1kuliah Mat Fi Fismat

36
MATEMATIK FISIKA DAFTAR ISI BAB I : Eksponen ,logaritma danDeret 1.1 Bilangan berpangkat 1.2 Pengertian logaritma 1.3 Pengertian baris 1.4 Pengertian deret 1. 5 Persamaan dan Kesamaan

description

sdg

Transcript of 1kuliah Mat Fi Fismat

Page 1: 1kuliah Mat Fi Fismat

MATEMATIK FISIKA

DAFTAR ISI

BAB I : Eksponen ,logaritma danDeret

1.1 Bilangan berpangkat

1.2 Pengertian logaritma

1.3 Pengertian baris

1.4 Pengertian deret

1. 5 Persamaan dan Kesamaan

Page 2: 1kuliah Mat Fi Fismat

BAB. II

-Bilangan dan pers Aljabar komplek

-Matrik definisi serta aljabar komplek

- Determinan, sistem persamaan linier

- Transformasi koordinat

-Analisa Vektor

- Kalkulus diferensial dan kalkulus integral

- Fungsi vektor

Page 3: 1kuliah Mat Fi Fismat

BAB III. Persamaan deferensial biasa

3.1 Definisi pers.deff biasa

3.2 Membuat persamaan diff

3.3 Pers deff biasa orde satu

3.4 Penerapan PDB orde satu dalam fisika

BAB IV. Vektor

4. 1 Pendahuluan

4.2 Aljabar Vektor

4.3 Garis dan bidang

Page 4: 1kuliah Mat Fi Fismat

BAB.V. Matriks 5.1 Matrik 5.2 Aljabar matriks 5.3 Determinan 5.4 Persamaan linier 5.5 Matriks adjoin dan matrks invers 5.6 Rannk matriks 5.7. Transformasi linier 5.8 Matrik ortogonal 5.9 Nilai Eigen dan Vektor Eugen 5.10 Matriks digonal

TK1A

Page 5: 1kuliah Mat Fi Fismat

I.1 Bilangan berpangkat

Sifat-sifatnya

a.

b.

c.

d.

e. dan

f. dan

g. aʸ = aˣ maka x = y, asal a ǂ 1 , a ǂ 0

h. aˣ = bˣ maka a = b asal x ǂ 0

rnmrnm axxaxaa ....nmnm aaa :

mnnm aa )(

).....(... mmmm cbacba

mm

m

b

a

b

amn

aam n

mnm baaa ).( m

m

m

b

a

b

a)(

Page 6: 1kuliah Mat Fi Fismat

Referensi.

1. Mery L Boas Mathematical Methods in the Physical, 3 and editor, Joen Weley & sons 2006

2. K>L Reley Mathematical Method for Physics and Engeneern,3and Combregge 2006.

3. Roswati Mudjiarto, Frans J Krips.

Page 7: 1kuliah Mat Fi Fismat

i. aˣ > aʸ ,a>1 maka x>y asal xǂ 0 , y ǂ 0

j. aˣ > aʸ dan 0 < a < 1 maka x < y

I.2 Pengertian logaritma dan sifat-sifatnya

Definisi : logaritma dari auntuk bilangan pokok g

ialah bilangan x sehingga gˣ = a

1. ͫlog mˣ = x dan

2. ͫlog abc = ͫlog a + ͫlog b + ͫlog c

3. ͫlog a/b = ͫlog a - ͫlog b

4. ͫlog aᵑ = n . ͫlog a dan ͫlog a =

5. ͫlog a x ͣlog d x ͩlog s = ͫlog s

(pembuktian)

ag ag log

m

ax

x

log

log

sm

s

d

ax

a

dx

m

a m loglog

log

log

log

log

log

log

log

Page 8: 1kuliah Mat Fi Fismat

6.

7.

8.

9.

10.

baba gg loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 1loglog

yxgyx gg 10loglog

yxgyx gg 10loglog

Page 9: 1kuliah Mat Fi Fismat

DERET Def : Baris adalah suatu fungsi yang daerah definisinya adalah bilangan asli :( 1,2,3……) Def : Deret adalah jumlah suku-suku dari suatu barisan. Baris 1,3,5,7, …; Deret 1+3+5+7+.. Macam-macam baris dan deret. a. Barisan hitung dan deret hitung(aritmatika) b. Barisan ukur dan deret ukur (geometri) c. Barisan harmonis dan deret hatmonis(selaras) d. Barisan ukur hitung dan deret ukur hitung Barisan dan deret (aritmatika ) Definisi : Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda antara

Page 10: 1kuliah Mat Fi Fismat

tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya, beda itu dilambangkan b

U₂-U₁ = U₃-U₂ =U₄-U₃ = …..= Un –Un-1 =b

jadi b = Un – Un-1 = konstan, maka suku yang ke n adalah Un =a + (n-1)b dan jumlah n suku yang pertama dn =1/2 n{a + Un }.

