PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIsebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan...

REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN

PADA BIDANG POINCARÉ

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh :

Chintia Rudiyanto

NIM : 091414042

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PERSEMBAHAN

Skripsi ini ku persembahkan untuk

semua pihak yang telah membantu

selama proses belajar ku

di Universitas Sanata Dharma...

ABSTRAK

Chintia Rudiyanto, 2013. Refleksi dan Aksioma Cermin Pada Bidang

Poincare. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan

Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan

dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini membahas mengenai refleksi dan aksioma cermin pada

bidang Poincare. Selama ini konsep geometri yang banyak dipelajari adalah

seputar geometri Euclid. Padahal, ada berbagai macam sistem geometri yang lain

misalnya geometri Hiperbolik. Bidang Poincare merupakan bidang yang

digunakan dalam geometri Hiperbolik. Setelah membaca penelitian ini,

diharapkan pembaca akan memperoeh wawasan mengenai refleksi dan aksioma

cermin pada bidang Poincare.

Penelitian ini menggunakan metode studi pustaka. Buku acuan yang

digunakan adalah “Geometry : A Metric Approach with Models” karangan

Millman dan Parker. Refleksi dan aksioma cermin ditulis lengkap dengan definisi-

definisi, dan teorema-teoremanya. Selain itu, ditambah juga dengan pembuktian-

pembuktian dari teorema serta penjelasan dan contoh-contohnya.

Hasil dari penelitian ini adalah : (i) Refleksi merupakan suatu fungsi yang

bersifat isometri. (ii) Aksioma cermin adalah konsep mengenai sebuah cermin

dalam garis 𝑙 dalam geometri protraktor. (iii) Konsep cermin dalam 𝑙 adalah

sebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan sudut.

Kata kunci : Refleksi, Aksioma Cermin, Bidang Poincare, Pendekatan Metrik.

ABSTRACT

Chintia Rudiyanto, 2013. Reflections and Mirror Axiom in Poincaré Plane.

Thesis. Mathematics Education Study Program, Mathematics and Science

Education Department, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

This research will be talking about reflections and mirror axiom in

Poincare plane. During this time the most studious concept of geometry is about

Euclidean geometry. In fact, there are a variety of other geometry such as

hyperbolic geometry. Poincare plane is a plane that is used in the hyperbolic

geometry. After reading this research, the reader will get a new knowledge about

reflection and mirror axiom in Poincare plane.

This research use study methods with “Geometry: A Metric Approach

with Models” of Millman & Parker as a mother book. Reflections and mirror

axiom written by added the proof of lemmas and theorems with an explanation

and an example.

The results of this research are: (i) Reflection is an isometric function. (ii)

Mirror axiom is a concept about a mirror in a line in protractor geometry. (iii)

The concept of a mirror in a line is an isometry that preserves line and angle

measure.

Keywords: Reflection, Mirror axiom, Poincare Plane, Metric Approach.

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yesus Kristus, yang telah

senantiasa melimpahkan rahmat Nya sehingga skripsi dengan judul “Refleksi dan

Aksioma Cermin pada Bidang Poincare” ini dapat penulis selesaikan.

Segala macam hambatan dan rintangan telah banyak penulis alami selama

menyelesaikan skripsi ini. Akan tetapi semua itu telah penulis lalui dengan adanya

dukungan dari banyak pihak. Untuk itu pada kesempatan ini penulis dengan

sepenuh hati ingin mengucapkan terimakasih kepada beberapa pihak, diantaranya:

1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si., M.Si., selaku Dosen

Pembimbing Akademik dan dosen pembimbing skripsi, yang dengan sabar

memberikan bimbingan akademik dan dorongan selama penulis

melaksanakan studi dan proses penyusunan skripsi.

2. Bapak Dr. M. Andy Rudhito selaku kaprodi pendidikan matematika,

Universitas Sanata Dharma.

3. Bapak Rohandi, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan Universitas Sanata Dharma.

4. Ibu Enny Murwaningtyas dan Bapak Sugiarto yang telah menjadi dosen

penguji skripsi, terimakasih atas saran dan bimbingannya selama ini.

5. Semua dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan ilmu selama

penulis kuliah di Universitas Sanata Dharma.

6. Semua staf sekretariat JPMIPA yang telah membantu memberikan

pelayanan kesekretariatan selama ini.

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. ii

HALAMAN PENGESAHAN ........................................................................... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ................. vi

ABSTRAK ...................................................................................................... vii

ABSTRACT ..................................................................................................... viii

KATA PENGANTAR ..................................................................................... ix

DAFTAR ISI .................................................................................................... xi

DAFTAR SIMBOL ........................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv

BAB I : PENDAHULUAN

Latar Belakang .....................................................................................................

1.1 Latar Belakang.......................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah ..................................................................................... 3

1.3 Batasan Masalah ....................................................................................... 3

1.4 Tujuan Penulisan ..................................................................................... 3

1.5 Manfaat Penulisan .................................................................................... 3

1.6 Metode Penulisan .................................................................................... 4

1.7 Sistematika Penulisan ............................................................................... 5

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare...................................................... 6

2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Indiensi ................................................ 11

2.3 Geometri Metrik ..................................................................................... 15

2.4 Keantaraan .............................................................................................. 20

2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga ...................................................... 28

2.6 Aksioma Pembagian Bidang ................................................................... 34

2.7 Geometri Pash ........................................................................................ 37

2.8 Geometri Protraktor ................................................................................ 42

2.9 Geometri Netral ...................................................................................... 49

2.10 Kolineasi dan Isometri ............................................................................ 53

2.11 Refleksi pada bidang Euclid .................................................................... 59

BAB III REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN

3.1 Refleksi .................................................................................................. 63

3.2 Aksioma Cermin ..................................................................................... 97

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan........................................................................................... 104

4.2 Saran .................................................................................................... 106

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR SIMBOL

P, Q, R : titik-titik

𝑙 : garis

S : Himpunan titik-titik

ℒ : Himpunan garis-garis

ℳ : Geometri Metrik

𝒜 : Geometri Abstrak

𝐿𝑎 : Garis tipe I pada bidang kartesius

𝐿𝑚 ,𝑏 : Garis tipe II pada bidang kartesius

ℒ𝐸 : Garis-garis pada bidang Euclid

ℇ : Bidang Kartesius /bidang Euclid

aL : Garis tipe I pada bidang Poincare

cLr : Garis tipe II pada bidang Poincare

ℒ𝐻 : Garis-garis pada bidang Poincare

ℋ : Bidang Poincare

𝑃𝑄 : Garis PQ

𝑃𝑄 : Segmen garis PQ

𝑃𝑄 : Sinar garis PQ

𝑑𝐸 : Jarak dalam bidang Euclides

𝑑𝐻 : Jarak dalam bidang Poincare

𝑑 𝑃,𝑄 : Jarak antara titik P dan Q

A-B-C : Keantaraan (Titik B diantara titik A dan titik C)

∠𝐴𝐵𝐶 : Sudut ABC

∆𝐴𝐵𝐶 : Segitiga ABC

𝑚 ∠𝐴𝐵𝐷 : Ukuran sudut ABC

∥ : Sejajar

⊥ : Tegak lurus

∅ : Himpunan kosong

⊂ : Himpunan bagian

∩ : Irisan

∪ : Gabungan

∈ : Elemen / Anggota

≅ : Kongruen

𝑖𝑛𝑡 : Interior

∎ : Akhir definisi

□ : Akhir pembuktian

● : Akhir contoh

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Garis vertikal pada bidang Kartesius 8

Gambar 2.2 Garis tidak vertikal pada bidang Kartesius 8

Gambar 2.3 Garis 𝑥 = 1 pada bidang Kartesius 9

Gambar 2.4 Garis 𝑦 = −𝑥 + 3 pada bidang Kartesius 9

Gambar 2.5 Garis tipe I pada bidang Poincare 10

Gambar 2.6 Garis tipe II pada bidang Poincare 10

Gambar 2.7 Garis 𝑥 = 1 pada bidang Poincare 11

Gambar 2.8 Garis 𝑥 − 1 2 + 𝑦2 = 4 pada bidang Poincare 11

Gambar 2.9 A-B-C 24

Gambar 2.10 C-B-A 24

Gambar 2.11 Segmen garis 𝐴𝐵 dalam bidang Euclid 29

Gambar 2.12 Segmen garis 𝐴𝐵 dalam bidang Poincare 29

Gambar 2.13 Sinar garis dalam bidang Euclid 31

Gambar 2.14 Sinar garis dalam bidang Poincare 31

Gambar 2.15 Sudut dalam bidang Euclid 32

Gambar 2.16 Sudut dalam bidang Poincare 32

Gambar 2.17 Segitiga dalam bidang Euclid 34

Gambar 2.18 Segitiga dalam bidang Poincare 34

Gambar 2.19 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Euclid 35

Gambar 2.20 Aksioma Pembagian Bidang dalam bidang Poincare 35

Gambar 2.21 Sisi yang saling berlawanan dalam APB 36

Gambar 2.22 Sisi yang sama dalam APB 36

Gambar 2.23 Ilustrasi Postulat Pash 37

Gambar 2.24 Interior ∠𝐴𝐵𝐶 40

Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar 41

Gambar 2.26 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43

Gambar 2.27 Ilustrasi Definisi 2.8.1 43

Gambar 2.28 Ilustrasi sudut dalam bidang Poincare 46

Gambar 2.29 Ilustrasi Teorema 2.8.1 47

Gambar 2.30 Ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3 48

Gambar 2.31 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 50

Gambar 2.35 Ilustrasi Lemma 2.10.3 57

Gambar 2.36 Ilustrasi Lemma 2.10.4 58

Gambar 2.37 Refleksi pada bidang Euclid 59

Gambar 3.1 Refleksi pada bidang Poincare 68

Gambar 3.2 Refleksi terhadap garis 𝑥 = 𝑎 68

Gambar 3.3 Refleksi terhadap garis 𝑥 = −2 76

Gambar 3.4 Refleksi titik A(2,1) 77

Gambar 3.5 Refleksi titik B(1,1) 79

Gambar 3.6 Refleksi titik C(10,5) 80

Gambar 3.7 Refleksi titik D(1,10) 81

Gambar 3.8 Ilustrasi pembuktian Teorema 3.1.3 84

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kata “Geometri” berasal dari bahasa Yunani “geometrein” (geo =

bumi, dan metrein = mengukur), yang berarti ilmu pengukuran bumi. Pada

mulanya, Geometri adalah ilmu yang digunakan untuk mengukur lahan

pertanian. Sejarahwan Yunani, Herodotus (5 tahun sebelum Masehi),

mengatakan orang-orang Mesir lah yang pertama kali menggunakan subjek

Geometri, tetapi negara-negara kuno lain (Babylonia, India, Cina) juga

mempunyai beberapa informasi Geometri. (Marvin Jay Greenberg, 1980)

Selama lebih dari 2000 tahun, Geometri identik dengan Geometri

yang berasal dari buku Elements. Buku ini ditulis oleh Euclides sekitar

tahun 300 sebelum Masehi. Sampai abad ke 20, buku ini masih digunakan

sebagai pedoman dalam pembelajaran Geometri di sekolah-sekolah.

Geometri Euclides, seperti dikenal sekarang, dianggap sebagai dasar/fondasi

dari semua ilmu pasti. Namun saat ini, berbagai jenis Geometri yang lain

mulai berkembang. Geometri Non Euclides ditemukan pada awal abad ke-

19. Geometri Non Euclides berkembang sebagai bentuk penyimpangan dari

Geometri Euclides. Hal ini disebabkan karena ada beberapa hal yang saling

bertentangan antara Geometri Euclides dan Geometri Hiperbolik yaitu pada

aksioma kesejajaran. Selain hal itu, bidang yang digunakan dalam kedua

jenis geometri ini pun berbeda. Geometri Euclides menggunakan bidang

Kartesius atau disebut juga bidang Euclid, sedangkan Geometri Hiperbolik

menggunakan bidang Poincare. (John Stillwell, 2005)

Dalam pembicaraan mengenai geometri, baik geometri Euclides

ataupun geometri Hiperbolik, terdapat topik geometri transformasi. Menurut

Susanta (1990), istilah geometri transformasi dapat ditafsirkan sebagai

geometri yang membahas transformasi, tetapi dapat juga ditafsirkan sebagai

geometri yang dilandasi oleh transformasi. Transformasi sendiri merupakan

sebuah fungsi yang bersifat bijektif dalam himpunan titik-titik. Dalam

geometri Euclides, dikenal ada beberapa macam transformasi yaitu, refleksi

atau pencerminan, rotasi atau putaran, translasi atau geseran, dan dilatasi.

