Post on 25-Jan-2023
A lógica em questão foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da
Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria
probabilística, inteligência artificial e redes neurais para que possa representar o
pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois
muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática.
Lógica Difusa ou Lógica Nebulosa, também pode ser definida , como a
lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao
invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a trabalhar.
Ela está baseada na teoria dos conjuntos nebulosos e difere dos
sistemas lógicos tradicionais em suas características e detalhes.
Lógica Fuzzy
Habilidade de inferir conclusões e obter respostas baseada em informações
vagas e ambíguas e quantitativamente incompletas e imprecisas.
Capacidade de raciocínio semelhante ao raciocínio humano.
A teoria dos conjuntos fuzzy estende a teoria dos conjuntos tradicionais “crisp”
com a incorporação do conceito de grau de verdade.
Resolve paradoxos os gerados pela classificação de verdadeiro ou falso da
lógica clássica.
Os conjuntos fuzzy apresentam limites imprecisos
Conjunto tradicional – lógica clássica
1
1,75 Altura (m)0
1
1,75 Altura (m)01,70
0,90,8
1,55
0,4
Conjunto fuzzy – lógica fuzzy
Função de pertinência
A = Conjunto de pessoas altas
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
13 17
1
A
13 17
1
B
12 18
Função característica de um conjunto
“crisp” adolescente
Função trapezoidal de um conjunto
nebuloso adolescente
conciso, decisivo
B = Conjunto nebuloso adoslescente
Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma função de
pertinência μA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].
Conjuntos Fuzzy
μA: X [0,1]
Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x pertencente a X um número
real μA(x) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto
A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.
Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa.
μA(x) : X [0,1], a função de pertinência mapeia os elementos do universo X, no
intervalo [0,1].
μA(x) = 0 => indica que x possivelmente não é elemento de A com 0% de possibilidade, i.
é, o elemento x é incompatível com as características dos elementos de A;
0 < μA(x) < 1 => indica que x é parcialmente compatível com A, com grau de pertinência
A (x).
μA(x) = 1 => indica que x é elemento de A com 100% de possibilidade; Prof. Msc. Seldon R. Duarte
Definição formal
Um conjunto fuzzy A em um universo de discurso X é expresso como um conjunto
de pares ordenados:
A = {(x, A(x)) | x X}
universo de
discursofunção de
pertinência
Conjunto fuzzy
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
Elemento de A
A teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos Conjuntos Tradicionais.
Assim, as principais operações e relações entre Conjuntos Fuzzy são definidas como
extensão das operações e relações tradicionais, como pode ser visto na Tabela
abaixo, onde A e B denotam Conjuntos Fuzzy sobre um conjunto base X e A(x) e B(x)
representam os graus de pertinência de x nos Conjuntos Fuzzy A e B
respectivamente.
N Operação Representação Natureza
1 Subconjunto (A B) se A(x) B(x) para todo xX Relação
2 Diferença (A B) se A(x) B(x) para pelo menos um elemento de x
X
Relação
3 Igualdade (A = B) se A(x) = B(x) para todo x X Relação
4 Inclusão (A B) se A(x) B(x) para todo xX Relação
5 Intersecção A B = A(x) B(x) = min [A(x), B(x)] Operação
6 União AB = A(x) B(x) = max [A(x), B(x)] Operação
7 Complemento A(x) = 1 - A(x) Operação
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B A
AB = A(x) B(x) = max [A(x), B(x)]
Conjunto Fuzzy “A ou B”
Xa
X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}
B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
União
C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}
b
0.2
0.4
0.6
0.8
1
B A
Xa b
AB = A(x) B(x) = min [A(x), B(x)]
Conjunto Fuzzy “A e B”
X = {a, b, c, d, e}
A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}
B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}
Intersecção
C = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}
Além das operações e das relações os Conjuntos Fuzzy possuem algumas
características especiais. Entre tais características encontram-se: Corte , Conjunto
de Níveis, Suporte, Altura e Normalização. A seguir tais características serão
apresentadas de forma sintética, supondo que A é um Conjunto Fuzzy sobre o
conjunto base X.
