Fungsi Khusus

Didalam bab ini akan dibahas perilaku dan sifat dari fungsi yang dikenal sebagai fungsi khusus dari fisika matematika Fungsi khusus yang sering muncul di dalam pembahasan masalah fisika standard adalah polinom legendre fungsi bessel polinom hermite dan polinom laguere Fungsi tersebut dikatakan fungsi khusus mengingat kenyataan bahwa sistem dengan karakteristik tertentu memerlukan perangkat analisa berupa fungsi tertentu dari fungsi tersebut Fungsi khusus diatas merupakan solusi dari persamaan diferensial tertentu yang diperoleh melalui metode Frobenius yaitu solusi ekspansi deret

Metode ProbeniusMetode yang umum digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial berbentuk

(21)

adalah metoda ekspansi deret Frobenius-Fuchs Jenis solusi bagi pers(1) menurut teorema teorema Frobenius-Fuchs bergantung pada (i) sifat p(x) dan q(x) (ii) sifat persamaan lsquoindicialrsquo Pada pembahasan di sini hanya akan ditinjau pengaruh atau kebergantungan terhadap sifat yang pertama Informasi dari sifat p(x) dan q(x) 1) Jika p(x) dan q(x) ada (reguler) pada x = 0 maka pers( 1) mempunyai dua solusi bebas

berbentuk

= (22)

2) Jika p(x) dan q(x) singular pada x = 0 tetapi xp(x) dan x2q(x) ada pada x = 0 maka ada sedikitnya satu solusi bagi pers(21) dengan bentuk

= (23)

3) Jika p(x) q(x) singular di x = 0 dan xp(x) x2q(x) juga singular di x = 0 maka tak ada metoda umum untuk menyelesaikan pers(21)

Rincian metoda Frobenius ini diberikan melalui contoh soal berikut Contoh 1 Selesaikan persamaan

(A1)

Jawab Substitusi pers( 2) ke dalam pers(A1) diperoleh

(A2)

Pers (A2) dipenuhi untuk semua x jika semua koefisien dari sama dengan nol Ini berarti a1 = 0 (A3a) 2 a2 = 0 (A3b)

3 (a3-a0) = 0 (A3c) 4 a4 ndash 3 a1 = 0 (A3d)dan (n + 1) an+1 ndash 3 an-2 = 0 (A3e)Pers (A3a) dan (A3b) memberikan a1 = a2 = 0 sedangkan pers(A3e) dapat ditulis menjadi

(A4a)

atau jika n + 1 = m maka pers(A4a) menjadi

(A4b)

Pers(A4b) disebut rumus rekursiUraian rumus rekursi (A4b) memberikan

m = 3

sebagaimana pers(A3c) sedangkan

m = 4 karena a1 = 0

m = 5 karena a2 = 0

m = 6

m = 7

m = 8

m = 9

m = 10

m = 11

m = 12

dan seterusnya Secara umum(A5a)(A5b)

dan untuk k = 012 (A5c)

Substitusi hasil (A5a) (A5b) dan (A5c) ke dalam persamaan

didapatkan

=

= (A6)

Mengingat uraian deret Mc Laurin dari

(A7)

Untuk z = x3 maka

(A8)

Karena itu pers(A6) menjadi

(A9)

Bandingkan solusi ini dengan solusi yang diperoleh melalui metoda elementer yaitu lsquoseparasirsquo variabel dan integrasi langsung

atau

Setelah dilakukan pemisahan variabel diperoleh

dan integrasinya

= Jadi

(A10)atau

= (A11)Dus diperoleh hasil yang samaContoh 2 Selesaikan persamaan

y΄-xy = x (B1)Jawab jika

maka

y΄-xy =

Uraiannya

Atau

(B2)Pers(B2) dipenuhi untuk semua x jika semua koefisien x pangkat bulat sama dengan nol Ini berarti

a1 = 0 (B3a)2 a2 ndash a0 ndash 1 = 0 (B3b)(n+1) an+1 ndash an-1 = 0 (B3c)

Jika n+1 = m maka pers(B3c) menjadi

atau

(B4)

Pers(B4) ini disebut rumus rekursi dari pers(B1)Rumus rekursi (B4) dan pers(B3a) memberikan ar = 0 untuk r ganjil sedang pers (B3b) memberikan

(B5)

Selanjutnya dari pers(B4) untuk m genap

m = 4

m = 6

m = 8

m = 2j

Dengan demikian

=

=

=

=

=

=

Jadi solusi dari pers(B1) adalah

(B6)

dengan konstanta k = a0 + 1Dua contoh diatas merupakan persamaan diferensial orde-satu homogen dan tak-homogen Dua contoh berikut adalah PD orde-dua dengan trick atau prosedur penyelesaian yang serupa hanya saja lsquotampakrsquo lebih njlimet dan ruwetContoh 3 Selesaikan persamaan