Sedangkan dalam geometri Hiperbolik, baru dikembangkan mengenai

transformasi berupa refleksi atau pencerminan. Topik transformasi yang

dapat dibandingkan untuk geometri Euclides dan geometri non Euclides

adalah transformasi berupa refleksi.

Selama ini geometri yang telah dipelajari oleh penulis merupakan

bagian dari Geometri Euclides. Penelitian mengenai Geometri Hiperbolik di

Universitas Sanata Dharma pun masih sangat sedikit. Oleh karena itu,

penulis tertarik untuk meneliti mengenai Geometri Hiperbolik ini melalui

skripsi yang berjudul “ REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN PADA

BIDANG POINCARE”

1.2 Rumusan Masalah

Rumusan masalah dalam penelitian ini yaitu :

1. Apakah yang dimaksud dengan refleksi dan aksioma cermin?

2. Bagaimanakah sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang

Poincare?

1.3. Batasan Masalah

Pembahasan mengenai Refleksi dan Aksioma Cermin ini dibatasi

1. Bidang yang digunakan adalah bidang Poincare.

2. Sistem geometri yang digunakan untuk membahas refleksi dan aksioma

cermin ini adalah Geometri Netral dan Geometri Protraktor.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan penulisan penelitian ini yaitu :

1. Untuk mengetahui mengenai refleksi dan aksioma cermin pada bidang

Poincare.

2. Untuk mengetahui sifat-sifat refleksi dan aksioma cermin pada bidang

Poincare.

1.5. Manfaat penelitian

Manfaat yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Bagi Pembaca

Pembaca dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma

cermin pada bidang Euclid dan Poincare.

2. Bagi Penulis

Penulis dapat menambah pengetahuan mengenai refleksi dan aksioma

cermin pada bidang Euclid dan Poincare.

3. Bagi Universitas

Universitas dapat menambah koleksi skripsi dalam bidang Geometri.

1.6. Metode Penelitian

Metode yang akan digunakan peneliti dalam menyusun skripsi ini

adalah metode studi pustaka, yaitu dengan membaca referensi-referensi

yang berkaitan dengan refleksi dan aksioma cermin pada bidang Euclid dan

Poincare. Pembahasan dalam tulisan ini sebagian besar diambil dari buku

Geometry : A Metric Approach with Models, karangan Richard Millman dan

Parker (1991) dan ditambah berbagai referensi yang lain.

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah :

1. Membaca berbagai refrensi yang diperlukan, khusunya mengenai

bidang Poincare, konsep refleksi dan aksioma cermin, serta berbagai

teori-teori yang digunakan untuk membahas materi-materi itu.

2. Menyajikan kembali definisi-definisi pada bab refleksi dan aksioma

cermin.

3. Melengkapi bukti-bukti dari teorema-teorema pada bab refleksi dan

aksioma cermin.

4. Memberikan penjelasan yang diperlukan dan contoh-contoh dari

definisi-definisi yang digunakan.

5. Memberikan penjelasan tambahan, dan contoh-contoh dari teorema-

teorema yang digunakan.

6. Menyusun seluruh materi-materi yang digunakan secara runtut agar

memudahkan pembaca dalam memahami.

1.7 Sistematika Penulisan

Bab pertama berupa pendahuluan. Pendahuluan ini berisi tentang latar

belakang masalah, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat

serta metode penelitian dan sistematika penulisan.

Bab dua berisi tentang gambaran umum mengenai berbagai macam

sistem-sistem geometri yang ada. Teori-teori yang digunakan dalam

mendefinisikan berbagai sistem geometri yang ada, segitiga, sudut, sinar

garis, konsep kolineasi dan isometri, konsep refleksi dalam bidang Euclid.

serta definisi-definisi yang digunakan untuk membuktikan teorema yang

dibahas di bab ketiga.

Bab tiga membahas tentang refleksi dan aksioma cermin. Diberikan

juga bukti-bukti teorema serta contoh-contoh yang terkait dengan refleksi

dan aksioma cermin.

Bab keempat atau bab terakhir berisi tentang kesimpulan dari

pembahasan pada bab tiga serta saran yang diberikan penulis kepada

pembaca yang ingin melanjutkan penelitian ini.

BAB II

LANDASAN TEORI

Unsur paling dasar dalam geometri adalah titik. Bermula dari konsep titik,

kemudian membentuk berbagai macam konsep-konsep yang lain seperti garis,

segitiga, sudut dan lain-lain. Dalam geometri, semua unsur-unsur tersebut

memiliki kekhasannya masing-masing dan tergantung dari bidang yang

digunakan.

Berikut akan dibahas mengenai dua jenis bidang yang banyak digunakan

dalam geometri, yaitu bidang Kartesius atau sering disebut sebagai bidang Euclid,

dan bidang Poincare.

2.1 Bidang Kartesius dan Bidang Poincare

Menurut Eisenhart (1960), Bidang Kartesius, umumnya

didefinisikan dengan dua garis yang saling tegak lurus satu sama lain dan

disebut sebagai sumbu x dan sumbu y. Sumbu horizontal diberi label x,

dan sumbu vertikal diberi label y. Perpotongan antara kedua sumbu

tersebut adalah titik O, dan disebut sebagai titik asal. Setiap sumbu juga

mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi tanda

positif (+) atau negatif (-) . Untuk mendeskripsikan suatu titik A tertentu

dalam sistem koordinat Kartesius, kita tuliskan A adalah titik (𝑥, 𝑦).

𝑥 adalah jarak dari titik A ke sumbu 𝑦, sedangkan 𝑦 adalah jarak

dari titik A ke sumbu 𝑥. Selanjutnya, 𝑥 disebut sebagai absis dari titik A,

dan 𝑦 disebut sebagai ordinat dari titik A.

Anggap S = ℝ2 = x, y |x, y ∈ ℝ merupakan titik-titik dalam bidang

Kartesius. Kita mendefinisikan himpunan garis sebagai berikut :

Definisi 2.1.1 (Millman & Parker, 1991:18)

(i) Sebuah garis vertikal adalah himpunan bagian dari ℝ2 yang berbentuk

La = x, y ∈ ℝ2 | x = a dengan a adalah bilangan real tertentu.

(ii) Garis tidak vertikal adalah himpunan bagian dari ℝ2 yang berbentuk

Lm ,b = x, y ∈ ℝ2 | y = mx + b dengan m dan b bilangan real

tertentu. ∎

Misalkan ℒ𝐸adalah kumpulan garis-garis tersebut, baik yang vertikal

maupun yang tidak vertikal.

Model ℇ = ℝ2, ℒE dinamakan bidang Kartesius. (Notasi La dan Lm,b

akan digunakan untuk menyebut garis-garis dalam ℇ.) ∎

Berikut ini adalah ilustrasi garis-garis dalam bidang Kartesius

Gambar 2.1 mengilustrasikan model garis vertikal dalam bidang Kartesius.

Sedangkan Gambar 2.2 mengilustrasikan model garis yang tidak vertikal

dalam bidang Kartesius.

Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Kartesius,

perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.1.1 :

Misal titik 𝐴 1,2 , 𝐵 1, −5 , dan 𝐶(3,0) merupakan titik-titik pada bidang

Kartesius.

Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis vertikal , sehingga

persamaan garis nya adalah 𝑥 = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.3.

Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis yang tidak vertikal.

Untuk mengetahui persamaan garisnya, kita harus mencari nilai 𝑚 dan 𝑏.

𝑚 = 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

1−3= −1

𝑏 = 𝑦 − 𝑚𝑥 = 2 − −1 1 = 3

Gambar 2.1

Garis Vertikal pada bidang Kartesius

Gambar 2.2

Garis Tidak Vertikal pada bidang

Kartesius

y = mx +b

sehingga persamaan garis nya adalah 𝑦 = −𝑥 + 3. Garis ini ditunjukkan

oleh Gambar 2.4.

Setelah membahas bidang Kartesius atau bidang Euclid, sekarang kita

akan membahas mengenai bidang Poincare. Bidang Poincare sangat mirip

dengan bidang Kartesius, hanya saja dalam bidang Poincare, tidak ada

sumbu x dan sumbu y negatif. Bidang Poincare hanya terdiri dari setengah

bagian bidang Kartesius, yaitu sisi yang berada di atas sumbu x.

Anggap S = ℍ = 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2| 𝑦 > 0 merupakan garis-garis dalam

bidang Poincare. Seperti kasus dalam bidang Kartesius kita akan

mendeskripsikan dua tipe garis dalam bidang Poincare sebagai berikut :

(i) Garis tipe I adalah himpunan bagian ℍ yang berbentuk

aL = x, y ∈ ℍ | x = a , dengan a adalah bilangan real tertentu

(ii) Garis tipe II adalah himpunan bagian ℍ yang berbentuk

cLr = x, y ∈ ℍ | x − c 2 + y2 = r2 dengan c, r ∈ ℝ dan r > 0.

𝑥 = 1

𝐵 1, −5

𝐴 1,2

2 𝑦 = −𝑥 + 3

𝐴 1,2

𝐶(3,0)

Gambar 2.3

Garis 𝑥 = 1 pada bidang Kartesius

Gambar 2.4

Garis 𝑦 = −𝑥 + 3 pada bidang Kartesius

Misalkan gabungan dari himpunan garis tipe I dan II adalah ℒH .

Definisi 2.1.4 (Milman & Parker, 1991:20)

Model ℋ = ℍ, ℒH dinamakan bidang Poincare. (Notasi aL dan cLr akan

digunakan untuk menyebut garis-garis dalam ℋ.) ∎

Berikut ini adalah ilustrasi garis-garis dalam bidang Poincare :

Untuk lebih memahami tentang garis-garis pada bidang Poincare,

Contoh 2.1.2 :

Misal titik 𝐴 1,2 , 𝐵 1,5 , dan 𝐶(3,1) merupakan titik-titik pada bidang

Poincare.

Garis yang melalui titik A dan titik B berupa garis tipe 1, sehingga

persamaan garis nya adalah 𝑥 = 1. Garis ini ditunjukkan oleh Gambar 2.7.

Garis yang melalui titik A dan titik C berupa garis tipe 2. Untuk mencari

persamaan garisnya kita perlu mencari koordinat 𝑐 dan nilai 𝑟 nya.

𝑐 =𝑦2

2−𝑦12+𝑥2

2−𝑥12

2(𝑥2−𝑥1)=

22−12+12−32

2(1−3)=

Gambar 2.5

Garis tipe I pada bidang Poincare

Gambar 2.6

Garis tipe II pada bidang Poincare

𝑟 = (𝑥1 − 𝑐)2 + 𝑦12 = (1 −

4)2 + 22 =

16+ 4 =

sehingga persamaan garisnya adalah 𝑥 −5

+ 𝑦2 =65

64. Garis ini

ditunjukkan oleh Gambar 2.8.

2.2 Geometri Abstrak dan Geometri Insidensi

Dalam geometri, dikenal adanya berbagai macam sistem geometri.

Sistem geometri yang paling sederhana adalah Geometri Abstrak.

Geometri abstrak merupakan suatu sistem geometri yang hanya terdiri dari

titik dan garis.

Sebuah geometri abstrak 𝒜 terdiri dari himpunan S yang unsur-unsurnya

disebut titik dan himpunan ℒ yang unsur-unsurnya himpunan bagian yang

tidak kosong dari S yang disebut garis, sehingga berlaku :

Gambar 2.7 Garis 𝑥 = 1

pada bidang Poincare

𝑥 = 1

𝐴 1,2

𝐵 1,5

Gambar 2.8 Garis 𝑥 −5

+ 𝑦2 =65

pada bidang Poincare

𝑥 −5

+ 𝑦2 =65

𝐶 3,1

𝐴 1,2

(i) Untuk setiap dua titik A, B ∈ S terdapat sebuah garis l ∈ ℒ dengan A

∈ l dan B ∈ l.

