Lógica Fuzzy Funções de Pertinência

Lógica Fuzzy

Funções de Pertinência

Prof. Msc. Seldon R. Duarte

A lógica em questão foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da

Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria

probabilística, inteligência artificial e redes neurais para que possa representar o

pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois

muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática.

http://http.cs.berkeley.edu/People/Faculty/Homepages/zadeh.html






http://www.din.uem.br/ia/neurais/



Lógica Difusa ou Lógica Nebulosa, também pode ser definida , como a

lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao

invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a trabalhar.

Ela está baseada na teoria dos conjuntos nebulosos e difere dos

sistemas lógicos tradicionais em suas características e detalhes.

Lógica Fuzzy

Habilidade de inferir conclusões e obter respostas baseada em informações

vagas e ambíguas e quantitativamente incompletas e imprecisas.

Capacidade de raciocínio semelhante ao raciocínio humano.

A teoria dos conjuntos fuzzy estende a teoria dos conjuntos tradicionais “crisp”

com a incorporação do conceito de grau de verdade.

Resolve paradoxos os gerados pela classificação de verdadeiro ou falso da

lógica clássica.

Os conjuntos fuzzy apresentam limites imprecisos

Conjunto tradicional – lógica clássica

1

1,75 Altura (m)0

1

1,75 Altura (m)01,70

0,90,8

1,55

0,4

Conjunto fuzzy – lógica fuzzy

Função de pertinência

A = Conjunto de pessoas altas

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

13 17

1

A

13 17

1

B

12 18

Função característica de um conjunto

“crisp” adolescente

Função trapezoidal de um conjunto

nebuloso adolescente

conciso, decisivo

B = Conjunto nebuloso adoslescente

Um conjunto fuzzy A definido no universo de discurso X é caracterizado por uma função de

pertinência μA, a qual mapeia os elementos de X para o intervalo [0,1].

Conjuntos Fuzzy

μA: X [0,1]

Desta forma, a função de pertinência associa a cada elemento x pertencente a X um número

real μA(x) no intervalo [0,1], que representa o grau de pertinência do elemento x ao conjunto

A, isto é, o quanto é possível para o elemento x pertencer ao conjunto A.

Uma sentença pode ser parcialmente verdadeira e parcialmente falsa.

μA(x) : X [0,1], a função de pertinência mapeia os elementos do universo X, no

intervalo [0,1].

μA(x) = 0 => indica que x possivelmente não é elemento de A com 0% de possibilidade, i.

é, o elemento x é incompatível com as características dos elementos de A;

0 < μA(x) < 1 => indica que x é parcialmente compatível com A, com grau de pertinência

A (x).

μA(x) = 1 => indica que x é elemento de A com 100% de possibilidade; Prof. Msc. Seldon R. Duarte

Definição formal

Um conjunto fuzzy A em um universo de discurso X é expresso como um conjunto

de pares ordenados:

A = {(x, A(x)) | x X}

universo de

discursofunção de

pertinência

Conjunto fuzzy


Elemento de A

A teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos Conjuntos Tradicionais.

Assim, as principais operações e relações entre Conjuntos Fuzzy são definidas como

extensão das operações e relações tradicionais, como pode ser visto na Tabela

abaixo, onde A e B denotam Conjuntos Fuzzy sobre um conjunto base X e A(x) e B(x)

representam os graus de pertinência de x nos Conjuntos Fuzzy A e B

respectivamente.

N Operação Representação Natureza

1 Subconjunto (A B) se A(x) B(x) para todo xX Relação

2 Diferença (A B) se A(x) B(x) para pelo menos um elemento de x

X

Relação

3 Igualdade (A = B) se A(x) = B(x) para todo x X Relação

4 Inclusão (A B) se A(x) B(x) para todo xX Relação

5 Intersecção A B = A(x) B(x) = min [A(x), B(x)] Operação

6 União AB = A(x) B(x) = max [A(x), B(x)] Operação

7 Complemento A(x) = 1 - A(x) Operação

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B

A

(A B) se A(x) B(x) para todo xX

Xx

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B A

AB = A(x) B(x) = max [A(x), B(x)]

Conjunto Fuzzy “A ou B”

Xa

X = {a, b, c, d, e}

A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}

B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}

União

C = {1/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.9/e}

b

0.2

0.4

0.6

0.8

1

B A

Xa b

AB = A(x) B(x) = min [A(x), B(x)]