( 1 + x2) y˝ - 2xy΄ + 2y = 0 (C1)Jawab Jika pers(C1) dibuat seperti bentuk pers(21) didapat

y˝ - y΄ + (C1΄)

Sehingga

(C2a)

(C2b)

dan p(o) q(o) ada (regular) yaitu(C3)

Karena itu solusi pers(C1) dapat berbentuk (22)

(22)

Substitusi pers(22) ke dalam pers(C1) memberikan

x2y˝ =

y˝ =

(1+x2) y˝- 2xy΄ + 2y =

(C4)

Pers(C4) memberikan 2 (a0 + a2) = 0 (C5a)

atau a2 = -a0

dan6 a3 = 0 (C5b)12 a4 = 0 (C5c)

atau

(C5d)

yang disebut rumus rekursiHasil (C5a) (C5b) dan (C5c) juga bisa diperoleh dari rumus rekursi (C5d)

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

3 (a3-a0) = 0 (A3c) 4 a4 ndash 3 a1 = 0 (A3d)dan (n + 1) an+1 ndash 3 an-2 = 0 (A3e)Pers (A3a) dan (A3b) memberikan a1 = a2 = 0 sedangkan pers(A3e) dapat ditulis menjadi

(A4a)

atau jika n + 1 = m maka pers(A4a) menjadi

(A4b)

Pers(A4b) disebut rumus rekursiUraian rumus rekursi (A4b) memberikan

m = 3

sebagaimana pers(A3c) sedangkan

m = 4 karena a1 = 0

m = 5 karena a2 = 0

m = 6

m = 7

m = 8

m = 9

m = 10

m = 11

m = 12

dan seterusnya Secara umum(A5a)(A5b)

dan untuk k = 012 (A5c)

Substitusi hasil (A5a) (A5b) dan (A5c) ke dalam persamaan

didapatkan

=

= (A6)

Mengingat uraian deret Mc Laurin dari

(A7)

Untuk z = x3 maka

(A8)

Karena itu pers(A6) menjadi

(A9)

Bandingkan solusi ini dengan solusi yang diperoleh melalui metoda elementer yaitu lsquoseparasirsquo variabel dan integrasi langsung

atau

Setelah dilakukan pemisahan variabel diperoleh

dan integrasinya

= Jadi

(A10)atau

= (A11)Dus diperoleh hasil yang samaContoh 2 Selesaikan persamaan

y΄-xy = x (B1)Jawab jika

maka

y΄-xy =

Uraiannya

Atau

(B2)Pers(B2) dipenuhi untuk semua x jika semua koefisien x pangkat bulat sama dengan nol Ini berarti

a1 = 0 (B3a)2 a2 ndash a0 ndash 1 = 0 (B3b)(n+1) an+1 ndash an-1 = 0 (B3c)

Jika n+1 = m maka pers(B3c) menjadi

atau

(B4)

Pers(B4) ini disebut rumus rekursi dari pers(B1)Rumus rekursi (B4) dan pers(B3a) memberikan ar = 0 untuk r ganjil sedang pers (B3b) memberikan

(B5)

Selanjutnya dari pers(B4) untuk m genap

m = 4

m = 6

m = 8

m = 2j

Dengan demikian

=

=

=

=

=

=

Jadi solusi dari pers(B1) adalah

(B6)

dengan konstanta k = a0 + 1Dua contoh diatas merupakan persamaan diferensial orde-satu homogen dan tak-homogen Dua contoh berikut adalah PD orde-dua dengan trick atau prosedur penyelesaian yang serupa hanya saja lsquotampakrsquo lebih njlimet dan ruwetContoh 3 Selesaikan persamaan

( 1 + x2) y˝ - 2xy΄ + 2y = 0 (C1)Jawab Jika pers(C1) dibuat seperti bentuk pers(21) didapat

y˝ - y΄ + (C1΄)

Sehingga

(C2a)

(C2b)

dan p(o) q(o) ada (regular) yaitu(C3)

Karena itu solusi pers(C1) dapat berbentuk (22)

(22)

Substitusi pers(22) ke dalam pers(C1) memberikan

x2y˝ =

y˝ =

(1+x2) y˝- 2xy΄ + 2y =

(C4)

Pers(C4) memberikan 2 (a0 + a2) = 0 (C5a)

atau a2 = -a0

dan6 a3 = 0 (C5b)12 a4 = 0 (C5c)

atau

(C5d)

yang disebut rumus rekursiHasil (C5a) (C5b) dan (C5c) juga bisa diperoleh dari rumus rekursi (C5d)

