r = (r x i + r y j+ r z k) . (r x i + r y j+ r z k)

= r x r x(i . i ) + r x r y(i . j) + r x r z(i . k)

+r y r x¿ . i ) + r y r y( j . j) + r y r z( j . k)

+r z rx(r x . i ) + r z r y(k . j) +r z rz (k . k)

= r x r x(1) + r x r y(0) + r x r z(0)

+r y r x¿) + r y r y(1) + r y r z(0)

+r z rx(0) + r z r y(0) +r z rz (1)

= r x2+ y y

2+rz2

3. hitunglah besarnya vektor p= 24i + 7 k dan q= 12i + 4 j + 3k

Jawab

Dengan menggunakan persamaan (2.1) dapat diperoleh bahwa

P= √242+02+72 = √576+0+49 = √625 = 25

Dan

q= √122+42+32 = √144+16+9 = √169 = 13

4. Lengkapilah tabel di bawah ini

Tabel 2.1 : pengurangan dan penjumlahan vektor (soal)

A B A−B A+ B

2i + j

i - j- k

k- j-i

k

k

j+2k +3i

Dengan menggunakan persamaan (2.2) ataupun (2.3) dapat diperoleh bahwa

Tabel 2.2 Pengurangan dan penjumlahan vektor

A B A−B A+ B

2i + j

i - j- k

k- j-i

k

k

j+2k +3i

2i + j- k

i - j- 2k

- 2i-k

2i + j+ k

i - j

4 i - 2 j- 3k

Pada pengurangan dan penjumlahan vektor berlaku pula hukum-hukum

penjumlahan seperti hukum komulatif

5. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor terhadap i−3 j+2 k dan

5 i – j−4 k

Penyelesaian

(i−3 j+2 k ) x (5 i – j−4 k ¿ = |i j k1 −3 25 −1 4|

= i (12+2 )+ j (10+4 )+ k (−1+15)

= 14 i+14 j +14 k

6. Tentukan kemiringan garis r=( i− j)+t (2 i+ j¿

Penyelesaian

Dari persamaan r=( i− j )+¿ t (2 i+ j¿kita peroleh

ro= i− j dan A=2 i+ j

Atau titik yang dilewati adalah titik (1,-1) dan garis sejajar dengan vektor

A=2 i+ j. Jadi kemiringan garis sama dengan kemiringan vektor.

tan α= yx=1

2

7. Tentukanpersamaan bidang yang mengandung dua buah garis sejajar yaitu garis yang melalui titik (5,-4,2) dan garis r=i− j+(5 i−2 j+ k ) tPenyelesaianGaris pertama r1=i− j+(5 i−2 j+k )t adalah garis melalaui titik (1,-1,0) dan sejajar dengan vektor A=(5 i−2 j+k ) t. Garis kedua r2sejajar dengan garis r1dan r2 mempunyai arah A=(5 i−2 j+k ) t. Dengan demikian, persamaan garis r2 yang melalui titik (5,-4,2) danr2 = (5 i−4 j+2 k )+(5 i−2 j+k )t . Tarik vektor r3 dari titik (5,-4,2) pada garis kedua titik (1,-1,0) pada garis pertama.

r3 = (1-5)i +(-1+4) j+(0-2)k = -4i +3 j -2k

r3 juga terletak pada bidang. Sedangkan kita dapat mencari vektor normal pada bidang melakukan operasi cross antara A dan r3 sebagi berikut :N=| i j k

5 2 1−4 3 −2|= 7 i+6 j−23 k

Persamaan pada bidang dimana kedua garis r1⁄⁄ r2

a ( x−x0 )+b ( y− yo )+c¿)=0

−7 ( x−5 )+6 ( y+4 )−23 ( z−2 )=0

−7 x+6 y−23 z=−23

8. Tentukan momentum sudut, L dari massa myang diputar dengan sudut.Perhatikan Gambar :

Kita mengetahui momentum sudut L dirumuskan sebagai :L =r ×m v=mr × v

Substitusikanv=ω× r

Kedalam persamaan, diperoleh momentum sudut dalam bentuk perkalian tiga vektor yang menghasilkan vektor,

L =r ×m v=mr × v = mr ×(ω× r)

9. Diberikansebuahrangkaian yang terdiridariduabuah loop dengan data sebagaiberikut :

E1 = 6 volt

E2 = 9 volt

E3 = 12 volt

Tentukan :

a) Kuatarus yang melalui R1 , R2 dan R3b) Beda potensialantaratitik B dan Cc) Beda potensialantaratitik B danDd) Dayapadahambatan R1

Penyelesaian:

a) Kuatarus yang melaluiR1 , R2 dan R3

Langkah-langkahstandar :

Menentukanaraharus Menentukanarahloop Masukkanhukumkirchoffarus Masukkanhukumkirchofftegangan Menyelesaikanpersamaan yang ada

Misalkanaraharusdanarah loop sepertigambarberikut

I 3=I 1+ I 2

Loop 1

∑ E+∑ IR=0

−E1+E2+2 I1+3 I 3

−6+9+2 I 1+3 I1+3 I 2=0

5 I1+3 I 2+3=0

(persamaan I)

Loop II

∑ E+∑ IR=0

−E3+E2+6 I 2+3 I 3=0

−12+9+6 I 2+3 I 1+3 I 2

3 I1+9 I 2−3=0

Persamaan II

Gabungan persamaan I dan II :

5I 1 + 3I 2+ 3 = 0 |× 3|

3I 1 + 9I 2- 3 = 0 |× 1|

15I 1 + 9I 2+ 9 = 0

3I 1 + 9I 2 - 3 = 0-

12I 1 + 12 = 0

I 1= -1 A

3 I1+9 I 2−3=0

3 (−1 )+9 I 2−3=0

9 I 2=6

I 2=69=2

3A

I 3=I 1+ I 2=(−1 )( 23 )=−1

3

b) Beda Potensial Antara titik b dan c

V BC=∑ E+∑ IR=E2+3 I 3

V BC=9+3(−13 )=8Volt

c) Beda potensial antara titik B dan D

V BC=∑ E+∑ IR=E3+6 (−I 2 )

V BC=9+6 (−23 )=12−4=8Volt

d)Dayahambatan R1

P=I 2 R=¿

10. Dari gambar di sampingdiketahui E1, E2, dan E3masing-masing 6 volt, 12 volt, dan 3 volt, serta R1,R2,R3, dan R4masing-masing 2 ohm, 3 ohm, 5 ohm, dan 1 ohm. Berapadanbagaimanakaharuspadarangkasian ?

Jawab :

Kita misalkanaraharusmenurutluptertutup ABCDA maka :

-(E1) + E2 – E3 + i (R1 + R2 + R3 + R4) = 0

-(6) + 12– 3+ i (2 + 3+ 5+ 1) = 0

3 + 11i = 0

i = 0,27A (negatif)

Jadi, penentuanaraharussemuladari ABCDA adalahsalah, yang benaradalaharah ADCBA besarnya 0,27 A.