SISTEM WAKTU DISKRIT, KONVOLUSI, PERSAMAAN BEDA

1

Pengolahan Sinyal Digital

2

PENGANTAR

Definisi SISTEMProses yang menghasilkan sebuah sinyal keluaran dalamrangka merespon sebuah sinyal masukan

Gambaran dasar sistem

3

Beberapa Contoh Sistem

1. Sebuah sistem komunikasi dengan input berupa sinyal yang ditransmisidan output berupa sinyal yang diterimanya.

2. Sebuah sistem biologi seperti alat pendengaran manusia (telinga) dengan input berupa sinyal suara yang masuk ke gendang telinga danoutput berupa rangsangan syaraf yang selanjutnya diolah di otak untukpengambilan keputusan informasi apa yang masuk.

3. Sebuah manipulator robot dengan input berupa torsi yang diaplikasikanke robot dan output berupa posisi akhir salah satu lengannya.

4. Proses manufaktur, dimana input berupa bahan mentah yang dimasukkan dan outputnya berupa jumlah barang yang diproduksinya.

4

MODEL MATEMATIK SISTEM

MODEL MATEMATIKA

Hubungan antar komponen (sinyal) dalam suatu sistem digambarkandalam suatu bentuk persamaan - persamaan matematika

Model matematik pada suatu sistem biasanya merupakanrepreseantasi ideal pada sistem. Dengan kata lain, banyak sistem aktual (dalam ujud fisik yang sebenarnya) tidak dapat digambarkan dengan suatu model matematik.

representasi input & output state

5

Klasifikasi Sistem1) Sistem Waktu Kontinu

Penggambaran sistem waktu kontinyu selalu berkaitan denganbentuk representasi matematik yang mengambarkan sistemtersebut dalam keseluruhan waktu dan berkaitan denganpenggunaan notasi f(t).

2) Sitem Waktu DiskritPenggambaran sistem waktu disktrit berkaitan dengan pengambilan sampel pada waktu-waktu tertentu dari sistemyang biasanya dengan penggunaan notasi f[n].

6

SISTEM WAKTU DISKRIT

Sistem Waktu Diskrit Divais atau algoritma yang beroperasipada sinyal waktu diskrit (masukan /eksitasi) untukmenghasilkan sinyal waktu diskrit lain (keluaran/responsistem)

[ ]x[n]Ty[n] =

T : Transformasi (operator), atau pemrosesan dilakukan dengansistem pada x[n] untuk menghasilkan y[n]

][x[n] nyT⎯→⎯atau

7

SISTEM WAKTU DISKRIT

Contoh:Tentukan respon dari sistem-sistem berikut terhadap sinyal :

⎩⎨⎧ ≤≤−= lainyang0,

3n3,nx[n]

a) y[n]=x[n]

b) y[n]=x[n-1]

c) y[n]=x[n+1]

d) y[n]=1/3[x[n+1]+x[n]+x[n-1]]

e) y[n]=maks{x[n+1], x[n], x[n-1]}

8

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

1. Sistem dengan dan tanpa memori2. Kausalitas3. Linearitas4. Stabilitas5. Invariansi Waktu

9

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

1. Sistem Statis Vs Sistem DinamisSistem Statis (tanpa memori)

jika keluarannya untuk setiap harga variabel bebas padawaktu yang diberikan bergantung hanya pada masukanwaktu yang sama.

Contoh : y[n]=(2x[n]-x2[n])2

Sistem Dinamis (menggunakan memori) jika sistem dapat menahan atau menyimpan informasimengenai harga masukan yang bukan harga masukan saat ini

Contoh : y[n]=Σx[n-k] ; y[n]=x[n-1] ; delay

10

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

2. Sistem Linear Vs Sistem NonlinearSistem Linearjika memenuhi prinsip superposisi

respon sistem terhadap jumlah bobot sinyal masukan akan sama dengan jumlah bobot yang sesuai dengan dari respon sistem terhadap masing-masing sinyal masukan individual

Teorema. Sistem adalah linear jika dan hanya jika

[ ]

Sistem NonlinearJika sistem tidak memenuhi prinsip superposisi

[ ] [ ][n]xTa[n]xTa[n]xa[n]xaT 22112211 +=+untuk setiap masukan x1[n] dan x2[n] yang berubah-ubah dan setia kontanta a1dan a2 yang berubah-ubah

11

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

2. Sistem Linear Vs Sistem Nonlinear

ContohTentukan apakah sistem-sistem berikut ini linear atau non linear!

a) y[n] = nx[n]

b) y[n]=x2[n]

c) y[n]=x[n2]

d) y[n]=Ax[n]+B

12

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

3. Sistem Causal Vs Sistem Non-CuasalSistem Causal (Sebab-Akibat)

Jika keluaran sistem untuk setiap waktu n (yaitu, y[n]) hanya bergantung pada masukan sekarang dan sebelumnya (yaitu, x[n], x[n-1], ....), tetapi tdk bergantung pada masukan yang akan datang (yaitu, x[n+1], x[n+2], dst).

