APLIKASI BILANGAN KOMPLEKS

z

P (a, b, c)

rc

O y

a

b

x

Putri Mawardani1110097000020

Fisika Matematika II

Prodi Fisika

Fakultas Sains dan Teknologi

UIN SYARIF HIDAYATULLAH

JAKARTA

2012

iv

DAFTAR ISI

COVER JUDUL i

DAFTAR ISI ii

BAB I BILANGAN KOMPLEKS 1Beberapa Sifat Aljabar Bilangan Kompleks 4Perkalian dan Pemangkatan, Rumus de Moivre dan Euler 10Rumus Binomium Newton 14Penerapan Bilangan Kompleks 22

Mekanika 22Osilator Selaras Teredam 23Masalah Kelistrikan 26Optika 28

DAFTAR PUSTAKA 27

2

BAB I

BILANGAN KOMPLEKS

Konsep bilangan kompleks muncul untuk mengakomodasi nilai akar suatu

bilangan negatif. Ditinjau persamaan kuadrat dalam z berikut :

az 2 + bz + c = 0

dengan a, b dan c variabel bebas. Penyelesaian persamaan kuadrat di atas adalah

zb b 4ac

Z1,2 =2a

.

Jika diskriminan D = b2 4ac bernilai negatif, maka dua nilai z mengandung

akar bilangan negatif. Karena itulah didefinisikan nilai

-1 = i,

sehingga i 2 1 . Selanjutnya

-16 4i , -3 i 3 , i3 = - i

adalah bilangan imaginer, tetapi

i2 = - 1, 2 -8 i 2 .i 8 =- 4

adalah bilangan real. Untuk contoh persamaan kuadrat berikut :

z 2 2z+ 2=0

maka akar-akar penyelesaiannya adalah :

z2 4-8

22 2i

21 i .

Istilah bilangan kompleks digunakan untuk menunjukkan set bilangan real,

imaginer atau gabungan keduanya, seperti 1

contoh-contoh bilangan kompleks.

i . Maka i + 5, 17i, 4 mewakili

Bilangan kompleks dirumuskan sebagai

z=x+iy

yang merupakan gabungan bilangan real x dan bilangan imaginer iy. Besaran x, y

dan x 2 y 2 berturut-turut dinamakan bagian real, bagian imaginer dan modulus

bilangan kompleks z yang dituliskan sebagai

dan

x=Re( z)

y=Im(z)

z = x 2 y 2 .

Dengan konsep tersebut, orang dapat menyatakan bentuk-bentuk seperti sin i,

exp(i π ), ln(i +1) dalam bentuk bilangan kompleks x +iy.

Sebuah bilangan kompleks seperti 5 + 3i adalah jumlah dari dua suku. Suku

real (tidak mengandung i) disebut bagian real dari bilangan kompleks. Koefisien i

dalam suku yang lain disebut bagian imaginer dari bilangan kompleks. Dalam

bilangan 5 + 3i, 5 adalah bagian real, sementara 3 adalah bagian imaginer. Penting

untuk dicatat bahwa bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks, bukan

imaginer tetapi real.

Salah satu dari bagian real atau bagian imeginer dari suatu bilangan

kompleks dapat bernilai nol. Jika bagian real bernilai nol, bilangan kompleks

tersebut murni imaginer. Bagian real yang nol dapat diabaikan, sehingga misalnya

0 + 5i cukup ditulis 5i. Jika bagian imaginer dari bilangan kompleks tersebut

lenyap, maka bilangan kompleks tersebut murni real. Sehingga misalnya, 7 + 0i

cukup ditulis dengan 7.

Dalam aljabar, sebuah bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai suatu

jumlahan, seperti 5 + 3i. Bentuk ini dapat pula ditulis dalam bentuk (5, 3). Jadi

kalau kita ingin menjumlahkan antara dua buah bilangan kompleks, misalnya 5 +

3i dengan 4 + 2i, kita dapat menuliskannya dalam bentuk (5 + 3i) + (4 + 2i) = 9 +

5i atau dalam bentuk (5, 3) + (4, 2) = (9, 5).

Ketika kita mengenal konsep ini, mungkin timbul pertanyaan, apakah arti

fisis dari sin i , ln(1 i) dan sebagainya. Akan kita lihat nanti bahwa bilangan

kompleks memainkan peran dalam sains, selain tentu saja matematika.

Dalam fisika, konsep bilangan kompleks sangat penting untuk dipelajari.