Sisipan

Jika di antara m dan n disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan menurut aturan yang tertentu, maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan itu disisipkan di antara m dan n. Jika diantara m dan n disisipkan k buah bil.

Page 11: 1kuliah Mat Fi Fismat

sehingga menjadi baris aritmatika :

m, m+ b’, m + 2b’, ……,m + kb’, n→ m + kb’ = n

kb’ + b’ = n – m →(k + 1 ) b’ = n – m = b

maka : , k = banyak bil. Yan disisipkan

Banyak suku-suku barisan baru adalah banyaknya barisan mula-mula ditambah suku-suku yang disisipkan : n’ = n + (n-1)k , di perhatikan a = a’

Un = Un’ dan St = St. Bila banyak suku barisan itu genap,maka akan didapat dua suku tengah:

1. 2. dn = n.St ; St =suku te

Tengah,Un=suku terakhir, dn=jml suku yg pertama

1'

k

bb

2

UnaSt

Page 12: 1kuliah Mat Fi Fismat

Barisan dan Deret Geometri

Definisi: Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai hasil bagi antara tiap-tiap dua suku yang berurutan adalah tetap besarnya. Hasil bagi itu disebut pembanding (p) atau disebut ratio(r). Jika U₁, U₂, U₃, …..Un merupakan barisan geometri,maka

U₂/U₁ = U₃/U₂ = U₄/U₃ =….= Un/Un-1 = p=r=tetap

a = suku pertama ; p = pembanding

a, ap² ,……..,apᵑ-1 adalah barisan geometri yang banyak suku adalah n buah : 1napUn

Page 13: 1kuliah Mat Fi Fismat

• Jumlah n suku yang pertama deret geometri dn

p = pembanding

dn=jml suku 1

Sisipan

Jika di antara dua suku berurutan suatu barisan geometri disisipkan sebuah atau beberapa buah bilangan, sehingga barisan bilangan baru merupakan barisan geometri maka akan kita peroleh rumus2 sisipan sebagi berikut :

a, …………………………,b, baris geometri semula

a, ap’, ap’², …… ap’ᵏ,b baris geometri baru

1

1

1

1

p

pa

p

padn

nn

Page 14: 1kuliah Mat Fi Fismat

ap’ᵏx p = b , ap’ᵏ⁺ⁱ = b , (ap’)ᵏ⁺ⁱ = b/a = p

1. p’=pembanding baru

k= banyak bilangan yang

disisipikan antara tiap dua

suku berurutan.

2. n’ = n + (n – 1 ) k

Deret ukur tak hingga

1. Jika suatu deret geometri banyaknya suku mendekati tak terhingga dan pembandingnya antara 1 dan -1 atau [p] < 1 maka deret itu disebut deret konvergen

1' k pp

Page 15: 1kuliah Mat Fi Fismat

2. Deret yang tidak memenuhi syarat di atas disebut deret divergen

Jumlah deret geometri tak terhingga (d)

( [p] < 1 )

Baris dan Deret Ukur Hitung.

Definisi : Baris ukur hitung :barisan bilangan yang susku2nya merupakan hasil kali suku2 barisan aritmatika dan barisan geometri yang bersesuaian

nlim

p

adn

1

Page 16: 1kuliah Mat Fi Fismat

Baris aritmatika : a, a+b, a+2b, ……..a +(n-1)b

Baris geometri : a, ap, ap², ………apᵑ⁻⁻ⁱ

Barisan ukur hitung : a .a, (a+b)ap, (a+2b)ap², ……, {a + (n-1)b}.apᵑ⁻ⁱ .

1}.)1({ napbnaUn

Page 17: 1kuliah Mat Fi Fismat

PERSAMAAN DAN KESAMAAN

Persamaan

Def : Persamaan dalam suatu veriabel tertentu : bentuk pers.yang nilainya (besarnya) variabel itu dapat ditentukan dan tertentu besarnya .

