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Bioestatística | Aula 5 2
Olá, seja bem-vindo!
Assista ao vídeo a seguir e conheça o conteúdo que será trabalhado
nesta aula.
Introdução
Primeiramente devemos lembrar que a distribuição de uma população
pode ser demonstrada por meio de uma “curva de distribuição”. Para a
elaboração dessa curva é necessário que conheçamos, para a variável em
questão, pelo menos a média para a população e seu desvio-padrão.
Uma grande parte das populações pode ser representada por uma curva
chamada de “curva normal”, ou “curva de Gauss”, cujas aplicações serão
discutidas nesta aula. Inicialmente pode parecer um estudo difícil e abstrato,
mas à medida que se trabalha com exemplos reais, podemos perceber a
importância desse tema. Sendo assim, abordaremos a curva da normalidade
de maneira prática, ou seja, inserida no contexto real do pesquisador que
coleta dados em campo, seja em um laboratório, em uma clínica ou em um
ambiente externo associado a um determinando habitat (no caso específico da
Biologia).
Compreendendo a Curva Normal
A curva normal (ou de normalidade) dos dados pode ser calculada por
fórmulas matemáticas inseridas em diversos programas estatísticos. Contudo,
no nosso caso, o cálculo não será estudado, já que focaremos nossa atenção
sobre o uso prático da curva normal. Vamos, então, conhecer a curva normal
(figura 19):
Bioestatística | Aula 5 3
x
Figura 19 - Curva normal. Simbologia: = média da população; = desvio-padrão da população.
Fonte: criada por Patrícia Calil.
Observando a figura acima (figura 19), devemos primeiramente
compreender que a área existente entre a curva normal e o eixo X é igual a
100%, ou seja, qualquer probabilidade, de qualquer tipo de variável, em
qualquer população que se esteja analisando será representada por uma área
específica entre a curva normal e o eixo X.
Figura 20 - Representação da área entre a curva normal e o eixo X. Simbologia: = média da
população.
Fonte: criada por Patrícia Calil.
Observe que a curva normal possui uma divisão exatamente no meio (50% para
cada lado) da média da população () (figura 20).
50%50%
50%50%
Bioestatística | Aula 5 4
É importante conhecer mais algumas características da curva normal
(GUEDES e GUEDES, 1988):
Possui a aparência de um sino;
É simétrica ao redor do ponto em que X se iguala à média da
população (x = );
Estende-se infinitamente em ambas as direções (direita e esquerda);
Aproxima-se do eixo horizontal à medida que se afasta do ponto central
(assíntota);
Possui uma pequena área correspondente a valores negativos de X;
Existe uma curva normal específica para cada valor diferente de média
e de desvio-padrão de uma determinada população;
A área sob a curva normal é de 100%.
Vejamos o exemplo a seguir: um herpetólogo obteve a medida de
diversos sapos de uma espécie e dividiu-os em machos e fêmeas. Os machos
apresentaram um comprimento médio de 7,5cm, com desvio-padrão de 1,5cm.
Já as fêmeas, maiores que os machos na espécie em estudo,
apresentaram um comprimento médio de 15,0cm, com um desvio-padrão de
2,7cm.
Mesmo as medidas sendo diferentes, a distribuição dos comprimentos dos sapos
machos e fêmeas será representada por curvas normais (figura 21).
Bioestatística | Aula 5 5
7,5 15,0
Figura 21 - Curvas normais representando os valores de comprimento médio de uma população
de sapos machos ( = 7,5cm) e fêmeas ( = 15,0cm).
Fonte: criado por Patrícia Calil.
Duas populações podem ser igualmente representadas por curvas
normais de distribuição, entretanto, a forma de cada curva pode ser diferente
de acordo com a variação dos dados que as compõem. Se uma população
possuir um desvio-padrão maior do que a outra, sua curva normal será mais
achatada e espalhada.
Vejamos o nosso exemplo sobre as populações de sapos:
Machos: = 7,5cm; = 1,5cm;
Fêmeas: = 15,0cm; = 2,7cm.
Com base nesses dados (e sabendo que ambos possuem distribuição
normal) podemos observar que a curva normal para os machos será mais
afilada e menos espelhada (curtose) do que a curva normal das fêmeas (figura
22), porém ambas são totalmente simétricas. Assim, a altura que o ápice da
curva normal apresentar é chamada de “curtose”, ou “achatamento”.
