FISIKA MATEMATIKA I

MATRIKS

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Fisika Matematika I

Anggota Kelompok :

ANIQ RIF’ATUN NAJIHAH (1101135001)

NUR FAISIL NADHIROH (1101135017)

ROHIMATUL JANNAH (1101136018)

SANTIKA DEWI PURNAMA (1101135019)

TIKA SURYANI (1101135022)

PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKA

2013

MATRIKS

A. DEFINISI DAN NOTASI

Definisi matriks yang lebih pasti dan umum adalah sebagai berikut

Definisi

Sebuah matriks A berukuran (m x n) adalah suatu susunan petak

bilanganyang memiliki m baris dan n kolom, dengan elemen pada

baris ke-I dan kolom ke-j, atau petak (i, j), dilambangkan dengan a ij,

yakni:

Kolom j

A= baris i

Matriks adalah suatu kumpulan besaran (variabel dan konstanta) yang

dapat dirujuk melalui indeknya, yang menyatakan posisinya dalam

representasi umum yang digunakan, yaitu sebuah tabel

persegipanjang. Matriks merupakan suatu cara

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan

kolom dan ditempatkan pada kurung biasa atau kurung siku.

Penulisan matriks:

atau

Ordo suatu matriks adalah bilangan yang menunjukkan banyaknya

baris (m) dan banyaknya kolom (n).

Matriks di atas berordo 3x2

Indeks i berjalan dari i= 1 hingga m; sedangkan j dari 1 hingga n.

Bila banyaknya baris dan kolom sebuah matriks adalah sama, n

misalnya, matriks tersebut disebut matriks bujur sangkar berukuran n x

n, atau berorde n. matriks yang hanya terdiri dari satu baris, berukuran

(1 x n), disebut matriks baris; sedangkan yang terdiri dari hanya satu

kolom, berukuran (n x 1) disebut matriks kolom

Sebuah matriks A berukuran m x n dengan elemen a ij seringkali

diringkas sebagai berikut: A= (aij). Untuk matriks bujur sangkar,

elemen-elemen aij, dengan (I = j), disebut elemen diagonal. Berikut

adalah beberapa matriks istimewa.

Matriks bujur sangkar A yang semua elemen takdiagonalnya nol, jadi

aij = 0, untuk i≠ j, disebut matriks diagonal. Matriks diagonal ini,

seringkali diringkas penulisannya dengan pernyataan: A = diag [ a11

a22…. a33].

Matriks diagonal istimewa yang semua elemen diagonalnya bernilai

satu, disebut matriks satuan, yang lazimnya dinotasikan dengan I. jadi

I = diag [1 1 … 1]. Terakhir, matriks yang semua elemennya nol, aij =

0, untuk semua I dan j, disebut matriks nol, dan dilambangkan dengan

O. ukuran matriks nol O disesuaikan, misalnya dalam suatu hubungan

aljabar, agar taat asas dengan pernyataan aljabarnya

Contoh 1.1

A= = diag (2 -1 3), i =

Berturut-turut matriks diagonal, dan satuan berorde-3

B. ALJABAR MATRIKS

a. Kesamaan Matriks

2 matriks dikatakan sama jika ordonya sama dan elemen yang seletak

sama.

Contoh:

Tentukan nilai 2x-y+5z!

Jawab:

maka

maka

maka

Dua buah matriks adalah sama, jika dan hanya jika mereka memiliki

ukuran yang sama dan setiap elemennya yang bersangkutan adalah

sama pula, jadi, jika A = (aij), dan B = (bij) adalah dua buah matriks

dengan ukuran sama, maka A = B, jika dan hanya jika aij = b ij , untuk

semua i dan j.

Contoh 2.1

=

Jika dan hanya jika

a11 = 1, a12 = 2, a13 = -1

a21 = 3, a22 = 1, a23 = 0

b. Penjumlahan / pengurangan matriks

Dua buah matriks A dan B berukuran sama dapat dijumlahkan /

dikurangkan dengan hasil sebuah matriks baru C berukuran sama pula,

yang elemennya merupakan hasil jumlah/selisih elemen matriks A dan

B yang bersesuaian. Jadi, misalkan A = (aij), dan B = (bij) bersama-

sama berukuran (m x n). maka, A ± B = C, dengan cij = aij + bij

Contoh 2.2

+ =

Penjumlahan dan pengurangan matriks dapat dilakukan dengan

mengoperasikan komponen matriks pada letak yang sama, atau

dilambangkan dengan

atau dalam representasi dekoratfinya

c. Perkalian dengan sebuah bilangan

Perkalian sebuah matriks A dengan sebuah bilangan c, menghasilkan

sebuah matriks baru B dengan ukuran yang sama dan elemennya sama

denga hasilkali elemen matriks A dengan c.