Corte
O Corte (A) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao Conjunto Tradicional que
contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A
maior ou igual a , enquanto que o Corte forte (+A) contém todos os elementos em
um conjunto universo X com grau maior que , onde [0,1].
A = {x X | A(x) }
+A = {x X | A(x) }
Conjunto de Níveis
O Conjunto de Níveis () de um Conjunto Fuzzy A corresponde a um conjunto que
contém todos os valores [0,1] e que representam Cortes de A distintos. O
Conjunto de Níveis do Conjunto Fuzzy A é representado formalmente por:
A = { | A(x) = para algum x X}
X
A0.5
+A
= 0.5A
Suporte
O Suporte de um Conjunto Fuzzy A, em um conjunto universo X, é o Conjunto
Tradicional que contém todos os elementos de X que possuem grau de pertinência
diferente de zero em A. Claramente, o Suporte de A é exatamente o mesmo que o
Corte forte de A para = 0. Vários símbolos especiais costumam ser usados para
representar o Suporte de um conjunto, tais como: S(A) ou supp(A). Este trabalho
usará a simbologia de 0+A para esta representação.
0+A = {x X | A(x) > 0}
Altura
A Altura (h) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao seu maior grau de
pertinência, entre todos os elementos do conjunto.
h(A) = supxX A(x)
Normalização
Um Conjunto Fuzzy A é chamado de Normal quando a sua Altura é igual a 1, ou seja, pelo
menos um grau de pertinência, dos elementos do conjunto, possui valor
máximo, enquanto que os conjuntos que não possuem Altura igual a um são chamados
de subnormal. Portanto:
A é dito normal se h(A) = 1
A é dito subnormal se h(A) < 1
Função de pertinência
Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o
objeto pertence ao conjunto fuzzy.
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
SGm(x)
b
c
Função de pertinência – Sino GeneralizadaG
rau
s d
e p
ert
inê
ncia
x = elemento com grau de pertinência definido pela função
A(x) em um conjunto A de um universo de discurso X.Prof. Msc. Seldon R. Duarte
b
b
cxxSG
2||1
1)(
X
0,7
A(x=6) = 0,7 (70%) em um conjunto A do universo de discurso X
A B C x SG(x)0 3 8 0 0,0027731 3 8 1 0,006158
2 3 8 2 0,015385
3 3 8 3 0,044576
4 3 8 4 0,151088
5 3 8 5 0,5
6 3 8 6 0,919294
7 3 8 7 0,99863
8 3 8 8 1
9 3 8 9 0,99863
10 3 8 10 0,919294
11 3 8 11 0,5
12 3 8 12 0,151088
13 3 8 13 0,044576
14 3 8 14 0,015385
15 3 8 15 0,006158
16 3 8 16 0,002773
𝑆𝐺𝜇(𝑥)=1/(1+|(𝑥−𝑐)/𝑏|2𝑏)
=1/(1+ABS((A5-C5)/B5)^(2*B5))
Função de pertinência Sino Generalizada
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
Expoênte do quociente denominador igual a 2b.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 3 5 7 9 11 13 15 17
Gru
as d
e p
ert
inê
ncia
𝑆𝐺𝜇(𝑥)=1/(1+|(𝑥−𝑐)/𝑏|2𝑏)
b= largura do sino
c=ponto médio
X= universo
x=amostra
3
8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,21 4 7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
43
46
49
52
55
58
61
64
67
70
73
76
79
82
85
88
91
94
97
10
0
SGm(x)
Função de pertinência – Sino para uso contínuo
x
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
SG(x)
x = idade b = 10 ( Pessoas com idade em torno de 50 anos)
c = Idade de 50 anos
A = {x, B(x) | xX}
A = Conjunto de pessoas maduras (50 anos)