Sistem Non-CausalJika sistem tidak memenuhi definisi di atas (sistem causal)

Dalam matematis:[ ]L 2],- x[n1],- x[nx[n],T y[n] =

13

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

ContohTentukan apakah sistem-sistem berikut ini causal atau non causal!

a) y[n] = x[n]-x[n-1]

b) y[n]=x[n2]

c) y[n]=ax[n]

d) y[n]=x[-n]

e) y[n]=x[n]+3x[n+4]

f) y[n]=x[an]

g) y[n]=∑ −∞=

n

kx[k]

3. Sistem Causal Vs Sistem Non-Cuasal

14

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

4. Sistem Invarian Waktu Vs. Sistem Varian WaktuSistem Invarian Waktu (Time Invarian)

Jika karakteristik sinyal masukan-keluaran tidak berubah terhadap waktuTeorema. Sistem adalah invarian waktu jika dan hanya jika

][][ nynx T⎯→⎯yang memberikan bahwa

][][ knyknx T −⎯→⎯−Untuk setiap sinyal masukan x[n] dan setiap pergeseran waktu k

Sistem Time VarianJika sistem tidak memenuhi definisi di atas (sistem time invarian)

15

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

ContohTentukan apakah sistem-sistem berikut ini invarian waktu atau varian waktu!

a) y[n] = x[n]-x[n-1]

b) y[n]=x[n2]

c) y[n] = nx[n]

4. Sistem Invarian Waktu Vs. Sistem Varian Waktu

16

a) Buat sketsa x[n]

b) Tentukan dan buat sketsa y[n]=T[x[n]]

c) Buat sketsa sinyal y’2[n]=y[n-2]

d) Tentukan dan buat sketsa x2[n]=x[n-2]

e) Tentukan dan buat sketsa y2[n]=T[x2[n]]

f) Bandingkan sinyal y’2[n] dengan y2[n]. Apa kesimpulan

Anda?

⎩⎨⎧ <≤= lainnyauntuk

nuntuknx 0301][

Sifat-Sifat Sistem Waktu Diskrit

Untuk memahami sistem invarian atau varian waktu, perhatikan sistem diatas dan lakukan langkah2 berikut:

4. Sistem Invarian Waktu Vs. Sistem Varian Waktu

17

Soal-Soal Latihan

Dari serangkaian sistem yang memiliki hubungan input/output berikut ini coba anda periksa apakah kausal atau non kausal, dengan memori atau tanpa memori, linear atau non linear, dan time variant atau time invariant.

a) x[-n]

b) X[2n]

c) X[n]u[n]

d) X[n]+nx[n+1}

18

Soal-Soal Latihan

Sebuah sistem penyimmpanan uang di bank memiliki model matematik seperti berikut:

y[n+1] –(1+I/4)y[n]=x[n+1]Dimana:

y[n] adalah jumlah yang ada setelah penghitungan pada quarter ke-n,x[n] adalah jumlah yang didepositkan dalam quarter ke-n,

I adalah interest rate tahunan dalam bentuk desimal.

Untuk I = 10%, hitung y[n] untuk n = 1,2,3,… ketika y[0] =1000

dan x[n] =1000 untuk n >1.

19

Teknik-Teknik Analisis Sistem Linear(LTI System)

Terdapat 2 metode dasar untuk menganalisis sikap ataurespon sistem linear terhadap sinyal masukan tertentu :

solusi langsung daripersamaan masukan-keluaran

untuk sistem

Persamaan beda (diffrence eq.)

Konvolusi Sinyal

20

KONVOLUSI

Rumus konvolusi muncul dari adanya sifat linieritas dan invarian waktupada sistem. Sebagai konsekwensinya, respon sistem terhadap setiapsinyal masukan yang berubah-ubah dapat dinyatakan dari segi responcuplikan unit sistem

Misal dipunyai sinyal x[n] yang berubah-ubah , maka x[n] dapatdidekomposisi menjadi jumlahan bobot(skala) deret cuplikan unit yang digeser (impuls)

∑+∞

−∞=

−=k

knkxnx ][][][ δ

Contoh. Perhatikan kasus barisan berhingga sbb:

↑=

3} 0, 4, ,2{x[n]

Pisahkan x[n] menjadi jumlah bobot deret impuls!