(ii) Setiap garis mempunyai paling sedikit dua titik. ∎

Jika 𝒜 = { S , ℒ } adalah sebuah geometri abstrak dengan P ∈ S , 𝑙 ∈ ℒ,

dan P ∈ 𝑙, kita katakan bahwa P terletak pada garis 𝑙.

Aksioma pertama dari Geometri Abstrak mengatakan bahwa setiap satu

pasang titik pasti terletak pada sebuah garis yang sama. Perlu kita ingat

pula bahwa “garis” tidak berarti yang dimaksud adalah garis lurus.

Contoh 2.2.1 :

ℇ = ℝ2, ℒ𝐸 adalah sebuah geometri abstrak.

Bidang Euclid termasuk dalam geometri abstrak karena dalam bidang

Euclid, terdapat titik-titik dan juga garis-garis seperti yang sudah dibahas

pada Definisi 2.1.1. ●

Contoh 2.2.2:

ℋ = ℍ, ℒ𝐻 adalah sebuah geometri abstrak.

Bidang Poincare juga termasuk dalam geometri abstrak karena dalam

bidang Poincare juga terdapat titik-titik dan garis-garis seperti yang sudah

dibahas pada Definisi 2.1.3 ●

Sebuah geometri abstrak { S , ℒ } dikatakan geometri insidensi jika:

1. Setiap dua titik yang berbeda dalam S terletak pada sebuah garis

yang sama.

2. Terdapat tiga titik A, B, C ∈ S yang tidak semuanya berada pada

garis yang sama. ∎

Jika { S , ℒ } merupakan geometri insidensi dan P, Q ∈ S maka sebuah

garis 𝑙 yang melalui titik P dan Q, akan ditulis sebagai 𝑙 = 𝑃𝑄 .

Aksioma kedua (Definisi 2.2.2(2) ) dari geometri insidensi dapat

dikemukakan kembali dengan menggunakan konsep kolinear, yang akan

dibahas pada Definisi 2.2.3.

Himpunan titik-titik P disebut kolinear jika ada sebuah garis l sehingga

P ⊂ l. ∎

Definisi 2.2.3 mengatakan bahwa himpunan titik-titik P disebut kolinear

jika semua anggota P terletak pada garis yang sama. Sebaliknya, P disebut

tidak kolinear jika P bukan himpunan titik yang kolinear. Atau dengan kata

lain, himpunan P disebut tidak kolinear jika tidak semua anggota P terletak

pada garis yang sama. Dengan menggunakan Definisi 2.2.3 di atas, maka

aksioma kedua dari geometri insidensi dapat ditulis kembali sebagai

berikut :

Definisi 2.2.2(2a) :

Terdapat tiga titik A, B, C ∈ S yang tidak kolinear.

Contoh 2.2.3:

Bidang Kartesius dan Bidang Poincare merupakan geometri insidensi.

Dalam Contoh 2.2.1 dan Contoh 2.2.2 telah disebutkan bahwa bidang

Euclid dan bidang Poincare merupakan geometri abstrak. Dari Contoh

2.1.1 dan Contoh 2.1.2 juga ditunjukkan bahwa dari setiap dua titik dapat

ditentukan sebuah garis yang melaluinya. Seandainya , terdapat tiga buah

titik, maka belum tentu titik yang ketiga memenuhi persamaan garis yang

terbentuk oleh dua titik lainnya. Oleh karena itu, bidang Euclides dan

bidang Poincare merupakan geometri insidensi. ●

Selain konsep kolinear, dalam geometri abstrak dan geometri insidensi

juga dikenal adanya konsep kesejajaran.

Teorema 2.2.1 (Millman & Parker, 1991:24)

Misalkan 𝑙1 dan 𝑙2 adalah garis-garis dalam geometri insidensi. Jika

𝑙1 dan 𝑙2 memiliki dua titik yang sama atau lebih, maka 𝑙1 = 𝑙2.

Bukti :

Anggap 𝑃 ≠ 𝑄, 𝑃 ∈ 𝑙1 ∩ 𝑙2 dan 𝑄 ∈ 𝑙1 ∩ 𝑙2. Karena kedua titik P dan

Q terletak pada 𝑙1, maka 𝑃𝑄 = 𝑙1. Padahal titik P dan Q juga terletak pada

𝑙2 sehingga 𝑃𝑄 = 𝑙2. Karena itu, 𝑙1 = 𝑙2. □

Teorema 2.2.1 mengatakan jika ada 2 garis dalam geometri insidensi (garis

𝑙1 dan 𝑙2 ). Jika 𝑙1 melewati titik A dan B, dan begitu pula garis 𝑙2

melewati titik A dan B, maka garis 𝑙1 sebenarnya sama dengan garis 𝑙2.

Dua garis yang demikian biasa disebut dua garis yang berhimpit.

Jika l1 dan l2 adalah garis-garis dalam geometri abstrak, maka l1 dikatakan

sejajar dengan l2 (ditulis l1 ∥ l2) jika l1 = l2 atau l1 ∩ l2 = ∅. ∎

Definisi 2.2.4 mengatakan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika garis-

garis tersebut berhimpit atau tidak mempunyai titik potong.

2.3 Geometri Metrik

Sekarang kita akan membahas mengenai geometri metrik.

Geometri ini adalah geometri yang memperhitungkan mengenai jarak 2

buah titik dalam suatu bidang. Oleh karena itu, sebelum kita membahas

mengenai geometri metrik lebih lanjut, mula-mula akan dibahas dahulu

mengenai definisi fungsi jarak.

Fungsi jarak pada himpunan S adalah fungsi d : S x S → ℝ sehingga

untuk setiap P,Q ∈ S berlaku :

1. d(P,Q) ≥ 0

2. d(P,Q) = 0 jika dan hanya jika P = Q , dan

3. d(P,Q) = d(Q, P) ∎

Aksioma pertama dari Definisi 2.3.1 mengatakan bahwa nilai dari jarak

dua titik pasti lebih besar atau sama dengan nol. Jadi tidak ada nilai jarak

yang negatif. Aksioma kedua mengatakan jika ada dua titik yang sama,

maka jaraknya pasti nol. Sedangkan aksioma ketiga mengatakan bahwa

jarak titik P dan Q sama dengan jarak titik Q dan P.

Selanjutnya akan dibahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclid

dan bidang Poincare.

Definisi 2.3.2 ( Smith & Ulrich, 1956:487)

Misalkan P = (x1 , y1) dan Q = (x2 , y2) adalah titik-titik dalam bidang

Euclid. Jarak dalam bidang Euclid diberikan oleh :

d P, Q = x2 − x1 2 + (y2 − y1)2 ∎

Selanjutnya, jarak dalam bidang Euclid dapat disimbolkan sebagai (𝑑𝐸),

untuk membedakan dengan jarak Poincare.

Untuk lebih memahami mengenai jarak titik pada bidang Euclid,

Contoh 2.3.1 :

Misalkan titik 𝐴 2,3 dan 𝐵(4,0) adalah titik-titik dalam bidang Euclid

atau bidang Kartesius. Maka jarak Euclidesnya adalah :

𝑑𝐸 𝐴, 𝐵 = 2 − 4 2 + (3 − 0)2

= 4 + 9 = 13

Jadi jarak titik A dan titik B adalah 13 satuan. ●

Setelah membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang Euclides,

sekarang kita akan membahas mengenai jarak dua titik dalam bidang

Poincare.

Jika P = (x1 , y1) dan Q = (x2 , y2) adalah titik dalam bidang Poincare ℋ,

jarak Poincare (𝑑𝐻 ) diberikan oleh :

𝑑𝐻 𝑃, 𝑄 =

𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 jika 𝑥1 = 𝑥2

𝑙𝑛

𝑥1−𝑐+𝑟

𝑦1𝑥2−𝑐+𝑟

jika P dan Q berada dalam 𝑐𝐿𝑟

Untuk lebih memahami mengenai jarak titik dalam bidang Poincare,

Contoh 2.3.2 :

Misal 𝐴 2,3 , 𝐵 2,5 , 𝐶(4,1) adalah titik-titik dalam bidang Poincare.

Jarak Poincare titik A dan B adalah :

𝑑𝐻 𝐴, 𝐵 = 𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 = 𝑙𝑛

Jarak Poincare titik A dan C adalah :

𝑐 =12−32 +42−22

2(4−2)=

𝑟 = (2 − 1)2 + 32 = 10

𝑑𝐻 𝐴, 𝐶 = 𝑙𝑛

𝑥1−𝑐+𝑟

𝑦1𝑥2−𝑐+𝑟

= 𝑙𝑛 2−1+ 10

34−1+ 10

= 𝑙𝑛 1+ 10

33+ 10

= 𝑙𝑛 1+ 10

9+3 10 . (

9−3 10

9−3 10)

= 𝑙𝑛 7−2 10

Jadi, jarak titik A dan B adalah 𝑙𝑛 5

3 satuan sedangkan jarak titik A dan

C adalah 𝑙𝑛 7−2 10

3 satuan. ●

Konsep fungsi jarak yang sudah kita bahas di atas merupakan konsep yang

cukup penting dalam pembahasan sistem geometri metrik.

Misalkan 𝑙 adalah sebuah garis dalam geometri insidensi { S , ℒ }

Asumsikan bahwa terdapat fungsi jarak d pada S . Fungsi f: l → ℝ

disebut sistem koordinat untuk l jika :

1. f bijektif

2. Untuk setiap pasangan titik P dan Q pada l berlaku f P − f(Q) =

d (P, Q). (2.3.1)

Persamaan (2.3.1) disebut persamaan sistem koordinat dan 𝑓(𝑃) disebut

koordinat titik P dengan fungsi koordinat 𝑓.

Sebuah geometri insidensi { S , ℒ } bersama dengan fungsi jarak d

memenuhi postulat sistem koordinat jika setiap 𝑙 ∈ S memiliki sistem

koordinat. ∎

Dalam hal ini kita katakan, ℳ = { S , ℒ, 𝑑 } adalah sebuah geometri

metrik.

Untuk lebih memahami Definisi 2.3.5, perhatikan contoh berikut :

Contoh 2.3.2 :

Bidang Kartesius adalah sebuah geometri metrik.

Hal ini dikarenakan bidang kartesius merupakan sebuah geometri

insidensi. Selain itu, dalam bidang Kartesius terdapat fungsi jarak Euclides

𝑑𝐸 seperti yang sudah dibahas pada Definisi 2.3.2.

Jadi, bidang kartesius atau bidang Euclid merupakan geometri metrik. ●

Contoh 2.3.3 :

Jika 𝑑𝐻 adalah fungsi jarak untuk bidang Poincare, maka ℍ, ℒ𝐻 , 𝑑𝐻

adalah sebuah geometri metrik.

Contoh 2.2.3 mengatakan bahwa bidang Poincare merupakan geometri

insidensi. Selain itu, dalam Definisi 2.3.3 dijelaskan mengenai fungsi jarak

yang berlaku dalam bidang Poincare. Oleh karena itu, bidang Poincare

merupakan geometri metrik. ●

Selanjutnya, akan diberikan lemma mengenai sistem koordinat.

Lemma 2.3.1 (Millman & Parker, 1991:31)

Misalkan l ∈ ℒ dan f ∶ l → ℝ fungsi surjektif dan memenuhi persamaan

(2.3.1). Maka f adalah fungsi bijektif dan karena itu merupakan sistem

koordinat untuk l.

Bukti :

Karena kita mengasumsikan 𝑓 adalah surjektif, maka untuk membuktikan

𝑓 adalah fungsi bijektif, kita hanya perlu menunjukkan bahwa 𝑓 adalah

injektif. Sekarang anggap bahwa 𝑓 𝑃 = 𝑓(𝑄) .

Dari persamaan (2.3.1) kita dapat 𝑑 𝑃, 𝑄 = 𝑓 𝑃 − 𝑓(𝑄) = 0,

sehingga menurut definisi fungsi jarak, P = Q. □

2.4 Keantaraan

Keantaraan merupakan konsep yang juga cukup penting. Ada

banyak cara yang digunakan untuk mendefinisikan konsep keantaraan.

Berikut ini akan diberikan postulat mengenai keantaraan secara aksiomatik

terlebih dahulu, kemudian secara metrik.

