Derivadas Derivadas de Funções Elementares

Derivadas

Derivadas de Funções Elementares

Taxa de variação e incremento

Dada uma função xfy , que varia uniformemente em um certo intervalo, e

considere-se x um ponto deste intervalo. Se for dado um pequeno acréscimo a

x , representado por x (denominada incremento da variável independente

x ), neste ponto a função y sofrerá um acréscimo y , isto é,

xxfyy

ou

xfxxfyyxxfy .

Expressão denominada incremento da função y .

Se a expressão anterior for dividida pelo incremento x da variável independente tem-se

x

xfxxf

x

y

)()( 11

Esta última expressão é denominada taxa de variação média de y em

relação a x .

Graficamente pode-se representar as relações anteriores como segue:

Note que xy é a inclinação da reta secante (que corta a curva em P e

Q ). Se x for muito pequeno, isto é, 0 x , então o ponto Q tende para

mxy

yyy

xxx

12

12

reta secante

y

x tangente em P

1x 2x

1y

2y

X

Y xf

Q

P

Prof. Carlos Joari Notas de aula Cálculo Diferencial e Integral

1

o ponto P , a inclinação da reta secante PQ tende para a inclinação “ m ”

da reta tangente no ponto P , ou seja,

x

xfxxf

x

ym

xx

00limlimtan

x

xfxxfm

x

0lim

O “ m ” é também denominado coeficiente angular da reta tangente à curva

xfy no ponto P . Esta reta só contém um ponto 11, yx em comum com

a curva xf , e sua equação é:

bmxy

onde m e b podem ser determinados em cada ponto 11, yx conforme

mostra o exemplo a seguir. Como foi visto anteriormente o coeficiente angular

m pode ser convertido em ângulo, ou seja mggm arctantan .

Exemplo: Dada a função 0

2 xxy , determinar a equação da reta tangente

e seu ângulo no ponto 20 x .

a) Cálculo do m :

x

xfxxfm

x

)()(lim 0

0 x

xxx

x

)2(2)(lim

2

0

2

0

0

x

xxxxxm

x

222lim

2

0

22

0

00

2

0

02

2lim x

x

xxx

x

oo mxybbmxy 00

6,2P

Se 22 xy

para 62 yx e

o ponto onde vamos

calcular a tangente é

6,2P

X

Y

12

9

6

3

1 2 3

Prof. Carlos Joari Derivadas de funções elementares

2

Dados xm, e y , calcula-se b

se

46,2, 00 myx

e a equação da reta tangente que tem um ponto P em comum com a curva

xfy é

24 xy e 2246 b

Exemplo: Dada a função calcular o coeficiente angular da reta e a reta

tangente no ponto 2,7P .

3)( xxf

x

xfxxfm

x

)()(lim 0

0 como 7x

x

xm

x

373)7(lim

0 x

x

x

24lim

0

racionalizando e lembrando que a b a b 222

baba

xx

xxm

x

24

2424lim

0 24

44lim

0

xx

x

x

24

lim0

xx

xm

x 4

1

24

1

A reta tangente no ponto 2,7, 11 yxP da curva é

4

17

4

1211 bbbmxy

logo 4

1

4

1 xy é a equação da reta tangente no ponto P .


3

Derivada de uma Função

Dada uma função xf , a sua derivada representada por xf é definida por

x

xfxxfxf

x

)()(lim

0m

x

y

x

0lim

(3.6)

O domínio da função xf (derivada), é o conjunto de todos os números x do

domínio de xf para os quais o limite do quociente

existe é chamado taxa média de variação da função f quando x passa do

valor para valor é a medida da variação média sofrida pela função entre esses dois pontos. Acompanhe o raciocínio nos exemplos a seguir.


4

onde veremos o seu significado mais a frente.


5


6


7

Exemplos de derivadas:

1) Dada a função 2xxf , achar a sua derivada

x

xfxxfxf

x

)()(lim

0 x

xxx

x

22

0

)(lim

xxxx

xxxxxxf

xx22lim

2lim

0

222

0

xxf 2


8


9


10


11


12


13

2)

3)


14


15


16


17


18

Derivamos: z = u = u ½ ↔ z´ = uu

uu2

11.

2

1

2

1

2

12/1

2/112/1


19


20


21


22


23

EXERCÍCIOS:

Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

1) xxy 42 ; R: 42 xdx

dy

2) 2

2

xxf ; R:

3

2

xxf

3) 2

3

2

3 xxy ; R: 1

2

3 2 xdx

dy

4) 3 xy ; R : 3 23

1

xdx

dy

5) 161

3

x

xxxf ; R :

3

132

2

xx

dx

xdf

6) xba

x

ba

xy

25

; R: 125 4

ba

x

ba

x

dx

dy

7)

23

31

x

xy

; R:

252

1132

x

xx

dx

dy


24

8) 2312 xxxy ; R: 192 2 xxdx

dy

9) 22

42

xb

xy

; R:

222

223 24

xb

xbx

dx

dy

10) xa

xay

; R:

2

2

xa

a

dx

dy

11) 3

xa

xay ; R:

4

26

xa

xaa

dx

dy

12) x

xy

1

1 ; R:

211

1

xxdx

dy

13) 331 xy ; R:

2

3

11

xxxdx

dy

14) 2

2

1

12

xx

xy

; R:

322

2

1

41

xx

x

dx

dy

15) 522 axy ; R: 42210 axxdx

dy

Derivadas de Funções Diversas

Regras de derivação funções trigonométricas Derivada da função seno Seja xxf sen então

x

xxxx

dx

d

x

sensenlimsen

0


25

Pela relação trigonométrica

2sen

2cos2sensen

BABABA , tem-se:

2sen

2cos

2lim

sensenlimsen

00

xxxxxx

xx

xxxx

dx

d

xx

22

2cos

2lim

2sen

2

2cos

2limsen

00

xxx

x

xxx

xx

dx

d

xx

xxxx

xdx

d

xcos

2

2cos

2

2coslimsen

0

e de forma semelhante serão obtidas as derivadas das outras funções trigonométricas. Assim, pode-se obter a seguinte tabela de derivadas de funções trigonométricas:

Tabela das derivadas de funções trigonométricas e suas inversas

udx

duu

dx

dcossen para xuu u

dx

duu

dx

dsencos para xuu

udx

duu

dx

d 2sectan para xuu udx

duu

dx

d 2csccot para xuu

uudx

duu

dx

dtansecsec para xuu uu

dx

duu

dx

dcotcsccsc para xuu

2

1

1arcsen

udx

duu

dx

d

para xuu 2

1

1arccos

udx

duu

dx

d

para xuu

2

1

1arctan

udx

duu

dx

d

para xuu

21

1cot

udx

duuarc

dx

d

para xuu

1

1sec

2

uudx

duuarc

dx

d para xuu

1

1csc

2

uudx

duuarc

dx

dpara

xuu

Exemplo: encontrar a derivada genérica da função 2sen xy

Solução: 2222 cos2cossen xxxxdx

dx

dx

d

dx

dy


26

Exemplo: encontrar a derivada genérica da função

1cos

x

xy

Solução:

1sen

1

111

1sen

11cos

2 x

x

x

xx

x

x

x

x

dx

d

x

x

dx

d

dx

dy

1sen

1

1

1sen

1

1

1sen

1

1222 x

x

xx

x

xx

x

x

xx

dx

dy


xy

1tan

Solução:

xx

x

xxdx

d

xdx

d

dx

dy 1sec

1101sec

11tan 2

2

2

xxxxxxdx

dy 1sec

11sec

11sec

10 2

2

2

2

2

2

Exemplo: encontrar a derivada genérica da função xy 3sec

Solução: xxxxxdx

dx

dx

d

dx

dy3tan3sec33tan3sec33sec

Assim, podem obter-se as seguintes relações, conforme tabela a tabela a seguir:

Tabela de relações entre derivadas de funções trigonométricas inversas

udx

d

udx

duu

dx

darccos

1

1arcsen

2

para xuu

uarcdx

d

udx

duu

dx

dcot

1

1arctan

2

para xuu

uarcdx

d

uudx

duuarc

dx

dcsc

1

1sec

2

para xuu

Regras de derivação funções exponenciais e logarítmicas Derivada da função exponencial

Seja xexf então


27

x

ee

x

ee

x

ee

x

eee

dx

dx

x

xx

x

xxx

x

xxx

x

x 1lim

1lim

1limlim

0000

como xe x 1 , tem-se:

xx

x

x

x

x

x

x eeex

xee

dx

d

000lim1limlim

e de forma semelhante serão obtidas as derivadas das outras funções exponenciais e logarítmicas. Assim, pode-se obter a seguinte tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas:

Tabela das derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

uu edx

due

dx

d para xuu

udx

duun

dx

d 1 para xuu

anedx

dua

dx

d uu para xuu anudx

duuog

dx

da

1 para xuu

xnxdx

duuxx

dx

d uuu 1 para

xuu

xvv

xuupara

dx

dvunu

dx

duvuu

dx

d vvv 1

Exemplo: encontrar a derivada genérica da função 2xey

Solução: 222

22 xxx exexdx

de

dx

d

dx

dy


1x

xny

Solução: x

x

x

x

dx

d

x

xx

x

dx

d

x

xn

dx

d

dx

dy 1

1

1

1

11

111

1

11

1

11

1

1222

xxx

x

xx

x

xx

x

x

xx

dx

dy

EXERCÍCIOS:

Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação:

1) xxy 4sen 2 ; R: xxxdx

dy4cos42 2


28

2)

2

2cos

xxf ; R:

23

2sen

2

xxxf

3)

2

3

2cos

3 xxy ; R:

2

3

2cos1

2

3 32 xx

xdx

dy

4) 3tan xy ; R : 32

3 2sec

3

1x

xdx

dy

5) 16sec xxf ; R :

16tan16sec3 xxdx

xdf

6)

ba

xy

5

cot ; R:

ba

x

ba

x

dx

dy 52

4

csc5

7) 31csc xy ; R: 332

1cot1csc13 xxxdx

dy

8) 23 xey ; R: 233 xedx

dy

9) 22

42

xb

x

ey ; R:

22

42

222

223 24xb

x

exb

xbx

dx

dy

10)

xa

xany ; R:

22

2

xa

a

dx

dy

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