Trigonometri 3-(bentuk cos x + sin x)

44
1

Transcript of Trigonometri 3-(bentuk cos x + sin x)

1

2

Setelah menyaksikan Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapattayangan ini anda dapat

MenyelesaikanMenyelesaikanpertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometridan persamaan trigonometridan persamaan trigonometri

bentuk acosx + bsinxbentuk acosx + bsinx

3

Pertidaksamaan Trigonomteri Pertidaksamaan Trigonomteri

pertidaksamaan yang memuatpertidaksamaan yang memuat

fungsi trigonometri dengan peubahfungsi trigonometri dengan peubah

sudutnya belum diketahuisudutnya belum diketahui

TOSHIBA

4

Contoh Contoh

bentuk-bentuk bentuk-bentuk

pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri

1.1. sinx < 0, untuk 0 sinx < 0, untuk 0 ≤ x ≤ 360°≤ x ≤ 360°

2.2. √ √2.cosx - 2.cosx - 11 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2 ≥ 0, untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ

3.3. tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°tanx ≤ √3, untuk 0 ≤ x ≤ 180°

4.4. sinsin22x > x > ¼, ¼, untukuntuk – –ππ ‹‹ x x ‹‹ ππ

TOSHIBA

5

Himpunan penyelesaian dari suatu Himpunan penyelesaian dari suatu

pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri

berupa satu atau beberapaberupa satu atau beberapa

interval peubah sudutinterval peubah sudut

TOSHIBA

6

Himpunan penyelesaian dari suatu Himpunan penyelesaian dari suatu

pertidaksamaan trigonometripertidaksamaan trigonometri

ditentukan dengan dua cara:ditentukan dengan dua cara:

• sketsa grafik fungsi trigonometrisketsa grafik fungsi trigonometri

• garis bilangangaris bilangan

TOSHIBA

7

Dengan garis bilangan Dengan garis bilangan

langkah-langkahnya langkah-langkahnya

1.1. Tentukan harga-harga nol Tentukan harga-harga nol

(pembuat nol fungsi).(pembuat nol fungsi).

2. 2. Gambarkan harga-harga nol Gambarkan harga-harga nol

pada garis bilangan.pada garis bilangan.

TOSHIBA

8

3. Tentukan tanda (positif atau 3. Tentukan tanda (positif atau

negatif) pada setiap ruas garisnegatif) pada setiap ruas garis

dengan menguji salah satu dengan menguji salah satu

harga x di salah satu ruas garis. harga x di salah satu ruas garis.

4. Tentukan himpunan penyelesaian 4. Tentukan himpunan penyelesaian

sesuai dengan soal.sesuai dengan soal.

TOSHIBA

9

Contoh 1Contoh 1

Himpunan penyelesaian dari Himpunan penyelesaian dari

pertidaksamaan sinxpertidaksamaan sinx° > ° > ½½, ,

untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360

adalah….adalah….

TOSHIBA

10

PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Harga nol dari persamaan sinxHarga nol dari persamaan sinx° = ° = ½½,,

pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah

30° dan 150°30° dan 150°

▪ ▪

▪ ▪ tentukan nilai sinx - tentukan nilai sinx - ½½ pada salah pada salah

satu ruas garis (interval garis)satu ruas garis (interval garis)

misal x = 90° misal x = 90° sin90° - sin90° - ½½ = = ½½ > 0 > 0

30° 150°

+

0° 360°

TOSHIBA

11

▪ ▪ x = 90° x = 90° sin90° - sin90° - ½½ = 1 - = 1 - ½½ > 0 > 0

▪ ▪ karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0 karena sinx >½ atau sinx - ½ > 0

maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya

adalah {x / 30° < x < 150°}adalah {x / 30° < x < 150°}

0° 360°30° 150°+

TOSHIBA

12

Contoh 2Contoh 2

Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari

pertidaksamaan cosxpertidaksamaan cosx° ≤ ° ≤ ½½√2, √2,

untuk 0 ≤ x ≤ 360untuk 0 ≤ x ≤ 360

adalah….adalah….