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7,5
1,5
15,0
2,7
7,5
1,5
15,0
2,7
Figura 22 - Curvas normais representando os valores de comprimento médio de uma população
de sapos machos ( = 7,5cm; = 1,5cm) e fêmeas ( = 15,0cm; = 2,7cm).
Fonte: criado por Patrícia Calil.
Existem três tipos possíveis de curtose (figura 23):
1. Platicúrtica: curva com pico muito achatado;
2. Mesocúrtica: curva com pico nem muito achatado e nem muito pontudo
(elevado). É considerada a curva normal padrão;
3. Leptocúrtica: curva com pico muito pontudo (elevado).
platicúrtica
mesocúrtica
leptocúrtica
Figura 23 - Representação dos três tipos de curtose em curvas normais.
Fonte: criado por Patrícia Calil.
Bioestatística | Aula 5 7
Agora que você já entendeu as características principais da curva
normal, deve haver algumas perguntas no ar:
Qual é a importância de uma curva normal? Por que estudar essa curva?
Por que é vantajoso que os dados tenham distribuição normal?
Vamos às respostas! É vantajoso que quaisquer dados possuam uma
distribuição normal porque algumas características dessa curva já foram
determinadas para qualquer dado, medida ou valor que você possa obter. Se
os seus dados forem “normais”, ou seja, se eles estiverem distribuídos de
acordo com a curva de normalidade, você poderá utilizar a inferência estatística
para analisá-los e chegar a conclusões para qualquer população, utilizando os
parâmetros da curva normal.
Veremos logo mais como se faz isso de forma prática, utilizando a curva
normal para analisar dados de uma população. Mas agora você deve estar se
perguntando:
Mas e se os dados não forem normais? Nesse caso eles não podem ser
analisados estatisticamente?
Os dados que não se encaixarem dentro da distribuição normal também
podem ser analisados estatisticamente, o que é feito por meio dos chamados
“testes não paramétricos”. Esses testes não serão abordados nesta aula, mas
serão citados, e resumidamente explicados, na próxima aula.
O vídeo a seguir reforca o que acabamos de estudar sobre a curva
normal naquilo que se refere a suas características, sua simbologia, seus tipos
e sua importância.
Bioestatística | Aula 5 8
Utilização Prática da Curva Normal: Distribuição
Normal Reduzida (Teste Z)
Para entender bem como se usa a curva normal em qualquer população
que possua distribuição normal, você deve primeiramente saber que existem
tabelas construídas para essa curva e que indicam, por exemplo, quantos
porcento de uma população se encontram dentro de cada parte (ou faixa) da
curva normal. Para realizar esse salto entre a teoria e a prática, utilizamos a
“distribuição normal reduzida” ou “padronizada”, como veremos a seguir.
Sendo assim, há 100% de chance de que um valor pertencente a uma
população possa ser encontrado entre – e + . De acordo com a quantidade
de desvios-padrão () que o valor X tenha em relação à média, a área que ele
ocupará, ou a área de sua probabilidade de ocorrência, será calculada de
acordo com a área entre a curva e o eixo X. Veja alguns desses princípios
abaixo (BERQUÓ et al., 1981) (figura 24):
A área sob a curva compreendida entre a média -1 desvio-padrão ( -
) e média +1 desvio-padrão ( + ) vale aproximadamente 68%;
A área sob a curva compreendida entre média -1,96 desvios-padrão (-
1,96) e média +1,96 desvios-padrão (+1,96) vale,
aproximadamente, 95%;
A área sob a curva compreendida entre média -2,58 desvios-padrão
(-2,58) e média +2,58 desvios-padrão (+2,58) vale,
aproximadamente, 99%;
Perceba que, se a área entre a curva normal e o eixo X tem valor de 100%, todas
as áreas sob a curva podem ser entendidas como medidas de probabilidade.
Bioestatística | Aula 5 9
Para efeitos práticos, considera-se que a área sob a curva
compreendida entre média -3 desvios-padrão (-3) e média +3
desvios-padrão (+3) vale cerca de 100%. A amplitude máxima de
variação de X é de 6 desvios-padrão (6).
( + )
( + 1,96)
( + 2,58)
( - )
( - 1,96)
( - 2,58)
68%
99%
95%
Figura 24 - Representação da probabilidade (%) das áreas entre a curva normal e o eixo
X de uma curva normal. Simbologia: = média; = desvio-padrão.
Fonte: criado por Patrícia Calil.
