Post on 19-Jan-2023
-1-
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
1. RELASI DAN FUNGSI
Relasi himpunan A ke himpunan B yaitu korespondensi/hubungan semua anggotaA dengan semua anggota B.Relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat ke satu anggota himpunan B disebut fungsi/pemetaan dari himpunan A ke B.
Cara menyatakan relasi ada 4 cara, yaitu :1. Dengan diagram panah2. Dengan himpunan pasangan berurutan3. Dengan grafik/diagram4. Dengan rumus
Contoh 1: Diketahui himpunan A:{1,2,3) dan B:{1,2,3,4,5}. Nyatakan relasi “kurang satu dari” dari himpunan A ke himpunan B dengan 4 cara di atas!
Jawab : 1. Dengan diagram panahA B
11 22 33 4
5
2. Dengan himpunan pasangan berurutan R:{(1,2),(2,3),(3,4)}
3. Dengan grafik/diagram B 5 4 3 2
10 A 1 2 3
4. Dengan rumus y = x + 1 jika y B dan x A
A B Himpunan A disebut daerah asal (domain)
1 a Himpunan B disebut daerah kawan (kodomain) 2 b
3 c Himpunan {a,b,c} disebutdaerah hasil (Range)
d e
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-2-
Tidak semua daerah asal (Df) dan daerah hasil (Rf) terdefinisi. Misal a
hanya terdefinisi jika a0 dan pecahan ab terdefinisi jika b0
Contoh 2: Tentukan Df dan Rf yang terdefinisi dari fungsi :
a) f(x) = x 3 b) f(x) = xx1
2 3
Jawab : a) f(x) = x 3 terdefinisi jika x 3 0 atau ..... Jadi Df : {x/........…….. } Karena a 0 maka Rf : {y/…….........}
b) f(x) = xx1
2 3 terdefinisi jika 2 3 0x atau ......
Jadi Df:{x/.………...... }
f(x) = xx1
2 3 y = xx1
2 3 y(2x -3) = x + 1
2xy - 3y = x + 1 2xy - x = 3y + 1 x(2y - 1) = 3y + 1
x = 3 12 1yy
Syarat pecahan di atas terdefinisi jika ...........0 atau y ......
Jadi Rf:{y/.....………. }
LATIHAN SOAL
1. Nyatakan relasi berikut dengan rumus ! A B
a. -1 -1 0 0 1 3 2 8 3
b. R : {(-3,-3),(-2,-1),(-1,1),(0,3),(1,5),(2,7)}
c. Y 17
11 7
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-3-
3
X 2 4 7 2. Mana yang merupakan fungsi ? Beri alasannya ! A B
A B f A
B f a. 1 a b. 1 f c. 1 a
2 b 2 a 2 b3 c 3 b 3 c4 d 4 c 4 d
3. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !a. R : {(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4)} b. R : {(1,2),(3,4),(5,6),(7,8)}c. R : {(0,0),(1,1),(2,2),(3,3)}d. R : {(-1,1),(1,3),(2,4),(1,5)}
4. Mana yang merupakan fungsi di bawah ini ? Beri alasannya !a. Y
b. Y y = x2 1 y = x + 1 X
X0 0
c. y x2 1 d.e
Y YY
x y2 2 4
0 X 0X 0 X
5. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
a. y = x + 1 b. y xx
21 c. y = x2 5
d. y = x x2 2 4 e. y = x 2 f.
2. MACAM-MACAM FUNGSI
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-4-
a. Fungsi KonstanSuatu fungsi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi konstan jikasetiap elemen himpunan A berpasangan dengan tepat dengan sebuah elemenhimpunan B.Fungsi konstan secara umum dinyatakan dengan y = f(x) = c, dengan ckonstanta dan .
Contoh 1: Lukislah garis y = 5
Jawab : Y
0 X
b. Fungsi IdentitasSuatu fungsi disebut fungsi identitas jika untuk setiap anggota daerahasal dipasangkan dengan dirinya sendiri di daerah kawan.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = x
c. Fungsi Modulus (Mutlak)Suatu fungsi disebut fungsi modulus jika setiap anggota daerah asaldipasangkan ke harga modulus/mutlaknya di daerah kawan.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) =
dibaca “harga mutlak x” yang besarnya :
Misal :
Contoh 2: Lukislah kurva y =
Jawab : Dengan menggunakan bantuan tabel :
x 0 1 2 2,5
3 4 5
y … … … … … … …
Kurvanya : Y
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-5-
0 X
d. Fungsi LinearFungsi linear yaitu fungsi yang berderajat satu atau pangkat tertinggidari variabel/peubahnya hanya satu.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = mx + c, dimana m adalahgradien/arah/kemiringan garis dan c adalah konstanta.Fungsi linear berupa garis lurus.
