Tugas KelompokMetode Numerik Biseksi

Dimas Febriyan (1384202209)Dwi Wahyuningrum (1384202011)Nur Aliyah (1384202043)Nur Ukhti Salamah (1384202147)

09 Maret 2016

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Algoritma Biseksi

1 Tentukan a1, b1, dan δ

2 Tentukan n terkecil yang memenuhi(1

2

)n

≤ 2δ

L

3 Penentuan λk adalah sebagai berikut:

λk =ak + bk

2

4 Tentukan kondisi yang akan digunakan

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan ak = ak+1

5 Iterasi berhenti ketika bk − ak < 2δ

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Contoh Soal

Carilah nilai x yang memaksimumkan

f (x) = 1, 5x− x2

dengan δ = 0.1 dan selang

−1 ≤ x ≤ 1

Dengan metode numerik Biseksi.

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Solusi

Metode Analitik

f (x) = 1, 5x− x2

Kita turunkan terhadap fungsi x

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

1, 5 = 2x

x =1, 5

2= 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Solusi

Metode Analitik

f (x) = 1, 5x− x2

Kita turunkan terhadap fungsi x

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

1, 5 = 2x

x =1, 5

2= 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x

f ′′ (x) = −2

Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa

x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

f ′ (x) = 1, 5− 2x = 0

Lalu kita turunkan kembali terhadap fungsi x

f ′′ (x) = −2

Karena f′′< 0, maka dapat disimpulkan bahwa

x = 0, 75 merupakan pembuat maksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Metode Numerik Biseksi

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Metode Numerik Biseksi

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Metode Numerik Biseksi

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Metode Numerik Biseksi

Karena selangnya

−1 ≤ x ≤ 1

maka a1 = −1 dan b1 = 1

Panjang selangnya

L = b1 − a1 = 1− (−1) = 2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Dicari nilai n terkecil(1

2

)n

62δ

L=

0, 2

2=

1

10

Maka nilai n = 4,karena(1

2

)4

=1

166

1

10=

2δ

L

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Dicari nilai n terkecil(1

2

)n

62δ

L=

0, 2

2=

1

10

Maka nilai n = 4,karena(1

2

)4

=1

166

1

10=

2δ

L

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Dicari nilai n terkecil(1

2

)n

62δ

L=

0, 2

2=

1

10

Maka nilai n = 4,karena(1

2

)4

=1

166

1

10=

2δ

L

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

2=

0

2= 0

• Substitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

2=

0

2= 0

• Substitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 1

• a1 = −1b1 = 1

λ1 =a1 + b1

2=−1 + 1

2=

0

2= 0

• Substitusikan λ1 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ1) = 1, 5− 2λ1 = 1, 5− 2(0) = 1, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 2

I Karenaf ′ (λ1) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ1 = a2 = 0

danb1 = b2 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 2

I Karenaf ′ (λ1) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ1 = a2 = 0

danb1 = b2 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

I Maka

λ2 =a2 + b2

2=

0 + 1

2=

1

2= 0, 5

I Subtitusikan λ2 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

I Maka

λ2 =a2 + b2

2=

0 + 1

2=

1

2= 0, 5

I Subtitusikan λ2 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

I Maka

λ2 =a2 + b2

2=

0 + 1

2=

1

2= 0, 5

I Subtitusikan λ2 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

I Sehingga

f ′ (λ2) = 1, 5− 2λ2 = 1, 5− 2(0, 5) = 0, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 3

Karenaf ′ (λ2) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ2 = a3 = 0, 5

danb2 = b3 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 3

Karenaf ′ (λ2) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ2 = a3 = 0, 5

danb2 = b3 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ3 =a3 + b3

2=

0, 5 + 1

2=

1, 5

2= 0, 75

Subtitusikan λ3 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ3 =a3 + b3

2=

0, 5 + 1

2=

1, 5

2= 0, 75

Subtitusikan λ3 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ3 =a3 + b3

2=

0, 5 + 1

2=

1, 5

2= 0, 75

Subtitusikan λ3 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ3) = 1, 5− 2λ3 = 1, 5− 2(0, 75) = 0

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Karenaf ′ (λ3) = 0

maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan

bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan

ak = ak+1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Karenaf ′ (λ3) = 0

maka kita akan menggunkan 2 percobaan, yaitumenggunakan kondisi 1 dan 2.Dimana :

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0, λk = ak+1 dan

bk = bk+1

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0, λk = bk+1 dan

ak = ak+1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0

Iterasi 4

• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,

masing-masing sebagai :

λ3 = a4 = 0, 75

danb3 = b4 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Kondisi 1: Jika f′(λk) > 0

Iterasi 4

• Karena f′(λk) > 0, maka diambil λk dan bk,

masing-masing sebagai :

λ3 = a4 = 0, 75

danb3 = b4 = 1

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

• Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 75 + 1

2=

1, 75

2= 0, 875

• Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

• Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 75 + 1

2=

1, 75

2= 0, 875

• Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

• Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 75 + 1

2=

1, 75

2= 0, 875

• Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

• Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 875) = −0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) < 0

maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :

λ4 = b5 = 0, 875

dana4 = a5 = 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) < 0

maka diambil λk dan ak, masing-masingsebagai :

λ4 = b5 = 0, 875

dana4 = a5 = 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

I Sehingga

x∗ = ak +

(bk − ak

2

)= 0, 75 +

(0, 125

2

)

= 0, 75 + 0, 0625 = 0, 8125

x∗ ≈ 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Tabel Iterasi Kondisi 1

• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0

Iterasi 4

Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,

masing-masing sebagai :

λ3 = b4 = 0, 75

dana3 = a4 = 0, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Kondisi 2: Jika f′(λk) < 0

Iterasi 4

Karena f′(λk) < 0, maka diambil λk dan bk,

masing-masing sebagai :

λ3 = b4 = 0, 75

dana3 = a4 = 0, 5

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 5 + 0, 75

2=

1, 25

2= 0, 625

Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 5 + 0, 75

2=

1, 25

2= 0, 625

Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Maka

λ4 =a4 + b4

2=

0, 5 + 0, 75

2=

1, 25

2= 0, 625

Subtitusikan λ4 pada persamaan

f ′ (λ) = 1, 5− 2λ

Sehingga

f ′ (λ4) = 1, 5− 2λ4 = 1, 5− 2(0, 625) = 0, 25

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ4 = a5 = 0, 625

danb4 = b5 = 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Iterasi 5

I Karenaf ′ (λ4) > 0

maka diambil λk dan bk, masing-masingsebagai :

λ4 = a5 = 0, 625

danb4 = b5 = 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

I Sehingga

x∗ = ak +

(bk − ak

2

)= 0, 625 +

(0, 125

2

)

= 0, 625 + 0, 0625 = 0, 6875

x∗ ≈ 0, 75

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Tabel Iterasi Kondisi 2

• Dengan menggunakan metode Numerik Biseksi diperolehperhitungan sbb :

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan

x∗ ≈ 0, 75

Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Setelah dilakukan percobaan tersebut,menggunakan kondisi 1 maupun kondisi 2,keduanya menghasilkan

x∗ ≈ 0, 75

Dengan menggunakan Metode Analitikataupun Metode Biseksi menghasilkanx = 0, 75, maka dari itu dapat disimpulkanbahwa x = 0, 75 merupakan pembuatmaksimal fungsi

f (x) = 1, 5x− x2

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang

Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Tangerang