Contoh : 2x + 1 = 0 → 2x = -1 → x = - ½

harga x tertentu yaitu = - ½

Macam-macam Persamaan

1. Persamaan linier: pengkatnya paling tinggi satu

contoh : ax + b = 0 a,b = bilangan tetap

Page 18: 1kuliah Mat Fi Fismat

2. Persamaan kuadrat : pers.variabel pangkat paling tinggi dua. Contoh : ax² + bx +c =0

3. Persamaan pangkat tinggi : pers. Variabelnya mempunyai pangkat > 2. Bentuk umum :

Persamaan kuadrat :

b² - 4ac = D = diskriminan

1. Jika D > 0 maka x₁ ‡ x₂

2. Jika D = 0 maka x₁ = x₂

3. Jika D < 0 maka ada bil. imajiner

0.....2

2

1

10 n

nnn axaxaxa

a

acbbx

2

42

2,1

Page 19: 1kuliah Mat Fi Fismat

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat :

- x₁ + x₂ = - b/a dan x₁ . x₂ = c/a

Penguriannya : ax² + bx + c = a(x – x₁ ) (x – x₂)

1.Jika D>0 maka ax² + bx + c = a(x – x₁ )(x - x₂) dapat di uraikan atas dua faktor linier yang berlainan.

2. Jika D = 0 maka ax + bx + c = a(x- x )² dapat diuraikan atas dua faktor yang sama

3. Jika D< o maka ax + bx + c , tidak dapat diuraikan atas faktor-faktornya

Page 20: 1kuliah Mat Fi Fismat

Kesamaan Def : Kesamaan (lambang “ Ξ “ ) dalam suatu

variabel tertentu ialah suatu bentuk persamaan yang berlaku setiap harga variabel.

(2x² + x) Ξ x(2x +1); berlaku untuk setiap harga x sifat-sifat : 1. f(x) =a₀ xⁿ+a₁ xⁿ⁻

+….+a₀=0 maka berlaku a₀ =a₁ =a₂ = …= an = 0 2. a₀ xⁿ+a xⁿ⁻

+….= b₀xⁿ+b₁xⁿ⁻

+…+b₀ mk berlaku a₀ =b₀;a₁=b₁,….;an =bn Memecahkan pecahan : 1. Jika pecahan mempunyai n faktor pada penyebut

nya mk pecahan tsb dapat dipecahmenja di n pecahan baru

Page 21: 1kuliah Mat Fi Fismat

2. Jika penyebut suatu pecahan mempunyai satu faktor berpangkat n, maka pecahan dapat di pecah menjadi n pecahan baru.

3. Dalam memecah pecahan akan didapat pecahan-pecahan baru dengan derajat pembilang maksimal satu lebih kecil dari derajat penyebut.

Dalil Sisa

Jika f(x) = a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻

+….+an-1 +an dibagi oleh (x-x₁), maka sisanya adalah f(x₁).

Sifat-sifat dalil sisa : 1. Jika pembagi bentuk linier, mk sisanya adalah bilangan tetap

2. Jika penbagi bentuk kuadrat , mk sisa bentuk linier

3. Jika pembagi bentuk pangkat tiga,mk sisanya bentuk kuadrat

Page 22: 1kuliah Mat Fi Fismat

Fungsi kuadrat.

Pers. Umum lingkaran Ax² + Ay²+ Dx +Ey +F = 0

Pers.Khususu lingkaran (x – h)² + (y – k)² = r²

Pers Umum Ellips Ax² + Cy² + Dx + Ey +F = 0

Pers Khusus Ellips (x-h)/a² +(y-k)/b² = 1

Pers. Umum parabola Ax²+Dx +Ey +F =0 sb //sb y

-“- - “ - - “- Cy² + Dx +Ey +F = 0 sb // sb x

Pers Khususnya : y² =4p x→ vertek (0,0) sb // sb x

x² = 4py→ vertek (0,0) sb // sb y

Sedang, (x-h)² = 4p(y-k) ; (y-k)² = 4p(x-h)→ p(h,k)

Page 23: 1kuliah Mat Fi Fismat

Harga ekstrim dan grafik suatu fungsi.

a. Jika dalam suatu interval f’(x) >0, maka dalam

interval itu f’(x) naik.

b. Jika dalam suatu interval f’(x) < 0, maka dalam

interval itu f’(x) turun

Syarat Maks dan Mim

a. Jika titik A ,f’(x)=0 dan f’’(x) > 0 minimum

b. Jika titik A,f’(x) = 0 dan f’’( x) < 0 maksimum

c. Jika titik A. f’(x) = 0 dan f’’(x) = 0 maka tidak ada maksimum dan minimum (ada titik belok )

Page 24: 1kuliah Mat Fi Fismat

Persamaan Diferensial Biasa persamaan deferensial : pers. Yang mengandung

fungsi dan bentuk2 turunan.