Como existem infinitas populações para serem estudadas e que, se
analisadas, revelarão infinitos valores de média e de desvio-padrão, podermos
imaginar que deveria haver tantas tabelas de curvas normais quantas fossem
as combinações de e , já que somente desses elementos depende uma
distribuição normal. Mas parece razoável que precisemos construir uma tabela
de distribuição para cada caso? Seria tal procedimento possível? Basta você
se lembrar que em uma pesquisa podem ser obtidos dados de diversas
variáveis, o que, por inviabilidade de tempo e de esforço estatístico, inviabuliza
essa possibilidade (BERQUÓ et al., 1981; GUEDES e GUEDES, 1988).
Bioestatística | Aula 5 10
Dessa maneira, somente uma tabela chamada de tabela de distribuição
normal reduzida (tabela 28), ou padronizada, será suficiente para resolver
todos os casos do plano real. Essa transformação de dados pode ser feita por
uma fórmula bastante simples (BERQUÓ et al., 1981; GUEDES e GUEDES,
1988):
z = x –
Nessa fórmula podemos interpretar o z como sendo a quantidade de
desvios-padrão que o valor de x está afastado da média ().
Todas as vezes que se desejar utilizar uma tabela de distribuição normal,
devemos fazer antes uma transformação dos dados, passando da distribuição
normal comum a distribuição normal reduzida, ou padronizada, que nada mais
é do que uma distribuição normal na qual = 0 e = 1.
Bioestatística | Aula 5 11
Tabela 28 - Tabela de distribuiçãoo normal reduzida.
Cada casa na tabela fornece a proporção sob toda a curva entre z - 1 e um valor
positivo de z. As áreas para os valores negativos de z são obtidas por simetria
(VIEIRA, 1998).
Bioestatística | Aula 5 12
O vídeo a deguir introduz a tabela de distribuição reduzida e sua
utilização na prática.
Exemplos Práticos de Distribuição Normal Reduzida
Nesta seção vamos entender como se usa a tabela de distribuição
reduzida (tabela 28) para encontrar probabilidades dentro de qualquer conjunto
de dados (amostra) que esteja sendo estudado.
Vamos supor que você queira encontrar uma área sob a curva normal na
tabela, mas que possua média diferente de zero e desvio-padrão diferente de
1. Para isso, inicialmente você terá que transformar os seus dados utilizando a
fórmula citada anteriormente. Podemos dizer que os seus dados reais e
originais serão agora dados reduzidos, sendo só então possível a sua
interpretação pela tabela de distribuição reduzida (tabela 28).
Há outras formas de utilizar a distribuição normal reduzida, confira na aula que
indicamos a seguir. Disponível em:
<http://www.ime.usp.br/~chang/home/mae116/aulas/Aula%206_distribui%E7%E3
o%20Normal.pdf>
Bioestatística | Aula 5 13
Exemplo
Em uma pesquisa que visa a controlar o peso e a porcentagem de
gordura corporal de uma amostra de pacientes diabéticos que frequentam um
centro de controle dentro de um hospital, um pesquisador determinou que a
porcentagem média de gordura corpórea dos pacientes é de 26,56% () e o
desvio padrão é de 15,94% ().
Sabendo que a população em estudo possui distribuição próxima à
normal, o pesquisador deseja saber a proporção de indivíduos que se encontra
em determinados níveis de gordura corporal, já que são admitidos como
normais valores entre 14,5% e 24,0% para homens adultos, e de 22,0% a
27,0% para mulheres adultas. Homens e mulheres com níveis de gordura
corporal respectivamente superiores a 35% e 40% são considerados obesos
mórbidos, correndo risco iminente de sofrer doenças cardiovasculares. Esse
quadro é agravado pela condição de diabéticos dos pacientes dessa pesquisa,
o que aumenta o interesse em analisar essa variável.
a) Deseja-se calcular a proporção de pessoas que possui porcentagem
de gordura corporal entre 26,56% e 36,0% (note que seria o mesmo que
perguntar: qual a probabilidade de algum paciente possuir porcentagem de
gordura corporal entre 36,0% e 26,56%).
Primeiramente vamos transformar os dados utilizando a devida fórmula:
z = x –
Neste caso: x = 36,0; = 26,56; = 15,94.
Obtémos o seguinte: 36,0 - 26,56 ÷ 15,94 z = 0,59 (arredonde os
valores no centesimal com a finalidade de padronizar os dados, já que os
valores da tabela de ditribuição normal reduzida estão no centesimal).