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

=

= (A6)

Mengingat uraian deret Mc Laurin dari

(A7)

Untuk z = x3 maka

(A8)

Karena itu pers(A6) menjadi

(A9)

Bandingkan solusi ini dengan solusi yang diperoleh melalui metoda elementer yaitu lsquoseparasirsquo variabel dan integrasi langsung

atau

Setelah dilakukan pemisahan variabel diperoleh

dan integrasinya

= Jadi

(A10)atau

= (A11)Dus diperoleh hasil yang samaContoh 2 Selesaikan persamaan

y΄-xy = x (B1)Jawab jika

maka

y΄-xy =

Uraiannya

Atau

(B2)Pers(B2) dipenuhi untuk semua x jika semua koefisien x pangkat bulat sama dengan nol Ini berarti

a1 = 0 (B3a)2 a2 ndash a0 ndash 1 = 0 (B3b)(n+1) an+1 ndash an-1 = 0 (B3c)

Jika n+1 = m maka pers(B3c) menjadi

atau

(B4)

Pers(B4) ini disebut rumus rekursi dari pers(B1)Rumus rekursi (B4) dan pers(B3a) memberikan ar = 0 untuk r ganjil sedang pers (B3b) memberikan

(B5)

Selanjutnya dari pers(B4) untuk m genap

m = 4

m = 6

m = 8

m = 2j

Dengan demikian

=

=

=

=

=

=

Jadi solusi dari pers(B1) adalah

(B6)

dengan konstanta k = a0 + 1Dua contoh diatas merupakan persamaan diferensial orde-satu homogen dan tak-homogen Dua contoh berikut adalah PD orde-dua dengan trick atau prosedur penyelesaian yang serupa hanya saja lsquotampakrsquo lebih njlimet dan ruwetContoh 3 Selesaikan persamaan

( 1 + x2) y˝ - 2xy΄ + 2y = 0 (C1)Jawab Jika pers(C1) dibuat seperti bentuk pers(21) didapat

y˝ - y΄ + (C1΄)

Sehingga

(C2a)

(C2b)

dan p(o) q(o) ada (regular) yaitu(C3)

Karena itu solusi pers(C1) dapat berbentuk (22)

(22)

Substitusi pers(22) ke dalam pers(C1) memberikan

x2y˝ =

y˝ =

(1+x2) y˝- 2xy΄ + 2y =

(C4)

Pers(C4) memberikan 2 (a0 + a2) = 0 (C5a)

atau a2 = -a0

dan6 a3 = 0 (C5b)12 a4 = 0 (C5c)

atau

(C5d)

yang disebut rumus rekursiHasil (C5a) (C5b) dan (C5c) juga bisa diperoleh dari rumus rekursi (C5d)

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(B2)Pers(B2) dipenuhi untuk semua x jika semua koefisien x pangkat bulat sama dengan nol Ini berarti

a1 = 0 (B3a)2 a2 ndash a0 ndash 1 = 0 (B3b)(n+1) an+1 ndash an-1 = 0 (B3c)

Jika n+1 = m maka pers(B3c) menjadi

atau

(B4)

Pers(B4) ini disebut rumus rekursi dari pers(B1)Rumus rekursi (B4) dan pers(B3a) memberikan ar = 0 untuk r ganjil sedang pers (B3b) memberikan

(B5)

Selanjutnya dari pers(B4) untuk m genap

m = 4

m = 6

m = 8

m = 2j

Dengan demikian

=

=

=

=

=

=

Jadi solusi dari pers(B1) adalah

(B6)

dengan konstanta k = a0 + 1Dua contoh diatas merupakan persamaan diferensial orde-satu homogen dan tak-homogen Dua contoh berikut adalah PD orde-dua dengan trick atau prosedur penyelesaian yang serupa hanya saja lsquotampakrsquo lebih njlimet dan ruwetContoh 3 Selesaikan persamaan

( 1 + x2) y˝ - 2xy΄ + 2y = 0 (C1)Jawab Jika pers(C1) dibuat seperti bentuk pers(21) didapat

y˝ - y΄ + (C1΄)

Sehingga

(C2a)

(C2b)

dan p(o) q(o) ada (regular) yaitu(C3)

Karena itu solusi pers(C1) dapat berbentuk (22)

(22)

Substitusi pers(22) ke dalam pers(C1) memberikan

x2y˝ =

y˝ =

(1+x2) y˝- 2xy΄ + 2y =

(C4)

