BAB 5Trigonometri

Standar Kompetensi:

Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri

dalam pemecahan masalah.Kompetensi Dasar:

Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan

perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan

perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan

penafsirannya.

UKURAN SUDUT

1360

1 = putaran

Ukuran Sudut dalam Derajat

Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran.1

360

Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan ukuran detik.

a.1 derajat = 60 menit atau 1 menit = derajat

Ditulis:

1 = 60’ atau 1’ =

1

60

1

60

1

60

1

60

b.1 menit = 60 detik atau 1 detik = menit

Ditulis:

1’ = 60” atau 1” = ‘

Ukuran Sudut dalam Radian

Nilai perbandingan dinyatakan dalam ukuran radian.panjang busur PQ

MP

panjang busur PQ

MP MP

panjang busur P Q=

Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

panjang busur PQ MP

= rr

= 1Nilai perbandingan

Besar sudut PMQ dalam ukuran radian

PMQpanjang busur PQ

MP=

PMQ rr

sebab panjang busur PQ = setengah keliling lingkaran

=

PMQ = radian

Kesimpulan:

a. 1 = radian

b. 1 radian =

180

180

180

3,14159

~c. 1 = radian = 0,017453 radian

d. 1 radian = ~

180

3,14159

=

atau

57,296

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya

Q

r

180

PM

Perbandingan-perbandingan Trigonometri

A

B

C

β

ab

ca

a) sin a

b) cos a

c) tan a

d) cot a

e) sec a

f) cosec a

ac

bc

a

b

ba

c

b

ca

sisi di hadapan sudut ahipotenusa

sisi di hadapan sudut asisi di dekat sudut a

sisi di dekat sudut ahipotenusa

sisi di dekat sudut a

sisi di hadapan sudut a

hipotenusa

sisi di dekat sudut a

hipotenusa

sisi di hadapan sudut a

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

1. Rumus Kebalikan

a) tan a =sin a

cos a

b) cot a =cos a

sin a

2. Rumus Perbandingan

1

cosec aa) sin a =

b) cos a 1

sec a=

c) tan a1

cot a=

d) cot a1

tan a=

e) sec a 1

cos a=

f) cosec a 1

sin a=

Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus

Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator.

Sudut-sudut khusus : 0, 30 , 45 , 60 , dan 90 .

Lingkaran Satuan

a) sin

b) cos

c) tan

=

=

=

PPOP

OPOP

OP

PP

y,

, dengan catatan x 0

1y

1x

yx

=

=

=

=

=x, dan

1. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0

a) sin 0

b)cos 0

c) tan 0

=

=

= sin 0

Y=0

0

1=

1, dan

= 0cos 0

x

0P(1,0)

1

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30

(OP’)2 + (PP)2 = (OP)2 (OP’)2 = (OP)2 - (PP’)2

(OP’)2 = 12- ( )2 1

2

34

=

OP’ = 1

23

OP’ menyatakan absis titik P atau x = 1

23 .

Untuk a = 30 maka koordinat titik P adalah ( ), sehingga diperoleh:1

23, ½

sin 30

cos 30

tan 30

=

=

=Sin 30

=cos 30

1

2

1

23

1

2

1

23

=3 1 = 3 1

3

3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45

(OP)2 + (PP)2 = (OP)2 x2 + y2 = 1

2x2 = 1

x2 = 1

2

2 x = 1 = 1

22

Karena x = y, maka y =1

2

2 .

sin 45

cos 45

tan 45

=

=

=sin 45

=cos 45

1

2

1

22 , dan

1

2

1

22

= 1

2

2

x

y

1

045

P(x,y)

y

xP

Untuk = 45 maka koordinat P adalah ( ), sehingga diperoleh:1

2

2 , 1

2

2

4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60

sin 60

cos 60

tan 60

=

=

= sin 60=

cos 60

1

2

1

2

12

1

2

3 =

3

3

OP = OP = 1

2

x

y

1

060

P(x,y)

y

x

Q(1,0)

P

1

2

1

23 , =1

2

1

23 (cos 60, sin 60)

Untuk = 60 maka koordinat titik P adalah

( , ), sehingga

5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90

x

y

1

090

P(0,1)Jika sudut = 90, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif.

Koordinat titik P adalah (0,1), sehingga (0,1) = (cos 90, sin 90 )

sin 90

cos 90

tan 90

= 1

= 0, dan

= 10

sin 90=cos 90

(tidak didefinisikan)

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran

r =

x2 +

y2

(jar

ak)

x

Y

0

A

P(x,y)

y (ordinat)

x (absis)

a) sin α ordinatjarak= =

yr

jarakb) cos α absis= =

xr

c) tan α ordinatabsis

= =y

x

d) cot α absis

ordinat= = x

y

e) sec α jarakordinat= =

xr

f) cosec α jarak

ordinat= = r

y

Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat

I

semua positif

II

sin, positif cosec, positif

III

tan, positif

cot, positif

IV

cos, positif

sec, positif

0

Y

X

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi

1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi

Misalkan suatu sudut besarnya α.