Definisi 2.4.1 (Prenowitz & Jordan, 1965 : 186)

Dalam pembahasan secara aksiomatik, notasi untuk keantaraan adalah (a-

b-c) dan dibaca sebagai b di antara a dan c. Relasi keantaraan memenuhi

sistem postulat berikut :

B1. (Sifat simetri) Jika (a-b-c) maka (c-b-a)

B2. (Sifat antisiklik) Jika (a-b-c) maka bukan (b-c-a)

B3. (Koherensi linear) a, b, c adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear

jika dan hanya jika (a-b-c) atau (b-c-a) atau (c-a-b)

B4. (Sifat memisahkan) Misalkan sebuah titik P yang kolinear dan berbeda

dengan titik a, b, c. Maka, (a-p-b) mengakibatkan (b-p-c) atau (a-p-c) tapi

tidak keduanya.

B5. (Eksistensi) Jika a ≠ b, maka ada x, y, z sedemikian sehingga (x-a-b),

(a-y-b), (a-b-z). ∎

Postulat-postulat tersebut cukup mudah dimengerti. Postulat B1

mengatakan bahwa jika titik b berada di antara a dan c, maka titik b juga

berada di antara c dan a. Dari potulat pertama ini kita dapat menarik

kesimpulan bahwa relasi keantaraan ini bersifat simetri . Yang terpenting

adalah posisi titik yang terletak ditengah. Postulat B2 ingin mengatakan

bahwa permutasi siklik tidak berlaku dalam keantaraan. Jika b berada di

antara a dan c, maka pernyataan bahwa c berada di antara a dan b adalah

salah. Postulat B3 berupa biimplikasi sehingga dapat diartikan menjadi 2

implikasi, yaitu :

B3.1 Jika (a-b-c) maka a, b, dan c adalah tiga titik berbeda dan kolinear.

B3.2 Jika a, b dan c adalah tiga titik yang berbeda dan kolinear maka (a-b-

c), atau (b-c-a) atau (c-a-b)

Postulat B4 mengatakan jika sebuah titik P memisahkan a dari b, maka

titik P juga memisahkan a atau b dari titik c, tetapi tidak keduanya.

Postulat B5 berbicara mengenai eksistensi 3 buah titik sedemikian

sehingga jika titik a tidak sama dengan b , maka

i) ada sebuah titik yang memisahkan titik a dan b.

ii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari b oleh titik a, artinya titik a

terletak di antara titik b dan titik lain.

iii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari a oleh b, artinya, titik b

terletak di antara titik a dan titik lainnya.

Selanjutnya, akan diberikan definisi keantaraan dengan pendekatan metrik.

Definisi 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:47):

B di antara A dan C, jika A, B, C adalah 3 titik berbeda yang kolinear

dalam geometri metrik { S , ℒ, d } , dan jika d 𝐴, 𝐵 + 𝑑 𝐵, 𝐶 =

𝑑 (𝐴, 𝐶) ∎

Dalam geometri metrik, B di antara A dan C dinotasikan sebagai A-B-C.

Dan jarak 𝑑 𝐴, 𝐵 dinotasikan sebagai AB.

Yang perlu diperhatikan dari Definisi 2.4.2 adalah ketiga titik harus

kolinear atau segaris. Jika tidak segaris, maka tidak bisa memenuhi konsep

keantaraan. Selanjutnya, ketiga titik yang segaris tersebut harus memenuhi

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 agar bisa memenuhi Definisi 2.4.2. Jika kedua syarat

tersebut terpenuhi, maka titik B dapat dikatakan terletak diantara titik A

dan C.

Contoh 2.4.1 :

Misalkan 𝐴 2,0 , 𝐵 2,5 , 𝐶(2,6) adalah titik-titik dalam geometri

Euclides. Untuk membuktikan bahwa ketiga titik tersebut kolinear, kita

perlu mencari garis yang melewati titik A dan B, kemudian kita cek

apakah garis tersebut juga melewati titik C. Jika iya, maka ketiga titik

tersebut kolinear, tetapi jika tidak maka ketiga titik tersebut tidak kolinear.

Garis yang melewati titik A dan B adalah garis 𝑥 = 2. Ternyata garis

tersebut juga melewati titik C. Oleh karena itu ketiga titik tersebut

merupakan titik-titik yang kolinear.

Sekarang kita perlu mencari jarak tiap 2 titik.

𝐴𝐵 = (2 − 2)2 + (5 − 0)2 = 5

𝐴𝐶 = (2 − 2)2 + (6 − 0)2 = 6

𝐵𝐶 = (2 − 2)2 + (6 − 5)2 = 1

𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 5 + 1 = 6 = 𝐴𝐶.

Dari perhitungan di atas terlihat bahwa 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶. Maka, titik B

terletak di antara A dan C. ●

Teorema 2.4.1 (Millman & Parker, 1991:49):

Jika A-B-C maka C-B-A.

Bukti :

Jika A, B, dan C adalah 3 titik yang berbeda dan kolinear, maka begitu

juga C, B, dan A. Karena A-B-C, maka menurut Definisi 2.4.1 , AB + BC

= AC. Karena PQ = QP untuk semua P dan Q, kita mempunyai BA +CB =

CA atau CB +BA = CA yang menunjukkan bahwa C-B-A. □

Untuk lebih memahami Teorema 2.4.1, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.9 menunjukkan titik B di antara A dan C. Gambar 2.10

menunjukkan titik B di antara A dan C.

Melihat dari kedua gambar di atas dan isi Teorema 2.4.1 , kita dapat

menyimpulkan bahwa yang konsep yang paling penting dalam keantaraan

bukanlah posisinya, tetapi jaraknya.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep keantaraan dalam bilangan

Definisi 2.4.3 (Bartle & Sherbert, 1927:44)

Untuk setiap x dan y adalah sembarang bilangan real dengan x < y,

terdapat sebuah bilangan real r, sedemikian sehingga x < r < y

x < r < y berarti x < r dan r < y. ∎

Untuk lebih memahami Definsi 2.4.3, perhatikan contoh berikut :

Gambar 2.9 A-B-C

Gambar 2.10 C-B-A

Contoh 2.4.2 :

Misalkan ada 2 bilangan real, yaitu 3 dan 8. Karena 3 < 8, maka kita bisa

mencari suatu bilangan real yang terletak di antara 3 dan 8, misalnya 5,

sedemikian sehingga 3 < 5 <8 terpenuhi. ●

Selanjutnya, akan dibahas Teorema 2.4.2, Teorema ini ada sebagai bentuk

gabungan dari Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.2. Teorema ini

menggabungkan konsep keantaraan dalam titik dengan konsep keantaraan

bilangan.

Anggap l adalah sebuah garis dan f sebuah sistem koordinat untuk 𝑙. Jika

A, B, dan C adalah 3 titik pada garis l dengan koordinat x, y, z , maka A-

B-C jika dan hanya jika x < y < z.

Bukti :

Perhatikan, jika A,B, dan C adalah titik yang sama, maka A-B-C dan x < y

< z, keduanya jelas salah. Karena itu, kita mengasumsikan bahwa A,B, dan

C adalah tiga titik yang berbeda.

Pertama, kita akan membuktikan jika A-B-C maka x < y < z.

Diketahui bahwa x = f(A), y=f(B) , z=f(C), dan AB + BC = AC. Maka

menurut definisi fungsi jarak,

AB = 𝑓 𝐴 − 𝑓(𝐵) = 𝑥 − 𝑦 BC = 𝑦 − 𝑧 AC = 𝑥 − 𝑧

sehingga 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧 . (2.4.1)

Kita harus menunjukkan bahwa persamaan tersebut mengakibatkan x < y

< z atau z < y < x.

Karena A,B,C adalah 3 titik yang berbeda, maka hanya satu kondisi untuk

x,y,z yang tepat dari antara berbagai kemungkinan berikut :

(i) x < y < z

(ii) z < y < x

(iii) y < x < z

(iv) z < x < y

(v) x < z < y

(vi) y < z < x

Kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus (iii) akan terjadi kontradiksi.

Kasus (iii) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑧 − 𝑥

𝑥 = 𝑦

Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.

Karena itu, kasus (iii) tidak memenuhi.

Kasus (iv) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑦 − 𝑧 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

𝑦 = 𝑥

Karena itu, kasus (iv) tidak memenuhi.

Kasus (v) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑦 − 𝑧 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

𝑦 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

𝑦 = 𝑧

Karena itu, kasus (v) tidak memenuhi.

Kasus (vi) mengakibatkan

𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑧

𝑧 = 𝑦

Karena itu, kasus (vi) tidak memenuhi.

Jadi yang memungkinkan hanyalah kasus (i) atau kasus (ii), sehingga

terbukti bahwa x < y < z.

Sekarang kita akan menunjukkan jika x < y < z maka A-B-C.

Anggap x<y<z (untuk kasus z<y<x sama saja). Dalam kasus ini

𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥 𝑦 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑦 𝑥 − 𝑧 = 𝑧 − 𝑥

sehingga 𝑥 − 𝑦 + 𝑦 − 𝑧 = 𝑥 − 𝑧

atau 𝑓 𝐴 − 𝑓(𝐵) + 𝑓(𝐵) − 𝑓(𝐶) = 𝑓(𝐴) − 𝑓(𝐶)

atau AB + BC = AC.

Jadi, A,B,C adalah tiga titik yang kolinear dan berbeda, serta A-B-C. □

2.5 Segmen, Sinar Garis, Sudut, Segitiga

Segmen garis, dan sinar garis, merupakan konsep yang penting

dalam geometri. Konsep segmen garis ini sangat berperan dalam konsep

segitiga. Sedangkan konsep sinar garis akan berperan dalam konsep sudut.

Berikut ini akan dibahas mengenai konsep segmen garis.

Definisi 2.5.1(Millman & Parker, 1991:52)

Jika A dan B adalah titik berbeda dalam geometri metrik { S , ℒ, d } maka

segmen garis dari A ke B adalah himpunan

𝐴𝐵 = 𝐶 ∈ S |𝐴 − 𝐶 − 𝐵 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶 = 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐶 = 𝐵 ∎

Definisi 2.5.1 berbicara mengenai segmen garis. Segmen garis ini mulai

dikenal dalam sistem geometri metrik. Segmen garis merupakan kumpulan

titik-titik yang terletak di antara dua titik tertentu. Dua titik tertentu

tersebut adalah ujung-ujung dari segmen garis. Segmen garis dinotasikan

dengan 𝐴𝐵 , dimana titik A dan B adalah kedua titik ujung dari segmen

garis.

Titik akhir dari segmen AB adalah A dan B. Panjang segmen AB adalah

d(A, B). ∎

Definisi 2.5.2 mengatakan bahwa titik akhir atau titik ujung dari segmen

𝐴𝐵 adalah dua buah titik A dan B. Selain itu, panjang segmen garis

tersebut adalah jarak dari kedua titik ujungnya.

Untuk lebih memahami Definisi 2.5.1, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.11 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang Kartesius.

Sedangkan Gambar 2.12 mengilustrasikan segmen garis dalam bidang

Poincare.

Definisi 2.5.3 (Wallace &West, 1992:67)

Dua segmen garis AB dan CD dikatakan kongruen (AB ≃ CD ) jika dan

hanya jika panjang kedua segmen garis tersebut sama (𝐴𝐵 = 𝐶𝐷) ∎

Contoh 2.5.1 :

Misalkan ada 3 segmen garis 𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 dan 𝐴𝐶 , dimana 𝐴 1, 1 , 𝐵 1,3 ,

𝐶(1, 5). Dari 2 segmen tersebut, kita akan mencari dua segmen yang

saling kongruen. Pertama-tama kita harus mencari panjang tiap segmen

garis.

Gambar 2.12 𝐴𝐵 Gambar 2.11 𝐴𝐵

Jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Euclid, maka jarak tiap

segmen adalah :

𝐴𝐵 = (1 − 1)2 + (1 − 3)2 = 2

𝐴𝐶 = (1 − 1)2 + (1 − 5)2 = 4

𝐵𝐶 = (1 − 1)2 + (3 − 5)2 = 2

Karena 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶, maka 𝐴𝐵 ≃ 𝐵𝐶 .

