FISMAT - Bilangan Kompleks

12
Mat-Kim/Bil. Kompleks/9 2 . BILANGAN KOMPLEKS 1 Pendahuluan Bentuk umum Bilangan kompleks adalah: z = x + y i (1.1) Soal 1 : Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang bilangan kompleks? Jika kompleks tentukan komponen real dan komponen imajinernya ! 1) 5 + 3 i 2) 6 + 3 3) 3 + 2 i 4 i 4) 6 i + 3 i 12 5) 6 + 7 i 6) 7 i + 8 i 7) 8 i + 19 + 2 i 8) 6 + 2 Plotting Bilangan kompleks Anda tentu sudah dapat mem-plot sebuah titik dalam koordinat Cartessius. Misal sebuah titik P dengan koordinat (5,3), maka plottingnya adalah seperti gambar 1 berikut: Gambar 1: Plotting titik P (5,3) atau P (5 + 3 i) Perlu anda ketahui bahwa plotting P (5,3) tersebut juga dipergunakan untuk mem-plot bilangan kompleks (5 + 3 i). Jadi secara umum dapat dinyatakan bahwa plotting bilangan kompleks (x + y i) adalah sama dengan plotting titik (x,y) Dalam sistem koordinat polar, garis 0P disebut r dan sudut antara 0P dengan sumbu x disebut sudut . Dengan memperhatikan gambar (2 di atas, maka dapat diketahui bahwa: P (5,3) dan P ( 5 + 3 i )

description

Bilangan kompleks

Transcript of FISMAT - Bilangan Kompleks

Page 1: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/9

2 . BILANGAN KOMPLEKS1 Pendahuluan

Bentuk umum Bilangan kompleks adalah:

z = x + y i (1.1)

Soal 1 :Di antara bilangan-bilangan berikut, manakah yang bilangan kompleks? Jika kompleks tentukan komponen real dan komponen imajinernya !1) 5 + 3 i 2) 6 + 3 3) 3 + 2 i 4 i 4) 6 i + 3 i 125) 6 + 7 i 6) 7 i + 8 i 7) 8 i + 19 + 2 i 8) 6 +

2 Plotting Bilangan kompleksAnda tentu sudah dapat mem-plot sebuah titik dalam koordinat Cartessius. Misal sebuah titik P dengan koordinat (5,3), maka plottingnya adalah seperti gambar 1 berikut:

Gambar 1: Plotting titik P (5,3) atau P (5 + 3 i)Perlu anda ketahui bahwa plotting P (5,3) tersebut juga dipergunakan untuk mem-plot bilangan kompleks (5 + 3 i). Jadi secara umum dapat dinyatakan bahwa plotting bilangan kompleks (x + y i) adalah sama dengan plotting titik (x,y)Dalam sistem koordinat polar, garis 0P disebut r dan sudut antara 0P dengan sumbu x disebut sudut . Dengan memperhatikan gambar (2 di atas, maka dapat diketahui bahwa:

y = r sin

Jadi bentuk umum bilangan kompleks juga dapat ditulis:

z = x + y i = r (cos + i sin )

Notasi bilangan kompleks di atas disebut bilangan kompleks bentuk rektangular.

Bentuk lain Bilangan kompleks:Bilangan kompleks dalam bentuk r(cos + i sin ) juga dapat dinyatakan dalam bentuk r . e . Jadi:

z = x + y i = r (cos + i sin ) = r . e

Notasi bilangan kompleks dalam bentuk r . e disebut bentuk polar.Soal 2:Diketahui bilangan-bilangan kompleks sebagai berikut:

(2.1)

P (5,3) dan P ( 5 + 3 i )

Page 2: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/10

1) 5 + 3 i 2) 3 + 2 i 4 i 3) 6 i + 3 i 12

4) 2 5) 2 6) . e

Buatlah plottingnya dan nyatakan bilangan-bilangan kompleks di atas dalam bentuk yang lain.