Contoh 3: Lukislah garis y = 2x + 3
Jawab : Untuk melukis suatu garis tertentu syaratnya minimal diketahuidua titik. Misal x = 0 maka y = …. atau melalui titik ( … , … ) Misal y = 0 maka x = …. atau melalui titik ( … , … )
Y
0X
e. Fungsi KuadratFungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang berderajat dua atau pangkattertingi dari variabelnya dua.Secara umum dapat dinyatakan dengan y = f(x) = , dimana
Contoh 4: Lukislah kurva
Jawab : Cara melukisnya :1. Titik potong dengan sumbu X jika y = …
x = … , x = …2. Titik potong dengan sumbu Y jika x = …
y = ….3. Titik Puncak = TP = ( …. , ….. ) = ….4. Beberapa titik bantu jika perlu.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-6-
X -2 -1 0 1 2 3 4Y … … … … … … …
Kurvanya : Y
0X
3. SIFAT-SIFAT FUNGSI
Sifat-sifat fungsi ada 4 , yaitu :a. Fungsi Injektif (Satu-satu)
Jika b. Fungsi Surjektif (Onto)
Jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B (daerahkawan).
c. Fungsi IntoJika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian dari
himpunan B.d. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-satu)
Jika dan hanya jika fungsi f bersifat injektif dan surjektif.
LATIHAN SOAL
1. Fungsi-fungsi berikut termasuk fungsi into, fungsi onto, fungsi satu-satuatau fungsi korespondensi satu-satu dari :
a. 1 a b. 1 a c. 1 a d. 1 a2 b 2 b 2 b 2 b3 c 3 c 3 c 3 c
d 4
2. Lukislah fungsi-fungsi berikut ini :
a.b.c.d. y x x 2 2 8e. y x x 2 4f. y x 3g.
h.
i.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-7-
4. ALJABAR FUNGSI
Misalkan diketahui dua fungsi f(x) dan g(x) yang akan dioperasikan secara aljabar, maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
1.2.3.
4.
Contoh 1: Diketahui f(x) = x + 2 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan : a. (f + g)(x) b. (f – g)(x) c. (f x g)
(x) d.
Jawab : a. (f + g)(x) = …. b. (f – g)(x) = …. c. (f x g)(x) = ….
d. = ….
LATIHAN SOAL
1. Tentukan rumus f + g, f – g , g – f dan f x g untuk f dan g pada R dengan ketentuan sebagai berikut :f(x) = 2x + 3 , g(x) = 3 – 5x
2. Tentukan lalu tentukan domainnya agar merupakan fungsi dari :
a. f(x) = 2 – 3x, g(x) = 3 + 5xb. f(x) = x, g(x) = c. f(x) = , g(x) = x + 1
3. Jika f(x) = 2x – 5 dan g(x) = x + 7 dengan f dan g fungsi-fungsi pada bilangan real, maka tentukan :a. rumus f + g, g – f dan f x gb. (f + g)(5), (f – g)(2) dan (f x g)(-1)c. Gambar grafik f + g, g – f dan f x g
4. Fungsi f(x), g(x) dan h(x) di definisikan sebagai berikut :f(x) = {(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}g(x) = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)}h(x) = {(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)}Tentukan :a. f + g, f + h dan g + hb. f – g, f – h dan g – hc. f x g, f x h dan g x h
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-8-
5. FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi komposisi berarti gabungan dari beberapa fungsi.
f g f memetakan x ke y ditulis y = f(x)
x y z g memetakan y ke z ditulis z = g(y)
h memetakan x ke z ditulis z = h(x)
h h merupakan komposisi
dari fungsi f dilanjutkan g ditulis h = g o f
dibaca “g noktah f” atau “g bundaran f” z = h(x) = g(y) =
g(f(x)) Karena h(x) = (gof)
(x), maka : (gof)(x) = g(f(x))
Begitupun untuk komposisi tiga fungsi akan berlaku :
(gofoh)(x) = g(f(h(x)))
Contoh 1: Jika f(x) = 2x-1 , g(x) = 3x+4 dan h(x) = 3 2x , maka tentukan : a) (fog)(x) b) (fogoh)(x) c) (goh)(-2)
Jawab : a) (fog)(x) = ……. b) (fogoh)(x) = ………. c) (goh)(-2) = g(h(-2)) = ....………..
Contoh 2: Diketahui f(x) = 2x-1 dan (fog)(x) = 6x+5, maka tentukan g(x) !
Jawab : (fog)(x) = f(g(x)) .... = ....
………….
Contoh 3: Diketahui f(x) = 3x-2 dan (gof)(x) = , maka tentukan g(x) !
Jawab : (gof)(x) = g(f(x)) ... = .... Misal y = .... x = .... Sehingga : g(y) = .....
= ..... Jadi g(x) = ....
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-9-
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 5x - 3, g(x) = dan h(x) = , maka tentukan :
a. (foh)(x) b. (hog)(2) c. (fogoh)(x)
d. (gofoh)(x) e. (hofog)(2) f. (gohof)(15)
2. Tentukan :
a. Jika f(x) = 4x + 3 dan (fog)(x) = 5x - 1, maka g(x) = ....b. Jika g(x) = 2x - 3 dan (fog)(x) = 10x+7, maka f(x) = ....c. Jika f(x) = 2x + 1 dan (gof)(x) = 12 12 12x x , maka g(x) = ....d. Jika g(x) = 3x - 5 dan (gof)(x) = 3 9 52x x , maka f(x) = ....e. Jika g(x) = x x2 1 dan (gof)(x) = x x2 5 5 , maka f(x) = ....