Sekarang, jika ketiga titik tersebut berada pada bidang Poincare. Maka,

jarak tiap segmen adalah :

𝐴𝐵 = 𝑙𝑛 3

1 = ln 3

𝐴𝐶 = 𝑙𝑛 5

1 = ln 5

𝐵𝐶 = 𝑙𝑛 5

3 = ln

Karena 𝐴𝐵 ≠ 𝐴𝐶 ≠ 𝐵𝐶, maka menurut Poincare, ketiga segmen garis

tersebut tidak ada yang saling kongruen. ●

Selanjutnya akan dibahas mengenai sinar garis.

Jika A dan B adalah 2 titik yang berbeda dalam geometri metrik {S , ℒ, d}

maka sinar garis dari A melewati B adalah himpunan

𝐴𝐵 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐶 ∈ S |𝐴 − 𝐵 − 𝐶 ∎

Perlu diingat bahwa sinar garis 𝐴𝐵 merupakan himpunan bagian dari garis

𝐴𝐵 . Sinar garis 𝐴𝐵 adalah himpunan titik-titik yang kolinear sedemikian

hingga titik B terletak di antara titik A dan titik tersebut. Sinar garis

𝐴𝐵 hanya memiliki 1 ujung yaitu titik A, sedangkan ujung yang lain

terletak di tak hingga. Oleh karena itu, titik A disebut juga sebagai titik

asal sinar 𝐴𝐵 seperti disebutkan dalam Definisi 2.5.5 berikut :

Titik asal dari sinar garis AB adalah titik A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai sinar garis,perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.13 mengilustrasikan sinar garis 𝐴𝐵 dalam bidang Euclid.

Sedangkan Gambar 2.14 mengilustrasikan sinar garis 𝐴𝐵 dalam bidang

Poincare.

Setelah memahami mengenai sinar garis, sekarang kita akan membahas

mengenai sudut.

Gambar 2.14 𝐴𝐵 Gambar 2.13 𝐴𝐵

Jika A, B, dan C adalah titik-titik yang tidak segaris dalam geometri

metrik, maka sudut ∠ABC adalah himpunan

∠𝐴𝐵𝐶 = 𝐵𝐴 ∪ 𝐵𝐶 . ∎

Titik sudut dari sudut ∠ABC dalam geometri metrik adalah titik B. ∎

Definisi 2.5.6 mengatakan bahwa sudut merupakan gabungan dari dua

buah sinar garis yang mempunyai titik asal yang sama. Titik asal inilah

yang kemudian disebut sebagai titik sudut, seperti didefinisikan pada

Definisi 2.5.7.

Untuk lebih memahami mengenai sudut, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.15 mengilustrasikan ∠𝐴𝐵𝐶 dalam bidang Euclid. Sedangkan

Gambar 2.16 mengilustrasikan ∠𝐴𝐵𝐶 dalam bidang Poincare. Dari kedua

gambar sudut di atas, titik B merupakan titik sudutnya.

Gambar 2.16 ∠𝐴𝐵𝐶 Gambar 2.15 ∠𝐴𝐵𝐶

Definisi 2.5.8 (Wallace &West, 1992:67)

Dua sudut (∠𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∠𝐷𝐸𝐹) dikatakan kongruen (∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹)

jika dan hanya jika ukuran sudut keduanya sama besar 𝑚∠𝐴𝐵𝐶 =

𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 . ∎

Setelah membahas mengenai sudut, selanjutnya kita akan membahas

mengenai segitiga.

Jika A, B, C merupakan himpunan titik-titik yang tidak segaris dalam

geometri metrik, maka segitiga ABC adalah himpunan

∆𝐴𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 ∪ 𝐵𝐶 ∪ 𝐶𝐴 . ∎

Dalam geometri metrik, titik-titik sudut dari ∆ABC adalah titik A, B, dan

C. Sisi-sisi (atau rusuk) dari ∆ABC adalah AB , BC dan CA . ∎

Definisi 2.5.8 mengatakan bahwa segitiga merupakan gabungan dari 3

segmen garis yang berbeda. Ketiga segmen garis tersebut kemudian

disebut sebagai sisi atau rusuk dari segitiga.

Untuk lebih memahami mengenai segitiga, perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.17 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Euclid. Sedangkan

Gambar 2.18 mengilustrasikan segitiga dalam bidang Poincare.

Dari kedua gambar tersebut terlihat bahwa terdapat tiga segmen garis yaitu

𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 dan 𝐶𝐴 , ketiga segmen garis tersebut merupakan sisi dari

segitiga 𝐴𝐵𝐶. Sedangkan titik sudut dari segitiga 𝐴𝐵𝐶, adalah titik A, B

dan C.

2.6 Aksioma Pembagian Bidang

Aksioma Pembagian Bidang (Plane Separation Axiom ) ,

merupakan ide yang sangat intuitif bahwa setiap garis mempunyai “dua

sisi” yang dibatasi oleh garis itu sendiri.

Sebelum kita membahas mengenai Aksioma Pembagian Bidang, kita perlu

memahami dulu mengenai konsep konveks dalam sebuah bidang, seperti

dibahas pada Definisi 2.6.1 berikut :

Misalkan { S , ℒ, d } adalah geometri metrik dan S 1 ⊂ S dikatakan

konveks jika untuk setiap dua titik P, Q ∈ S 1, terdapat segmen garis

PQ ⊂ S 1. ∎

Gambar 2.18 ∆𝐴𝐵𝐶 Gambar 2.17 ∆𝐴𝐵𝐶

Definisi 2.6.1 mengatakan agar suatu bidang disebut konveks, maka untuk

setiap dua titik dalam bidang tersebut (misal titik P dan Q), terdapat

segmen garis 𝑃𝑄 yang semua anggotanya juga terletak pada bidang

tersebut. Jadi tidak hanya sebagian dari segmen garis 𝑃𝑄 yang terletak

dalam bidang, melainkan harus seluruh segmen garis 𝑃𝑄 .

Setelah memahami mengenai konsep konveks, sekarang mari kita

membahas mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang (APB).

Sebuah geometri metrik { S , ℒ, d } memenuhi Aksioma Pembagian

Bidang jika untuk setiap l ∈ ℒ terdapat dua himpunan bagian H1 dan H2

dari S (selanjutnya disebut bidang paruh yang dibentuk oleh l ) sehingga:

1. S −𝑙 = 𝐻1 ∪ 𝐻2

2. 𝐻1 dan 𝐻2 saling lepas dan konveks

3. Jika 𝐴 ∈ 𝐻1 dan 𝐵 ∈ 𝐻2 maka 𝐴𝐵 ∩ 𝑙 ≠ ∅ ∎

Untuk lebih memahami mengenai konsep Aksioma Pembagian Bidang,

perhatikan gambar berikut :

Gambar 2.19

Gambar 2.20

Gambar 2.19 menggambarkan konsep Aksioma Pembagian bidang dalam

bidang Euclid. Sedangkan Gambar 2.20 menggambarkan konsep APB

dalam bidang Poincare. Terlihat dari kedua gambar di atas bahwa garis 𝑙

memisahkan bidang menjadi dua buah bagian. Bagian pertama disebut 𝐻1

dan bagian kedua disebut sebagai 𝐻2 .

Sekarang akan diberikan definisi mengenai cara menyebut 2 titik yang

terletak pada salah satu atau kedua buah sisi 𝐻1 dan 𝐻2.

Misalkan { S , ℒ, d } adalah geometri metrik yang memenuhi APB,

𝑙 ∈ ℒ, H1 dan H2 adalah bidang paruh yang dibentuk oleh 𝑙. Dua titik A

dan B dikatakan berada pada sisi yang sama terhadap 𝑙 jika keduanya

berada pada di H1 atau H2. Dan dikatakan berada pada sisi yang

berlawanan terhadap 𝑙 jika salah satu titik berada di H1 dan titik yang lain

berada di H2. Jika A ∈ H1 , kita katakan H1 adalah sisi dari 𝑙 yang

mengandung A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai Definisi 2.6.3, perhatikan gambar

berikut :

B A 𝑙

Gambar 2.21 Gambar 2.22

Gambar 2.21 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi

yang saling berlawanan terhadap garis 𝑙, dalam bidang Euclid.

Gambar 2.22 mengilustrasikan titik A dan titik B yang terletak pada sisi

yang sama terhadap garis 𝑙, dalam bidang Poincare.

2.7 Geometri Pash

Sekarang kita akan membahas mengenai sistem geometri baru

yaitu geometri Pash. Geometri Pash ini merupakan sistem geometri yang

memenuhi Postulat Pash. Sebelum kita membahas lebih jauh mengenai

geometri Pash, terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai Postulat

Geometri metrik dikatakan memenuhi Postulat Pash (PP) jika untuk

sembarang garis 𝑙, sembarang segitiga ABC dan sembarang titik D ∈ 𝑙

sedemikian sehingga A – D – B, maka 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 ≠ ∅ atau 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅ . ∎

Gambar 2.23 Ilustrasi definisi 2.7.1

Gambar 2.23 menunjukkan sebuah segitiga ABC, dimana terdapat titik

𝐷 ∈ 𝐴𝐵 , sedemikian sehingga untuk sembarang garis 𝑙 yang melewati D,

maka garis 𝑙 tersebut akan memotong segmen garis 𝐴𝐶 atau 𝐵𝐶 .

Berikut ini akan diberikan Teorema mengenai hubungan antara Postulat

Pash dengan Aksioma Pembagian Bidang, yang sudah dibahas pada bagian

(Teorema Pash) Jika geometri metrik memenuhi APB, maka juga

memenuhi PP.

Bukti :

Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 dan sembarang garis 𝑙. Asumsikan ada sebuah titik 𝐷 ∈ 𝑙

dengan 𝐴 − 𝐷 − 𝐵. Kita akan menunjukkan bahwa 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 ≠ ∅ atau

𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅. Perhatikan Gambar 2.23.

Sekarang andaikan 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 = ∅. Kita akan menunjukkan bahwa 𝑙 ∩

𝐵𝐶 ≠ ∅.

𝑙 ≠ 𝐴𝐵 karena 𝐴 ∈ 𝐴𝐶 ∩ 𝐴𝐵 . Jadi A dan B tidak berada pada garis 𝑙 dan

berada pada sisi yang saling berlawanan dari garis 𝑙 karena 𝐴𝐵 ∩ 𝑙 =

𝐷 ≠ ∅. A dan C terletak pada sisi yang sama dari garis 𝑙 karena 𝐴𝐶 ∩

𝑙 = ∅. Oleh karena itu, B dan C berada pada sisi yang saling berlawanan

dari garis 𝑙 sehingga 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅.

Jadi, 𝑙 ∩ 𝐴𝐶 ≠ ∅ atau 𝑙 ∩ 𝐵𝐶 ≠ ∅ benar. □

Teorema 2.7.1 mengatakan jika geometri metrik memenuhi Aksioma

Pembagian Bidang, maka geometri tersebut pasti memenuhi Postulat Pash.

Dari Definisi 2.7.1 dan Teorema 2.7.1, kita dapat merumuskan sebuah

sistem geometri baru yang merupakan himpunan bagian dari geometri

metrik dan memenuhi Aksioma Pembagian Bidang. Sistem geometri

tersebut selanjutnya dinamakan Geometri Pash, seperti didefinisikan pada

Definisi 2.7.2 berikut.

Geometri Pash adalah geometri metrik yang memenuhi APB. ∎

Definisi 2.7.2 mendefinisikan sistem geometri Pash, yaitu geometri Metrik

yang memenuhi APB.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai interior dari segmen garis, sinar garis,

dan sudut. Konsep interior ini akan berperan penting dalam pembahasan

Teorema Crossbar.

Interior dari sinar garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan

int AB = AB − A .

Interior dari segmen garis AB dalam geometri metrik adalah himpunan

int AB = AB − A, B . ∎

Definisi 2.7.3 mengatakan bahwa interior dari sebuah sinar garis adalah

himpunan titik-titik yang menyusun sinar garis tersebut, kecuali titik asal

nya. Sedangkan interior dari sebuah segmen garis adalah himpunan titik-

titik yang menyusun segmen garis tersebut, kecuali dua titik ujungnya.

