PROGRAM STUDI TEKNIK KOMPUTERDEPARTEMEN TEKNIK ELEKTRO

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS INDONESIA

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

1

STRUKTUR DISKRIT

PROBABILITAS DISKRIT

Pengantar Probabilitas diskrit

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

2

Percobaan adalah proses yang meng-hasilkan data.

Ruang Sampel (S): himpunan yang memuat semua kemungkinan hasil percobaan.

Kejadian (Event): himpunan bagian dari ruang sampel.

Contoh 1:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

3

Ruang sampel percobaan pelemparan sebuah mata uang:S = {head, tail} atau { gambar, angka}

Ruang sampel pelemparan dadu:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Dari sekumpulan 52 kartu bridge S : { sekop, klaver, hati, wajik }, kita hanya tertarik pada kejadian A : munculnya kartu yang berwarna merah A = {hati, wajik }

Metode Pencacahan/Counting

4

Probabilitas

kuliah_10

Probabilitas dari suatu kejadian adalah banyaknya data yang muncul pada kejadian dibagi dengan banyaknya data dalam ruang sampel.

Jika S adalah himpunan hingga ruang sampel dan A adalah suatu kejadian (A S) maka probabilitas dari A adalah

P(A) = |A| / |S|

Teori Probabilitas Diskrit

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

5

Jika setiap titik contoh mempunyai peluang yang sama maka

n : banyak titik sampel penyusun Kejadian AN : banyak titik sampel dalam Ruang Sampel (S)

P An

N( )

6

Fungsi Probabilitas

Peluang kejadian A adalah : jumlah peluang semua titik sampel yang menyusun kejadian A sehingga 0 P(A) 1dengan : P (S) = 1 Peluang Kejadian yang pasti terjadi P () = 0 Peluang Kejadian yang pasti tidak terjadi

Probabilitas dari kejadian A S adalah jumlah dari probabilitas setiap data pada A :

AX

XPAP )()(

Contoh 2:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

7

Berapa peluang memperoleh kartu berwarna As hitam bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge ?

Jawab :n = banyak kartu As hitam = 2 dan N =

52P(AS HITAM) =

252

126

Contoh 3:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

8

Terdapat 10 kandidat karyawan yang terdiri dari 6 Sarjana Ekonomi dan 4 Sarjana Teknik. Berapa peluang terpilih 3 orang yang terdiri dari 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik?

Jawab : Semua kandidat berpeluang sama!

Jawaban contoh 3: (lanjutan)

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

9

Banyaknya cara Pemilihan 2 dari 6 Sarjana Ekonomi adalah :

Banyaknya cara Pemilihan 1 dari 4 Sarjana teknik adalah :

Banyaknya cara Pemilihan 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik = n = 15 x 4 = 60

C26 6!

4 215

! !

C14 4

3 14

!

! !

Jawaban contoh 3: (lanjutan)

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

10

Banyaknya cara Pemilihan 3 dari 10 kandidat karyawan = N =

Jadi peluang terpilih 3 orang yang terdiri dari 2 Sarjana Ekonomi dan 1 Sarjana Teknik adalah

P(2SE dan 1 ST) = 60/120 = 0.5

C310 10!

3 7120

! !

Probabilitas Kejadian

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

11

Jika A S, maka

0 < P(A) < P(S) = 1

Jika S = {x1, x2,…, xn} ruang sampel maka

n

P(S) = P(xi) = 1

i =1

Jika Ac adalah komplemen dari A dalam S, maka

P(A) + P(Ac) = 1

Kejadian dalam Ruang Sampel

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

12

Jika A1 and A2 kejadian dalam ruang sampel maka

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1A2)

Diperoleh pula P() = 0

Kejadian A1 and A2 merupakan mutually exclusive

jika dan hanya jika A1A2 = . Sehingga : P(A1A2) = P(A1) + P(A2)

Probabilitas Bersyarat

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

13

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas dari kejadian A yang tergantung pada kejadian lain B. Notasi : P(A|B).