Sudut lain yang besarnya (90 α) dikatakan berelasi dengan sudut α dan sebaliknya.

Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya:

a. (90 + α )

b. (180 α)

c. (270 α)

d. (360 α)

e. α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α)

a) sin (90 α) = yr

= cos α

b) cos (90 α) =y

1= sin α

c) tan (90 α) = xy

= cot α

=y

x= tan αd) cot (90 α)

e) sec (90 α) = 1y

= cosec α

f) cosec (90 α) = 1x

= sec α

x

Y

Q

P

α

αx

y

P(x,y)

Q(x,y)

0

1 1

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 + α)

f) cosec (90 + α) = 1x = sec α

b) cos (90 + α) =y1 = = sin αy

1

c) tan (90 + α) =x

y = = cot αxy

=yx = = tan αd) cot (90 + α) x

y

e) sec (90 + α) = 1y= = cosec α1

y

a) sin (90 + α) =x1 = cos α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 α)

f) cosec (180 α) = 1y = cosec α

a) sin (180 α) = = sin αy1

1 1b) cos (180 α) = = = cos αxx

yc) tan (180 α) = x = = tan αx

y

y= = = cot α

d) cot (180 α) yx-x

1 1e) sec (180 α) =x

= = sec αx

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 + α)

a) sin (180 + α) = sin α

b) cos (180 + α) = cos α

c) tan (180 + α) = tan α

= cot αd) cot (180 + α)

e) sec (180 + α) = sec α

f) cosec (180 + α) = cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 α)

a) sin (270 α) = cos α

b) cos (270 α) = sin α

c) tan (270 α) = cot α

d) cot (270 α) = tan α

e) sec (270 α) = cosec α

f) cosec (270 α) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 + α)

a) sin (270 + α) = cos α

b) cos (270 + α) = sin α

c) tan (270 + α) = cot α

d) cot (270 + α) = tan α

e) sec (270 + α) = cosec α

f) cosec (270 + α) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (α)

xb) cos (α) =

1= cos α

e) sec ( α) = 1x

= sec α

a) sin (α) =y1 1

= = sin αy

c) tan (α) =x

y = = tan α y

x

yx

= = cot αd) cot (α) = xy

f) cosec ( α) = 1y y

= = cosec α1

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 α)

a) sin (n 360 α) = sin ( α) = sin α

b) cos (n 360 α) = cos (α) = cos αc) tan (n 360 α) = tan (α) = tan αd) cot (n 360 α) = cot (α) = cot αe) sec (n 360 α) = sec (α) = sec αf) cosec (n 360 α) = cosec ( α) = cosec α

a) sin (n 360 + α) = sin αb) cos (n 360 + α) = cos α

c) tan (n 360 + α) = tan αd) cot (n 360 + α) = cot αe) sec (n 360 + α) = sec αf) cosec (n 360 + α) = cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 + α)

Identitas Trigonometri

a) sin α = atau cosec α =cosec α

1

sin α

1

b) cos α =sec α

1

cot α

1atau sec α =

c) tan α =1

cot α1

tan α

atau cot α =

Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan

a) sin α + cos2 α = 1

b) 1 + tan2 α = sec2 α

c) 1 + cot2 α = cosec2 α

Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras

1. Grafik Fungsi y = sin x (0 x 360)

Grafik Fungsi Trigonometri

2. Grafik Fungsi y = cos x (0 x 360)

3. Grafik Fungsi y = tan x (0 x 360)

Aturan Sinus

Persamaan ini disebut aturan sinus atau dalil sinus.

a

sin A sin B sin C

b c= =

Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.

A B

C

R

b

c

P

Q

a

a

sin A sin B sin C

b c= =

a2 = b2 + c2 2bc cos A

b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ac cos C

Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.

Aturan Kosinus

a2 = b2 + c2 2bc cos A

b2 = a2 + c2 2ac cos B

c2 = a2 + b2 2ac cos C

Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan

Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C dapat ditentukan melalui persamaan:

cos A b2 + c2 a2

2bc=

cos Ba2 + c2 b2

2ac=

cos C a2 + b2 c2

2ab=

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui

sin AbcL = 12

sin BacL = 12

sin CabL = 12

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi

DiketahuiLangkah 1:

Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus.

Langkah 2:

Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah satu rumus di atas.

Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui

Luas ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut.

L

2 sin A=

a2 sin B sin C

L

2 sin B= b2 sin A

sin C

L

2 sin C=

c2 sin A sin B

Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui

Luas ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus:

L = s(s a)(s b)(s c)

dengan s = (a + b + c) = setengah keliling ABC.

1

2