Dalam mekanika kuantum, muncul konsep ini, misalnya untuk menentukan

kaedah komutasi antara operator koordinat dan momentum. Kaedah komutasi

yang terkenal dalam mekanika kuantum antara kedua operator tersebut dituliskan

sebagai

[ xˆ, pˆ x ] = iℏ .

Dalam pembahasan mekanika, kita juga dapat mengimplementasikan

konsep bilangan kompleks, misalnya penyajian vektor posisi partikel dalam dua

dimensi, dimana posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer

dari vektor posisi z. Selengkapnya hal ini akan disinggung dalam pasal penerapan

bilangan kompleks dalam fisika.

Bilangan kompleks z dapat disajikan sebagai suatu titik pada bidang Argand

berkoordinat Cartesan dengan sumbu X dan sumbu Y berturut-turut sebagai

sumbu real dan imaginer (Gb. 1). Anak panah dari titik O ke titik z disebut fasor.

Panjang fasor (r) menampilkan besar / modulus z . Fase bilangan kompleks z

adalah sudut antara sumbu real (sumbu X) dengan fasor yang dilambangkan

dengan ϕ. Dari Gb. 1.1 tampak bahwa

y

r yx

O x

Gb. 1.1Bidang Argand

dan

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

sehingga

ϕ = arctan ( y / x)

z=r(cosϕ + i sinϕ ) .

1. Beberapa sifat aljabar bilangan kompleks

1. Dua bilangan kompleks dikatakan sama :

z1 = z2

jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real yang sama :

Re ( z1 ) = Re ( z2 ) ,

demikian pula dengan bagian imaginernya :

Im ( z1 ) = Im ( z2 ) .

2. Penjumlahan dua bilangan kompleks z1 x1 + iy1 dan z2 x2 + iy2 juga

menghasilkan bentuk bilangan kompleks

z= z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + i( y1 + y2 ) .

Demikian pula untuk pengurangan berlaku

z = z1 - z2 = ( x1 - x2 ) + i( y1 - y2 ) .

3. Penjumlahan bilangan kompleks memenuhi kaedah ketaksamaan segitiga

yaitu

z1 z2 z1 z2 z1 z2

4. Himpunan C bilangan kompleks membentuk suatu grup terhadap

penjumlahan, karena :

a. Himpunan tersebut bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan,

yaitu untuk setiap pasangan z1 , z2 C maka z z1 z2 C .

b. Bersifat asosiatif terhadap kaedah penjumlahan yaitu

( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z3

c. Terdapat unsur netral yaitu 0 C yang memenuhi

z + 0 = 0 + z = z

d. Untuk setiap z C terdapat inversinya terhadap kaedah penjumlahan

(disebut z) sedemikian sehingga berlaku

z C dan z + ( z) = z z = 0

5. Karena berlaku z1 z2 z2 z1 maka grup tersebut bersifat komutatif

2

2

(Abelan) terhadap penjumlahan.

Didefinisikan konjugat kompleks untuk bilangan kompleks z

dengan lambang

x+ iy

sehingga

z* = x - iy

Re z*

Im z*

= Re z,

= Im z,

dan

x Re z 1 ( z z*),

y Im z i ( z * z)

Konjugat kompleks ini dapat langsung diperoleh dengan menukar tanda +i

menjadi −i. Sebagai contoh konjugat kompleks dari 2 + 3i adalah 2 − 3i. Konjugat

kompleks ini merupakan pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu x.

Menyederhanakan ke bentuk x + iy

Sembarang bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk x + iy. Untuk

menjumlahkan, mengurangi dan mengalikan bilangan kompleks, perlu diingat

bahwa mereka mengikuti aturan aljabar biasa serta i 2 1 .

Dalam matematika elementer, kita mempelajari logaritma hanya untuk

bilangan positif saja, tidak ada logaritma bilangan negatif. Hal ini memang

demikian jika kita hanya bekerja pada bilangan real saja. Namun jika kita bekerja

dengan bilangan kompleks, kita akan mengenal logaritma bilangan negatif,

bahkan logaritma dari bilangan kompleks itu sendiri.

Jika

maka menurut definisi

z= e w

w =ln z .

Karena sembarang bilangan kompleks z dapat dinyatakan dalam bentukmaka z

=

w= ln(rei rei) θ

ln r iθ

Perumusan di atas memberikan nilai logaritma suatu bilangan kompleks z yaitu

logaritma dari modulusnya (yang real positif) ditambah dengan iθ yang pasti

imaginer.