TOSHIBA

13

PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Harga nol dari cosxHarga nol dari cosx° = ° = ½√2½√2,,

pada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalahpada interval 0 ≤ x ≤ 360° adalah

45° dan 315°45° dan 315°

▪ ▪

▪ ▪ uji interval 0°≤ x < 45° denganuji interval 0°≤ x < 45° dengan

mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =mengambil x = 30°→ cosx - ½√2 =

cos30°- cos30°- ½½√2 = √2 = ½½√3 - √3 - ½½√2 > 0√2 > 0

45° 315°+

0° 360°+

TOSHIBA

14

▪ ▪ x = 30° x = 30° cos30° - cos30° - ½√2½√2 > 0 > 0

▪ ▪ karena cosx ≤ karena cosx ≤ ½√2½√2 atau atau

cosx - cosx - ½√2 ½√2 ≤ 0 (berarti negatif)≤ 0 (berarti negatif)

maka himpunan penyelesaiannyamaka himpunan penyelesaiannya

adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}adalah {x / 45° ≤ x ≤ 315°}

+0° 360°45° 315°

+

TOSHIBA

15

Contoh 3Contoh 3

Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari

pertidaksamaan 2sin2xpertidaksamaan 2sin2x° < ° < 11, ,

untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180

adalah….adalah….

TOSHIBA

16

PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Pembuat nol dari 2sin2x = 1Pembuat nol dari 2sin2x = 1

→ → sin2x = sin2x = ½ ½ → sin2x = sin 30→ sin2x = sin 30

2x = 30 + 2x = 30 + kk.360.360

x = 15 + x = 15 + kk.180.180

kk = 0 diperoleh x = 15° = 0 diperoleh x = 15°

2x = (180 – 30) + k.3602x = (180 – 30) + k.360

x = 75 + x = 75 + kk.180 .180

TOSHIBA

17

x = 75 + x = 75 + kk.180.180

kk = 0 → x = 75° = 0 → x = 75°

▪ ▪ harga x = 15° dan x = 75° digambarharga x = 15° dan x = 75° digambar

pada garis bilangan pada garis bilangan

▪ ▪ diuji x = 45° → sin2x - diuji x = 45° → sin2x - ½ ½ = 1 - ½ > 0= 1 - ½ > 0

▪ ▪ yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)yang diminta sin2x - ½ < 0 (negatif)

jadi, himpunan penyelesaiannya:jadi, himpunan penyelesaiannya:

{x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°} {x/0° ≤ x < 15° atau 75°< x ≤ 180°}

0° 180°15° 75°+

TOSHIBA

18

Contoh 4Contoh 4

Himpunan penyelesian dari Himpunan penyelesian dari

pertidaksamaan cos(2xpertidaksamaan cos(2x + 30)° < + 30)° < ½½, ,

untuk 0 ≤ x ≤ 180untuk 0 ≤ x ≤ 180

adalah….adalah….

TOSHIBA

19

PenyelesaianPenyelesaian▪ ▪ Pembuat nol dari cos(2x + 30) = Pembuat nol dari cos(2x + 30) = ½½ → → cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60

2x + 30 = 60 + 2x + 30 = 60 + kk.360.360

2x = 30 + 2x = 30 + kk.360.360

x = 15 + x = 15 + kk.180.180

kk = 0 diperoleh x = 15° = 0 diperoleh x = 15° 2x + 30 = -60 + k.3602x + 30 = -60 + k.360

TOSHIBA

20

cos(2x + 30) = cos 60cos(2x + 30) = cos 60 2x + 30 = -60 + 2x + 30 = -60 + kk.360.360 2x = -90 + 2x = -90 + kk.360.360 x = -45 + x = -45 + kk.180.180 kk = 1 diperoleh x = 135° = 1 diperoleh x = 135° ▪ ▪ harga x = 15° dan x = 135° harga x = 15° dan x = 135° digambar pada garis bilangan digambar pada garis bilangan

0° 180°15° 135°

21

0° 180°15° 135°

▪ ▪ Diuji interval 15 < x < 135 denganDiuji interval 15 < x < 135 dengan mengambil x = 30 mengambil x = 30 → → cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0cos(2x + 30) - ½ = cos90 - ½ < 0▪ ▪ yang diminta cos(2x + 30)° - yang diminta cos(2x + 30)° - ½½ < 0 < 0 (negatif). Jadi, himpunan(negatif). Jadi, himpunan penyelesaiannya adalahpenyelesaiannya adalah {x / 15°< x < 135°}{x / 15°< x < 135°}