X=R (conjunto dos números reais – contínuo) as idades de todas as pessoas do conjunto
a pertencem a X, isto é xX. Prof. Msc. Seldon R. Duarte
2||1
1)(
b
cxxSG
b = 10
c = 50 anos
45 55
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
Tri(x)
Trim(x)
Função de pertinência – Triangular
contráriocaso
cbxsebc
xc
baxseab
ax
xTri
0
],[
),[
)(
a
b
cX
a = vértice 1
b = ponto médio (vértice 2)
c = vértice 3
X = universo
x = elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.Prof. Msc. Seldon R. Duarte
0,5
A(x=2) = 0,5 (50%) em um conjunto A do universo de discurso X
A B C Ex Tri(x)
1 3 6 1 01 3 6 2 0,51 3 6 3 11 3 6 4 0,66661 3 6 5 0,33331 3 6 6 0
Função de pertinência triângulo
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
Tri(x)
Trim(x)
a=vértice 1
b= ponto médio (simetria)
c=vértice 2
X= universo
contráriocaso
cbxsebc
xc
baxseab
ax
xTri
0
],[
),[
)(
a=1
b=3
c=6
=SE(E(E4>=A4;E4<B4);((E4-A4)/(B4-A4));SE(E(E4>=B4;E4<=C4);((C4-E4)/(C4-B4));0))
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Gaussm(x)
2)(2
1
)( cx
exGauss
Função de pertinência – Gaussiana
c=ponto médio
X = universo
x = elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.
= desvio padrão (>1). Um desvio muito pequeno torna o gráfico semelhante ao de
uma função triangular.
c
X
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
0,45
A(x=4) = 0,45 (45%) em um conjunto A do universo de discurso X
A B Cx Gauss(x)1 2 7 0,0111089972 2 7 0,0439369343 2 7 0,1353352834 2 7 0,3246524675 2 7 0,606530666 2 7 0,8824969037 2 7 18 2 7 0,8824969039 2 7 0,6065306610 2 7 0,32465246711 2 7 0,13533528312 2 7 0,04393693413 2 7 0,01110899714 2 7 0,002187491
2)(2
1
)( cx
exGauss
Gauss(x)=SE(B9=0;0;(2,71828182845904^(-0,5*((A9-C9)/B9)^2)))
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Função de pertinência gaussiana
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
c= ponto médio
= desvio padrão maior que 1. Um desvio muito pequeno torna o gráfico semelhante ao da função triangular.
X=universo
x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x).
c=7
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
Trap(x)
Trapm(x)
contráriocaso
dcxsecd
xd
cbxse
baxseab
ax
xTrap
0
],[
],[1
),[
)(Função de pertinência – Trapezoidal
a=inicio da rampa de subida
b=término da rampa de subida
c=início da rampa de descida
d=término da rampa de descida
x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.
a d
b c
0,5
A(x=2) = 0,5 (50%) em um conjunto A do universo de discurso X
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
A B C D E Trap(x)x Trap(x)
1 4 6 9 1 01 4 6 9 2 0,33331 4 6 9 3 0,66661 4 6 9 4 11 4 6 9 5 11 4 6 9 6 11 4 6 9 7 0,66661 4 6 9 8 0,33331 4 6 9 9 01 4 6 9 10 0
Função de pertinência trapezoidal
Prof. Msc. Seldon R. Duarte
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Gra
us d
e p
ert
inê
ncia
Trap(x)
contráriocaso
dcxsecd
xd
cbxse
baxseab
ax
xTrap
0
],[
],[1
),[
)(
a=inicio da pampa de subida b=término da rampa de subida
c=início da rampa de descida d=término da rampa de descida
x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.
Trap(x) =SE(E(E4>=A4;E4<B4);((E4-A4)/(B4-A4));SE(E(E4>=B4;E4<=C4);1;SE(E(E4>C4;E4<=D4);((D4-E4)/(D4-C4));0)))
A=1
B=4 C=6
D=9