Valores negativos de z devem ser considerados como positivos.
Bioestatística | Aula 5 14
O valor de z = 0,59 deve, então, ser procurado na tabela de distribuição
normal reduzida da seguinte forma:
Procure, na coluna da esquerda, os dois primeiros dígitos do seu
número (0,5);
Procure na linha superior da tabela o último dígito do seu número (9);
Ao encontrar a coluna (0,5) e a linha (9) selecionadas, você obterá o
valor de 0,2224;
Esse valor deve sempre ser multiplicado por 100 para que a
probabilidade seja expressa em %, unidade que temos mais
familiaridade (22,24%);
O valor 22,24% é então a probabilidade, ou proporção de pessoas que
possuem porcentagem de gordura corporal entre 26,56% e 36,0%.
Observe a plotagem desses valores na curva normal reduzida:
O valor da média (26,56) é colocado sob o ponto que anteriormente
estava indicado como a média da população () e o valor de x (36,0) foi plotado
à direita da média por ser um valor positivo. Se fosse negativo, seria plotado à
esquerda da média, sendo realizados os mesmo procedimentos.
36,0
22,24%
x26,56
Bioestatística | Aula 5 15
b) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui
porcentagem de gordura corporal maior do que 36,0%. Isto é: qual a
probabilidade de algum paciente possuir porcentagem de gordura corporal
maior do que 36,0%?
Utilizamos a mesma fórmula:
z = x –
Neste caso: x = 36,0; = 26,56; = 15,94. Obtémos: 36,0 - 26,56 ÷
15,94 z = 0,59
Como acabamos de ver, o valor de z = 0,59 vale, na tabela de
distribuição normal reduzida, uma probabilidade de 22,24%. Já sabemos
também que o valor 22,24% representa a probabilidade, ou a proporção de
pessoas, que possuem porcentagem de gordura corporal entre 26,56% e
36,0%.
Plotando esses valores na curva normal reduzida, temos exatamente o
mesmo exemplo dado anteriormente:
Você deseja agora saber a probabilidade de pessoas que possuem porcentagem
de gordura corporal maior do que 36,0%.
Bioestatística | Aula 5 16
x
26,56 36,0
22,24%
Nesse exemplo, contudo, você deseja saber o valor da área maior do
que 36,0. Isto é, você quer saber o valor da área que está à direita desse valor.
A partir de agora vamos padronizar a cor cinza para o preenchimento das
áreas das quais se deseja obter o valor. Já sabemos que a curva normal
representa 100% dos valores de probabilidade existentes e que sua metade
representa 50%. Para saber o valor da área rachurada em cinza (maior do que
36,0), basta reduzir o valor que se tem (22,24%), de 50%. Assim, o resultado é:
50% - 22,24% = 27,76%.
Os 27,76% é então a probabilidade de pessoas que possuem
porcentagem de gordura corporal maior do que 36,0%. Esse valor corresponde
à área rachurada de cinza na curva normal reduzida.
22,24%
x
26,56 36,0
22,24%
x
26,56 36,0
c) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui
porcentagem de gordura corporal menor do que 36,0%. Sendo o n igual ao do
exemplo anterior, não iremos calcular o valor de probabilidade. Vamos direto à
representação gráfica:
Bioestatística | Aula 5 17
22,24%
x26,56 36,0
50,0%
72,24%
22,24%
x26,56 36,0
50,0%
72,24%
22,24%
x26,56 36,0
50,0%
72,24%
Nesse exemplo você quer saber o valor de uma área menor do que 36,0,
ou seja, o valor da área que está à esquerda desse valor (rachurada em cinza).
Se metade da curva normal reduzida representa 50%, para saber o valor da
área em cinza (menor do que 36,0), basta somar o valor que se tem (22,24%),
com 50%. Assim, o resultado é: 50% + 22,24% = 72,24%.
Os 72,24% é, portanto, a probabilidade de pessoas que possuem
porcentagem de gordura corporal menor do que 36,0%.
d) Deseja-se agora calcular a proporção de pessoas que possui
porcentagem de gordura corporal entre 18,5% e 36,0%?
Utilizamos a mesma fórmula, porém duas vezes: para 18,5 e para 36,0:
z = x –
1o valor de x: x = 18,5; = 26,56; = 15,94. Obtém-se: 18,5 - 26,56 ÷
15,94 z = 0,51. O valor de z = 0,51 vale, na tabela de distribuição normal
reduzida, uma probabilidade de 19,50%.