Misalkan A = (aij) berukuran (m x n), maka cA = B. matriks B = (bij)

juga berukuran (m x n) dengan bij = caij

Contoh 2.3

(5) = =

d. Perkalian Matriks

Sebuah matriks A (m x n) dapat mengalikan sebuah matriks B (n x p)

dari kiri, yang member hasil sebuah matriks C = AB berukuran (m x

p). elemen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari C adalah jumlah :

cij = ailbij + ai2bnj + . . . .ainbnj = . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Perhatian: definisi perkalian matriks (1) mensyaratkan jumlah elemen

beris matriks pertama (A) haruslah sama banyak dengan jumlah

elemen kolom matriks kedua (B). Dalam kalimat, persamaan (1)

mengatakan “elemen i dan j dari matriks hasil kali AB = C, diberikan

oleh jumlah hasilkali setiap elemen A dalam baris i, satu per satu,

secara berurutan dari kiri ke kanan, dengan elemen bersesuaian B

dalam kolom j, dari atas ke bawah”. Kita dapat pula mengatakan

bahwa matriks B mengalikan A dari kanan.

Contoh 2.4 , misalkan

A = , dan B = , maka AB = C, dengan

C=

=

Perhatian : berbeda dari aljabar bilangan biasa, hasilkali dua buah

matriks, pada umumnya, tidaklah komut, yakni AB ≠ BA

e. Operasi Transpos

Dalam berbagai penerapan matriks, seringkali kita ingin memperoleh

sebuah matriks baru dari matriks A dengan cara mempertukarkan baris

dan kolomnya. Operasi pertukaran baris dan matriks transposisinya

disebut matriks transpose dari S, atau A transpose, yang lazim

dilambangkan dengan A. jadi, jika

A = (aij), maka AT = (aji)

Dengan demikian, jika matriks A berukuran (m x n), maka AT

berukuran (n x m).

Contoh 2.5

A = , berukuran (2 x 3)

Maka

AT = , berukuran (3 x 2)

Jadi, transpose sebuah matriks baris adalah matriks kolom, dan

sebaliknya

TEOREMA

1) (AT) = A

Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka

2) (A+B)T = AT + BT

3) (AB)T = BTAT

C. MATRIKS SIMETRIS, ANTISIMETRIS, DAN ORTOGONAL

Sebuah matriks bujur sangkar A disenut:

1) Simetris, jika dipenuhi sifat: AT = A.

2) Antisimetris, jika dipenuhi sifat: AT = -A

3) Ortogonal, jika dipenuhi sifat: ATA = AAT = I

Dengan demikian, untuk sebarang matriks bujur sangkar B, matriks

jumlah (B + BT) simetris; sedangkan (B – BT) antisimetris

D. MATRIKS KOMPLEKS

Misalkan C adalah suatu matriks ukuran (m x n) yang elemen-

elemen cij nya adalah kompleks. Sebagai contoh,

C = . . . . . . . . . . . . . . . (2)

sebuah matriks komplek berukuran (2x3)

Pada himpunan matriks kompleks berlaku semua aturan aljabar

matriks seperti pada matriks real. Khusus bagi matriks kompleks,

jika kita dfinisikan pula dua operasi tambahan berikut

1) Konyugat Kompleks

Operasi konyugat kompleks pada sebuah matriks kompleks C,

yang dilambangkan dengan (C)*, menghasilkan suatu matriks

baru D, yang semua elemennya adalah konyugat kompleks dari

matriks semula C, jadi D = (dij) = (c*ij). Matriks D ini kita tulis

C* yang disebut matriks konyugat kompleks dari C.

2) Konyugat Hermit

Operasi konyugar hermit pada sebuah matriks kompleks C,

adalah gabungan operasi konyugat kompleks dan transpose,

yang menghasilkan suatu matriks baru D, yakni D = (C*).

Elemen-elemennya, dinyatakan dalam elemen matriks C,

adalah: (dij) = (c*ij). Matriks D ini ditulis C+ yang disebut

matriks konyugat Hermit dari C

Contoh

Tinjau kembali matriks kompleks C per (2).