Interior ∠ABC (ditulis int(∠ABC) adalah perpotongan sisi AB yang

memuat C dengan sisi BC yang memuat A. ∎

Untuk lebih memahami mengenai interior sebuah sudut, perhatikan

gambar berikut :

Gambar 2.24 merupakan ilustrasi Definisi 2.7.4. Gambar tersebut

menunjukkan interior dari ∠𝐴𝐵𝐶, yaitu bagian yang diarsir. Bagian yang

diarsir tersebut merupakan irisan antara sisi AB yang memuat C dengan

sisi BC yang memuat A.

Selanjutnya, kita akan membahas mengenai Teorema Crossbar. Ide dari

Teorema Crossbar ini sebenarnya hampir mirip dengan Postulat Pash.

Gambar 2.24 Interior ∠𝑨𝑩𝑪

(Teorema Crossbar) Dalam geometri Pash, jika P ∈ int(∠ABC) maka BP

memotong AC di sebuah titik F dengan A – F – C .

Agar lebih memahami Teorema Crossbar, perhatikan gambar berikut :

Bukti :

Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 disebuah

tititk 𝐹 dengan 𝐹 − 𝐴 − 𝐶 atau 𝐴 − 𝐶 − 𝐹.

Sebelumnya perlu diingat bahwa 𝑃 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶) . Artinya, 𝑃 dan 𝐴

terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝐶 demikian juga 𝑃 dan 𝐶 terletak pada

sisi yang sama dari 𝐵𝐴 .

Kita andaikan 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di 𝐹 dan 𝐹 − 𝐴 − 𝐶, sehingga 𝐴 dan 𝐶

terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝑃 . Akibatnya, 𝑃 dan 𝐶 terletak pada sisi

yang saling berlawanan terhadap garis 𝐵𝐴 atau dengan kata lain, 𝑃 ∉

𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑃 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶)

Sekarang kita andaikan 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di 𝐹 dan 𝐴 − 𝐶 − 𝐹, sehingga 𝐴

dan 𝐶 terletak pada sisi yang sama dari 𝐵𝑃 . Akibatnya, 𝑃 dan 𝐴 terletak

pada sisi yang saling berlawanan terhadap garis 𝐵𝐶 atau dengan kata lain,

Gambar 2.25 Ilustrasi Teorema Crossbar

𝑃 ∉ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶). Hal ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa 𝑃 ∈

𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶).

Jadi, pengandaian salah dan yang benar adalah 𝐵𝑃 memotong 𝐴𝐶 di

sebuah titik F dengan A – F – C □

Gambar 2.25 mengilustrasikan Teorema Crossbar. Teorema ini

mengatakan, untuk sembarang titik P ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶), maka sinar garis 𝐵𝑃

kan memotong segmen garis 𝐴𝐶 pada sebuah titik F, dimana F terletak di

antara A dan C. Atau dengan kata lain, titik F ∈ 𝐴𝐶 .

2.8 Geometri Protraktor

Setelah kita membahas mengenai Geometri Pash, sekarang kita

akan membahas mengenai sistem geometri lain yang bernama Geometri

Protraktor. Geometri Protraktor ini merupakan himpunan bagian dari

Geometri Pash. Geometri Protraktor adalah Geometri Pash yang

mempunyai ukuran sudut. Sebelum kita membahas Geometri Protraktor,

terlebih dahulu akan diberikan definisi mengenai ukuran sudut.

Misalkan r0 bilangan real positif. Dalam geometri Pash, ukuran sudut

(atau Protraktor) adalah fungsi m dari himpunan sudut-sudut 𝒜 ke

himpunan bilangan real sedemikian sehingga berlaku

1. Jika ∠ABC ∈ 𝒜 maka 0 < 𝑚 ∠ABC < r0

2. Jika BC pada rusuk dari bidang paruh H1 dan θ bilangan real positif

dengan 0 < θ< r0 maka terdapat sinar garis tunggal BA dengan A ∈ H1

dan m ∠ABC = θ

3. Jika D ∈ int(∠ABC) maka m ∠ABD + m ∠DBC = m ∠ABC .

Definisi 2.8.1 membahas mengenai ukuran sudut dalam Geometri Pash.

Aksioma pertama mengatakan bahwa ukuran suatu sudut berada dalam

suatu rentang tertentu. Nilai minimalnya adalah 0, sedangkan nilai

maksimalnya adalah suatu bilangan real positif tertentu.

Aksioma kedua berbicara mengenai konstruksi sudut. Jika 𝐵𝐶 terletak

pada rusuk bidang paruh 𝐻1 (artinya, sinar garis 𝐵𝐶 terletak pada garis

yang memisahkan bidang 𝐻1 dan 𝐻2), maka terdapat sinar garis tunggal

𝐵𝐴 dengan 𝐴 ∈ 𝐻1, dan besar sudut yang terbentuk antara dua sinar garis

tersebut adalah bilangan real positif tertentu. Untuk lebih memahami

aksioma 2 pada Definisi 2.8.1, perhatikan Gambar 2.26.

Aksioma ketiga berbicara tentang penjumlahan sudut. Jika ada dua buah

sudut yang memiliki satu sinar garis yang sama, maka kedua sudut tersebut

dapat membentuk sebuah sudut baru yang ukurannya merupakan jumlahan

dari ukuran dua sudut tersebut. Untuk lebih memahaminya, perhatikan

ilustrasi pada Gambar 2.27.

Gambar 2.26

𝛼 𝛼 + 𝛽

Gambar 2.27

Gambar 2.26 mengilustrasikan aksioma kedua dari Definisi 2.8.1.

Sedangkan Gambar 2.27 mengilustrasikan aksioma ketiga dari Definisi

2.8.1.

Setelah membahas mengenai ukuran sudut, sekarang kita akan membahas

mengenai Geometri Protraktor.

Geometri protraktor { S , ℒ, d, m } adalah geometri Pash { S , ℒ, d }

dengan ukuran sudut m. ∎

Definisi 2.8.2 berbicara mengenai definisi Geometri Protraktor, yaitu

Geometri Pash dengan ukuran sudut 𝑚.

Dalam geometri protraktor { S , ℒ, d, m } dua sudut ∠ABC dan ∠DEF

dikatakan kongruen (∠ABC ≃ ∠DEF) jika m(∠ABC) = m(∠DEF).

Definisi 2.8.3 berbicara mengenai 2 sudut yang kongruen. Dua sudut

dikatakan kongruen jika ukuran ke dua sudut tersebut sama. Konsep

kekongruenan sudut ini penting untuk membahas Teorema konstruksi

sudut, Teorema pengurangan sudut dan teoreama penjumlahan sudut.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep ukuran sudut dalam bidang

Euclides dan bidang Poincare.

Pada bidang Euclid, ukuran sudut Euclid ∠ABC adalah

𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝑐𝑜𝑠−1 𝐴−𝐵,𝐶−𝐵

𝐴−𝐵 . 𝐶−𝐵 ∎

Untuk ukuran sudut dalam bidang Poincare, kita menggunakan bantuan

tangen Euclid. Berikut akan diberikan definisi mengenai tangen Euclid,

pada garis dalam bidang Poincare.

Jika BA adalah sinar garis pada bidang Poincare dengan A = xA , yA dan

B = xB , yB maka tangen Euclid untuk BA di B adalah :

0, yA − yB , jika AB adalah garis tipe I, aL

yB , c − xB , jika AB adalah garis tipe II, cLr, xB < xA

− yB , c − xB , jika AB adalah garis tipe II, cLr, xB > xA

Tangen sinar garis Euclid untuk BA adalah sinar garis Euclid BA′ dengan

A′ = B + TBA . ∎

Ukuran sudut Poincare ∠ABC dalam ℍ adalah

mH ∠ABC = mE ∠A′BC′ = cos−1 TBA ,TBC

TBA . TBC

dengan A‟= B + TBA dan C‟ = B + TBC dan mE ∠A′BC′ adalah ukuran

sudut Euclid ∠A′ BC′ . ∎

Gambar 2.28 merupakan ilustrasi dari sudut dalam bidang Poincare.

Selanjutnya, akan diberikan Teorema mengenai konstruksi sudut.

(Teorema Konstruksi Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika ada ∠ABC

dan sebuah sinar garis ED yang terletak di tepi bidang paruh H1, maka ada

sebuah sinar garis EF dengan F ∈ H1, dan ∠ABC ≃ ∠DEF .

Bukti :

Kita andaikan pernyataan tersebut salah maka untuk setiap sinar garis 𝐸𝐹 ,

∠𝐴𝐵𝐶 ≄ ∠𝐷𝐸𝐹.

Misalkan 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜃 maka menurut Definisi 2.8.1, terdapat sebuah

sinar garis 𝐸𝐹 sehingga 𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 = 𝜃. Akibatnya, 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 =

𝑚 ∠𝐷𝐸𝐹 = 𝜃 sehingga ∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹. Hal ini kontradiksi dengan

pernyataan bahwa ∠𝐴𝐵𝐶 ≄ ∠𝐷𝐸𝐹. Oleh karena itu, pengandaian salah.

Jadi terbukti bahwa terdapat sebuah sinar garis 𝐸𝐹 dengan 𝐹 ∈ 𝐻1, dan

∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝐷𝐸𝐹

Gambar 2. 28

𝑇𝐵𝐴

𝑇𝐵𝐶

Atau, kita misalkan 𝑚 ∠𝐴𝐵𝐶 = 𝜃. Dengan menggunakan Definisi 2.8.1,

Teorema ini langsung terbukti . □

Teorema 2.8.1 membahas mengenai Teorema konstruksi sudut. Teorema

ini mirip dengan definisi ukuran sudut pada Definisi 2.8.1, hanya saja

ukuran sudut yang terbentuk bukan bilangan bilangan real tertentu, tetapi

harus kongruen dengan sudut tertentu.

Untuk lebih memahami Teorema 2.8.1, perhatikan gambar berikut :

Selanjutnya, akan diberikan Teorema-Teorema mengenai penjumlahan

sudut dan pengurangan sudut.

(Teorema Penjumlahan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D ∈

int (∠ABC), S ∈ int (∠PQR), ∠ABD ≃ ∠PQS, dan ∠DBC ≃ ∠SQR, maka

∠ABC ≃ ∠PQR.

Bukti :

Menurut aksioma ketiga dari definisi sudut, jika D ∈ int(∠ABC) maka

m ∠ABD + m ∠DBC = m ∠ABC .

Sehingga, jika S ∈ int(∠PQR) maka

Gambar 2.29

m ∠PQS + m ∠SQR = m ∠PQR .

Dari kedua persamaan di atas terlihat jelas jika ∠𝐴𝐵𝐷 ≃ ∠𝑃𝑄𝑆 dan

∠𝐷𝐵𝐶 ≃ ∠𝑆𝑄𝑅 maka ∠𝐴𝐵𝐶 ≃ ∠𝑃𝑄𝑅.

Teorema 2.8.2 berbicara mengenai penjumlahan dua sudut. Untuk lebih

jelasnya, perhatikan Gambar 2.30.

(Teorema Pengurangan Sudut ) Dalam geometri Protraktor, jika D ∈

int (∠ABC), S ∈ int (∠PQR), ∠ABD ≃ ∠PQS, dan ∠ABC ≃ ∠PQR maka

∠DBC ≃ ∠SQR.

Bukti dari Teorema ini mengikuti bukti dari Teorema 2.8.2.

Teorema ini merupakan kebalikan dari Teorema 2.8.2. Teorema 2.8.3 ini

berbicara mengenai pengurangan sudut. Untuk lebih memahaminya,

perhatikan Gambar 2.30.

Gambar 2.30 merupakan ilustrasi Teorema 2.8.2 dan Teorema 2.8.3.

Selanjutnya, akan diberikan Akibat mengenai garis pembagi dua tegak

lurus.

𝛼 𝛼 + 𝛽

Q 𝛽

𝛼 𝛼 + 𝛽

Gambar 2.30

Akibat 2.8.4 (Millman & Parker, 1991:107)

Dalam geometri Protraktor, setiap segmen garis AB mempunyai tepat satu

pembagi dua tegak lurus, yaitu sebuah garis 𝑙 ⊥ AB dengan 𝑙 ∩ AB = M ,

dimana M adalah titik tengah dari segmen garis AB .

Akibat 2.8.4 mengatakan bahwa setiap segmen garis mempunyai tepat

sebuah garis yang tegak lurus dengan segmen terssebut dan membagi dua

segmen sama besar.