3. Jika f(x) = 3 - 2x, h(x) = x x2 2 2 dan (hof)(a) = 37, maka tentukan a!
4. Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x + p . Apabila f o g = g o f , maka
tentukan nilai p !
5. Jika f(x) = x + 2 dan (gof) (x) = , maka tentukan g(2x) !
6. SIFAT-SIFAT FUNGSI KOMPOSISI
Untuk mengetahui sifat-sifat fungsi komposisi, kita gunakan contoh-contohberikut :
Contoh 1: Misal f(x) = 3x + 2 dan g(x) = x – 1. Tentukan : a. (fog)(x) b. (gof)(x)
Jawab : a. (fog)(x) = …. b. (gof)(x) = ….
Jadi bersifat : ….
Contoh 2: Jika f(x) = , g(x) = 2x – 2 dan h(x) = 3x, maka tentukan : a. ((fog)oh)(x) b. (fo(goh))(x)
Jawab : a. (fog)(x) = … ((fog)oh)(x) = ….
b. (goh)(x) = …. (fo(goh))(x) = ….
Jadi bersifat : ….
Contoh 3: Jika f(x) = 2x + 1 dan I(x) = x, maka tentukan : a. (foI)(x) b. (Iof)(x)
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-10-
Jawab : a. (foI)(x) = …. b. (Iof)(x) = ….
Jadi bersifat : …..
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 4x - 3, g(x) = , h(x) = dan I(x) = x, maka buktikan :
a. fog gof b. foh hof c.fo(goh) = (fog)ohd. go(hof) = (goh)of e. goI = Iog = g f. hoI = Ioh= h
2. Jika f(x) = 10x - 1, g(x) = 3x + 4 dan h(x) = , maka buktikan :
a. (fog)(2) (gof)(2) b. (foh)(-1) (hof)(-1)c. ((fog)oh)(1) = (fo(goh))(1) d. (ho(gof))(m) = ((hog)of)(m)
3. Jika f(x) = 2x + 3, g(x) = dan h(x) = , maka buktikan :
a. (foh) (2) (hof) (2) b. (gof) (-1) (fog) (-1)c. ((hog)of) (3) = (ho(gof)) (3) d. (fo(goh)) (s) = ((fog)oh) (s)
7. INVERS SUATU FUNGSI
Perhatikan gambar berikut ini : A B y merupakan peta dari x
oleh fungsi f dan x merupakan f peta dari y oleh fungsi
maka dikatakan fungsi f dan x y saling invers.
Jadi y = f(x) dan x = Sifat invers : fof x f of x I x 1 1 ( )Syarat fungsi mempunyai invers jika fungsi itu korespondensi satu-satu.
Cara menentukan invers dari y = f(x) :
1. Ubah y = f(x) menjadi x = g(y)2. Ubah x = g(y) menjadi f y g y 1( ) ( )3. Ubah y dengan x
Contoh 1: Tentukan invers dari y = 5x + 3
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-11-
Jawab : y = 5x + 3 5x = .... x = ....
....
Contoh 2: Tentukan invers dari
Jawab : y( ..... ) = 3x - 1
................ = .......... ................ = ..........
x ( ...... ) = ..... x = .....
Contoh 3: Jika f(x) = , maka tentukan daerah asal dan daerah hasil f !
Jawab : f(x) = y = .....
.... = .... x = ....
Jadi daerah asal Df:{x/ ..... } dan daerahhasil Rf: {y/ ....... }
LATIHAN SOAL
1. Tentukan invers dari :
a. f(x) = 4x + 5 e. f(x) =
b. f(x) = f. f(x) =
c. f(x) = g. f(x) =
d. f(x) = h. f(x) =
2. Jika f(x) = , maka tentukan
3. Jika f(x) = dan , maka tentukan a !
4. Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari :
a. b. c.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-12-
8. INVERS FUNGSI KOMPOSISI
A g o f C B
f g x y z f 1 g 1
Contoh 1: Jika f(x) = 5x - 3 dan g(x) = 2 + 4x, maka tentukan : a) b)
Jawab : a) = f(...........) = ....... y = .... x = .....
b) f(x) = 5x - 3 g(x) = 2 + 4x y = 5x - 3 y
= 2 + 4x x = .... x =.... = .....
Contoh 2: Diketahui dan g(x) = 4x - 1. Tentukan fog 1 3
Jawab : = ......
y = ..... ...... = .... x = .....
fog 1 3 ......
LATIHAN SOAL
1. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 6x - 7, maka tentukan :
a. b. c. d.
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers
-13-
2. Jika f(x) = dan , maka tentukan g(x) !
3. Jika f(x) = 3 + 2x, g(x) = 2 + x dan h(x) = 2x, maka tentukan x jika( ) ( )fogoh x 1 1
4. Diketahui f(x) = dan g(x) = 2x - 3. Tentukan :
a. b.
5. Jika f(x) = 3x dan g(x) = , maka tentukan
6. Jika f(x) = dan g(x) = maka tentukan
Fungsi Komposisi dan Fungsi Invers