21

Misal , jika sinyal masukan x[n] dinyatakan sebagai jumlahan bobot impuls , yakni:

Maka, respon sistem terhadap x[n] adalah jumlah bobot keluaran yang tepat, yakni

∑+∞

−∞=

−=k

knkxnx ][][][ δ

[ ]

[ ]∑

∑∞+

−∞=

+∞

−∞=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−==

k

k

knTkx

knkxTnxTny

][][

]][][][][

δ

δ

Jika respon sistem LTI terhadap deret cuplikan unit, , dinotasikan denganh[n], yakni: , maka dengan sifat invarian waktu, responsistem terhadap tunda deret cuplikan unit (respon impuls), , adalah

][n

RUMUSAN KONVOLUSI

δ

][ kn −δ[ ]][][ nTnh δ=

[ ]][][ knTknh −=− δSehingga, persamaan diatas dapat ditulis sbb:

∑+∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

Rumuskonvolusi

Masukan x[n] berkonvolusi dgnh[n] untuk menghasilkan

keluaran y[n]

22

KONVOLUSI

JadiKonvolusi menggabungkan tiga buah sinyal sinyal masukan, sinyal keluaran, dan respon impulsKonvolusi adalah cara matematik untuk mengkombinasikan duabuah sinyal menjadi sinyal dalam bentuk lain.Notasi Konvolusi

][*][][ nhnxny =

][*][][ nynhny =Konvolusi bersifat komutatif

23

KONVOLUSI

a) Pencerminan(folding). Cerminkan h[k] pada k=0 untukmemperoleh h[-k]

b) Pergeseran (Shifting). Geser h[-k] dengan n0 ke kanan (kiri) jika n0 positif (negatif) untuk memperoleh h[n0-k]

c) Perkalian (multiplication). Kalikan x[k] dengan h[n0-k] untuk memperoleh produk vn0[k]=x[k]h[n0-k]

d) Penjumlahan(summation). Jumlahkan seluruh nilai deretproduk vn0[k] untuk memperoleh nilai pada waktu n=n0

Langkah-langkah Konvolusi y(n)=x[n]*h[n]

∑+∞

−∞=

−=k

knhkxny ][][][

24

CONTOH KONVOLUSI

Respon impuls dari suatu sistem LTI adalahh[n]={1, 2, 1,-1}

x[n]={1, 2, 3,1}

Tentukan respon sistem terhadap sinyal masukan

Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukanDengan 2 cara secara grafik dan secara analitik

Penyelesaian:

25

Proses KONVOLUSI

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

h[k] x[k]

h[-k] v0[k] =4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

h[1-k] v1[k]=8

h[2-k] v2[k]=8

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-1

0

1

2

3

4

5

6

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

h[-1-k] V-1[k]=-1

h[-2-k] V-2[k]=0

kalikan

x[k]*h[k]={…, 0, 0, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1, 0, 0, …}

x[n]={1, 2, 3,1}h[n]={1, 2, 1,-1}

n=0

n=1

n=2

n=-1

n=-2

26

x[k]*h[k]={0, 1, 4, 8, 8, 3, -2, -1}

Proses KONVOLUSIx[n]={1, 2, 3,1} h[n]={1, 2, 1,-1}

Sinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= {1, 2 , 3, 1}h[n]={1, 2 , 1, -1}

Pembalikan sinyal keduaSinyal pertama :Sinyal kedua :

{1, 2, 3, 1}h[n]={-1 , 1, 2, 1}

Pergeseran n=0 & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= {1, 2 , 3, 1}h[n]={-1 , 1, 2, 1}

Product & sum : {0, 0, 2, 2, 0, 0}=4

Pergeseran n=-1 & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= {1, 2 , 3, 1}h[n]={-1 , 1, 2, 1}

Product & sum : { 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0}=1

Pergesearan n=-2 & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= {1, 2 ,3, 1}h[n]={ -1, 1, 2, 1}

Product & sum :

Pergesearan n=1 & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= {1, 2, 3,1}h[n]= {-1,1, 2, 1}

Product & sum : {0, 1, 4, 3, 0} = 8

Pergesearan empat step & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]= { 1, 2, 3, 1}h[n]= {-1,1, 2, 1}

Product & sum : {-1, 2, 6, 1} = 8

Pergesearan lima step & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]={1, 2, 3, 1}h[n]= {-1 ,1, 2, 1}

Product & sum : {0,-2, 3, 2, 0} = 3

Pergesearan enam step & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :

x[n]={1, 2, 3, 1}h[n]= {-1 ,1, 2, 1}

Product & sum : {0, 0,-3, 1, 0, 0} =-2

Pergesearan tujuh step & penjumlahanSinyal pertama :Sinyal kedua :Product & sum :

x[n]={1, 2, 3, 1}h[n]= {-1 ,1, 2, 1}

{0, 0, 0,-1, 0, 0, 0} = -1{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} = 0

27

Proses pemfilteran dengan KONVOLUSI pada sinyalbernoise

konvolusidapat digunakan

pada prosespemfilteran

28

SOAL LATIHAN

1. Diketahui fungsi sinyal sebagai berikut :

Jika respon impuls, h[n]={1,1,2}, maka tentukan keluaran y[n] !