Operasi konyugat kompleks padanya

menghasilkan matriks:

C* =

Sedangkan operasi konyugat Hermit menghasilkan matriks

C =

TEOREMA

1) (A+)+ = A

Jika A dan B adalah matriks berorde sama, maka:

2) (A+B)+ = A+ + B+

3) (AB)+ = B+A+

E. MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR. REDUKSI

BARIS

Tinjau system persamaan linear dalam variable x,y,z berikut

2x + y – z = 2

X – y + z = 7

2x + 2y + z = 4

System persamaan ini dapat ditulis ulang dalam bentuk matriks

sebagai berikut:

AX = B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(3)

Dengan

A = ; = y ; dan B = . . . . . . . . . . . . . (4)

Matriks A sering kali disebut matriks koefesien. Berikut kita akan

bahas langkah pemecahan system persamaan linear, yaitu dengan

mengalihkannya, langkah demi langkah, ke suatu system

persamaan setara sederhana berbentuk:

x = 3

y = -2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(5)

z = 2

yang darinya terbaca langsung pemecahannya. Untuk itu kita akan

menerapkan metode reduksi baris (RB) pada persamaan

matriksnya, pers (3), mengikuti langkah-langkah berikut.

Langkah 4. Jumlahkan baris 3 dengan (-2) kali baris 1.

Langkah 5. Jumlahkan baris 3 (langkah 4) dengan -3 kali baris 2

(langkah 2 dan 3). Hasil langkah 4 dan 5 adalah:

Langkah 6. Kalikan baris 3 dengan (-1/9):

Matriks perluasan terakhir ini telah berada dalam bentuk eselon

baris, yaitu bentuk matriks dengan elemen taknol pertama pada

setiap baris terletak pada kolom berikut dari elemen taknolm

pertama baris sebelumnya.

Kita dapat menyederhanakan lebih lanjut, ke bentuk yang semua

suku matriks koefesiennya setelah elemen taknol, 1 dalam hal ini,

sama dengan nol. Untuk itu kita terapkan operasi RB berikut.

Langkah 7. Jumlahkan baris 1 dengan baris 2, kemudian

Langkah 8. Jumlahkan baris 1 dengan -3 kali baris 3

Ini menggambarkan system persamaan linear (5), yang memiliki

pemecahan x = 3, y = -2, dan z = 2.

CATATAN: untuk menghemat ruang, dan memprjelas operasi

reduksi baris ini, disarankan menggunakan notasi aljabar berikut di

atas tanda panah ( ) antara metrics semula dan matriks hasil.

Yaitu,

(dibaca: baris p dikalikan dengan a kemudian dijumlahkan

atau dikurangkan dengan b kali baris q), seperti diperlihatkan pada

contoh 3.1 (R singkatan dari row, istilah inggris untuk baris).

F. RANK MATRIKS

Penerapan matriks pada pemecahan persamaan linear seringkali

memerlukan pengertian rank matriks. Definisinya sebagai berikut

Definisi : sebuah matriks A (m x n) dikatakan memiliki rank r ≤ m,

jika matriks hasil reduksi baris ke bentuk eselon baris memiliki

paling sedikit r buah yang taknol.

Contoh 3.1 selidiki rank dari matriks

M =

Pemecahan: untuk mengalihkan matriks M ke bentuk eselon baris,

kita lakukan operasi reduksi beris berikut:

Karena dalam bentuk eselon ini terdapat dua baris yang taknol,

maka rank matriks M adalah r = 2

G. DETERMINAN

Matriks ordo 2x2

Misalkan:

maka Determinan A (ditulis ) adalah:

Matriks ordo 3x3

Cara Sarrus

Misalkan:

Jika maka tentukan !

Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan

elemen dari kiri atas ke kanan bawah (mulai dari a → e → i, b → f

→ g, dan c → d → h) lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas

ke kiri bawah (mulai dari c → e → g, a → f → h, dan b → d → i)

sehingga menjadi:

Contoh:

maka tentukan !

Untuk setiap matriks bujur sangkar A berorde n kita kaitkan sebuah

bilangan det(A) atau ∣aij∣ yang disebut determinan A, yang dihitung

dari elemen matriks A sebagai berikut.