Karena θ memiliki sejumlah tak hingga banyaknya (sudut utama dan sudut

lainnya yang berbeda kelipatan 2π dari sudut utama), karena itu logaritma

bilangan kompleks terdapat tak hingga banyaknya, yang nilainya berbeda dengan

lainnya oleh kelipatan 2 π i . Nilai utama dari ln z adalah satu nilai menggunakan

sudut utama dari θ , disini digunakan 0≤θ˂2π.

Penerapan Bilangan Kompleks

Pada pasal ini akan dijelaskan penerapan bilangan kompleks pada fisika,

misalnya pada mekanika, kelistrikan dan optika.

Me k a nik a

Berikut ini akan disajikan beberapa contoh soal dalam mekanika yang

menggunakan konsep bilangan kompleks.

Contoh soal :

Sebuah partikel bergerak di dalam bidang (x, y) sedemikian sehingga posisi (x, y)

sebagai fungsi waktu t disajikan oleh persamaan

z= x+ iy=2t+ i

.t+i

Carilah besar kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi t.

Jawab :

Dari bentuk z = x + iy di atas, kecepatan kompleks dan percepatan kompleks

berturut-turut dirumuskan sebagai

dan

v =dz dt

d 2 za= .

dt 2

Karena itu besar kecepatan dan besar percepatan masing-masing sama dengan

v = dz / dt

dan

a = d 2 z / dt 2 .

Untuk nilai z di atas :

sehingga

dz

dt (t

3i

i)2

0

vdz dz dz 3i - 3i 3

Sedangkan

sehingga

dt dt dt

d 2 z

dt 2

d 2 z

(t i)2 (t

6i

(t i)3

6

i)2 t 2 1

a .dt 2 (t 2 1)3 / 2

G e r ak os il a t or s e l a r as t ere d a m

Ditinjau gerak partikel bermassa m dalam satu dimensi yang terikat

dalam pegas berkonstanta k. Jika partikel tersebut mengalami gaya gesekan

yang

sebanding dengan kecepatannya, persamaan gerak partikel tersebut adalah

mɺxɺ bxɺ kx 0

dengan bxɺ adalah gaya gesek, dan b adalah tetapan gaya gesek. Persamaan di

atas dapat disederhanakan menjadi

dengan

x+2ßx+ɷ0 2x= 0

0

2 2t .1

0

b

2m

dan

k . =

m

Tetapan ɷ0 adalah frekuensi sudut alamiah osilator yang tak teredam. Untuk

menyelesaikan persamaan di atas, dilakukan substitusi

x= e t

sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam :

Penyelesaian persamaan di atas adalah

dan

I. Jika 2 2, diperoleh dua penyelesaian yang saling bebas. Penyelesaian

umumnya berbentuk

x= c e 1t c2e 20

Penyelesaian ini dinamakan teredam lewat (overdamped). Penyelesaian di atas

akan unik jika koordinat dan kecepatan partikel pada suatu t tertentu diketahui,

yang dapat diambil untuk t = 0. Jadi tetapan

persamaan-persamaan

c1 dan c2 dapat ditentukan melalui

dan

II. Jika 2 2 , maka

x0 c1

v0 1c1

c2

2c2 .

1 2

yang menghasilkan penyelesaian yang berbentuk eksponensial, yaitu

x1 exp( t)

.

0

0

Penyelesaian yang lain adalah

x2 t exp( t)

sehingga penyelesaian umum untuk kasus 2 2 adalah

x (c1 c2t ) exp(

t) .

Penyelesaian di atas dinamakan dengan teredam kritis (critical damped).

III. Adapun untuk redaman yang kecil, sehingga 2 2 , bentuk didalam akar

menjadi bernilai negatif, sehingga dapat dinyatakan dalam bentuk

dan

dengan

1 i 1

2 i 1

2 21 0

Penyelesaian umum untuk kasus ini adalah

x exp( t) c1 exp(i 1t) c2 exp( i 1t) .

Bentuk di atas dapat diolah menjadi

dengan

x exp( t) a1 sin( 1t ) a2 cos( 1t)

dan

a1 i(c1

a2 c1

c2 )

c2 .

Karena x real,

persamaan

c1 dan c2 adalah bilangan kompleks yang dihubungkan melalui

c2 * c1 .

Tetapan a1 dan a2 bernilai real.

Bentuk lain penyelesaian di atas adalah

x A exp( t ) cos( 1t )

dengan tetapan A dan diberikan oleh

2 2

A a1 a2

dan

tana1 .a2

Penyelesaian di atas dinamakan teredam meluruh.