3 Pasangan konjugasi Bilangan kompleks (z*)Setiap bilangan kompleks mempunyai pasangan konjugasi yaitu bilangan kompleks yang diperoleh dengan cara mengganti i dengan i. Contoh:Bil. kompleks z = x + y i , pasangan konjugasinya adalah z* = x y i.Bil. kompleks z = r (cos + i sin ) , pasangan konjugasinya adalah z* = r (cos i sin ).Bilangan kompleks z = r e , pasangan konjugasinya adalah z = r e .Dalam sistem koordinat, letak pasangan konjugasi merupakan bayangan cermin dari bilangan kompleks yang bersangkutan dan sebagai cerminnya adalah sumbu x.

Soal 3 :Tentukan pasangan konjugasi dari bilangan-bilangan kompleks pada soal paragraf 2.

4 Aljabar Bilangan Kompleks

4.1 Penyederhanaan bentuk x + y iPenjumlahan, pengurangan dan perkalian bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar dan harus pula mengingat bahwa = 1.

Contoh 1 : (1 + i) = 1 + 2 i + i = 1 + 2 i 1 = 2 i

Pembagian bilangan kompleks oleh bilangan kompleks lain dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Pertama tulislah pembagian itu dalam bentuk pecahan. Kemudian kalikan baik pembilang maupun penyebut dengan konjugasi penyebut sehingga penyebut akan menjadi bilangan real selanjutnya dijadikan bentuk rektangular atau x + y i.

Contoh 2: (2 + i) : (3 + i) = x = = = +

Contoh 3:Mengubah (x + y i) dalam bentuk polar, dilakukan dengan cara memplot atau membayangkan plotting dari titik (x,y) lalu ditentukan sudut dan panjang r . Dengan demikian kita telah dapat menyatakan (x + y i) dalam bentuk r . e . Selanjutnya jika r . e.itu dikuadratkan maka bentuk polar dari (x + y i) diperoleh. Contoh dari kasus ini adalah sebagai berikut:

Ubahlah bentuk (1 + i) dalam bentuk polar.

Jawab: x = 1 y = 1 Jadi r = =

tg = = 1 = 450 =

Jadi (1 + i) = . e (1 + i) = = 2 . = 2 i.

Contoh 4:

Ubahlah bentuk ke dalam bentuk x + y i.

Jawab: Harus diubah dulu satuan sudut dari derajat menjadi radian. p radian = 1800 . jadi:

Page 3: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/11

10 = radian = 0,0174 200 = 0,3488 radian.

=

=

= 0,5 . e

= 0,5

= 0,5 = 0,5 ( 0,940 0,342 i )

= 0,47 0,17 iSoal 4.1 :Sederhanakan bentuk-bentuk bilangan kompleks berikut ke dalam bentuk x + y i atau ke dalam bentuk r . e .

1) 2) 3) 4)

5) 25 e 6) 7) (1,7 3,2 i) 8)

4. 2 Harga absolut bilangan kompleks Definisi adalah sebagai berikut:Jika z diplot dalam bidang rektangular, maka harga absolut z atau adalah r = .

Ternyata harga r juga sama dengan (Buktikan !). Jadi:

= r = =

Soal 4.2:Tentukan harga absolut dari bilangan-bilangan kompleks pada soal paragraf 4.1.

4. 3 Persamaan KompleksDalam menyelesaikan persamaan-persamaan yang mengandung bilangan kompleks, maka kedua ruas persamaan harus dijadikan bentuk baku sehingga kita dapat melihat komponen real dan komponen imajiner dari masing-masing ruas. Dua buah bilangan kompleks adalah sama jika dan hanya jika komponen realnya sama dan komponen imajinernya juga sama. Sebagai contoh jika x + y i = 4 + 3 i maka ini berarti x = 4 dan y = 3. Dengan perkataan lain sebuah persamaan yang mengandung bilangan kompleks, sesungguhnya merupakan dua buah persamaan yang melibatkan bilangan real.Contoh:Tentukan harga x dan y jika: (x + y i ) = 2 i.Ruas kiri:

(x + y i ) = x + 2 xy i y = x y + 2 xy iKomponen realnya adalah x y Komponen imajinernya adalah 2 xy

Ruas kanan :2 i = 0 + 2 iKomponen realnya adalah 0 Komponen imajinernya adalah 2

Penyelesaian: x y = 0 dan 2 xy = 2

Dari persamaan pertama diperoleh:x y jadi x = y atau x = y. Harga-harga ini dimasukkan ke dalam

persamaan kedua.