2o valor de x: x = 36,0; = 26,56; = 15,94. Obtém-se: 36,0 - 26,56 ÷
15,94 z = 0,59. O valor de z = 0,59 vale, na tabela de distribuição normal
reduzida, uma probabilidade de 22,24%.
Bioestatística | Aula 5 18
Plotando esses dois valores na curva normal reduzida, temos:
26,56 36,018,5
22,24%19,5%
x
41,74
26,56 36,018,5
22,24%19,5%
x
26,56 36,018,5
22,24%19,5%
x
22,24%19,5%
x
41,74
Como você deseja saber o valor da área entre 18,5 e 36,0, basta somar
as probabilidades de ambas: 19,50% + 22,24% = 41,74%.
Os 41,74% é a proporção de pessoas que possuem porcentagem de
gordura corporal entre 18,5 e 36,0%.
e) Deseja-se, por fim, saber qual a proporção de pessoas que possui
porcentagem de gordura corporal entre 15,5% e 18,5%?
Vamos calcular apenas o valor de z para 15,5% e 18,5%, utilizando
novamente a fórmula:
z = x –
1o valor de x: x = 15,5; = 26,56; = 15,94. Obtemos: 15,5 - 26,56 ÷
15,94 z = 0,69. O valor de z = 0,69 vale, na tabela, uma probabilidade de
25,49%.
2o valor de x: x = 18,5; = 26,56; = 15,94. Obtemos: 18,5 - 26,56 ÷
15,94 z = 0,51. O valor de z = 0,51 vale, na tabela, uma probabilidade de
19,50%.
Bioestatística | Aula 5 19
Plotando esses dois valores na curva normal reduzida, temos:
x26,5618,515,5
19,5%
5,99%
25,49
x26,5618,515,5
19,5%
5,99%
x26,5618,515,5
19,5%
5,99%
26,5618,515,5
19,5%
5,99%
26,5618,515,5
19,5%
5,99%
25,49
Como desejamos saber o valor da área entre 15,5 e 18,5, basta subtrair
a probabilidade da área referente à distância entre 15,5 a 26,56 (25,49%) pela
probabilidade da área referente à distância entre 18,5 e 26,56 (19,50%). Assim:
25,49% - 19,50% = 5,99%.
Os 5,99% é a proporção de pessoas que possuem porcentagem de
gordura corporal entre 15,5 e 18,5%.
Observe:
1002 pessoas ----- 100%
x pessoas ----------- 5,99% 60,02 60 pessoas
Se, por exemplo, você desejar conhecer a quantidade de pessoas em uma
população de 1002 indivíduos que possuam a chance de apresentar porcentagem
de gordura corporal entre 15,5 e 18,5%, basta encontrar o valor (em porcentagem,
como feito no exemplo anterior) e aplicar uma simples regra de três, na qual o
tamanho da população (1002 nesse caso) equivale a 100%.
Bioestatística | Aula 5 20
Conclui-se que, em uma população de 1002 pessoas, aproximadamente
60 pessoas têm chance de possuir uma porcentagem de gordura corporal entre
15,5 e 18,5%.
No vídeo a seguir todos esses exemplos serão explicados visulamente
para facilitar a compreensão dos cálculos e transformações numéricas, confira!
Testes Estatísticos para a Determinação da
Normalidade
Existem vários testes estatísticos utilizados por softwares para
determinar se uma amostra possui um padrão normal de distribuição. Essa
determinação é muito importante e deve ser feita antes da realização de
qualquer teste estatístico (de inferência).
A partir daí você poderá escolher algum teste paramétrico para analisar
os seus dados, como é o caso do Teste-t e da Anova (que veremos com mais
detalhes na próxima aula). Ou então, se sua amostra não possuir normalidade,
você terá que optar por um teste não paramétrico (Kruskall-Wallis, Mann
Whitney-U etc.) para realizar a análise inferencial dos dados.
Para determinar o tipo de teste que será utilizado para analisar um conjunto de
dados, devemos primeiramente saber se a amostra é normal.
Bioestatística | Aula 5 21
Nesta aula não falaremos sobre a formulação das hipóteses de
normalidade e nem sobre os cálculos realizados para tal, mas daremos uma
pincelada nos testes mais utilizados, diferenciando-os quanto à possibilidade
de uso. Isso pode ser de grande ajuda porque os softwares que podem ser
utilizados para realização dos cálculos normalmente oferecem diferentes tipos
de teste de normalidade. Isso geralmente gera dúvidas nos estudantes e
mesmo nos pesquisadores, embora seja algo bastante simples.
Os testes que serão descritos a seguir foram retirados do manual do
programa estatístico BioEstat versão 3.0, desenvolvido na Universidade
Federal do Pará (AYRES et al., 2003). Esse programa possui explicações
claras e objetivas sobre diversos testes específicos das áreas da saúde e
biológica. Há abaixo um resumo do principal uso dos testes mais comuns para
a determinação da normalidade de uma ou mais amostras:
1. Teste D’ Agostinho: utilizado para qualquer número de amostras que
possuam um número total de dados (n) maior ou igual a 10. Normalmente
usado para testar pequenas amostras, sendo recomendado que se usem
números com 5 decimais;
2. Teste D’ Agostinho-Pearson: utilizado para qualquer número de amostras
que possuam um número total de dados (n) maior ou igual a 20;
3. Teste de Kolmogorov-Smirnov: utilizado somente para uma amostra.
Compara a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica
esperada;
4. Teste de Lilliefors: utilizado para qualquer número de amostras. Compara
a distribuição de uma amostra com uma distribuição teórica esperada;
5. Teste de Shapiro-Wilk: utilizado para qualquer número de amostras que
possuam um número total de dados (n) maior do que 2 e menor do que 51.
Pode ser feito para várias amostras simultaneamente;
6. Teste para valores extremos (outliers): utilizado para valores que estejam
muito afastados da média e da maior parte dos valores da distribuição. O
Bioestatística | Aula 5 22
programa determina os possíveis outliers com base em uma equação,
sendo cinco a quantidade máxima de valores extremos que podem ser
detectados em uma amostra normal. Nota-se que os valores extremos
podem ter sido introduzidos na amostra por algum tipo de erro (amostragem
incorreta, registro errado de dados etc.) ou simplesmente constituem dados
diferentes, porém corretos. Nesse caso, e principalmente na área da saúde
e biológica, a determinação da distribuição dos outliers pode ser importante
para a adequada conclusão da pesquisa.
Assista ao vídeo a seguir para reforçar a importância dos testes
estatísticos para a determinação da normalidade.
Resumindo
A curva normal foi o tema desta aula, na qual estudamos sua aplicação
prática e suas características, que são:
A área sob a curva normal é de 100%;
Ela se assemelha a um sino;
É simétrica ao redor do ponto em que x é igual a da população;
Estende-se infinitamente em ambas as direções;
Existe uma curva normal para cada valor diferente de e de uma
população.
Síntese
Bioestatística | Aula 5 23
O vídeo a seguir encerra a aula e retoma os pontos mais importantes
que foram discutidos, acompanhe!
1. O tempo médio de permanência de 259 pacientes transplantados em um
hospital é de 50 dias, com um desvio padrão igual a 10 dias. Assinale a
alternativa que representa a quantidade de pacientes que permanecem
internados por menos do que 30 dias?
a. Aproximadamente 253 pacientes;
b. Aproximadamente 2 pacientes;
c. Aproximadamente 6 pacientes;
d. Aproximadamente 124 pacientes.
Bioestatística | Aula 5 24
2. Suponha que a quantidade de chuva média de um local seja de 120mm,
com desvio padrão de 8mm. Nessas condições, assinale a alternativa que
representa os valores corretos da probabilidade (%) de chover entre 110 e
130mm.
a. 78,88%
b. 39,44%
c. 10,56%
d. 39,44%
Bioestatística | Aula 5 25
Referências
AYRES, M., AYRES JÚNIOR, M., AYRES, D. L., SANTOS, A. BioEstat 3.0:
aplicações estatísticas nas áreas das ciências biológicas e médicas. Belém:
Sociedade Civil Mamirauá; Brasília: CNPq, 2003.
BERQUÓ, E. S., SOUZA, J. M. P., GOTLIEB, S. L. D. Bioestatística. São
Paulo: Editora Pedagógica e Universitária Ltda., 1981.
GUEDES, M. L. S., GUEDES, J. S. Bioestatística para profissionais de
saúde. Brasília: MCT – CNPq; Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A. 1988.
VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. Rio de Janeiro: Campus, 1998.