+ +

22

Bentuk : a.cosx + b.sinxBentuk : a.cosx + b.sinxBentuk acosx + bsinx Bentuk acosx + bsinx

dapat diubah ke bentukdapat diubah ke bentuk

k.cos(x – k.cos(x – αα))

dengan k = dengan k =

tan tan αα = =

0 ≤ 0 ≤ αα ≤ 360 ≤ 360

22 ba

a

b

TOSHIBA

23

tan α =

sudut α dapat terletak

di kuadran I, II, III atau IV

tergantung tanda a dan b

a

b

tanda a dan btanda a dan b αα di kuadran di kuadran

a > 0, b > 0a > 0, b > 0

a < 0, b > 0a < 0, b > 0

a < 0, b < 0a < 0, b < 0

a > 0, b < 0a > 0, b < 0

II

IIII

IIIIII

IVIV

TOSHIBA

24

Contoh 1Contoh 1

Ubahlah bentuk cosx + Ubahlah bentuk cosx + √3sinx√3sinx

menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))

TOSHIBA

25

JawabJawabcosx + √3sinx cosx + √3sinx a = 1 dan b = √3 a = 1 dan b = √3

k =k =

k = k =

tan tan αα = =

αα = 60° = 60°

Jadi, Jadi, cosx + √3sinxcosx + √3sinx dapat di ubah dapat di ubah

menjadi menjadi 2cos(x – 60°)2cos(x – 60°)

22 ba 22 )3(1 2

a

bI)kuadran di ( 3

1

3

26

Contoh 2Contoh 2

Ubahlah bentuk -Ubahlah bentuk -√3√3cosx + cosx + sinxsinx

menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))

TOSHIBA

27

JawabJawab-√3cosx + sinx -√3cosx + sinx a = -√3 dan b = 1 a = -√3 dan b = 1

k =k =

k = k =

tan tan αα = =

αα = (180 – 30)° = 150° = (180 – 30)° = 150°

Jadi, Jadi, -√3cosx + sinx-√3cosx + sinx dapat di ubah dapat di ubah

menjadi menjadi 2cos(x – 150°)2cos(x – 150°)

22 ba 22 1)3( 2

a

b II)kuadran di ( 3 3

131

28

Contoh 3Contoh 3

Ubahlah bentuk cosx – Ubahlah bentuk cosx – sinxsinx

menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα))

TOSHIBA

29

JawabJawabcosx – sinx cosx – sinx a = 1 dan b = -1 a = 1 dan b = -1

k =k =

k = k =

tan tan αα = =

αα = (360 – 45)° = 315° = (360 – 45)° = 315°

Jadi, Jadi, cosx - sinxcosx - sinx dapat di ubah dapat di ubah

menjadi menjadi √2cos(x – 315°)√2cos(x – 315°)

22 ba 22 )1(1 2

a

bIV)kuadran di ( 1

1

1

30

Contoh 4Contoh 4Bentuk Bentuk √3√3cosx – cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah

menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα) )

adalah….adalah….

a. 2cos(x - )a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - )b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - )c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - )d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )

61

31

65

34

611

31

Jawab√3cosx – sinx a = √3 dan b = -1

k =

k =

tan α =

α = (2π – ) =

Jadi, √3cosx - sinx dapat di ubah

menjadi 2cos(x – ) → e→ e

22 ba 22 )1()3( 2

a

b IV)kuadran di ( 33

131

61 6

11

611

32

Contoh 4Contoh 4Bentuk Bentuk √3√3cosx – cosx – sinx dapat diubahsinx dapat diubah

menjadi bentuk kcos(x – menjadi bentuk kcos(x – αα) )

adalah….adalah….

a. 2cos(x - )a. 2cos(x - ) b. 2cos(x - )b. 2cos(x - ) c. 2cos(x - )c. 2cos(x - ) d. 2cos(x - )d. 2cos(x - ) e. 2cos(x - )e. 2cos(x - )

61

31

65

34

611

33

Persamaan : a.cosx + Persamaan : a.cosx + b.sinx = cb.sinx = c

Langkah-langkah penyelesaiannya:Langkah-langkah penyelesaiannya:

▪ ▪ ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – ruas kiri ubah ke bentuk kcos(x – αα))

▪ ▪ kcos(x – kcos(x – αα) = c → cos(x – ) = c → cos(x – αα) = c/k) = c/k

▪ ▪ selesaikan persamaan sederhananyaselesaikan persamaan sederhananya

Syarat dapat diselesaikan:Syarat dapat diselesaikan:

-k ≤ c ≤ k atau lcl ≤ -k ≤ c ≤ k atau lcl ≤

22 ba

34

Contoh 1Contoh 1Nilai x yang memenuhi persamaanNilai x yang memenuhi persamaan

--√2 cosx° + √2 sinx° = 1√2 cosx° + √2 sinx° = 1

untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….untuk 0 ≤ x ≤ 360 adalah….