2.9 Geometri Netral

Geometri Netral merupakan geometri yang banyak berbicara

mengenai kongruensi segitiga. Konsep kongruensi segitiga ini cukup

penting dan sangat banyak digunakan saat membahas mengenai Geometri

Netral.

Misalkan ∆ABC dan ∆DEF adalah dua segitiga dalam geometri protraktor

dan fungsi f: A, B, C → D, E, F adalah fungsi bijektif antara titik-titik

pada segitiga tersebut. Fungsi f dikatakan sebuah kongruensi jika

memenuhi :

𝐴𝐵 ≃ 𝑓 𝐴 𝑓(𝐵) 𝐵𝐶 ≃ 𝑓 𝐵 𝑓(𝐶) 𝐴𝐶 ≃ 𝑓 𝐶 𝑓(𝐴)

∠𝐴 ≃ ∠𝑓(𝐴) ∠𝐵 ≃ ∠𝑓(𝐵) ∠𝐶 ≃ ∠𝑓(𝐶) ∎

Definisi 2.9.1 mengatakan bahwa dua buah segitiga dikatakan kongruen

jika panjang sisi-sisi yang bersesuaian kongruen, serta ukuran sudut-sudut

yang bersesuaian juga kongruen.

Gambar 2.31 mengilustrasikan ∆𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐷𝐸𝐹, dua segitiga yang saling

kongruen. Dapat dilihat pada kedua gambar di atas bahwa ketiga sisi yang

bersesuaian saling kongruen serta sudut-sudut yang bersesuaian juga

kongruen.

Geometri protraktor memenuhi Aksioma Sisi-Sudut-Sisi (SsSdSs) jika

untuk sembarang ∆ABC dan ∆DEF yaitu dua segitiga dengan AB ≃ DE ,

∠B ≃ ∠E, BC ≃ EF maka ∆ABC ≃ ∆DEF. ∎

Untuk lebih memahami definsi 2.9.2, perhatikan gambar berikut :

𝛼 A

C 𝛾

Gambar 2.31 ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹

Gambar 2.32 merupakan ilustrasi Definisi 2.9.2. Dua segitiga seperti

gambar di atas, termasuk dua segitiga yang saling kongruen berdasarkan

aksioma Sisi-Sudut-Sisi.

Berikut ini diberikan definisi mengenai Geometri Netral. Geometri Netral

merupakan geometri protraktor yang memenuhi aksioma Sisi-Sudut-Sisi

(SsSdSs)

Geometri netral (geometri absolut ) adalah geometri protraktor yang

memenuhi aksioma SsSdSs. ∎

Berikut ini akan diberikan mengenai definisi dari aksioma Sudut-Sisi-

Sudut (SdSdSd).

Geometri protraktor memenuhi aksioma Sudut-Sisi-Sudut (SdSsSd) jika

untuk ∆ABC dan ∆DEF yaitu dua segitiga dengan ∠A ≃ ∠D, AB ≃ DE ,

∠B ≃ ∠E maka ∆ABC ≃ ∆DEF. ∎

𝛼 A

Gambar 2.33 mengilustrasikan ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 berdasarkan aksioma

Sudut-Sisi-Sudut.

Aksioma terakhir mengenai kongruensi segitiga adalah aksioma Sisi-Sisi-

Sisi (SsSsSs).

Geometri protraktor memenuhi Aksioma Sisi-Sisi-Sisi (SsSsSs) jika untuk

∆ABC dan ∆DEF yaitu dua segitiga dengan AB ≃ DE , BC ≃ EF , CA ≃ FD

maka ∆ABC ≃ ∆DEF. ∎

Untuk lebih memahami Definisi 2.9.5, perhatikan gambar berikut ini

Gambar 2.34 merupakan ilustrasi Definisi 2.9.5. Gambar ini menunjukkan

dua segitiga yang saling kongruen menurut Aksioma SsSsSs.

Selanjutnya, akan diberikan Teorema mengenai sifat-sifat geometri netral

Geometri netral memenuhi aksioma SdSsSd

Geometri netral memenuhi aksioma SsSsSs.

Kedua teorema di atas dapat dibuktikan dengan cukup mudah. Geometri

netral adalah himpunan bagian dari geometri protraktor. Oleh karena itu,

geometri netral memuat sifat-sifat yang berlaku umum dalam geometri

protrkator. Padahal dalam geometri protraktor, memenuhi sifat aksioma

SdSsSd dan aksioma SsSsSs. Oleh karena itu, kedua aksioma tersebut juga

berlaku dalam geometri netral

2.10 Kolineasi dan Isometri

Kolineasi dan isometri merupakan suatu konsep yang penting juga

dalam geometri, khususnya geometri transformasi.

Berikut akan diberikan definisi mengenai kolineasi dan isometri serta sifat-

sifat isometri.

Definisi 2.10.1 (Prasekti, 2012 : 48)

Misalkan ℐ = { S , ℒ} dan ℐ′ = { S „, ℒ‟} adalah geometri insidensi,

maka fungsi φ: S → S mempertahankan garis jika untuk sembarang

garis l dari S , φ(l) adalah garis dari S „ ∎

Fungsi 𝜑 disebut kolineasi jika 𝜑 adalah fungsi bijektif yang

mempertahankan garis.

Definisi 2.10.1 mengatakan bahwa suatu fungsi dikatakan kolineasi jika

fungsi tersebut mempertahankan garis. Artinya, jika ada suatu garis 𝑙,

maka hasil pemetaannya oleh fungsi tersebut juga berupa garis.

Misalkan 𝒢 = { S , ℒ, d } dan 𝒢′ = { S ′, ℒ′, d′ } adalah geometri metrik.

Sebuah isometri dari 𝒢 ke 𝒢′ adalah fungsi φ: S → S „ sedemikian

hingga untuk semua A, B ∈ S berlaku

d′ φA, φB = d A, B .

Fungsi φ yang memenuhi persamaan tersebut dikatakan mempertahankan

jarak. ∎

Definisi 2.10.2 mengatakan bahwa sebuah isometri adalah fungsi yang

mempertahankan jarak. Artinya, jika terdapat titik A dan B, dengan jarak

𝑑 𝐴, 𝐵 , maka jarak dari hasil pemetaan kedua titik tersebut akan sama

dengan 𝑑 𝐴, 𝐵 .

Lemma 2.10.1 (Prasekti, 2012 : 63)

Isometri dalam Geometri Netral mempertahankan keantaraan. Lebih

tepatnya jika { S , ℒ, d } adalah Geometri Metrik, jika { S „, ℒ′, d′,m‟ }

adalah Geometri Netral, jika φ: S → S „ adalah sebuah isometri, dan jika

A,B,C adalah titik-titik pada S dengan A – B – C maka φ A – φ B – φ C.

Selanjutnya jika 𝑙 ∈ ℒ maka φ 𝑙 ⊂ 𝑙′ untuk suatu 𝑙′ ∈ ℒ′.

Bukti :

Jika A, B, C dalam S dan A–B–C maka A, B, C segaris dan d(A,B) +

d(B,C) = d(A,C).

Karena 𝜑 isometri, maka 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐵 = 𝑑 𝐴, 𝐵 , 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐶 =

𝑑 𝐴, 𝐶 , dan 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐶 = 𝑑 𝐵, 𝐶 .

Maka dari itu , 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐵 + 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐶 = 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐶 . Berdasarkan

Definisi 2.4.1 , akibatnya 𝜑𝐴 − 𝜑𝐵 − 𝜑𝐶.

Misalkan 𝑙 = 𝐴𝐵 dan 𝑙′ = 𝜑𝐴𝜑𝐵 . Jika 𝐷 ∈ 𝑙 dan 𝐷 ≠ 𝐴, 𝐷 ≠ 𝐵 maka

𝐷 − 𝐴 − 𝐵, 𝐴 − 𝐷 − 𝐵, atau 𝐴 − 𝐵 − 𝐷. Berdasarkan bagian pertama

pada pembuktian, maka 𝜑𝐷 − 𝜑𝐴 − 𝜑𝐵, 𝜑𝐴 − 𝜑𝐷 − 𝜑𝐵 atau 𝜑𝐴 − 𝜑𝐵 −

𝜑𝐷. Sehingga pada setiap kasus 𝜑𝐷 ∈ 𝑙′ dan 𝜑(𝑙) ⊂ 𝑙′. □

Lemma 2.10.1 menyatakan bahwa suatu isometri mempertahankan

keantaraan. Artinya, jika titik A terletak di antara B dan C, maka hasil

pemetaan titik A juga berada di antara hasil pemetaan titik B dan C.

Fungsi φ: S → S „ pada Geometri Protraktor dikatakan mempertahankan

sudut siku-siku jika ∠φAφBφC adalah sudut siku-siku dalam S „ apabila

∠ABC adalah siku-siku pada S .

φ mempertahankan ukuran sudut jika untuk setiap ∠ABC dalam S ,

m′ ∠φAφBφC = m(∠ABC) dimana m adalah ukuran sudut pada S dan

m‟ adalah ukuran sudut pada S „. ∎

Definisi 2.10.3 berbicara mengenai definisi suatu fungsi dapat dikatakan

mempertahankan sudut. Jika terdapat 3 titik A, B, dan C, yang membentuk

sudut ∠𝐴𝐵𝐶, maka ukuran sudut hasil pemetaan ketiga titik tersebut, akan

sama dengan ukuran sudut sebelumnya.

Lemma 2.10.2 (Prasekti, 2012 : 76)

Jika φ: S → S „ adalah isometri pada Geometri Netral dan D ∈ int (∠ABC)

maka φD ∈ int (∠φAφBφC).

Bukti :

Diketahui 𝐷 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝐴𝐵𝐶), sedemikian hingga 𝐴 − 𝐷 − 𝐶. Karena 𝜑

isometri, maka menurut Lemma 2.10.1, 𝜑𝐴 − 𝜑𝐷 − 𝜑𝐶.

Karena 𝜑 isometri, maka :

𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐷 = 𝑑 𝐵, 𝐷 , 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐷 = 𝑑 𝐴, 𝐷 , 𝑑′ 𝜑𝐷, 𝜑𝐶 = 𝑑 𝐷, 𝐶

𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐵 = 𝑑 𝐴, 𝐵 dan 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐶 = 𝑑 𝐵, 𝐶

Perhatikan ∆𝐴𝐵𝐷 pada gambar (a) dan ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 pada gambar (b).

Karena 𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐵 = 𝑑 𝐴, 𝐵 , 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐷 = 𝑑′(𝐵, 𝐷), dan

𝑑′ 𝜑𝐴, 𝜑𝐷 = 𝑑 𝐴, 𝐷 , maka ∆𝐴𝐵𝐷 ≃ ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 (𝑆𝑆𝑆). Akibatnya,

∠𝐴𝐵𝐷 = ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷.

Sekarang perhatikan ∆𝐵𝐷𝐶 pada gambar (a) dan ∆𝜑𝐵𝜑𝐷𝜑𝐶 pada gambar

(b). Karena 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐷 = 𝑑 𝐵, 𝐷 , 𝑑′ 𝜑𝐵, 𝜑𝐶 = 𝑑′(𝐵, 𝐶), dan

𝑑′ 𝜑𝐷, 𝜑𝐶 = 𝑑 𝐷, 𝐶 , maka ∆𝐵𝐷𝐶 ≃ ∆𝜑𝐵𝜑𝐷𝜑𝐶 (𝑆𝑆𝑆). Akibatnya,

∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝜑𝐷𝜑𝐵𝜑𝐶.

Kita dapatkan ∠𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 + ∠𝜑𝐷𝜑𝐵𝜑𝐶.

Padahal, ∠𝐴𝐵𝐷 + ∠𝐷𝐵𝐶 = ∠𝐴𝐵𝐶 dan ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 + ∠𝜑𝐷𝜑𝐵𝜑𝐶 =

∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶. Akibatnya, ∠𝐴𝐵𝐶 = ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 . Ini berarti 𝜑

mempertahankan ∠𝐴𝐵𝐶 menjadi ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶.

Berdasarkan Definisi 2.8.1, karena 𝑚(∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷) + 𝑚(∠𝜑𝐷𝜑𝐵𝜑𝐶) =

𝑚(∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶), maka dapat disimpulkan 𝜑𝐷 ∈ 𝑖𝑛𝑡(∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶).