Deferensil dapat dikelompokkan :

1. Persamaan Defersial Biasa(PDB)

2. Persamaan Deferensial Parsil(PDP)

Contoh 1. dy/dx = cos x dan d²y/dx² = g

2. Pers.Laplac:

ditulis dalam bentuk

pers. diffusi

02

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u

02u

tuu /./1 22

Page 25: 1kuliah Mat Fi Fismat

Istilah dalam pers.deff.

1.orde :tingkat diferensial tertinggi yang terdapat

dalam persamaan deferensial.

2.Degree :pangkat dari orde persamaan

diferensial.

Contoh : persamaan ini sukar ditentukan ordenya , untuk itu kedua ruas dipangkatkan 6. Maka sekarang terlihat

PDB ini berorde 2

dan degree 2

2

32

2

1dx

dy

dx

yd

322

2

2

1dx

dy

dx

yd

Page 26: 1kuliah Mat Fi Fismat

Dalam bab ini kita hanya melihat PDB linier, karena sering ditemukan dalam permasalahan Fisika. Bentuk Umum PDB linier (1.7) :

PDB linier karen pada ruas kiri hanya terdiri dari Y = f(x).

dan

Kedua pers. diff di atas tidak linier .PDB tdk linier

kerena perkalian antara y dy/dx dan bentuk (y’)²

Jika pada pers.umum PDB linier (1.7)

)(.... 12

2

21

1

10 xRyadx

dya

dx

yda

dx

yda

dx

yda nnn

n

n

n

n

n

43

3

dxdy

dx

yd y xyy 2)'(

Page 27: 1kuliah Mat Fi Fismat

R(x) =0 dan a₀,a₁, a₂, ….. an tetapan, PDB linier ini disebut PDB linier homogen dngan koefisien tetap. Contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, ……..,an ; tetap ,maka PDB linier ini :PDB linier tak homogen dengan koefisien tetap ; contoh :

R(x) =0 dan a₀, a₁, a₂, …..an ; bergantung variable x → PDB linier homogen dengan koefisien variable , contoh :

R(x) = 0 dan a₀, a₁, a₂, …an, bergantung variable x PDB linier tak homogen dgn koefisien. varible

042

2

dx

d y

5432

2

ydx

dy

dx

yd

02

2

dx

dy

dx

ydx

Page 28: 1kuliah Mat Fi Fismat

contoh :

Operator diferensial ,ini notasi yang sering digunakan (D), (D) : turunan pertama terhadap variabel bebas dala penyelesaian PDB. Dimana Dy =dy/dx, D²y = d²y/dx²,…….Dⁿy = dⁿy/dxⁿ.

Konsep penyelesian PDB : penyelesaian pers. diferensial adalah pernyataan bentuk hubungan antara variabel tak bebas dengan variabel bebas nya,yang tidak mengandung bentuk turunan lagi Contoh : y’ =x→ y’= dy/dx = x → dy= x dx

integrasi pers. di atas

22 222

2

xyxxdx

dy

dx

yd

cxxdxy 22/1

Page 29: 1kuliah Mat Fi Fismat

Membuat Persamaan Diferensial.

Dalam fisika pers.deferensial ini sering ditemukan

contoh pada hukum Newton II bahwa F = ma

F = m d²x/dt² → d²x/dt² = F/m ini adalah PDB orde dua degree satu.

Kalau pd pegas, menurut hkm Newton II –kx=ma

dapat ditulis m d²x/dt² +kx = 0

PDB orde satu

M(x,y)dx +N(x,y) dy =0→dy/dx =-M(x,y)/N(x,y)

kalau M(x,y)=f₁(x) g₁(y) dan N(x,y) =f₂(x) g₂(y)

dxdyxf

xf

yg

yg

ygxf

ygxf

dx

dy

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

2

1

1

2

22

11

Page 30: 1kuliah Mat Fi Fismat

penyelesian persamaan pers. di atas dengan mengintegral .

PDB linier

Bentuk PDB linier pers. dy/dx +P(x) y = Q(x) atau

dy/y=-P(x)dx dengan integral ln y=

maka dgn A =e

.

