Soal No. 1Perhatikan gambar berikut,PQadalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q

a) NyatakanPQdalam bentuk vektor kolomb) NyatakanPQdalam bentuk i, j (vektor satuan)c) Tentukan modulus atau panjang vektorPQPembahasanTitik P berada pada koordinat (3, 1)Titik Q berada pada koordinat (7,4)a)PQdalam bentuk vektor kolom

b) PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan)PQ= 4i + 3j

c) Modulus vektorPQ

Soal No. 2Perhatikan gambar kubus dengan sisi sepanjang 10 satuan berikut:

Titik S tepat berada pada perpotongan kedua diagonal sisi alas kubus. Tentukan:a) Koordinat titik Sb) Koordinat titik Vc) VektorSVdalam bentuk kolomd)SVdalam bentuk vektor satuane) Modulus atau panjangSV

Pembahasana) Koordinat titik Sx = 5y = 0z = 5(5, 0, 5)

b) Koordinat titik Vx = 10y = 10z = 0(10, 10, 0)

c) VektorSVdalam bentuk kolom

d)SVdalam bentuk vektor satuanSV= 5i + 10j k

e) Modulus atau panjangSV

Soal No. 3Diberikan dua buah vektor masing-masing a = 9 dan b = 4. Nilai cosinus sudut antara kedua vektor adalah 1/3 . Tentukan:a) |a + b|b) |a b|

Pembahasana) |a + b|Jumlah dua buah vektor

b) |a b|Selisih dua buah vektor

Soal No. 4Dua buah vektor masing-masing:p= 3i + 2j + kq= 2i 4 j + 5k

Tentukan nilai cosinus sudut antara kedua vektor tersebut!

PembahasanJumlahkan dua buah vektor dalam i, j, k

Dengan rumus penjumlahan

Soal No. 5Diketahui vektora= 2i 6j 3k danb= 4i + 2j 4k . Panjang proyeksi vektorapadabadalah..A. 4/3B. 8/9C. D. 3/8E. 8/36(Soal Ebtanas Tahun 2000)

PembahasanPanjang masing-masing vektor, jika nanti diperlukan datanya:

Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:

Soal No. 6Diketahui vektora= 4i 2j + 2k dan vektorb= 2 i 6 j + 4k. Proyeksi orthogonal vektorapada vektorbadalah....A. i j + kB. i 3j + 2kC. i 4j + 4kD. 2i j + kE. 6i 8j + 6k(Dari Soal UN Matematika Tahun 2011 Paket 12)

PembahasanProyeksi vektorapada vektorbnamakanc, hasil akhirnya dalam bentuk vektor (proyeksi vektor ortogonal).

Soal No. 7Besar sudut antara vektora= 2i j + 3k danb= i + 3j 2k adalah....A. 1/8 B. 1/4 C. 1/3 D. 1/2 E. 2/3 (Soal Ebtanas 1988)

PembahasanSudut antara dua buah vektor:

Soal No. 8Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , 6) dan C(1 , 9 , 0).ABdanACwakil-wakil dari vektorudanv. Besar sudut antaraudanvadalah....A. 0B.1/4C.1/2D.3/4E. (Soal Ebtanas 1989 - Vektor)

PembahasanTentukan vektor u dan v terlebih dulu:u= AB = B A = (6 , 10 , 6) (4 , 7 , 0) = (2, 3, 6) u= 2i + 3j 6kv= AC = C A = (1 , 9 , 0) (4 , 7 , 0) = ( 3, 2, 0) v= 3i + 2j

Sudut dengan nilai cosinus nol adalah 90 atau1/2

Soal No. 9DiketahuiProyeksi skalar 2u+ 3vpadavadalah....

A.1/2B.1/22C.1/1414D. 214E.7/214

Pembahasan2u+ 3vmisalkan dinamakanr

Proyeksi vektorrpadavmisal namanyasadalah

Soal No. 10Diberikan tiga buah vektor masing-masing:a= 6p i + 2p j 8 kb= 4 i + 8j + 10 kc= 2 i + 3 j 5 k

Jika vektorategak lurusb, maka vektoracadalah.....A. 58 i 20 j 3kB. 58 i 23 j 3kC. 62 i 17 j 3kD. 62 i 20 j 3kE. 62 i 23 j 3kPembahasanTentukan nilai p terlebih dahulu, dua vektor yang tegak lurus maka perkalian titiknya sama dengan nol.adanbtegak lurus maka berlaku:ab= 0

(6p i + 2p j 8 k) (4 i + 8j + 10 k) = 0 24p + 16p 80 = 0 8p = 80p = 10

Dengan demikian vektor a adalaha= 6p i + 2p j 8 ka= 6( 10) i + 2( 10) j 8 ka= 60 i 20 j 8 k

ac= ( 60 i 20 j 8 k) ( 2 i + 3 j 5 k)ac= 58 i 23 j 3k

Nomor 1Diketahui a = ti- 2j+ hkdan b = (t+2)i+ 2j+ 3k. Jika a = - b maka vektor a dapat dinyatakan ...A. i+ 2j+ 3 kB. i+ 2 j - 3kC. i - 2j+ 3kD. - i - 2j+ 3kE. - i - 2 j - 3 k