Pers(C4) memberikan 2 (a0 + a2) = 0 (C5a)

atau a2 = -a0

dan6 a3 = 0 (C5b)12 a4 = 0 (C5c)

atau

(C5d)

yang disebut rumus rekursiHasil (C5a) (C5b) dan (C5c) juga bisa diperoleh dari rumus rekursi (C5d)

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(B6)

dengan konstanta k = a0 + 1Dua contoh diatas merupakan persamaan diferensial orde-satu homogen dan tak-homogen Dua contoh berikut adalah PD orde-dua dengan trick atau prosedur penyelesaian yang serupa hanya saja lsquotampakrsquo lebih njlimet dan ruwetContoh 3 Selesaikan persamaan

( 1 + x2) y˝ - 2xy΄ + 2y = 0 (C1)Jawab Jika pers(C1) dibuat seperti bentuk pers(21) didapat

y˝ - y΄ + (C1΄)

Sehingga

(C2a)

(C2b)

dan p(o) q(o) ada (regular) yaitu(C3)

Karena itu solusi pers(C1) dapat berbentuk (22)

(22)

Substitusi pers(22) ke dalam pers(C1) memberikan

x2y˝ =

y˝ =

(1+x2) y˝- 2xy΄ + 2y =

(C4)

Pers(C4) memberikan 2 (a0 + a2) = 0 (C5a)

atau a2 = -a0

dan6 a3 = 0 (C5b)12 a4 = 0 (C5c)

atau

(C5d)

yang disebut rumus rekursiHasil (C5a) (C5b) dan (C5c) juga bisa diperoleh dari rumus rekursi (C5d)

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

Karena maka dari rumus (C5d) diperoleh (C6a)(C6b)

dan sedang a1 ada (sebarang) Dengan demikian

=

= (C7)Contoh 4 Selesaikan persamaan

x2y˝ - 3xy΄ + 3y = 0 (D1)Jawab Pers(D1) dapat ditulis menjadi

y˝- y΄ +

Sehingga

(D2)

singular di x = 0 yaitu (D3)

tetapi xp(x) dan x2q(x) ada di x=0 (D4)

Karena itu solusinya berbentuk

(23)

Substitusi pers(23) ke dalam pers(D1) didapatkan

(D5)

Karena itu solusi tak trivial diperoleh jika ar 0 tetapi

= = = (D6)

Pers(D6) tidak lain adalah persamaan kuadrat dalam r karena itu solusinya diberikan oleh

= (D7)Jadi

atau (D8a)dan

atau (D8b)Hasil ini mengikat pangkat x dari pers( 3) jika diambil maka

= (D9)

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

dengan dan Catatan Karena bentuk solusi (22) merupakan keadaan khusus dari bentuk solusi (23) s = 0 maka dalam penentuan solusi bagi persamaan diferensial sering langsung diambil bentuk solusi yang lebih umum yaitu bentuk (23)Sebagai contoh adalah perumusan solusi bagi persamaan diferensial legendre berikut ini

Polinom LegendrePersamaan diferensial orde dua berikut ini

(24)

disebut persamaan diferensial legendre Pers(24) ini sejenis dengan persamaan diferensial pada contoh 3 diatas karena itu solusinya bisa diambil bentuk (22) Tetapi umumnya solusi dari pers(24) diambilkan bentuk (23)Diferensiasi seperti contoh di depan

y΄(x) = (25a)

sehingga

xy΄(x) = (25b)

Diferensiasi sekali lagi

y˝ = (25c)

dan

x2y˝ = (25d)

Substitusi pers(23) (25a) (25b) (25c) dan (25d) ke dalam per(24) diperoleh

0 = - - +

= -

=

=

(26)Pers(26) ini dipenuhi untuk semua x jika dan hanya jika koefisien dari

sama dengan nol Ini berarti(27a)

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(27b)

(27c)dan (27d)Dari pers (27a) dan (27b) jika dan maka s = 0 karena itu pers(27d) tereduksi menjadi

Atau

= (28)

Persamaan (28) ini dikenal sebagai rumus rekursi (pengulangan)Dari rumus rekursi semua koefisien ar bisa dihitung jika a0 dan a1 diketahui untuk n genap

n = 0

n = 2

n = 4

dan seterusnya jadi semua ar dengan r genap bisa dihitung jika a0 ditentukan Selanjutnya untuk n ganjil

n = 1

n = 3

n = 5

dan seterusnya Semua ar dengan r ganjil bisa ihitung jika a1 diketahui Dengan demikian solusi persamaan (24) adalah