Conjunto Fuzzy “A e B”

X = {a, b, c, d, e}

A = {1/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.9/e}

B = {0.2/a, 0.9/b, 0.4/c, 1/d, 0.4/e}

Intersecção

C = {0.2/a, 0.7/b, 0.3/c, 0/d, 0.4/e}

0.2

0.4

0.6

0.8

1 A

Conjunto Fuzzy “A”

Xx

0.2

0.4

0.6

0.8

1 A

Conjunto Fuzzy “Não A”

Xx

Além das operações e das relações os Conjuntos Fuzzy possuem algumas

características especiais. Entre tais características encontram-se: Corte , Conjunto

de Níveis, Suporte, Altura e Normalização. A seguir tais características serão

apresentadas de forma sintética, supondo que A é um Conjunto Fuzzy sobre o

conjunto base X.

Corte

O Corte (A) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao Conjunto Tradicional que

contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A

maior ou igual a , enquanto que o Corte forte (+A) contém todos os elementos em

um conjunto universo X com grau maior que , onde [0,1].

A = {x X | A(x) }

+A = {x X | A(x) }

X

A0.5

+A

Corte

= 0.5

Conjunto de Níveis

O Conjunto de Níveis () de um Conjunto Fuzzy A corresponde a um conjunto que

contém todos os valores [0,1] e que representam Cortes de A distintos. O

Conjunto de Níveis do Conjunto Fuzzy A é representado formalmente por:

A = { | A(x) = para algum x X}

X

A0.5

+A

= 0.5A

Suporte

O Suporte de um Conjunto Fuzzy A, em um conjunto universo X, é o Conjunto

Tradicional que contém todos os elementos de X que possuem grau de pertinência

diferente de zero em A. Claramente, o Suporte de A é exatamente o mesmo que o

Corte forte de A para = 0. Vários símbolos especiais costumam ser usados para

representar o Suporte de um conjunto, tais como: S(A) ou supp(A). Este trabalho

usará a simbologia de 0+A para esta representação.

0+A = {x X | A(x) > 0}

X

A0.5

+A

Suporte

= 0.50

0+A

Altura

A Altura (h) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao seu maior grau de

pertinência, entre todos os elementos do conjunto.

h(A) = supxX A(x)

Normalização

Um Conjunto Fuzzy A é chamado de Normal quando a sua Altura é igual a 1, ou seja, pelo

menos um grau de pertinência, dos elementos do conjunto, possui valor

máximo, enquanto que os conjuntos que não possuem Altura igual a um são chamados

de subnormal. Portanto:

A é dito normal se h(A) = 1

A é dito subnormal se h(A) < 1

Função de pertinência

Reflete o conhecimento que se tem em relação a intensidade com que o

objeto pertence ao conjunto fuzzy.


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

SGm(x)

b

c

Função de pertinência – Sino GeneralizadaG

rau

s d

e p

ert

inê

ncia

x = elemento com grau de pertinência definido pela função

A(x) em um conjunto A de um universo de discurso X.Prof. Msc. Seldon R. Duarte

b

b

cxxSG

2||1

1)(

X

0,7

A(x=6) = 0,7 (70%) em um conjunto A do universo de discurso X

A B C x SG(x)0 3 8 0 0,0027731 3 8 1 0,006158

2 3 8 2 0,015385

3 3 8 3 0,044576

4 3 8 4 0,151088

5 3 8 5 0,5

6 3 8 6 0,919294

7 3 8 7 0,99863

8 3 8 8 1

9 3 8 9 0,99863

10 3 8 10 0,919294

11 3 8 11 0,5

12 3 8 12 0,151088

13 3 8 13 0,044576

14 3 8 14 0,015385

15 3 8 15 0,006158

16 3 8 16 0,002773

𝑆𝐺𝜇(𝑥)=1/(1+|(𝑥−𝑐)/𝑏|2𝑏)

=1/(1+ABS((A5-C5)/B5)^(2*B5))

Função de pertinência Sino Generalizada


Expoênte do quociente denominador igual a 2b.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 3 5 7 9 11 13 15 17

Gru

as d

e p

ert

inê

ncia

𝑆𝐺𝜇(𝑥)=1/(1+|(𝑥−𝑐)/𝑏|2𝑏)

b= largura do sino

c=ponto médio

X= universo

x=amostra

3

8

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,21 4 7

10

13

16

19

22

25

28

31

34

37

40

43

46

49

52

55

58

61

64

67

70

73

76

79

82

85

88

91

94

97

10

0

SGm(x)