Pembahasana = - b maka ti- 2j+ hk= - (t+2)i- 2j- 3kt = - (t+2)t = - t - 22t = -2 t = -1lalu h = - 3sehingga, a = -i- 2 j - 3 kJawaban: ENomor 2Jika vektor a = 7 i+ 5 j - 3k dan b = 5 i+ 2 j+ 3k serta c = a - b, maka vektor satuan yang searah denga c adalah...A. 6/7 i+ 2/7 j+ 3/7 kB. 2/7 i+ 3/7 j - 6/7 kC. 2/7 i - 3/7 j+ 6/7 kD. 6/7 i - 3/7 j - 2/j kE. -2/7 i+ 6/7 j - 3/7 k

Pembahasanc = a - b = (7 i+ 5 j - 3k) - (5 i+ 2 j+ 3k) = 2 i+ 3j - 6kSehinggaMaka vektor yang searah dengan c adalahc = (2, 3, -6) / 7 atau c = 2/7 i+ 3/7 j - 6/7 kJawaban: B

Nomor 3Diketahui titik-titikA(1, 4, 2),B(3, 1, -1),C(4, 2, 2). Jika a = AB dan b = CA dan c = b - a maka vektor c adalah...A. (5,5,3)B. (-5,5,3)C. (-5,-5,3)D. (-3,3,5)E. (-3,-3,5)

Pembahasana = AB = B - A = (3,1,-1) - (1,4,2) = (2,-3,-3)b = CA = A - C = (1,4,2) - (4,2,2) = (-3,2,0)c = b - a = (-3,2,0) - (2,-3,-3) = (-5,5,3)Jawaban: B

Nomor 4Diketahui U = 3 i+ 2 j+ k dan v = 2i+ j dimana W = 3 U - 4 V maka besar W =...A.5B. 7C. 11D. 13E. 14

PembahasanW = 3 (3 i+ 2 j+ k) - 4 (2i+ j) = i+ 2j+ 3kJawaban: E

Nomor 5Diketahui vektor u = 2 i - 3 j+ 5 k dan v = - 3 i - 5 j+ 2 k menga[it sudut . Maka nilai tan adalah...A. 2B. 3C. 5D. 6E. 1

Pembahasan

Jadi = 60 derajatSehingga tan = tan 60 = 3Jawaban: B

Nomor 6Jika a = 3i - 2j+ k, b = 2i - 4j - 3k dan c = -i+2j + 2k, maka 2a - 3b - 5 c sama dengan...A. 2i+ 5j+ kB. 2i - 5j+ kC. 5i - 2j+ kD. 5i +2j+ kE. 5 i - 2 j - k

Pembahasan2a - 3b - 5 c = 2 (3i - 2j+ k)-3(2i - 4j - 3k) - 5(-i+ 2j+ 2k) = 5i - 2j+ kJawaban: C

Nomor 7Jika vektor u dan vektor v membentuk sudut 60 derajat dimana IuI = 2 dan IvI = 5, maka u (v+ u) =A. 3B. 5C. 7D. 9E. 11

Pembahasanu (v+ u) = u . v+u2= IuI IvI cos 60+ u2= 2 . 5 . 1/2 + 22= 5 + 4 = 9Jawaban: B

Nomor 8Diketahui titik-titik A (3,-1,0), B(2,4,1) dan C(1.0,5). Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...A. 1/5 30B. 2/5 30C. 3/5 30D. 4/5 30E. 30

PembahasanAB = B - A = (2,4,1) - (3,-1,0) = (-1,5,1)AC = C - A = (1,0,5) - (3,-1,0) = (-2,1,5)Maka panjang proyeksi vektor AB pada vektor BC adalah...

= 12/30 (30) = (2/5) 30Jawaban: B

Nomor 9Vektor-vektor u = 4i - mj+ 2 k dan v = 5i+ 2j - 4k saling tegak lurus. Maka harga m haruslah...A. 2B. 4C. 6D. 8E. 10

Pembahasanu tegak lurus v maka:u . v = 0(4i - mj+ 2k) (5i+ 2j - 4k) = 20 - 2m - 8 = 0m = 6Jawaban: C

Nomor 10Diketahui D adalah titik berat segitiga ABC dimana A(2,3,-2), B(-4,1,2) dan C(8,5,-3). Maka panjang vektor posisi d sama dengan:A. 1B. 2C. 5D. 10E. 14

PembahasanD titik berat segitiga sehingga D = 1/3 (A+ B+ C)D = 1/3 (2,3,-2)+ (-4,1,2)+ (8,5,-3)D = 1/3 (6,9,-3) = (2,3,-1)Panjang proyeksi D adalah

Jawaban: E