Trigonometri - KELAS X
-
Upload
sma-n-3-semarang -
Category
Education
-
view
46.254 -
download
1.770
Transcript of Trigonometri - KELAS X
BAB 5Trigonometri
Standar Kompetensi:
Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pemecahan masalah.Kompetensi Dasar:
Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan
penafsirannya.
UKURAN SUDUT
1360
1 = putaran
Ukuran Sudut dalam Derajat
Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh putaran.1
360
Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan ukuran detik.
a.1 derajat = 60 menit atau 1 menit = derajat
Ditulis:
1 = 60’ atau 1’ =
1
60
1
60
1
60
1
60
b.1 menit = 60 detik atau 1 detik = menit
Ditulis:
1’ = 60” atau 1” = ‘
Ukuran Sudut dalam Radian
Nilai perbandingan dinyatakan dalam ukuran radian.panjang busur PQ
MP
panjang busur PQ
MP MP
panjang busur P Q=
Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.
panjang busur PQ MP
= rr
= 1Nilai perbandingan
Besar sudut PMQ dalam ukuran radian
PMQpanjang busur PQ
MP=
PMQ rr
sebab panjang busur PQ = setengah keliling lingkaran
=
PMQ = radian
Kesimpulan:
a. 1 = radian
b. 1 radian =
180
180
180
3,14159
~c. 1 = radian = 0,017453 radian
d. 1 radian = ~
180
3,14159
=
atau
57,296
Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya
Q
r
180
PM
Perbandingan-perbandingan Trigonometri
A
B
C
β
ab
ca
a) sin a
b) cos a
c) tan a
d) cot a
e) sec a
f) cosec a
ac
bc
a
b
ba
c
b
ca
sisi di hadapan sudut ahipotenusa
sisi di hadapan sudut asisi di dekat sudut a
sisi di dekat sudut ahipotenusa
sisi di dekat sudut a
sisi di hadapan sudut a
hipotenusa
sisi di dekat sudut a
hipotenusa
sisi di hadapan sudut a
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1. Rumus Kebalikan
a) tan a =sin a
cos a
b) cot a =cos a
sin a
2. Rumus Perbandingan
1
cosec aa) sin a =
b) cos a 1
sec a=
c) tan a1
cot a=
d) cot a1
tan a=
e) sec a 1
cos a=
f) cosec a 1
sin a=
Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus
Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator.
Sudut-sudut khusus : 0, 30 , 45 , 60 , dan 90 .
Lingkaran Satuan
a) sin
b) cos
c) tan
=
=
=
PPOP
OPOP
OP
PP
y,
, dengan catatan x 0
1y
1x
yx
=
=
=
=
=x, dan
1. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0
a) sin 0
b)cos 0
c) tan 0
=
=
= sin 0
Y=0
0
1=
1, dan
= 0cos 0
x
0P(1,0)
1
2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30
(OP’)2 + (PP)2 = (OP)2 (OP’)2 = (OP)2 - (PP’)2
(OP’)2 = 12- ( )2 1
2
34
=
OP’ = 1
23
OP’ menyatakan absis titik P atau x = 1
23 .
Untuk a = 30 maka koordinat titik P adalah ( ), sehingga diperoleh:1
23, ½
sin 30
cos 30
tan 30
=
=
=Sin 30
=cos 30
1
2
1
23
1
2
1
23
=3 1 = 3 1
3
3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45
(OP)2 + (PP)2 = (OP)2 x2 + y2 = 1
2x2 = 1
x2 = 1
2
2 x = 1 = 1
22
Karena x = y, maka y =1
2
2 .
sin 45
cos 45
tan 45
=
=
=sin 45
=cos 45
1
2
1
22 , dan
1
2
1
22
= 1
2
2
x
y
1
045
P(x,y)
y
xP
Untuk = 45 maka koordinat P adalah ( ), sehingga diperoleh:1
2
2 , 1
2
2
4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60
sin 60
cos 60
tan 60
=
=
= sin 60=
cos 60
1
2
1
2
12
1
2
3 =
3
3
OP = OP = 1
2
x
y
1
060
P(x,y)
y
x
Q(1,0)
P
1
2
1
23 , =1
2
1
23 (cos 60, sin 60)
Untuk = 60 maka koordinat titik P adalah
( , ), sehingga
5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90
x
y
1
090
P(0,1)Jika sudut = 90, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif.
Koordinat titik P adalah (0,1), sehingga (0,1) = (cos 90, sin 90 )
sin 90
cos 90
tan 90
= 1
= 0, dan
= 10
sin 90=cos 90
(tidak didefinisikan)
Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadran
r =
x2 +
y2
(jar
ak)
x
Y
0
A
P(x,y)
y (ordinat)
x (absis)
a) sin α ordinatjarak= =
yr
jarakb) cos α absis= =
xr
c) tan α ordinatabsis
= =y
x
d) cot α absis
ordinat= = x
y
e) sec α jarakordinat= =
xr
f) cosec α jarak
ordinat= = r
y
Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat
I
semua positif
II
sin, positif cosec, positif
III
tan, positif
cot, positif
IV
cos, positif
sec, positif
0
Y
X
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi
1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi
Misalkan suatu sudut besarnya α.