Untuk n = 1 dan n = 2, kita definisikan:

Det a11] = a11 …………………………(4.1)

Det = = a11a22 - a12a21……. (4.2)

Sedangkan untuk matriks berukuran n = 3, kita definisikan:

Det = (a11a22a33 +

a12a23a31+A13A21A32) -

(a31a22a13+a32a23a11+a33a21a12) …………… (4.3)

Dengan menyusun kembali suku-sukunya, ruas kanan pers (4.3)

dapat ditulis sebagi berikut:

a11(a22a33 _ a32a23) –a12(a21a33 – a31a23) + a13(a21a32 –

a31a22) atau

a11 - a12 + a13 …….. (4.4)

ketiga determinan pada pers (4.5) dapat diperoleh dari determinan

semula dengan mengabaikan baris dan kolom tertentu. Definisi

(4.4) untuk determinan matriks berorde 3 ini memperlihatkan suatu

pola perhitungan determinan yang diturunkan dari definisi umum

determinan matriks berorde n > 3. Untuk memahami rumusan pola

umumnya, kita perlu menelaah terlebih dahulu kedua besaran

berikut.

H. MINOR

Determinan orde dua pada pers (4.4) disebut minor (determinan

minor) dari elemen bersangkutan yang dikalikan. Jadi,

adalah minor dari a11

adalah minor dari a12 dan sterusnya

Secara umum, minor dari elemen aij sebuah matriks A didefinisikan

sebagai determinan matriks yang tertinggal setelah baris ke-I dan

kolom ke-j mengandung elemen aij dihapus.

I. KOFAKTOR

Kofaktor dari elemen aij adalah determinan Kij, yaitu

Kij = (-1)i+j x (minor dari aij)

Jadi, untuk matriks (3 x 3) pada pers (4.3) :

K11 = (-1)1+1 =

K12 = (-1)1+2 = -

Jadi, pers (4.4) dapat dituliskan sebagai

Det (A) = a11k11 + a12k12 + a13k13

Secara umum, determinan matriks A diberikan oleh definisi

sebagai berikut:

Definisi (4.1) determinan suatu matriks A sama dengan jumlah

hasilkali setiap elemen sebarang baris atau kolom dengan

kofaktornya

Contoh 4.1 : hitunglah determinan matriks berikut

A =

Dengan menggunakan kofaktor dari elemen-elemen kolom ketiga

Pemecahan : kofaktor dari elemen ketiga, -1, 1 dan 1, berturut-turut

dinyatakan dalam a13k13 + a23k23 + a33k33

K13 = (-1)1+3 = (-1) (2 – 2) = 4

K23 = (-1)2+3 = (-1) (4 – 2) = -2

K33 = (-1)3+3 = (1) (-2 –1 ) = - 3

= (-1)(4) + (1)(-2) + (1)(-3) = -9

J. Matriks Identitas (I)

Matriks identitas (I)adalah matriks yang nilai-nilai elemen pada

diagonal utama selalu 1.

K. Matriks Transpose (At)

Matriks transpose adalah matriks yang mengalami pertukaran

elemen dari baris menjadi kolom dan sebaliknya. Contoh:

maka matriks transposenya (At) adalah

L. NILAI EIGEN dan FAKTOR EIGEN

Misalkan : tentukan sebuah titik (x,y), kemudian ditarik dengan kondisi

sumbu (x,y) tetap dan arah dijaga sama dengan arah sehingga titik

(x,y) berubah letak menjadi titik (x,y).

= M …….(5.1) dimana M=nmatriks deformasi (matriks dari SPL)

= ……..(5.2) (vector eigen) nilainya sama dengan

Jadi:

= M atau M =

= M M - = 0

(M - (M - = 0

Ket : = disebut nilai eigen atau nilai karakteristik

dan =vektor eigen atau vector karakteristik

Secara umum

dinyatakan

Contoh 5.1

Carilah nilai eigen dan vector eigen dari persamaan linear

X = X + Y

Y = 4X + Y

Jawab :

a. = M = = 0

(1 –λ) – 4.1 = 0

- 2λ – 3 = 0

(λ – 3) = 0

Jadi nilai eigen λ1 = -1 λ2 = 3

b. = λ

x + y = λx

4x + y = λy

Untuk λ1 = -1 x + y = -x

Y = -x-x = -2x

4x + y = -y

4x + (-2x) = - (-2x)

2x = 2x

X = 1

Untuk λ2 = 3 x + y = 3y

y = 3x – x = 2x

4x + y = 3y

4x + (2x) = 3(2x)