Page 4: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/12

Untuk x = y:2 xy = 2 2 y = 2 y = + 1

Jadi penyelesaian akhirnya adalah:x = y = +1

Soal 4.3 :Tentukan harga x dan y dari persamaan-persamaan berikut:1) x + y i = 3 i 4 2) 2 i x + 3 = y - i3) (2 x 3 y 5) + i (x + 2y + 1) = 0 4) x + i y = (1 i )

5) ( x + i y) = ( x i y ) 6) = i + 2

5 Pangkat dan akar bilangan kompleksHukum yang berlaku pada pemangkatan dan akar bilangan real berlaku pula pada bilangan kompleks. Jika bilangan kompleks z = r . e maka pangkat ke n dari z adalah:

z = = r . e = r . ( cos n + i sin n) (5. 1)

dan akar ke n dari z adalah:

z = = r . e = . ( 5 . 2)

Contoh 1: Tentukan harga (1 + i ) .

Penyelesaian: Jika z = (1 + i) berarti: x = 1 ; y = 1 r = dan tg = 1 =

sehingga dalam bentuk polar :

z = z = = . e = 16 . e

= 16 ( cos 2p + i sin 2p) = 16.

Contoh 2:Berapakah akar pangkat 3 dari 8.Kita pasti telah tahu bahwa akar pangkat 3 dari 8 adalah 22.. Itu sudah cukup jika kita menganggap 8 sebagai bilangan real. Tetapi jika kita kita menganggap 8 adalah bilangan komplekkompleks z = 8 + 0 i, maka berarti :

x = 8 ; y = 0 ; r = 8 dan tg = 0 = 0 ; 2p ; 4p ; 6p . . . . . = 2 npJadi:

Sebagai bilangan kompleks 8 = 8 . e

Jadi akar pangkat 3 dari 8 adalah :

z = 8 . e = 2 . e

= 2

Untuk n = 0 z = 2

Untuk n = 1 z = 2 (cos 1200 + i sin 1200) = 1 + i

Untuk n = 2 z = 2 (cos 2400 + i sin 2400) = 1 i

Untuk n = 3 z = sama dengan untuk n = 0 .................... dst.

Page 5: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/13

Jadi ada 3 macam harga yaitu = Soal 7.5 :Tunjukkan semua harga dari akar-akar berikut:

1) 2) 3) 4)

2.7. 6 Fungsi Eksponensial dan Trigonometri Bilangan Kompleks

Fungsi eksponensial bilangan kompleks adalah fungsi eksponensial yang pangkatnya adalah bilangan kompleks, jadi bentuknya adalah e . Evaluasi harga e dapat dilakukan dengan menggu-nakan deret Maclaurin, tetapi juga dapat menggunakan sifat berikut:

Jika bilangan kompleks z = x + y i maka:

e = e = e . e = e ( cos y + i sin y) (2.6.1)

Contoh: e = e . e = e . (cos p + i sin p) = e . (1) = e

Sebelum ini kita telah mengenal formula Euler yang menunjukkan adanya hubungan yang dekat antara fungsi komplekkompleks eksponensial dengan fungsi trigonometri. Jika kita tulis kembali formula Euler dan kemudian diganti maka kita peroleh:

e = cos + i sin

e = cos i sin

Dari kedua persamaan Formula Euler di atas, maka sin dan cos dapat diperoleh yaitu:

sin =

cos =

(2. 6.2)

Hubungan antara fungsi trigonometri dengan fungsi eksponensial di atas sangat baik untuk menghitung integrasi fungsi trigonomeritrigonometri, sebab dengan mengubah fungsi trigonometri ke bentuk eksponensial, peng-integralan-nya akan jauh lebih mudah.Contoh:

Tentukan : .