Função de pertinência – Sino para uso contínuo

x

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

SG(x)

x = idade b = 10 ( Pessoas com idade em torno de 50 anos)

c = Idade de 50 anos

A = {x, B(x) | xX}

A = Conjunto de pessoas maduras (50 anos)

X=R (conjunto dos números reais – contínuo) as idades de todas as pessoas do conjunto

a pertencem a X, isto é xX. Prof. Msc. Seldon R. Duarte

2||1

1)(

b

cxxSG

b = 10

c = 50 anos

45 55

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Tri(x)

Trim(x)

Função de pertinência – Triangular

contráriocaso

cbxsebc

xc

baxseab

ax

xTri

0

],[

),[

)(

a

b

cX

a = vértice 1

b = ponto médio (vértice 2)

c = vértice 3

X = universo

x = elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.Prof. Msc. Seldon R. Duarte

0,5


A B C Ex Tri(x)

1 3 6 1 01 3 6 2 0,51 3 6 3 11 3 6 4 0,66661 3 6 5 0,33331 3 6 6 0

Função de pertinência triângulo


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Tri(x)

Trim(x)

a=vértice 1

b= ponto médio (simetria)

c=vértice 2

X= universo

contráriocaso

cbxsebc

xc

baxseab

ax

xTri

0

],[

),[

)(

a=1

b=3

c=6

=SE(E(E4>=A4;E4<B4);((E4-A4)/(B4-A4));SE(E(E4>=B4;E4<=C4);((C4-E4)/(C4-B4));0))

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Gaussm(x)

2)(2

1

)( cx

exGauss

Função de pertinência – Gaussiana

c=ponto médio

X = universo

x = elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.

= desvio padrão (>1). Um desvio muito pequeno torna o gráfico semelhante ao de

uma função triangular.

c

X


0,45


A B Cx Gauss(x)1 2 7 0,0111089972 2 7 0,0439369343 2 7 0,1353352834 2 7 0,3246524675 2 7 0,606530666 2 7 0,8824969037 2 7 18 2 7 0,8824969039 2 7 0,6065306610 2 7 0,32465246711 2 7 0,13533528312 2 7 0,04393693413 2 7 0,01110899714 2 7 0,002187491

2)(2

1

)( cx

exGauss

Gauss(x)=SE(B9=0;0;(2,71828182845904^(-0,5*((A9-C9)/B9)^2)))

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Função de pertinência gaussiana


c= ponto médio

= desvio padrão maior que 1. Um desvio muito pequeno torna o gráfico semelhante ao da função triangular.

X=universo

x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x).

c=7

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Trap(x)

Trapm(x)

contráriocaso

dcxsecd

xd

cbxse

baxseab

ax

xTrap

0

],[

],[1

),[

)(Função de pertinência – Trapezoidal

a=inicio da rampa de subida

b=término da rampa de subida

c=início da rampa de descida

d=término da rampa de descida

x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.

a d

b c

0,5



A B C D E Trap(x)x Trap(x)

1 4 6 9 1 01 4 6 9 2 0,33331 4 6 9 3 0,66661 4 6 9 4 11 4 6 9 5 11 4 6 9 6 11 4 6 9 7 0,66661 4 6 9 8 0,33331 4 6 9 9 01 4 6 9 10 0

Função de pertinência trapezoidal


0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Trap(x)

contráriocaso

dcxsecd

xd

cbxse

baxseab

ax

xTrap

0

],[

],[1

),[

)(

a=inicio da pampa de subida b=término da rampa de subida

c=início da rampa de descida d=término da rampa de descida

x=elemento do universo X com grau de pertinência A(x) em um conjunto A de X.

Trap(x) =SE(E(E4>=A4;E4<B4);((E4-A4)/(B4-A4));SE(E(E4>=B4;E4<=C4);1;SE(E(E4>C4;E4<=D4);((D4-E4)/(D4-C4));0)))

A=1

B=4 C=6

D=9

JOVEM MADURO IDOSO

4020 3010 7050 60 800

Gra

us d

e p

ert

inê

ncia

Conjuntos Fuzzy “JOVEM”, “MADURO”, “IDOSO”

Universo X representando “idade”.

X = idade0,2

0,4

0,6

0,8

1

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