6x = 6x

x = 1

Vektor Eigen :

λ1 = -1 x = 1 & y = -2

λ2 = 3 x = 1 & y = 2

LATIHAN 1

1. 4x + 4y = x

4x – 2 y = y carilah nilai dan vector eigen

Jawab:

=

M = = 0

(4 – λ) (- 2 – λ) – 4.4 = 0 12 x 2, 8x4 6 x 4

λ² - 2λ – 24 = 0

(λ + 4) (λ – 6) = 0

λ1 = -4 λ2 = 6

vektor eigen

=

4x + 4y = λx

4x – 2y = λy

Untuk λ1 = -4 4x + 4y = -4x 4y = -4x – 4x 4x –2y = -4y

4x – 2y = -4y y = 4x-(-2x)=-4(-2x)

Y = -2x 6x = 8x

x =

Untuk λ2 = 6 4x + 4y = 6x 4y = 6x – 4x 4x –2y = 6y

4x – 2y = 6y y = 4x-( x)=6( x)

Y = x x = 3x

x =

vector eigen λ1 = -4 x = 4/3, y = -2 =

λ2 = 6 x= ½, y = 6/7, =

M. Nilai Eigen Matriks

Diberikan sebuah matriks A, untuk menentukan sebuah skalar dan

matriks kolom tak nol x yang secara simultan memenuhi persamaan Ax =

x (1.1) disebut sebagai persamaan nilai eigen (eigen dalam bahasa

Jerman yang berarti proper- Inggris atau sebenarnya). Solusi dari

persamaan ini berkaitan erat dengan pertanyaan apakah matriks tersebut

dapat ditransformasikan dalam bentuk diagonal.

Persamaan nilai eigen banyak sekali dijumpai dalam aplikasi di bidang

teknik seperti vibrasi mekanik, arus bolak-balik, dan dinamika benda

tegar. Hal ini juga sangat penting dalam_sika modern. Semua struktur

dalam mekanika kuantum berdasarkan pada diagonalisasi dari beberapa

jenis matriks.

1.1 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1.1.1 Persamaan Sekular

Dalam persamaan nilai eigen, nilai disebut sebagai nilai eigen (nilai

karakteristik) dan matriks kolom x yang berkaitan dengan ini disebut

sebagai vektor eigen (vector karakteristik).

Jika A adalah matriks n x n (1.1) diberikan oleh

dengan I adalah matriks satuan, kita dapat menuliskan (1.1) sebagai

Persamaan ini memiliki solusi nontrivial jika dan hanya jika determinan

dari matriks koefsien hilang (bernilai nol):

Ekspansi dari determinan ini menghasilkan polinomial berderajat n,

yang disebut sebagai polinomial karakteristik P( ). Persamaan

Disebut sebagai persamaan karakteristik (persamaan sekular). Akar-

akarnya sejumlah n adalah nilai eigen dan akan dinyatakan dengan 1,

2, … n. Nilainya dapat berupa bilangan riil dan juga kompleks. Ketika

salah satu nilai eigen dimasukkan ulang pada (1.2), vector eigen

x(x1,x2… xn) dapat dicari. Perhatikan bahwa vektor eigen dapat

dikalikan dengan konstanta dan akan tetap menjadi solusi dari

persamaan.

Kita akan menuliskan xi sebagai vektor eigen untuk nilai eigen _i. Yaitu,

jika

Jika semua nilai eigen yang berjumlah n berbeda, maka kita akan

memiliki n vektor eigen yang berbeda. Jika dua atau lebih nilai eigen

sama, kita menyebutnya berdegenerasi. Dalam persoalan yang sama,

sebuah nilai eigen yang berdegenerasi bisa memiliki satu buah vector

eigen. Di lain pihak, sebuah nilai eigen yang berdegenerasi juga bisa

memiliki vektor eigen yang berbeda.

Contoh 1.1.1. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

Solusi 1.1.1. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Sehingga nilai eigennya adalah

Jika kita pilih vektor eigen x1 berkaitan dengan nilai eigen 1 = -1

adalah

, maka x1 haruslah memenuhi:

Sehingga bisa direduksi menjadi

Sehingga vektor eigennya x11 = -x12, yaitu x11 : x12 = -1 : 1. Sehingga

vektor eigennya dapat dituliskan

Sebuah konstanta, baik positif atau negatif, yang dikalikan dengan vektor

eigen ini akan tetap merupakan solusi, namun kita tidak akan

menganggapnya sebagai vektor eigen yang berbeda.