+

Daerah konvergensi dari y persamaan (29) adalah -1 lt x lt 1 sedangkan untuk x = plusmn1 deret y(x) divergen Meskipun demikian solusi y tersebut dapat dibuat absah (konvergen) untuk -1 le x le 1 hal ini dapat dilakukan

i) mengganti λ menjadi ii) Koefisien ar dinyatakan dalam l(l+1)

Melalui pengambilan persamaan (24) menjadi(210)

dan rumus rekursi (28) menjadi

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

atau

(211)

jika n = l-2 maka

n = l-4

n = l-6

dalam bentuk umum

(212)

perhatikan evaluasi lebih lanjut bagi persamaan (212) ini

i)

(213a)

ii)(213b)

iii)

(213c)

Subtitusi hasil ini ke persamaan (212) didapatkan

dengan demikian solusi (29) sekarang tereduksi menuju satu persamaan terpadu yaitu

karena untuk l ganjil semua koefisien dapat dinyatakan dalam a1 sebagaimana persamaan (29) maka untuk r = N Yaitu r tertinggi

(215a)

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

sehingga l-2N=1 maka

(215b)

sedangkan untuk l genap (216a)

maka l-2N=0 sehingga (216b)

jadi batas atas indeks r pada persamaan 214 adalah N dengan

(217)

kemudian jika a l dipilih

(218)

maka solusi yang absah untuk -1le x le 1 adalah

(219)

Pl (x) disebut polinominal legendre jenis pertama berorde lSebagai ilustrasi ambil l = 4 maka persamaan diferensial Legendre-nya

(220)

Solusinya

(221)

Enam polinomial pertama diberikan olehP0 (x) = 1P1 (x) = x

P2 (x) =

P3 (x) =

P4 (x) =

P5 (x) =

211 Rumus Rodrigues Fungsi Pembangkit dan Hubungan RekursiPolinomial (219) juga dipenuhi oleh rumus Rodrigues

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(222)

sebagai contoh ambil l = 4

ungkapan berikut ini

(224)

disebut fungsi pembangkit untuk polinom Legendre Misalkan t = 2zh-h2 maka pers (224) menjadi

(225)

Dari ekspausi deret f(z)

(226)

Pers (225) merupakan bentuk pers(226) dengan z = -t dan P = - karena itu

(227)

Dusф(xh) membangkitkan polinom Pl (x)Selanjutnya diferensilkan ф terhadap h memberikan

P4

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

atau (1-2xh+h2) (228)

Subtirusi pers(227) ke dalam pers (228) diperoleh

(229)

uraiannya

(230a)

dan (230b)

Subtitusi persamaan (230a) dan (230b) kedalam persamaan (229)

(231)

Pers(231) dipenuhi oleh semua h jika setiap koefisien dari hm sama dengan nol Koefisien untuk hm dengan adalah

atau

(232)

Pers(232) disebut hubungan rekursi Sebagai contoh ambil maka

= sehingga

sebagaimana telah diperoleh didepani) ΄(x) - P ΄(x) = ii) P΄ (x) - P΄ (x) = iii) (x2-1) P΄ = x iv) (x2-1) P΄ =

Kembali pada fungsi pembangkit (224) fungsi ini berguna untuk menganalisa potensial yang berkaitan dengan gaya invers kuadratik dari jarak

Sebagai contoh ambil potensial listrik di oleh distribusi muatan di potensial tersebut diberikan oleh

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

= (233)

Dari gambar

= untuk r gt rrsquo (234)

Sehingga

(235)

Dengan membandingkan bentuk akar antara pers(235) dan (224) diperoleh

(236)

Mengingat ungkapan (227) bagi pers(224) maka

= untuk r gt rrsquo (237)

Untuk rrsquo lt r maka

(238a)

dan

(238b)

Sehingga

(238c)

212 Ortogonalitas Polinom LegendrePolinom legendre merupakan sekumpulan fungsi ortogonal di yaitu

A = konstan (239)

Untuk membuktikan hubungan ini gunakan persamaan diferensial legendrePers(210) dapat ditulis sebagai

(240)

Kalikan pers(240) oleh Pm (x) maka

(241a)

Lakukan pertukaran pada pers(241a) maka didapat

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(241b)

Kurangkan pers(241a) pada pers(241b)

(242)Dua suku pertama

(243)

Karena itu

(244)

Integrasikan pers(244) ini

=

= 0 (245)Untuk maka karena itu

jika (246)

Jika dihitung menggunakan pers(232) yaitu kalikan hubungan rekursi ini dengan maka

kemudian integrasikan dan gunakan hasil (246)

= (247)

Selanjutnya lakukan lsquopergeseranrsquo pada hubungan rekursi (232)(232rsquo)