Jawab:

cos 2x = ; cos 3x =

cos 2x . cos 3 x = .

=

Jadi:

= dx

=

Page 6: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/14

=

=

Kita cari dulu: (cos 5x + i sin 5x) (cos 5x i sin 5x) = 2 i sin 5x

= (cos x + i sin x) (cos x i sin x) = 2 i sin xJadi:

=

=

sin 5x + sin x

Sejauh ini, pembicaraan kita mengenai fungsi trigonometri, selalu terbatas untuk sudut-sudut real. Bagaimana jika sudut-sudutnya merupakan bilangan kompleks (z) ?. Untuk ini kita dapat memanfaatkan deret Maclaurin untuk sin z dan cos z. Tetapi akan lebih mudah jika kita memanfaatkan persamaan 2.7.6.2 di atas, tetapi sudut yang real, diganti dengan z, sehingga:

sin z =

cos z =

(7.6.3)

Contoh 1:Tentukan harga cos i !. Jawab:

cos i = = = e + = + = 1,543 ....

Soal 7.6 :

1) Buktikan bahwa cos z + sin z = 1 2) Buktikan bahwa sin z = cos z

Evaluasilah integral berikut:

3) 4)

5) 6)

7.7 Fungsi HiperbolikMarilah kita evaluasi harga sin z dan cos z untuk z = i y (Bilangan imajiner murrain). Dengan menggunakan persamaan (7.6.3) kita peroleh:

sin i y = = i (7.( 7. 1a)

Page 7: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/15

cos z = = (7.( 7. 1b)

Selanjutnya komponen real ruas kanan persamaan (7.( 7. 1a) disebut sinh y (sinus hiperbolik y) sedang ruas kanan (7.( 7. 1b) disebut cosh y (cosinus hiperbolik y) jadi:

sinh y = (7.( 7. 2a)

cosh y = (7.( 7. 2b)

Hubungan antara sin dan sinh serta cos dengan cosh dapat diperoleh dengan cara menggabungkan (7.( 7. 1a) dengan (7.( 7. 2a) dan (7.( 7. 1b) dengan (7.( 7. 2b), jadi:

sin iy = i sinh y atau sinh y = i sin iy (7.( 7. 3a)cos iy = cosh y atau cosh y = cos iy (7.( 7. 3a)

Dengan demikian dapat kita lihat bahwa sebenarnya fungsi hiperbolikus dari y, adalah fungsi trigonometri dari iy, oleh karena itu operasi fungsi hiperbolikus dapat dilakukan dengan cara mengubahnya menjadi fungsi trigonometri, dan selanjutnya kita dapat menerapkan aturan-aturan fungsi trigonometri.

Contoh 1:Tentukan harga cosh2x sinh2x .Jawab: cosh x = cos ix sedang sinh x = i sin ix, jadi

cosh2x sinh2x = (cos ix)2 (i sin ix)2 = cos2 ix + sin2 ix = 1jadi: cosh2x sinh2x = 1

Contoh 2:Jika y = sinh x, tentukan dy/dx.Jawab : y = sinh x = i sin ix dy = i d sin ix = i . i cos ix dx = cos ix dx = cosh x dxjadi:

dy/dx = cosh x

Soal 7.7:Tentukan komponen real (x) , komponen imajiner (y) dan harga abolutnya (r)

1) sin (x + iy) 2) cosh (2 3i) 3) sin (4 + 3i)

4) cosh 2p i 5) sin 6) sinh (1 + )