2. Dari soal no. 1, bila h[n]={0,0,2,1,0}, maka tentukan y[n]!

3. Tentukan respon sistem yang memiliki respon impuls

terhadap sinyal masukan

⎪⎩

⎪⎨⎧

>=

<≤=

3032

301][

nuntuknuntuk

nuntuknx

u(n)2x[n] n=

( ) u(n)21h[n]

n=

29

Persamaan Beda

Sebuah sistem LTI bisa dinyatakan melalui persamaan beda:

]kx[nbk]y[naM

0kk

N

0kk ∑∑

==

−=−

Jika , maka persamaan beda berorde-N0a N ≠

)1(

∑∑==

−−−=N

1kk

M

0kk k]y[nak]x[nb)(ny

Pers. (1) dapat ditulis sbb:

)2(

Penyelesaian persamaan beda ini dalam bentuk:

(n)y(n)yy(n) ph +=

Bagianhomogen

Bagianpartikulir

30

SOLUSI HOMOGEN(respon masukan nol)

Solusi homogen diperoleh dengan meng-nol-kan bagian kiri dari pers. (1). Bentuk umumnya dinyatakan dengan

∑=

=N

k

nkkh zcny

1

)(

0aN

0kk =∑

=

kz

Persamaan karakteristik ini dapat digunakan untuk menentukanstabilitas sistem. Jika akar-akar zk memenuhi kondisi berikut:

N,1,k1,z k L=<

dengan zk, k=1, …, N merupakan N akar dari persamaan karakteristik:

Sistem dalam Pers. (1) stabil

31

CONTOH

Tentukan solusi homogen dr sistem yang dinyatakan denganpers. Beda berikut:

]1[2][]2[4]1[3][ −+=−−−− nxnxnynyny

Dengan x[n] adalah sinyal unit step.

32

solusi partikulir(khusus), yp[n], dibutuhkan untuk memenuhi pers beda untuksinyal masukan khusus, x[n], n>= 0. Dengan kata lain, yp[n] adalah setiap solusi khusus yang memenuhi:

untuk menyelesaikannya, diasumsikan yp[n] adalah suatu bentuk yang bergantung pada bentuk sinyal masukan x[n].

∑∑==

−=−M

0kk

N

0kpk k]x[nbk][nya

Sinyal masukan x[n] Solusi khusus y[n]

A (konstanta) K

AMn KMn

AnM K0nM +K1nM-1+….+KM

AnnM An (K0nM +K1nM-1+….+KM)

Acos (w0n) K1cos(w0n)+K2sin(w0n)

Asin(w0n) K1cos(w0n)+K2sin(w0n)

SOLUSI PARTIKULIR

Bentuk Umum Solusi partikulir

33

CONTOH

Tentukan solusi partikulir dr sistem yang dinyatakan denganpers. Beda berikut:

][]2[61]1[6

5][ nxnynyny +−−−=

Dengan x[n]=2nu[n] adalah sinyal unit step.

Tentukan solusi total dr sistem yang dinyatakan dengan pers. Beda berikut:

]1[2][]2[4]1[3][ −+=−−−− nxnxnynyny

Dengan x[n]=4nu[n]

)1(

)2(

34

Respon Impuls dalam Sistem Reekursif

Respon impuls, h[n], dari suatu sistem LTI yang dinyatakan dalampers. beda (sistem reekursif) sama dengan respon keadaan nol sistembila masukan x[n]= d[n].Sedangkan solusi khususnya yp[n]=0.

Contoh:Tentukan respon impuls h[n] untuk sistem yang didefinisikan denganpersamaan beda orde ke-2

]1[2][]2[4]1[3][ −+=−−−− nxnxnynyny

35

FIR dan IIR

Sistem LTI berdasarkan respon impulsnya

Respon Impuls berhingga (FIR) Respon Impuls tak berhingga (IIR)

h[n] = 0, n<0 dan n>= M

36

Soal-Soal Latihan

Tentukan solusi total dan respon impuls dari persamaan beda berikut:

][]2[61]1[6

5][ nxnynyny +−−−=

Bila x[n]=2nu[n]

Tentukan respon impuls dari sistem yang dideskripsikan persamaanbeda berikut:

]2[][2]2[1.0]1[7.0][)][]2[08.0]1[6.0][)

−−+−−−=+−−−=

nxnxnynynybnxnynynya

)1(

)2(

37

Soal-Soal Latihan

Tentukan solusi total dan respon impuls dari persamaan beda berikut:

][]2[15]1[16][ nxnynyny =−+−−

Bila x[n]=5n-2

)3(