Kalikan dengan dan integralkan

Kembali gunakan pers(246) maka

(248)

kalikan persamaan (247) dengan (2l+1) dan persamaan (248) dengan (2l-1) kemudian kurangkan maka diperoleh

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

atau (249)

dari persamaan 249 ini bisa diperoleh

(250a)

(250b)

dan seterusnya (250c)

kemudian subtitusi kepersamaan (249) didapatkan

(251)

dengan demikian (252)

Deret LegendreKarena polinom Legendre membentuk sekumpulan (fungsi) ortogonal lengkap (complete orthogonal set) pada -1 le x le 1 maka setiap fungsi f(x) yang didefinisikan pada -1 le x le 1 selalu dapat diekspansikan dalam deret Legendre

(253)

dengan (254)

Contoh 1 ekspansi f(x) dalam deret Legendre jika(A1)

JawabUntuk mengekspansi f(x) dalam deret Legendre yang harus dilakukan praktis adalah penentuan koefisien cl (254) subtitusi (A1) ke (254) diperoleh

(A2)

(A3)

Maka

(A4)

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

214 Persamaan Legendre Polar dan Polinom Legendre TerasosiasiPers(210) dapat ditulis dalam bentuk (240)

(240)

Persamaan Legendre ini dapat diungkapkan dalam bentuk polar melalui(255)

sehingga

(256)

Substitusi pers(255) dan (256) ke pers (240) diperoleh

atau

(257)

Pers(257) ini merupakan persamaan legendre dalam variabel polar dan muncul dalam separasi variabel operator laplacian dalam lsquokoordinat bolarsquo

Persamaan diferensial berikut ini

(258)

disebut persamaan legendre terasosiasi Solusinya

(259a)

atau

(259b)

Pers(258) dalam variabel polar

(260)

Pers(260) ini merupakan bentuk pemisahan persamaan laplace dalam koordinat bola yaitu bagian variabel polar

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

Ortogonalitas polinom legendre polar dari pers(555)

maka

dandx = -sin d

Sehingga ortogonalitus (252) menjadi

= (261)

Sedangkan ortogonalitas bagi diberikan oleh

(262)

Hubungan rekursi

i)

ii) (263)

iii)

215 Polinom Legendre Jenis KeduaSolusi independen lainnya bagi pers(29) adalah

(264)

dengan

ini disebut polinom legendre jenis keduaBentuk eksplisit dari empat pertama

Rumus Neumann bagi

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(265)

Hubungan rekursi bagi juga berlaku untuk Demikian juga bentuk

polinom legendre terasosiasi

(266)

Dengan demikian solusi lengkap dari pers( 9) adalah(267)

Karena ini jarang muncul maka tidak dibahas lebih lanjut di sini22 Fungsi BesselPersamaan diferensial berikut ini

(268)

disebut persamaan Bessel dan solusinya disebut fungsi Bessel atau fungsi silinder Solusinya bisa diperoleh melalui ekspansi deret

(22)

maka

(23b)

(23d)

dan

Bila uraian di atas di substitusi ke dalam pers(268) dan di susun dalam lsquotabelrsquo sesuai pangkat x

Dengan argumentasi seperti pada ekspansi legendre deret akan sama dengan nol untuk semua x jika koefisien dari sama dengan nol Dari tabel di atas di peroleh untuk koefisien

(269a)

(269b)

dan atau

(270)

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

Pers(270) ini merupakan rumus rekursi bagi solusi BesselDari pers(269a) diperoleh

untuk (271)dan akibatnya dari pers(269b)

(272)Kasus maka

= (273)

Untuk m = 2

=

m = 4

=

m = 6

=

=

Secara umum m = 2j

(274)

Karena

=

maka

(275)

Jika di pilih

(276)

maka solusi untuk s = n m

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

= (277)

ini disebut fungsi Bessel jenis pertama beroede n

Kasus Solusi untuk kasus ini diperoleh melalui penggeseran di dalam semua persamaan kasus

di atas Hasilnya

(278)

Karena untuk p negatif dan nol maka semua suku sampai j = n-1 pada lenyap atau nol Karena itu bisa di mulai dari j = n

=

=

= (279)Fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel diberikan oleh

(280)

221 Fungsi Neumann dan Fungsi HankelUntuk n bulat telah diperlihatkan bahwa hanya ada satu solusi bebas Solusi lain didefinisikan untuk n bulat

(281)

yang disebut fungsi Neumann atau fungsi Bessel jenis kedua

Untuk n bulat ungkapan Nn di atas mempunyai bentuk tak tertentu Tetapi untuk solusi

tersebut mempunyai limit yang sesuai untuk n bulat Karena itu solusi paling umum untuk n bulat adalah