7.8 LogaritmaMenentukan harga w = ln z untuk z positif adalah sesuatu yang sangat mudah, karena

dapat kita selesaikan dengan melihat tabel atau dengan kalkulator, tetapi bagaimana jika z berharga negatif. Kasus ini dapat diselesaikan jika z tersebut dipandang sebagai bilangan kompleks. Jika z dipandang sebagai bilangan kompleks, maka:

w = ln z = ln (r . ei ) = ln r + ln ei = ln r + i Aplikasinya kita lihat contoh berikut: Contoh 1 :

Tentukan w = ln (- 1)

Untuk contoh di atas maka z = - 1. Untuk ini z = -1 harus kita ubah menjadi bentuk z = r . e i

melalui bentuk bilangan kompleks :z = x + i y

Jika z = - 1 dipadankan dengan bentuk kompleks z = x + iy maka ia dapat dipandang sebagai bilangan kompleks dengan x = -1 dan y = 0, sehingga :

r = = 1sedang = arc tg (y/x) = arc tg (0/-1) = p + 2 n p jadi:

Page 8: FISMAT - Bilangan Kompleks

Mat-Kim/Bil. Kompleks/16

z = -1 = 1 . ei (p + 2 n p) , sehinggaw = ln z = ln (1) + i (p + 2 n p ) = ip ; i p ; 3 i p ; 3i p ; 5 i p .... dst

Contoh 2:Tentukan w = ln ( 1 + 2 i )

Jawab:z = 1 + 2 i jadi x = 1 dan y = 2, sehingga:r = = = arc tg (2/1) = 1,1071 + 2 np Jadi:w = ln ( ) + i (1,1071 + 2 np ) ...........

Soal 7.8 :Tentukan harga logaritma bilangan kompleks berikut:

1) ln (e) 2) ln ( i) 3) ln (i + )

7.9 Inversi Fungsi Trigonometri Inversi fungsi trigonometri adalah menentukan besarnya sudut jika harga fungsi

trigonometrinya diketahui. Misalnya menentukan harga x jika cos x = 0,5. Kasus ini dapat ditulis x = inversi dari cos 0,5 atau x = arc cos 0,5. Contoh kasus di atas adalah bentuk inversi trigonometri yang dengan mudah dapat kita selesaikan, tetapi seringkali dijumpai bahwa kita harus menghitung besarnya sudut x, untuk cos x > 1. Hal seperti ini akan kita jumpai pada bahasan Efek Compton.

Pada pembicaraan mengenai Efek Compton dalam gejala kuantum kita akan sering menjumpai perhitungan mencari besarnya sudut hamburan partikel yang dicari dari inversi fungsi cosinus. Besarnya sudut hamburan tidak sulit dicari jika harga cosinusnya antara 1 s/d 1. Tetapi perhitungan efek Compton sering memaksa kita melakukan perhitungan mencari harga sudut yang cosinusnya > 1. Penyelesaian untuk kasus seperti ini dapat kita lihat dari contoh berikut:

Tentukan z jika cos z = 2 atau tentukan z = arc cos 2.Penyelesaian:Jika z dianggap sebagai bilangan real, maka cos z = 2 tidak dapat diselesaikan, tetapi jika z bilangan kompleks, maka berlaku:

cos z = = 2 atau : eiz + eiz = 4

Jika eiz diganti u, maka:

u + 1/u 4 = 0 atau u2 4u + 1 = 0 sehingga u = eiz = 2 + u = 2 + dapat dipandang sebagai bilangan kompleks dengan x = 2 + dan y = 0, jadi :

r = = x = 2 +

= arc tg = 0 + 2np

Maka:

u = 2 + = r . ei = (2 + ). e n p i ini = ei z

Jadi:

i z = ln (2 + ) + ln (e n p i ) = ln (2 + ) + 2 n p iDengan demikian:

z = 2 n p + ln (2 + ) = 2 n p i ln (2 + ) = 2 n p 1,317 i

Soal 7.9Tentukan harga fungsi berikut

1) arc sin 2 2) arc cos 3) arc sin (5/3)