Masal ah Keli strik an

Dalam teori arus listrik, jika VR adalah tegangan antara ujung-ujung

hambatan R, dan I adalah arus yang mengalir pada hambatan tersebut maka

berlaku hukum Ohm yang dirumuskan sebagai

VR I R

Selain itu, kaitan antara arus I dan tegangan VL pada sebuah induktansi L adalah

V L dI

Ldt

sedangkan arus dan tegangan yang melalui sebuah kapasitor berkapasitansi C

dihubungkan melalui persamaan

dVC I

dt C

Ditinjau sebuah rangkaian seri dengan

tegangan bolak-balik V dan arus bolak-balik

I yang disa-jikan pada gambar di samping

ini. V dan I bervariasi terhadap waktu yang

diberikan oleh persamaan

I I 0 sin t

Dengan I diberikan pada persamaan di atas, tegangan yang melalui R, L dan C

adalah

dan

VR RI0 sin t

VL LI 0 cos t

1VC

sehingga tegangan total bernilai

C I0 cos t

C

C

0

i

ti

ti

V= VR VL VC .

Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menelaah kasus di atas dengan

menggunakan konsep bilangan kompleks. Bentuk persamaan arus yang bervariasi

terhadap waktu dapat ditulis sebagai

I= I 0 e

dimana kuat arus secara fisis diberikan oleh bagian imaginer I dalam persamaan di

atas. Jadi

VL RI 0 e

VL i L I

0e

t = i L I

sehingga

V1

Ci C

I ei t I

i C

1 V= VR VL VC R i L

I .

Dari persamaan terakhir didefinisikan besaran impedansi (kompleks) sebagai

1 Z= R i L .

C

Karena itu tegangan V dapat ditulis sebagai

V = ZI

yang mana penampilannya nampak seperti hukum Ohm. Besar Z dapat dicari

dengan menentukan modulusnya sebagai

dengan

dan

Z R 2

X L

X C

( X L

L

1

C

X )2

berturut-turut adalah reaktansi induktif dan reaktansi kapasitif. Nilai Z akan

minimum jika

yang berarti

X L X C

1.

LC

Keadaan ini disebut dengan keadaan resonansi. Pada keadaan ini bentuk Z tidak

mengandung bagian kompleks.

Op t ik a

Dalam optik, orang sering menggabungkan sejumlah gelombang cahaya

(yang dapat diwakili oleh fungsi sinus) Misalkan terdapat n gelombang yang

dapat dituliskan sebagai

sin( t ), sin( ts

), sin( t

2 ), ... , sin( t (n 1) )

Jika orang ingin menjumlahkan seluruh gelombang tersebut,langkah termudah

adalah dengan menyatakan fungsi sinus tersebut, langkah termudah adalah dengan

menyatakan fungsi sinus tersebut sebagai bagian imaginer dari suatu bilngan

kompleks, sehingga n gelombang tersebut dapat dinyatakan sebagai bagian

imaginer dari deret bilangan kompleks berikut :

ei t ei t ei t 2 ... ei t (n 1) .

Deret di atas adalah deret geometri dengan suku pertama ei t dan rasio ei .

Dengan menggunakan rumus jumlah untuk n suku pertama deret geometri :

a(1Sn1

r n )

r

dengan a dan r berturut-turut suku pertama dan rasio deret, deret bilangan

kompleks di atas dapat dinyatakan sebagai

Dengan menggunakan bentuk

ei t (1

1

ein ).

ei

dan

1 ein ein / 2 (e in / 2 ein / 2 ) 2iein / 2 sin(n / 2)

1 eiei / 2 (e i / 2

ei / 2 ) 2iei / 2 sin( / 2)

maka jumlah deret di atas dapat dituliskan

ei ( t [n 1] / 2) sin(n

sin(

/ 2) .

/ 2)

Akhirnya dengan mengambil bagian imaginer hasil di atas, diperoleh jumlah deret

sinus sebagai

sin t

sin n

n 1 2 .

2 sin2

DAFTAR PUSTAKA

Anuggraha, Rinto. 2011. Buku Pengantar Fisika Matematika, FMIPA UGM :

Jogjakarta.

Boas, M.L., 1983, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley &

Sons, New York.

Harper, C., 1976, Introduction to Mathematical Physics, Prentice−Hall, New

Jersey.

www.wikipedia.co.id

www..google.com

www.ebookpp.com