(282)dengan A dan B adalah konstantaSolusi lain didefinisikan oleh

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

= (283a)dan

= (283b)Kedua fungsi ini disebut fungsi Hankel dan merupakan solusi independen bagi persamaan Bessel Fungsi tersebut berguna pada x besar karena fungsi tersebut infinit pada x = 0 Fungsi Hankel ini disebut fungsi Bessel jenis ketiga222 Hubungan RekursiHubungan rekursi berikut bisa dihitung langsung dari fungsi Bessel

Misal

= (284)

Uraian ruas kanannya suku pertama

=

= (285a)

Suku keduanya

suku ini nol untuk j = 0

= ambil j = m+1 m = 012

=

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

=

= (285b)Substitusi kembali hasil (285a) dan (285b) ke dalam pers (284) diperoleh

(286)

Dengan cara serupa diperoleh juga

(287)

Hubungan rekursi lainnya

(288a)

(288b)

223 Fungsi Bessel TermodifikasiPersamaan diferensial berikut

(289)

disebut persamaan Bessel termodifikasi Solusinya

(290)

disebut fungsi Bessel termodifikasi Jika n bulat jika n bukan bulat dan merupakan solusi yang bebas (independen)

Fungsi Bessel termodifikasi jenis kedua didefinisikan oleh

(291)

yang berprilaku baik (well behaved) untuk semua n Analig dengan fungsi sinus dan sinus hiperbolik fungsi Bessel termodifikasi disebut juga fungsi Bessel hiperbolik224 fungsi Bessel SterisPersamaan radial

(292)

mempunyai kemiripan pada persamaan Bessel Solusinya

(293)

jn(kr) ini disebut fungsi Bessel sterisSerupa dengan fungsi Bessel sebelumnya didefinisikan juga fungsi Neumann steris

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(294)

dan fungsi Hankel steris

(295)

Fungsi Bessel steris termodifikasi di definisikan oleh

(296)

dan

(297)

225 Karakteristik Fungsi BesselSemua berprilaku seperti fungsi sinus dengan amplitudo mengecil sama dengan satu pada x = 0 dan berprilaku seperti cosinus teredam

untuk x = 0Untuk

(298)

Untuk

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(299a)

(299b)

Grafik dari beberapa fungsi Bessel

226 Ortogonalitas Fungsi BesselDari grafik dan tabel fungsi pada harga tertentu Misalkan harga tersebut x = abc

pada x = abc (2100a)maka untuk n yang sama

pada x =1 (2100b)Fungsi Bessel merupakan solusi dari persamaan Bessel

(2101)Sedang merupakan solusi dari

(2102a)dan solusi dari

(2102b)Untuk sederhananya tuliskan maka

(2103a)(2103b)

Pers (2103a) di kali v dan pers (2103b) di kali u kemudian dikurangkan(2104)

Dua suku pertama pers (2104)

(2105)

dengan demikian

(2106)

Integrasikan

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

=

= 0 untuk Dus

untuk (2107)

Sedangkan untuk a = b tuliskan pers (2103a) dalam bentuk semula

kalikan dengan 2ursquo diperoleh

Persamaan ini dapat ditulis menjadi

Jika di integrasikan

=

= (2108)Jika digunakan rekursi (286) dan (287)

(2109)Substitusi hasil (2109) ke pers (2108) diperoleh

(2110)

Dengan demikian

(2111)

23 Polinom HermitePersamaan Hermite diberikan oleh

(2112)

Solusi berbentuk

memberi hubungan(2113a)(2113b)

dan

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(2113c)

Jika s = 0 maka diperoleh dua solusi yang independen dan hubungan rekursi (2113c) menjadi

(2114)

Kalkulasi lebih lanjut dari rumus rekursi (2114) memberikan

(2115)

dengan j = 123Dengan demikian solusi pers (2112)

(2116)Deret tak hingga pertama (2116) menjadi berhingga dan merupakan polinom genap tingkat n jika

n - 2j + 2 = 0 (2117a)dan polinom ganjil tingkat n jika

n ndash 2j + 1 = 0 (2117b)Deret tunggal yang berlaku baik untuk n ganjil atau n genap diperoleh melalui pengambilan bentuk rumus rekursi (2113c) sebagai

(2113c)

rumus rekursi ini memberi hubungan

(2118)

setelah diatur kembali didapatkan bentuk umum

(2119)

subtitusi persamaan (2119) kedalam Y(x) diperoleh solusi bagi persamaan (2112)

(2120)

N adalah n maksimum dari persamaan (2117a) dan (2117b)

(2121)