Sudut lain yang besarnya (90 α) dikatakan berelasi dengan sudut α dan sebaliknya.
Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya:
a. (90 + α )
b. (180 α)
c. (270 α)
d. (360 α)
e. α
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α)
a) sin (90 α) = yr
= cos α
b) cos (90 α) =y
1= sin α
c) tan (90 α) = xy
= cot α
=y
x= tan αd) cot (90 α)
e) sec (90 α) = 1y
= cosec α
f) cosec (90 α) = 1x
= sec α
x
Y
Q
P
α
αx
y
P(x,y)
Q(x,y)
0
1 1
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 + α)
f) cosec (90 + α) = 1x = sec α
b) cos (90 + α) =y1 = = sin αy
1
c) tan (90 + α) =x
y = = cot αxy
=yx = = tan αd) cot (90 + α) x
y
e) sec (90 + α) = 1y= = cosec α1
y
a) sin (90 + α) =x1 = cos α
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 α)
f) cosec (180 α) = 1y = cosec α
a) sin (180 α) = = sin αy1
1 1b) cos (180 α) = = = cos αxx
yc) tan (180 α) = x = = tan αx
y
y= = = cot α
d) cot (180 α) yx-x
1 1e) sec (180 α) =x
= = sec αx
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 + α)
a) sin (180 + α) = sin α
b) cos (180 + α) = cos α
c) tan (180 + α) = tan α
= cot αd) cot (180 + α)
e) sec (180 + α) = sec α
f) cosec (180 + α) = cosec α
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 α)
a) sin (270 α) = cos α
b) cos (270 α) = sin α
c) tan (270 α) = cot α
d) cot (270 α) = tan α
e) sec (270 α) = cosec α
f) cosec (270 α) = sec α
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 + α)
a) sin (270 + α) = cos α
b) cos (270 + α) = sin α
c) tan (270 + α) = cot α
d) cot (270 + α) = tan α
e) sec (270 + α) = cosec α
f) cosec (270 + α) = sec α
Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut (α)
xb) cos (α) =
1= cos α
e) sec ( α) = 1x
= sec α
a) sin (α) =y1 1
= = sin αy
c) tan (α) =x
y = = tan α y
x
yx
= = cot αd) cot (α) = xy
f) cosec ( α) = 1y y
= = cosec α1
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 α)
a) sin (n 360 α) = sin ( α) = sin α
b) cos (n 360 α) = cos (α) = cos αc) tan (n 360 α) = tan (α) = tan αd) cot (n 360 α) = cot (α) = cot αe) sec (n 360 α) = sec (α) = sec αf) cosec (n 360 α) = cosec ( α) = cosec α
a) sin (n 360 + α) = sin αb) cos (n 360 + α) = cos α
c) tan (n 360 + α) = tan αd) cot (n 360 + α) = cot αe) sec (n 360 + α) = sec αf) cosec (n 360 + α) = cosec α
Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 + α)
Identitas Trigonometri
a) sin α = atau cosec α =cosec α
1
sin α
1
b) cos α =sec α
1
cot α
1atau sec α =
c) tan α =1
cot α1
tan α
atau cot α =
Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan
a) sin α + cos2 α = 1
b) 1 + tan2 α = sec2 α
c) 1 + cot2 α = cosec2 α
Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras
1. Grafik Fungsi y = sin x (0 x 360)
Grafik Fungsi Trigonometri
2. Grafik Fungsi y = cos x (0 x 360)
3. Grafik Fungsi y = tan x (0 x 360)
Aturan Sinus
Persamaan ini disebut aturan sinus atau dalil sinus.
a
sin A sin B sin C
b c= =
Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.
A B
C
R
b
c
P
Q
a
a
sin A sin B sin C
b c= =
a2 = b2 + c2 2bc cos A
b2 = a2 + c2 2ac cos B c2 = a2 + b2 2ac cos C
Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.
Aturan Kosinus
a2 = b2 + c2 2bc cos A
b2 = a2 + c2 2ac cos B
c2 = a2 + b2 2ac cos C
Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan
Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C dapat ditentukan melalui persamaan:
cos A b2 + c2 a2
2bc=
cos Ba2 + c2 b2
2ac=
cos C a2 + b2 c2
2ab=
Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui
sin AbcL = 12
sin BacL = 12
sin CabL = 12
Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi
DiketahuiLangkah 1:
Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus.
Langkah 2:
Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah satu rumus di atas.
Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui
Luas ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut.
L
2 sin A=
a2 sin B sin C
L
2 sin B= b2 sin A
sin C
L
2 sin C=
c2 sin A sin B
Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Luas ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus:
L = s(s a)(s b)(s c)
dengan s = (a + b + c) = setengah keliling ABC.
1
2