Dengan prosedur yang serupa, kita bisa menghitung vektor eigen untuk

2 = 3 yaitu

Contoh 1.1.2. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

Solusi 1.1.2. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Nilai eigennya adalah

Jika 1 = 1 + i dan vektor eigennya x1 adalah , maka x1 harus

memenuhi

yang memberikan

Persamaan pertama memberikan

yang juga merupakan hasil yang sama dari persamaan kedua, seperti

sudah seharusnya.

Sehingga x1 dapat ditulis sebagai

Dengan cara yang sama, untuk = 2 = 1 - i vektor eigen x2 diberikan

oleh

Sehingga kita telah memiliki sebuah contoh untuk matriks riil dengan

nilai eigen dan vector eigen kompleks.

Contoh 1.1.3. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

Solusi 1.1.3. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Persamaan ini memiliki sebuah akar 5 dan dua akar yang sama -3

Vektor eigen yang dimiliki oleh nilai eigen 1 haruslah memenuhi

persamaan

Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan

yang berarti

Dengan memilih x13 = 1 maka x12 = -2 dan x11 = -1. Sehingga untuk

nilai eigen 1 = 5, vektor eigennya x1 adalah

Karena nilai eigen -3 berdegenerasi sebanyak 2, maka vektor eigen yang

kita punyai bisa atau dua buah. Marilah kita nyatakan vektor eigennya

sebagai

Vektor eigen ini haruslah memenuhi persamaan

Dengan metode eliminasi Gauss, persamaan ini dapat dituliskan

yang berarti

Kita dapat menyatakan x1 dalam x2 dan x3 dan tidak terdapat batasan

untuk x2 dan x3. Ambil x2 = c2 dan x3 = c3 sehingga x1 = -2c2 + 3x3,

sehingga kita dapat menuliskan

Karena c2 dan c3 sebarang, pertama kita bisa memilih c3 = 0 dan

mendapatkan satu vector eigen, kemudian yang kedus, kita memilih c2 =

0 untuk memperoleh vektor eigen yang lain. Sehingga berkaitan dengan

nilai eigen = -3 yang berdegenerasi ini, terdapat dua buah vektor eigen

Dalam contoh ini, kita hanya memiliki dua buah nilai eigen berbeda,

tetapi kita tetap memiliki tiga buah vektor eigen yang berbeda.

Contoh 1.1.4. Carilah nilai eigen dan vektor eigen dari A, jika

Solusi 1.1.4. Polinomial karakteristik dari A adalah

dan persamaan sekularnya

Tiga buah nilai eigennya

Dari persamaan untuk vektor eigen x1 yang dimiliki oleh nilai eigen 1

kita memperoleh solusi

Vektor eigen yang dimiliki oleh dua buah nilai eigen

berdegenerasi,

memenuhi persamaan

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, kita dapat menunjukkan

bahwa persamaan ini ekivalen dengan

yang berarti

Jika kita memilih x3 = -2, maka x2 = 1 dan x1 = 3, sehingga

Dua buah persamaan di atas tidak mengijinkan adanya vektor eigen yang

merupakan perkalian dengan sebuah konstanta dikalikan x2. Sehingga

untuk matriks 3 x 3 ini, hanya terdapat dua buah vektor eigen yang

berbeda.

1.1.2 Sifat-sifat dari Polinomial Karakteristik

Polinomial karakteristik memiliki banyak sifat yang berguna. Untuk

mengelaborasinya, pertama kita perhatikan kasus n = 3.

Sekarang jika

=

0. Karena P ( λ ) adalah polinomial orde 3 maka,

P ( ) - ) = 0

Dengan mengekspansikan polinomial karakteristik

P ( λ ) =

Bandingkan dengan (1.5 )

A

Hal ini berarti jumlah nilai eigen sama dengan trace dari A. Hubungan ini

sangat berguna untuk mengecek apakah nilai eigen yang kita hitung

benar. Selanjutnya

yang merupakan jumlah dari minor utama (principal minor) atau minor

dari elemen diagonal,dan

=

Hal ini berarti perkalian semua nilai eigen tidak lain adalah determinan

dari A yang juga

merupakan hubungan yang sangat berguna. Jika A adalah matriks

singular = 0 maka

paling tidak salah satu nilai eigen adalah nol. Dari sini berarti jika

matriks tersebut memiliki invers, maka tidak ada nilai eigen yang nol.

Perhitungan yang sama bisa digunakan untuk mengeneralisasi hubungan-

hubungan ini untuk matriks dengan orde yang lebih tinggi

Contoh 1.1.5. Carilah nilai eigen dan matriks eigen dari matriks A jika

A =

Solusi 1.1.5.

P

-

Sehingga tiga buah nilai eigennya adalah

Sebagai pengecekan, jumlah nilai eigen

= 1 + 2 + 3 = 6

yang sama dengan trace A

A = 5 + 4 - 3 = 6

Selanjutnya hasil kali nilai eigen

= 6

yang juga determinan dari A

= 6

Misalkan adalah vektor eigen berkaitan dengan nilai eigen

maka

= = 0

Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss, dengan mudah dapat

ditunjukkan

Hanya satu dari tiga buah bilangan yang tak diketahui dapat kita pilih

sebarang. Sebagai

contoh, pilih = 3 maka = 1 dan = 2. Sehingga untuk nilai

eigen = 1, vector eigennya

Dengan cara yang sama, untuk = 2 dan = 3, vektor eigen yang

bersesuaian adalah

1.1.3 Sifat-sifat Nilai Eigen

Terdapat beberapa sifat nilai eigen yang sangat berguna dalam aplikasi

matriks. Sifat-sifat ini berdiri sendiri tetapi bisa digunakan secara

bersamaan

• Matriks transpos atau ( ) memiliki nilai eigen yang sama dengan A.

Nilai eigen A dan adalah solusi dari dan

Karena (

dan determinan sebuah matriks sama dengan determinan transposnya..

persamaan sekular untuk A dan (A identik. Maka A dan (A memiliki

nilai eigen yang sama.

• Jika A adalah matriks segitiga baik yang atas maupun bawah, maka

nilai eigennya adalah elemen diagonal. Jika adalah

= (

jelas bahwa ⋋= ⋋ = , ⋋= .

• Jika adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen

dari matriks

invers adalah 1/ 1/ 1/ Kalikan persamaan Ax = ⋋x

dari kiri

dengan

dan menggunakan kita memiliki Maka

• Jika adalah nilai eigen dari matriks A, maka nilai eigen

dari matriks adalah Karena Ax = ⋋x, maka

Dengan cara yang sama

1.2. Beberapa terminology

Tekah kita lihat untuk matriks persegi n x n, nilai eigennya dapat berupa

bilangan riil maupun imajiner. Jika nilai eigennya berdegenerasi, kita

bias memiliki atau tidak sejumlah n vector eigen yang berbeda.

Bagaimanapun, terdapat jenis matriks yang disebut sebagai matriks

hermitan, nilai eigennya selalu riil. Sebuah matriks hermitan n x n akan

selalu memiliki n buah vector eigen yang berbeda.

Untuk memfasilitasi pembahasan kita tentang matriks ini dan juga sifat-

sifatnya. Pertama marilah kita perkenalkan beberapa terminology berikut

1.2.1. Konjugasi Hermitan

Konjugasi kompleks

Jika A = (aij)mxn merupakan sebuah matriks sebarang, yang elemennya

dapat berupa bilangan kompleks, konjugasi matriks tersebut dinotasikan

dengan A* juga berupa sebuah matriks dengan orde m x n dengan tiap

elemennya adalah kompleks konjugat dari elemen pada matriks A dalam

artian

(A*)ij = a*ij

.

Jelaslah bahwa

(cA*) = c*A*.

Konjugasi Hermitan

Ketika dua buah operasi dari konjugasi kompleks dan transpose

dikerjakan berurutan satu dengan yang lainnya pada sebuah matriks, hasil

matriksnya disebut sebagai konjugasi hermitian dari matriks asalnya dan

dinotasikan sebagai Aϯ, dinamakan A dagger. Orang metematik

menyebut Aϯ sebagai matriks adjoin. Urutan operasi tidak penting. Yaitu

Aϯ = (A*)T = ( )*. (1.6)

Sebagai contoh, jika

A = (1.7)

Maka

Aϯ = (A*)T = T = (1.8)

Aϯ = ( )* = = (1.9)

Konjugasi Hermitan dari Perkalian Matriks

Seperti yang telah dipelajari sebelumnya bahwa transpose dari hasil kali

dua matriks adalah sama dengan perkalian dua buah transpose matriks

dengan urutan yang dibalik. Dari sini kita bias memperoleh

(AB)ϯ = BϯAϯ,

Karena

(AB)ϯ = (A*B*)T = * * = BϯAϯ. (1.10)

1.2.2 Ortogonalitas

Inner Product

Jika a dan b merupakan vektor kolom dengan orde yang sama n, inner

product atau perkalian

skalar didefinisikan . Konjugasi hermitian sebuah vektor kolom

adalah vektor baris

= = ( ),

sehingga hasil inner product adalah sebuah bilangan

= ( ) =

Terdapat dua buah lagi notasi yang biasa digunakan untuk inner product.

Notasi yang

paling sering digunakan dalam mekanika kuantum adalah notasi bracket

yang diperkenalkan

Dirac. Vektor baris dinyatakan sebagai bra, sedangkan vektor kolom

dinyatakan sebagi ket.

Kita dapat menuliskan vektor kolom sebagai

,

sebagai vektor ket dan vektor baris

= <a|

sebagai vektor bra. Inner product dari dua vektor ini biasanya dinyatakan

sebagai

<a|b =

Perhatikan untuk sebarang skalar, c,

‹a|cb⟩ = c ‹a|b⟩,

Sedangkan

‹ca|b⟩ = ‹a|b⟩Notasi lain yang digunakan adalah tanda kurung:

(a,b) = = ‹a|b⟩Jika A adalah sebuah matriks

(a,Ab) = ( a,b)

merupakan sebuah identitas, karena

( a,b) = ( a b = ( b = Ab = (a,Ab).

Sehingga jika (a,Ab) = (Aa,b) ,

maka A hermitian. Orang matematika menyebut hubungan = A

sebagai self-adjoint.

Ortogonalitas

Dua buah vektor a dan b dikatakan ortogonal jika dan hanya jika

= 0

Perhatikan bahwa dalam ruang 3 dimensi riil

hanyalah perkalian dot (titik) dari a dan b. Dalam analisis vektor, jika

perkalian dot dari dua buah vektor sama dengan nol, maka dua vektor

tersebut tegak lurus.

Panjang sebuah Vektor Kompleks

Jika kita mengadopsi definisi ini untuk perkalian skalar dua buah vektor

kompleks, maka

kita mempunyai definisi alami panjang sebuah vektor kompleks dalam

ruang berdimensi-n.

Panjang sebuah vektor kompleks ||x|| dari sebuah vektor x adalah

1.2.3 Proses Gram Schmidt

Bebas Linier

Himpunan vektor x1; x2; : : : ; xn dikatakan bebas linier jika dan hanya

jika

aixi = 0

yang mengimplikasikan ai = 0. Jika tidak maka himpunan tersebut saling

bergantung linier.

Pertama marilah kita uji tiga buah vektor

untuk bebas linier. Pertanyaannya apakah kita dapat mencari himpunan ai

yang tidak nol

semua sehingga

Jelas ini mensyaratkan a1 = 0, a2 = 0 dan a3 = 0. Sehingga tiga buah

vektor ini bebas linier.

Perhatikan bahwa bebas atau bergantung linier adalah sifat dari semua

anggota, bukan

hanya masing-masing vektor.

Jelas jika x1; x2; x3 merepresentasikan vektor tiga dimensi yang

noncoplannar (tak sebidang),maka vektor tersebut bebas linier.

Proses Gram-Schmidt

Diberikan sejumlah n vektor bebas linier, kita dapat membangun dari

kombinasi liniernya

sebuah himpunan dari n buah vektor satuan yang saling ortogonal.

Misalkan vektor yang bebas linier x1; x2; : : : ; xn. Definikan :

sebagai vektor satuan pertama. Sekarang definisikan

Perkalian skalar u’2 dan u2 sama dengan 0

Karena (u1,u1) = 1. Hal ini menunjukan u’2 ortogonal terhadap u1 .

Kita dapat melanjutkan proses ini secara berulang dengan mendefinisikan

Dan

Ketika semua xk telah digunakan, kita memiliki sejumlah n vektor satuan

u1,u 2,......uk yang saling ortogonal. Himpunan ini dinamakan himpunan

ortonormal. Prosedur ini disebut sebagai proses Gram-Schmidt.

LATIHAN DAN PEMBAHASAN