Bila konstanta an = 2n diperoleh

(2122)

polinom Hn ini disebut polinom HermiteBeberapa bentuk eksplisit polinom Hermite

H0(x) = 1

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

H1(x) = 2xH2(x) = 4x2 ndash 2H3(x) = 8x3 ndash 12xH4(x) = 16x4 ndash 48x2 +12H5(x) = 32x5 - 160x3 + 120x

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesFungsi merupakan fungsi pembangkit Hn(x)

(2123)

uraian berikut memperlihatkan hubungan diatas

(2124a)

untuk pangkat tertentu misalkan n tn antara t dan s diikat oleh hubungan r + 2s = n atau r = n ndash 2s (2124b)sehingga koefisiennya (dari tn)

(2124c)

karena r ge 0 maka (2124d)

sehingga (2124e)

s Maksimum smaks = n2 untuk n genapsmaks = frac12(n-1) untuk n ganjil (2124f)

karena itu koefisien tn

(2124g)

dengan demikian

(2123)

selanjutnya dari ekspansi deret fourier bagi F (t)

(2125)

didapatkan bahwa

(2126a)

tetapi

dan seterusnya akhirnya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(2126b)

subtitusi persamaan (2126b) ke persamaan (2126a) didapatkan

(2127)

ungkapan 2127 merupakan rumus Rorigue bagi polinome HermiteDari persamaan (2123) untuk x = 0

(2128)

dengan membandingkan koefisien tn ruas kanan dan ruas kiri diperoleh(2129a)

atau

(2129b)

Hubungan Rekursi dan ortogonalitas Polinom HermiteDari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan rekursi

(2130a)(2130b)

hubungan rekursi (2130a) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap x sedangkan persamaan (2130b) diperoleh melalui diferensiasi persamaan (2123) terhadap t atau dapat juga diperoleh langsung dari persamaan (2122) dari persamaan (2123) juga dapat diperoleh hubungan atau sifat ortogonalitas antara Hm(X) dan Hn(x)

(2131)

Fungsi Weber-HermitePersamaan yang mendekati persamaan Hermite

(2132)

jika diambil (2133)maka persamaan (2132) tereduksi menjadi

(2134)

jika λ = 2n+1 maka persamaan (2134)tidak lain adalah persamaan Hermite (2112) persamaan (2132) disebut dengan persamaan Webber-Hermite dan solusinya

(2135)

disebut dengan Fungsi Webber-Hermite orde ndari persamaan (2135) dan (2131) diperoleh

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(2136)

Hubungan rekursi bagi yn(x)

Polinom Laguere

Persamaan berikut (2137)

dikenal dengan Persamaan Laguere Solusi dengan bentuk memberi hubungan

[s(s-1)+s]a0 = s2 = 0 (2138a)

dan rumus rekursi (2138b)

persamaan (2138a) memberi akar double s = 0 karena itu solusi dengan metode ekspansi ini hanya memberi satu solusi berhingga untuk semua x berhingga Dengan s = 0 rumus (2138b) menjadi

(2138c)

perhitungan rincinya memberikan

(2139)

sehingga (2140)

tampak bahwa deret akan berhenti jika n ndash r + 1 = 0 dan jika dipilih a0 maka

(2141)Polinom (2141) ini adalah Polinom LaguereBeberapa ungkapan eksplisit Ln(x)

Fungsi Pembangkit dan rumus RodriguesUraian fungsi berikut memberikan

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(2142)

sedangkan

(2143)

sehingga (2144)

kemudian jika r + s = n atau s = n ndash r maka persamaan (2114) dapat ditulis dalam indeks n dan r

(2145)

Fungsi di ruas kiri persamaan (2142) adalah fungsi pembangkit polinom Laguerre Dari persamaan (2145) diperoleh untuk x = 0

jelas bahwa Ln(0) = 1 untuk semua n

dari teorema Leibniz

(2146)

didapat untuk u = xn dan v = e-x

atau (2147)

Persamaan (2147) ini merupakan rumus Rodrigues bagi polinom Laguerre

Hubungan Rekursi dan OrtogonalitasHubungan rekursi polinom Laguerre

(2148)

sedangkan sifat ortogonalitas polinom Laguerre diberikan oleh

(2149)

Hubungan rekursi (2148) dan sifat ortogonalitas (2149) dapat diturunkan dari fungsi pembangkit (2142)

Polinom Laguerre terasosiasiPersamaan berikut ini

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya

(2150)

disebut persamaan Laguerre terasosiasi Solusinya

(2151)

disebut polinom Laguerre TerasosiasiFungsi pembangkitnya

(2152)

Rumus Rodriguesnya (2153)

Sifat ortogonalitasnya diberikan oleh (2154)

Dan hubungan rekursinya