Modul ke:

Fakultas

Program Studi

Matematika 2Vektor

Beny Nugraha, MT, M.Sc

07FAKULTAS

TEKNIK

TEKNIK ELEKTRO

Konsep Vektor

• Vektor adalah sebuah besaran yang memiliki nilai dan arah.

• Suatu vektor biasanya digambarkan dengan sebuah garis yang salah satu ujungnya memiliki ujung panah sebagai arahnya.

• Sedangkan nilainya diwakili oleh panjang anak panah tersebut.

Konsep Vektor

• Pada contoh di atas, vektor AB adalah (2,5) dan vektor CD adalah (2,-3).

• Sebuah vektor dapat dinotasikan dengan salah satu dari tiga cara berikut:

– Huruf kecil tebal.

– Dua buah notasi titik dengan tanda panah di atasnya

– Huruf kecil dengan tanda panah di atasnya

Konsep Vektor

• Panjang sebuah vektor disebut juga modulus vektor. Misalnya dari contoh vektor AB di atas memiliki panjang:

Konsep Vektor

• Latihan:

Gambarkan vektor berikut dan tentukan panjang vektor-nya!

a. AB = (-3, 4)

b. BC = (1, -5)

c. CD = (-5, 8)

Kesamaan dan Lawan Vektor

• Dua buah vektor dikatakan sama apabila memiliki arah dan panjang yang sama. Contoh:

• Secara matematis dapat ditulis: a = b jika dan hanya arahnya sama dan |a| = |b|.

Kesamaan dan Lawan Vektor

• Dua buah vektor dikatakan berlawanan apabila panjangnya sama namun arahnya berlawanan, seperti pada gambar di bawah ini:

Operasi Pada Vektor

1. Perkalian Vektor Dengan Skalar

Sebuah vektor yang dikalikan dengan bilangan riil akanmenghasilkan sebuah

vektor baru yang searah dengan yang lama. Panjang vektor yang baru akan sebanding dengan bilangan riil pengalinya.

Jika terdapat vektor a yang dikalikan dengan skalar k, maka panjang/modulus vektor baru tersebut adalah: k.|a|

Contoh:

Terdapat vektor a seperti berikut:

Operasi Pada Vektor

1. Perkalian Vektor Dengan Skalar

Kemudian vektor tersebut dikalikan dengan 3. Maka bentuk vektornya menjadi:

Operasi Pada Vektor

2. Penjumlahan Dua Buah Vektor

Dua buah vektor yang dijumlahkan akan menghasilkan vektor baru di mana titik awal-nya sama dengan vektor pertama, dan titik akhirnya sama dengan vektor kedua. Contoh: terdapat vektor a = (3,1) dan vektor b = (-2,3). Maka a + b = (3+ -2, 1+3) = (1,4). Ilustrasi penjumlahan kedua vektor ini dapat dilihat pada gambar berikut:

Operasi Pada Vektor

3. Pengurangan Dua Buah Vektor

Pengurangan atau selisih dari dua buah vektor adalah penjumlahan vektor pertama dengan lawan vektor kedua, atau dapat dinotasikan: a – b = a + (-b). Contoh: vektor a = (3,1) dan vektor b = (-2,3). Terlebih dahulu dicari lawan dari b, yaitu –b = (2,-3). Maka a – b = a + -b (3+2, 1+ -3) = (5,-2). Ilustrasi pengurangan kedua vektor ini dapat dilihat pada gambar berikut:

Operasi Pada Vektor

• Latihan:

Terdapat vektor a = (3, 6), b = (-3, 4), dan c = (7, -5)

Tentukan:

a. a + b + c

b. 2a – 3b

c. -c – 4a

Vektor Satuan dan Vektor Nol

• Vektor satuan adalah vektor yang modulusnya adalah 1. Untuk memperoleh vektor satuan dari sebuah vektor, maka vektor tersebut harus dibagi dulu dengan modulusnya.

• Contoh: terdapat vektor a = (-3,4). Modulus dari a adalah |a| =

(−3)2+ 42 = 5. Kemudian vektor tersebut dibagi dengan modulusnya menjadi: ea = (-3/5, 4/5) = (-0.6, 0.8).

• Vektor nol adalah vektor yang memiliki arah yang tidak tentu dan tidak memiliki besar (modulus = 0). Vektor nol dinotasikan dengan: a = (0,0).

Hukum Aljabar Vektor

• Jika terdapat tiga buah vektor a, b & c dan terdapat bilangan skalar m & n. Maka ketiga vektor tersebut memenuhi sifat:

1. Komutatif Penjumlahan a + b = b + a

2. Asosiatif Penjumlahan a + (b + c) = (a + b) + c

3. Asosiatif Perkalian Skalarm(n.a) = m.n(a) = n(m.a)

4. Distributif:

(m + n).a = m.a + n.a

m(a + b) = m.a + m.b

Vektor Dalam Ruang 3D

• Vektor posisi dalam ruang memiliki tiga komponen yang masing-masing mewakili panjang tertentu dengan arah sejajar sumbu x, y, z dengan titik pangkal titik sumbu sistem koordinat. Ketiga komponen tersebut dinotasikan: a = (ax, ay, az). Contoh vektor dalam ruang 3D dapat dilihat pada gambar berikut:

Vektor Dalam Ruang 3D

• Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa komponen x adalah 2, komponen y adalah 3, dan komponen z adalah 2. Lebih lanjut lagi, Vektor basis sejajar sumbu x disebut i, Vektor basis sejajar sumbu y disebut j, Vektor basis sejajar sumbu z disebut k, sehingga notasi untuk vektor 3D di atas adalah: a = 2i + 3j + 2k.

Vektor Dalam Ruang 3D

• Untuk menentukan modulus dari vektor 3D dapat digunakan rumus:

• Maka: |a| = 22 + 32 + 22 = 17

Jarak Antara Dua Titik

• Misal terdapat dua buah vektor 3D, a = (x1, y1, z1) dan b = (x2, y2, z2), seperti pada gambar berikut:

• Maka jarak |AB| dapat dihitung dengan rumus:

Sudut Antara Dua Vektor

• Misal terdapat dua buah vektor 3D, a = (x1, y1, z1) dan b = (x2, y2, z2), seperti pada gambar berikut:

• Maka sudut yang dibentuk kedua vektor tersebut dapat dicari dengan menggunakan rumus:

Sudut Antara Dua Vektor

• Contoh: Tentukan sudut antara vektor a = (3,1,2) dan vektor b= (4,3,6).

• Jawab:

Perkalian modulus vektor:

Perkalian skalar vektor:

Perhitungan sudut θ:

PR!!!!!!!!

Terdapat vektor a = (-5, 3, 6) dan vektor b = (-4, -2, -8).

Tentukan:

a. |a| dan |b|

b. Sudut antara vektor a dan vektor b

Terima KasihBeny Nugraha, MT, M.Sc