Jika P(B) > 0 then

P(A|B) = P(AB) / P(B)Dua kejadian A dan B disebut saling bebas jika

P(EF) = P(E)P(F)

Contoh 4:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

14

Menurut catatan sebuah Bank, peluang Industri dalam memperoleh kredit yaitu untuk industri Manufaktur adalah 0.35. Sedangkan peluang Industri yang Padat Karya = 0.45. Peluang Industri yang tergolong Manufaktur atau Padat Karya = 0.25. Berapakah Peluang Industri Manufakturing dan Padat Karya memperoleh Kredit?

Jawab :(0.35 + 0.45 - 0.25 = 0.55)

Contoh 5:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

15Berapakah peluang munculnya kartu

bernilai 7 berwarna merah (A) atau bernilai 7 berwarna hitam(B) pada pengambilan sebuah kartu secara acak dari seperangkat kartu bridge?

Jawab :Pada pengambilan sebuah kartu tidaklah mungkin mendapatkan kartu bernilai 7 berwarna merah sekaligus berwarna hitam (AB=)

P A B( ) 252

252

452

113

Contoh 6:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

16

Sekeping mata uang setimbang dilemparkan 6 kali. Berapa peluang sisi GAMBAR (G) muncul minimal 1 kali P(A)?

Jawab :S = {GGGGGG, GGGGGA, ..., AAAAAA} A = Angka G = Gambarbanyak anggota S = 26 = 64

17

Jawab contoh 6: (lanjutan)

A = kejadian munculnya GAMBAR minimal 1 kali pada pelemparan 6 kali

A' = kejadian munculnya GAMBAR = 0 pada pelemparan 6 kali = {AAAAA}

P(A') =

P(A') = P(A) + P(A') = 1

P(A) = 1 - P(A') = 1 - = 164

164

6364

Contoh 7:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

18

Terdapat 10 bola terdiri dari 4 bola merah dan 6 bola hitam. Pengambilan sebuah bola dilakukan tanpa pemulihan.

Peluang Bola pertama berwarna Merah= P(MERAH) = 4/10PeluangBolakeduaberwarnaHitam=P(HITAM|MERAH)= 6/9Peluang Bola ketiga berwarna Hitam = P

(HITAMHITAM MERAH) = 3/8Peluang Bola keempat berwarna Merah = P(MERAH

HITAM HITAM MERAH) = 3/7

Teorema Bayes’

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

19

Ambil himpunan kejadian C1, C2,…, Cn yang saling bebas dan merupakan partisi dari ruang sampel F, maka

P(Cj|F) = A / B, dengan

A = P(F|Cj)P(Cj)

n

dan B = P(F|Ci)P(Ci)

i = 1

Contoh 8:

kuliah_10Metode Pencacahan/Counting

20

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0.3, peluang Pak budi terpilih 0.5, dan peluang Pak Cahya terpilih 0.2. jika pak Ali terpilih, peluang kenaikan iuran koperasi adalh 0.8 sedangkan bagi pak Budi dan pak Cahya peluang kenaikan iuran masing-masing 0.1 dan 0.4. beberapa saat kemudian diketahui bahwa iuran koperasi telah naik. Berupa peluangnya pak Cahya yang terpilih menjadi ketua ?

21

Jawab contoh 8:

Misal A : orang terpilih akan menaikan iuran.

B1 = pak Ali terpilihB2 = pak Budi terpilihB3 = pak Cahya

terpilihP(B3 | A) = ?

)()()(

)()|(

321

3

3 ABPABPABP

ABPABP

22

Jawab contoh 8:

)|()()|()()|()(

)|()()|(

332211

333 BAPBPBAPBPBAPBP

BAPBPABP

)4.0)(2.0()1.0)(5.0()8.0)(3.0(

)4.0)(2.0()|( 3 ABP

216.0)|( 3 ABP