jawab:jawab:▪ ▪ a = -√2 dan b = √2a = -√2 dan b = √2

→ → k =k =

tantanαα = =

22 )2()2( 222 II)kuadran di ( 1

2

2

TOSHIBA

35

tantanαα = =

→ → αα = 135 = 135

▪ ▪ 2cos(x – 135) = 12cos(x – 135) = 1

→ → cos(x – 135) = cos(x – 135) = ½½

x – 135 = 60 + x – 135 = 60 + kk.360.360

x = 195 + x = 195 + kk.360.360

kk = 0 → x = 195 = 0 → x = 195

II) kuadran di (α 12

2

TOSHIBA

36

→ → cos(x – 135) = cos(x – 135) = ½½

x – 135 = -60 + x – 135 = -60 + kk.360.360

x = 75 + x = 75 + kk.360.360

kk = 0 → x = 75 = 0 → x = 75

Jadi, nilai x yang memenuhiJadi, nilai x yang memenuhi

adalah adalah 7575 atau atau 195195

TOSHIBA

37

Contoh 2Contoh 2Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan

√√3 cosx° - 3sinx° = √33 cosx° - 3sinx° = √3

untuk 0 ≤ x < 360 adalah….untuk 0 ≤ x < 360 adalah….

jawab:jawab:▪ ▪ a = √3 dan b = -3a = √3 dan b = -3

→ → k =k =

tantanαα = =

22 3)()3( 3212 IV) kuadran di (α 3

3

3

TOSHIBA

38

tantanαα = =

→ → αα = 300 = 300

▪ ▪ 2√3cos(x – 300) = √32√3cos(x – 300) = √3

→ → cos(x – 300) = cos(x – 300) = ½½

x – 300 = 60 + x – 300 = 60 + kk.360.360

x = 360 + x = 360 + kk.360.360

kk = -1 → x = 0 = -1 → x = 0

IV) kuadran di α ( 33

3

1

TOSHIBA

39

→ → cos(x – 300) = cos(x – 300) = ½½

x – 300 = -60 + x – 300 = -60 + kk.360.360

x = 240 + x = 240 + kk.360.360

kk = 0 → x = 240 = 0 → x = 240

Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya

adalah { adalah { 0, 2400, 240 } }

TOSHIBA

40

Contoh 3Contoh 3Himpunan penyelesaian persamaanHimpunan penyelesaian persamaan

2√3 cos2x° - 4sinxcosx = 22√3 cos2x° - 4sinxcosx = 2

untuk 0 ≤ x ≤ 2untuk 0 ≤ x ≤ 2ππ adalah…. adalah….

jawab:jawab:▪ ▪ 2√3cos2x – 2.2sinxcosx = 22√3cos2x – 2.2sinxcosx = 2

2√3cos2x – 2.sin2x = 2 2√3cos2x – 2.sin2x = 2

√ √3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1

1

TOSHIBA

41

▪ √▪ √3cos2x – sin2x = 13cos2x – sin2x = 1

a = √3, b = -1 → k =a = √3, b = -1 → k =

= 2= 2

tan tan αα = =

αα = 360° – 30° = 330° = 360° – 30° = 330°

▪ ▪ 2cos(2x - 330°) = 12cos(2x - 330°) = 1

cos(2x – 330°) = cos(2x – 330°) = ½½

2x – 330 = 60 + 2x – 330 = 60 + kk.360 .360

22 1)3(

IV) kuadran di α ( 33

131

TOSHIBA

42

▪ ▪ 2x – 330° = 60° + 2x – 330° = 60° + kk.360°.360°

2x = 390° + 2x = 390° + k.k.360°360°

x = 195° + x = 195° + kk.180°.180°

kk = -1 → x = 15° → x = = -1 → x = 15° → x =

kk = 0 → x = 195°→ x = = 0 → x = 195°→ x =

▪ ▪ 2x – 330° = -60° + 2x – 330° = -60° + kk.360°.360°

2x = 270° + 2x = 270° + kk.360°.360°

x = 135° + x = 135° + kk.180°.180°

121

1213

TOSHIBA

43

x = 135° + x = 135° + kk.180°.180°

kk = 0 → x = 135° → x = = 0 → x = 135° → x =

kk = 1 → x = 315° → x = = 1 → x = 315° → x =

Jadi, himpunan penyelesaiannyaJadi, himpunan penyelesaiannya

adalah adalah

43

47

47

1213

43

121 ,,,

TOSHIBA

44

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR