PENGANTAR SISTEM DINAMIK -...

PENGANTAR SISTEM DINAMIKSemester Ganjil 2019-2020

Resmawan

Jurusan MatematikaUniversitas Negeri Gorontalo

Agustus 2019

Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 1 / 28

0. Tinjauan Perkuliahan

0 Tinjauan Perkuliahan


0. Tinjauan Perkuliahan 0.1 Mekanisme Perkuliahan

0.1 Mekanisme Perkuliahan

Kehadiran dalam perkuliahan minimal 80%

Kriteria Penilaian

Kriteria Penilaian BobotPartisipasi 10%Tugas 20%UTS 30%UAS 40%Total 100%

Kriteria Kelulusan

Nilai Akhir (NA) Predikat80 ≤ NA ≤ 100 A75 ≤ NA < 80 A−70 ≤ NA < 75 B+65 ≤ NA < 70 B

Nilai Akhir (NA) Predikat60 ≤ NA < 65 B−55 ≤ NA < 60 C+50 ≤ NA < 55 C45 ≤ NA < 50 D


0. Tinjauan Perkuliahan 0.1 Mekanisme Perkuliahan

0.1 Mekanisme Perkuliahan

Kehadiran dalam perkuliahan minimal 80%Kriteria Penilaian

Kriteria Penilaian BobotPartisipasi 10%Tugas 20%UTS 30%UAS 40%Total 100%

Kriteria Kelulusan

Nilai Akhir (NA) Predikat80 ≤ NA ≤ 100 A75 ≤ NA < 80 A−70 ≤ NA < 75 B+65 ≤ NA < 70 B

Nilai Akhir (NA) Predikat60 ≤ NA < 65 B−55 ≤ NA < 60 C+50 ≤ NA < 55 C45 ≤ NA < 50 D


0. Tinjauan Perkuliahan 0.2 Deskripsi Mata Kuliah

0.2 Deskripsi Mata Kuliah

Deskripsi MatakuliahMata kuliah Pengantar Sistem Dinamik berisi bahasan tentangpersamaan dan sistem diferensial autonomus, sistem dinamik, solusisetimbang serta kestabilannya. Disamping itu berisi juga bahasantentang bifurkasi dan jenisnya.

Kompetensi MatakuliahMemahami konsep-konsep yang berkaitan dengan sistem dinamik,kestabilan dan bifurkasi serta menerapkannya pada permasalahanyang terkait

Mata Kuliah Prasyarat : Persamaan Diferensial

Topik Perkuliahan1 Pengantar Sistem Dinamik2 Analisis Kestabilan3 Bilangan Reproduksi Dasar4 Bifurkasi


0. Tinjauan Perkuliahan 0.3 Referensi

0.3 Referensi

1 R. Kuhn, "Introduction to Dynamical Systems," London: Departmentof Mathematics King’s College, 2005.

2 J. Hale and H. Kocak, "Dynamics and Bifurcations," New York :Springer-Verlag. 1991.

3 W. Boyce and R. C. DiPrima, "Elementary Differential Equations andBoundary Value Problems," New York : John Wiley & Sons, Inc,1997.


1. Pengantar Sistem Dinamik

1 Pengantar Sistem Dinamik


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.1 Pendahuluan

1.1 Pendahuluan

Masalah Sistem dinamik sudah lama dipelajari oleh para ilmuwanseperti masalah peredaran benda-benda langit (celestial mechanics),dinamik dari cairan (fluid dynamics) dan juga osilasi dari pegas masa(nonlinear oscillations).

Sistem dinamik mempelajari perubahan yang terjadi pada suatusistem atau keadaan yang memenuhi kondisi tertentu seiringberubahnya waktu, apakah sistem tersebut stabil (menuju ke keadaantertentu) ataukah tidak stabil.

Sistem Dinamik dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu Sistem DInamikKontinu dan Sistem Dinamik Diskrit.

Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.



1.1 Pendahuluan




Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .

Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.



1.1 Pendahuluan




Secara matematis, SD Kontinu dapat disimbolkan dengan,.x = f (x) , sedangkan SD Diskrit disimbolkan dengan, xn+1 = f (xn) .Perbedaan mendasar adalah keadaan sistem kontinu berupa interval,sedangkan sistem diskrit berupa jarak yang dapat dihitung.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear

1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Definition (SPD Linear)

Pandang suatu sistem persamaan diferensial (SPD) :

.x = Ax (1)

dengan x ∈ {x1, x2, ..., xn} dan A adalah matriks n× n, disebut SPDLinear dan didefinisikan

.x =

dxdt=

dx1dt...dxndt

Solusi dari sistem (1) dengan nilai awal x (0) = x0 adalahx (t) = eAtx0, eAt adalah matriks fungsi yang didefinisikan oleh DeretTaylor.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear

1.2 Sistem Persamaan Diferensial Linear

Example (Sistem Linear )1

.x1 = x1 + x2.x2 = 4x1 − 2x2

2

.x1 = 3x1 − 2x2.x2 = 2x2 − x1


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.3 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear

1.3 Sistem Persamaan Diferensial Tak Linear

Definition (SPD Tak Linear)


.x = f (t, x) (2)

dengan

x =

x1 (t)...

xn (t)

dan f (t, x) =

f1 (t, x1, ..., xn)...

fn (t, x1, ..., xn)

adalah fungsi taklinear dalam x1, x2, . . . , xn.Sistem persamaan (2) disebutsistem persamaan diferensial biasa taklinear.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.4 Sistem Persamaan Diferensial Otonom

1.4 Sistem Persamaan Diferensial Otonom

Definition (SPD Otonom/Mandiri)


.x = f (x) , x ∈ Rn (3)

dengan f merupakan fungsi kontinu bernilai real dari x. Sistem persamaan(3) disebut sistem persamaan diferensial biasa otonom (mandiri) karenatidak memuat t secara eksplisit di dalamnya. SPD Otonom tidak secaraeksplisit bergantung pada variabel independen.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.5 Titik Ekuilibrium

1.5 Titik Ekuilibrium

Suatu sistem dinamik kontinu dikatakan memiliki titik ekuilibrium jikapersamaan diferensial

.x = f (x) memiliki solusi untuk f (x) = 0.

Definition (Titik Ekuilibrium)

Misal diberikan sistem persamaan diferensial mandiri

.x = f (x) , x ∈ Rn

Titik x yang memenuhi f (x) = 0 disebut Titik Ekuilibrium.

Istilah Titik Ekuilibrium dapat juga disebut Titik Kesetimbangan, TitikKritis, atau Titik Tetap. Selanjutnya akan digunakan istilah Titik Tetap.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

1.6 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

DefinitionDiberikan matriks koefisien konstan A berukuran n× n dan sistempersamaan diferensial biasa homogen

.x = Ax, x(0) = x0, x ∈ Rn. Suatu

vektor taknol x ∈ Rn disebut vektor eigen dari A jika untuk suatu skalarλ berlaku:

Ax = λx (4)

Nilai skalar λ dinamakan nilai eigen dari A.

Untuk mencari nilai λ dari A, maka sistem persamaan (4) dapat ditulis

(A− λI)x = 0 (5)

dengan I adalah matriks identitas. Sistem persamaan (5) mempunyaisolusi taknol jika dan hanya jika

det(A− λI) = 0 (6)

Persamaan (6) merupakan persamaan karakteristik matriks A.Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 14 / 28

1. Pengantar Sistem Dinamik 1.7 Sifat Kestabilan

1.7 Sifat Kestabilan

Definition

Misal diberikan SPD Otonom.x = f (x) , x ∈ Rn dan x sebagai Titik

Tetap. Kestabilan titik tetap x dapat ditentukan dengan memperhatikannilai-nilai eigen, yaitu λi , i = 1, 2, . . . , n, yang diperoleh dari persamaankarakteristik. Secara umum, kestabilan titik tetap mempunyai perilakusebagai berikut:

1 Stabil jika memenuhi,

Re (λi ) < 0, untuk setiap i .Terdapat Re

(λj)= 0, untuk sebarang j dan Re

(λj)< 0, untuk setiap

i 6= j .2 Tidak stabil, jika terdapat paling sedikit satu i sehingga Re(λi ) > 0.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.8 Pelinearan dan Matriks Jacobian

1.8 Pelinearan dan Matriks Jacobian

Misal diberikan sistem persamaan diferensial biasa taklinear

.x = f (x) , x ∈ Rn (7)

Dengan ekspansi Taylor di sekitar titik tetap x, sistem persamaan (7)dapat ditulis

.x = Jx+ ϕ (x) (8)

Jx pada persamaan (8) disebut Pelinearan sistem (7) dan J disebutMatriks Jacobian yang didefinisikan

J =∂f (x)

∂x=

∂f1∂x1

· · · ∂f1∂xn

.... . .

...∂fn∂x1

· · · ∂fn∂xn

dengan ϕ (x) suku berorde tinggi yang memenuhi lim

x→0ϕ (x) = 0.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.9 Bidang Fase atau Medan Arah

1.9 Bidang Fase atau Medan Arah

Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial.x = f (x , y) (9).y = f (x , y)

Misal terdapat sebarang titik sedemikian sehingga memenuhi

f (x0, y0) = 0

f (x0, y0) = 0

maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan

x = h1 (t)

y = h2 (t)

Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.






f (x0, y0) = 0

f (x0, y0) = 0

maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .

Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan

x = h1 (t)

y = h2 (t)

Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.






f (x0, y0) = 0

f (x0, y0) = 0

maka titik (x0, y0) disebut Titik tetap dari sistem (9) .Ketika solusi sistem (9) diperoleh, misalkan

x = h1 (t)

y = h2 (t)

Maka titik (x , y) dapat diplot pada bidang (x , y) yang disebutBidang Fase.Resmawan (UNG) Pengantar Sistem Dinamik Agustus 2019 17 / 28



Example

Misal diberikan Sistem Persamaan Diferensial

.x = x + y.y = 4x − 2y

1 Tentukan Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Solusi Umum.2 Gambarkan Diagram Fase dengan menggunakan bantuan Nilai Awalmasing-masing, (x0, y0) = (1, 1) , (1,−4) , dan (1,−2)




Solution1 Diperoleh Nilai Eigen∣∣∣∣ 1− λ 1

4 −2− λ

∣∣∣∣ = 0⇔ λ1 = −3 dan λ2 = 2

Vektor Eigen untuk λ1 = −3[1− λ 14 −2− λ

] [u1u2

]=

[00

]⇔[4 14 1

] [u1u2

]=

[00

]Misal u1 = 1, maka u2 = −4, sehingga diperoleh vektor eigen

u = k1

[1−4

]




Solution1 Dengan cara sama, Vektor Eigen untuk λ2 = 2[

1− λ 14 −2− λ

] [v1v2

]=

[00

]⇔[−1 14 −4

] [v1v2

]=

[00

]Misal v1 = 1, maka v2 = 1, sehingga diperoleh vektor eigen

v = k2

[11

]Dengan demikian, diperoleh Solusi Umum PD, yaitu[

x (t)y (t)

]= C1e−3t + C2e2t




Solution2. Buatlah diagram Fase dengan memanfaatkan nilai awal yang

tercantum pada soal.


1. Pengantar Sistem Dinamik 1.10 Latihan 1

1.10 Latihan 1

ProblemTentukan nilai eigen, vektor eigen dan solusi umum dari persamaandiferensial berikut. Gambarlah bidang Fase dengan menggunakan sebarangNilai Awal.

1

.x = 3x − 2y.y = 2y − x

2

.x =

[0 12 1

]x


PENGANTAR SISTEM DINAMIK -...

Documents

Transcript of PENGANTAR SISTEM DINAMIK -...