Jadi penyelesaiannya PDB : (*)

cdxxP )(dxxPcdxxP

Aeey)()(

dxxPdxxPdxxP

cedxxQeey)()()(

)(

Page 31: 1kuliah Mat Fi Fismat

Persamaan Bernoulli.

Pers.Bernoulli perkembangan dari PDB linier, ruas kiri sama dengan ruas kiri PDB linier dan ruas kanannya sama dengan ruas kanan PDB linier yang dikalikan dengan yⁿ.

PDB Bernoulli : dy/dx + P(x) y =Q(x) yⁿ

Dengan di selesaikan maka didapat dan mengalikan dengan (1-n)y⁻ⁿ di dapat :

(1-n)y⁻ⁿdy + (1-n)yⁱ⁻ⁿP(X)dx =(1-n)Q(x)dx →

dz+(1-n)P(x) z dx = (1-n)Q(x) dx (lihat cont. h.82)

Page 32: 1kuliah Mat Fi Fismat

T Penerapan PDB orde satu dalam Fisika.

Peluruhan zat radio aktif : dN/dt = -λN dirubah

dN/N = -λ dt → ∫dN/N =-∫λdt → lnN=-λt+ C (*)

Bila t=0,N=N₀ , maka ln N₀ =C sisipkan C pada (*)

maka ln N = - λt + ln N₀ → N = N₀ e⁻ ,

zat menjadi setengah zat mula2→ N = ½ N₀

maka : ½ N₀ = N₀ → =1/2→-λt=ln 1-ln2

t = (ln 2)/ λ → waktu paruh

- lihat pd rangkian listrik dgn hkm Kirchoff

L di/dt + Ri = V ; aliran panas (h.90)

t

tete

dx

dTkAQ

Page 33: 1kuliah Mat Fi Fismat

, PDB orde Dua dalam bentuk Khusus.

Orde dua dari PDB : a₀(x)y’’+a₁(x)y’+a₂y = R(x) (1)

Fungsi ini terdiri dari:(y’’,y’,y dan x→f(y’’,y’,y, x)=0

Dari persamaan ini didapat dua bentuk khusus :

1. Terdapat y, maka f(y’’,y’,y,x)=0 berubah :f(y’’,y’,x)

Jika PDB orde dua dilakukan pemisalkan :

y’=p → y’’ = dp/dx ; sisipkan y’ dan y’’ dalam pers.f(y’’.y’,x)=0 , diperoleh

f(dp/dx, p,x)=0 jika merupakan PDB orde

satu,persamaan diatas dapat diselesaikan.

2. Tidak terdapat x maka pers f(y’’,y’,y,x)=0 berubah menjadi

f(y’’,y’,y)=0 → y’ = dy/dx = p dan y’’= dp/dx = dp/dy . dy/dy’’ = p dp/dy .

Sisipkan y’ dan y’’ pada persamaa : f(y’’.y’, y) = 0

maka f(p dp/dx, p, y) = 0. Jadi pers. Ini merupakan PDB orde satu dan

dapat diselesaikan

Page 34: 1kuliah Mat Fi Fismat
Page 35: 1kuliah Mat Fi Fismat

PDB Euler-Cauchy.

Pada hal ini akan dibahas PDB orde dua dengan

koefisien variabel :

a₀,a₁ dan a₂ tetapan ,Pers ini: PDB Euler (Cauchy)

Untuk menyelesaikan PDB Euler atau Cauchy

Misalkan x = e

→ dx/dz = e

= x . Cari y’ = dy/dx

dy/dx= dy/dz.dz/dx=x⁻ⁱdy/dzatau x dy/dx=dy/dz

Cari : y” = d²y/dx² → d²y/dx² =d/dx(x⁻ⁱ dy/dz

=-x⁻ⁱ dy/dz+x⁻ⁱdz/dx.d²y/dz²=x⁻²(-dy/dz +d²y/dz²)

x² d²y/dx² = d²y/dz² - dy/dz.

)1)....((21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd

Page 36: 1kuliah Mat Fi Fismat

Sisipkan y”,y’ ke pers.

a₀(d²y/dz² -dy/dz) + a₁ dy/dz +a₂y = R(z)

a₀d²y/dz² +( a₁ - a₀ ) dy/dz + a₂ y = R(z). ….(*)

Penyelesaian akhir diperoleh dengan mengguna -kan metode PDB linier orde dua dengan koefisien tetap tak homogen untuk pers (*).

)(21

2

0 2

2

xRyaxaxadx

dy

dx

yd