Untuk lebih memahami lemma 2.10.2, perhatikan gambar berikut :

Lemma 2.10.2 berbicara mengenai sifat isometri bahwa isometri

mempertahankan interior sudut. Terlihat dari Gambar 2.35, bahwa titik

𝐷 ∈ 𝑖𝑛𝑡 (∠𝐴𝐵𝐶) , setelah pemetaan, titik 𝜑𝐷 ∈ 𝑖𝑛𝑡 (∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶).

Lemma 2.10.4 (Prasekti, 2012 : 73)

Jika φ: S → S „ adalah isometri pada Geometri Netral maka φ

mempertahankan sudut siku-siku.

Bukti :

ϕC ϕB

Gambar 2. 35 Ilustrasi Lemma 2.10.3

Misalkan ∠𝐴𝐵𝐶 adalah sudut siku-siku pada S . Kita harus menunjukkan

bahwa ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 adalah sudut siku-siku.

Kita misalkan D adalah titik tertentu sedemikian hingga 𝐷 − 𝐵 − 𝐶 dan

𝐷𝐵 ≃ 𝐵𝐶 seperti pada gambar. Maka

∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐴𝐵𝐷 (Aksioma 𝑆𝑠𝑆𝑑𝑆𝑠).

Akibatnya, 𝐴𝐶 ≃ 𝐴𝐷 . Karena 𝜑 mempertahankan jarak, kita dapatkan :

𝜑𝐴𝜑𝐵 ≃ 𝜑𝐴𝜑𝐵 , 𝜑𝐴𝜑𝐶 ≃ 𝜑𝐴𝜑𝐷 , 𝜑𝐵𝜑𝐶 ≃ 𝜑𝐵𝜑𝐷 sehingga

∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 ≃ ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 (𝑆𝑠𝑆𝑠𝑆𝑠) seperti pada gambar

Karena ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 ≃ ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 maka ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 ≃ ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷

Karena 𝜑𝐷 − 𝜑𝐵 − 𝜑𝐶, ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 dan ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷 merupakan bentuk

linear dari sudut yang kongruen, akibatnya ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 dan ∠𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐷

masing-masing adalah segitiga siku-siku. □

Lemma 2.10.4 mengatakan bahwa suatu isometri dalam geometri netral

pasti mempertahankan sudut siku-siku.

∥ D C B

𝜑𝐴

𝜑𝐷

𝜑𝐶

𝜑𝐵

Gambar 2. 36 Ilustrasi Lemma 2.10.4

2.11 Refleksi pada Bidang Euclid

Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai refleksi dalam bidang Euclid.

Berikut adalah definisi mengenai refleksi yang berlaku dalam bidang

Euclid.

Definisi 2.11.1 (Susanta, 1990 : 49)

Refleksi terhadap garis s (disimbolkan Ms) ialah pemetaan yang memenuhi

1. Untuk titik B pada s, Ms(B) = B

2. Untuk titik A di luar s, Ms(A) = A‟ sedemikian hingga s adalah sumbu

AA′ . ∎

Sumbu suatu garis 𝐴𝐴′ ialah garis yang membagi dua sama 𝐴𝐴′ dan tegak

lurus padanya, yaitu tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama

dengan A dan A‟.

Garis s diatas lalu disebut sumbu refleksi.

Untuk lebih memahami mengenai refleksi dalam bidang Euclid, perhatikan

gambar berikut :

Gambar 2.37

Refleksi dalam Bidang Euclid

𝑃𝑠

𝑃′

Menurut Susanta (1990), misalkan 𝑠 ≡ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 adalah sebuah

garis tidak vertikal dalam bidang Euclid maka fungsi refleksi 𝜌: ℝ2 → ℝ2

terhadap garis 𝑠 tersebut diberikan oleh :

Bila 𝑃′ = 𝑀𝑠 (𝑃) dan 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑃′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′) dengan P diluar s maka harus

dipernuhi,

𝑃𝑃′ ⊥ 𝑠, jadi 𝑚1 . 𝑚2 = −1

𝑦 ′ −𝑦

𝑥 ′ −𝑥.

−𝑎

𝑏 = −1

𝑦 ′ −𝑦

𝑥 ′ −𝑥=

𝑦 ′ =𝑏

𝑎 𝑥 ′ − 𝑥 + 𝑦 .....(1)

Titik tengah 𝑃𝑃′ pada 𝑠, jadi koordinat titik tengah 𝑃𝑃′ harus memenuhi

persamaan garis 𝑠.

Koordinat titik tengah 𝑃𝑃′ adalah 𝑥+𝑥 ′

2,𝑦+𝑦 ′

2 , sehingga

𝑎 𝑥+𝑥 ′

2 + 𝑏

𝑦+𝑦 ′

2 + 𝑐 = 0

𝑎 𝑥 + 𝑥 ′ + 𝑏 𝑦 + 𝑦 ′ + 2𝑐 = 0

𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ′ + 𝑏𝑦 + 𝑏𝑦 ′ + 2𝑐 = 0 ....(2)

Substitusikan persamaan (1) ke persamaan (2),

𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ′ + 𝑏𝑦 + 𝑏 𝑏

𝑎 𝑥 ′ − 𝑥 + 𝑦 + 2𝑐 = 0

𝑎𝑥 + 𝑎𝑥 ′ + 𝑏𝑦 +𝑏2

𝑎𝑥 ′ −

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 2𝑐 = 0

𝑎 +𝑏2

𝑎 𝑥 ′ =

𝑎− 𝑎 𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐

𝑎2+𝑏2

𝑎 𝑥 ′ =

𝑏2−𝑎2

𝑎 𝑥 − 2𝑏𝑦 − 2𝑐

𝑥 ′ = 𝑏2−𝑎2

𝑎2+𝑏2 𝑥 −2𝑎𝑏𝑦

𝑎2+𝑏2 −2𝑎𝑐

𝑎2+𝑏2

𝑥 ′ = 𝑏2+𝑎2−2𝑎2

𝑎2+𝑏2 𝑥 −2𝑎𝑏𝑦

𝑎2+𝑏2

𝑥 ′ = 𝑏2+𝑎2

𝑎2+𝑏2 𝑥 −−2𝑎2𝑥

𝑎2+𝑏2 −2𝑎𝑏𝑦

𝑎2+𝑏2

𝑥 ′ = 𝑥 −2𝑎(𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2

Substitusikan 𝑥′ ke persamaan (1),

𝑦 ′ =𝑏

𝑎 𝑥 ′ − 𝑥 + 𝑦

𝑦 ′ =𝑏

𝑎 𝑥 −

2𝑎 (𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2 − 𝑥 + 𝑦

𝑦 ′ = 𝑦 +𝑏

𝑎 −

2𝑎(𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2

𝑦 ′ = 𝑦 −2𝑏(𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2

Sehingga, rumus umum refleksi terhadap sembarang garis 𝑠 dalam bidang

Euclid adalah :

𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 −2𝑎(𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2 , 𝑦 −2𝑏(𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐)

𝑎2+𝑏2

Untuk lebih memahami refleksi dalam bidang Euclid, perhatikan contoh

berikut :

Contoh 2.11.1 :

Misal garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 adalah sebuah garis dalam bidang Euclid. Kita

akan mencari hasil refleksi titik 𝐴 0,1 , dan 𝐵(5,4) terhadap garis

𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Pertama-tama, kita harus mencari rumus refleksi terhadap

garis tersebut dengan menggunakan rumus 3.1.1.

𝜌 𝑥, 𝑦 = 𝑥 −2𝑎 𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐

𝑎2+𝑏2 , 𝑦 −2𝑏 𝑎𝑥 +𝑏𝑦 +𝑐

𝑎2+𝑏2

= 𝑥 −2(𝑥−𝑦+1)

1+1, 𝑦 −

−2(𝑥−𝑦+1)

= 𝑦 − 1, 𝑥 + 1

Setelah menentukan rumus refleksinya, baru kita menentukan hasil

refleksi.

𝜌 𝐴 = 1 − 1, 0 + 1 = 0,1

𝜌 𝐵 = 4 − 1, 5 + 1 = 3,6

Perhatikan hasil refleksi titik A.

𝜌 𝐴 = 0,1 = 𝐴. Hal ini terjadi karena titik A merupakan titik dalam

garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Menurut definisi refleksi, refleksi akan

mempertahankan titik-titik yang terletak dalam garis cermin. Sedangkan

untuk titik B, 𝜌 𝐵 = 3,6 ≠ 𝐵. Refleksi 𝜌 tidak mempertahankan titik B

karena titik B bukan merupakan elemen dari garis 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 ●

BAB III

REFLEKSI DAN AKSIOMA CERMIN

Refleksi merupakan bagian dari transformasi yang bersifat

isometri. Isometri sendiri sudah kita bahas pada bagian 2.10, yaitu sebuah

fungsi yang mempertahankan jarak. Dalam kehidupan sehari-hari, konsep

refleksi ini dapat kita jumpai secara nyata saat kita bercermin.

3.1 Refleksi

Sebelum kita mulai membahas mengenai konsep refleksi, mari kita

pelajari dahulu mengenai konsep mempertahankan titik. Konsep ini cukup

penting karena akan digunakan ketika kita membahas konsep refleksi.

Sebuah fungsi φ ∶ S →S mempertahankan titik A jika φA = A. ∎

Definisi 3.1.1 berbicara mengenai suatu fungsi yang mempertahankan

titik. Suatu fungsi dikatakan mempertahankan titik jika hasil pemetaan

suatu titik sama dengan titik asalnya.

Contoh 3.1.1 :

Misalkan sebuah fungsi 𝜑 ∶ ℍ → ℍ , dimana 𝜑 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 , 3𝑦 − 2 ,

dan sebuah titik A = (0, 1).

Sekarang kita akan mencari 𝜑(𝐴).

𝜑 𝐴 = (2. 0 , 3 1 − 2 )

= 0 , 1 = 𝐴

Karena 𝜑 𝐴 = 𝐴, maka fungsi 𝜑 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 , 3𝑦 − 2 dikatakan

mempertahankan titik A. ●

Contoh 3.1.1, adalah contoh suatu fungsi yang mempertahankan titik A,

dalam bidang Poincare.

Lemma 3.1.1 (Millman & Parker, 1991:306):

Anggap φ ∶ S → S merupakan sebuah isometri dalam geometri netral.

Jika φ mempertahankan titik A dan titik B, maka φ juga mempertahankan

semua titik dalam AB .

Bukti :

Anggap 𝑓 adalah sebuah sistem koordinat untuk 𝐴𝐵 dengan A adalah titik

asal dan B positif.

Misalkan 𝐶 ∈ 𝐴𝐵 dan C ≠ A, C ≠ B. Akan ditunjukkan bahwa C = 𝜑C.

Sekarang anggap 𝜑C = C’.

d (A, C’) = d (A, C) karena 𝜑A = A dan 𝜑 adalah isometri.

Karena itu, 𝑓 𝐶 ′ = 𝑓(𝐶) dan 𝑓 𝐶 ′ = ±𝑓(𝐶).

Karena 𝜑 mempertahankan keantaraan, maka

jika A – B – C begitu pula A – B – C’

jika A – C – B begitu pula A – C’ – B

jika C – A – B begitu pula C’ – A – B.

Tidak ada dari ketiga kemungkinan tersebut yang memungkinkan

𝑓 𝐶 ′ = −𝑓(𝐶). Karena itu, 𝑓 𝐶 ′ = 𝑓(𝐶), sehingga 𝜑C = C’ = C. □

Lemma 3.1.1 masih berbicara mengenai suatu fungsi yang

mempertahankan titik. Lemma ini mengatakan jika suatu fungsi isometri

mempertahankan dua titik tertentu, maka fungsi isometri itu juga

mempertahankan semua titik dalam garis 𝐴𝐵 .

Untuk lebih memahami Lemma 3.1.1, perhatikan contoh berikut :

Contoh 3.1.2 :

Misalkan sebuah fungsi isometri 𝜑: ℍ → ℍ , yang ditunjukkan oleh

𝜑 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 , mempertahankan dua titik A dan B dimana,

𝐴 = 2, 1 , 𝐵 = (2, 5) .

Akan ditunjukkan bahwa 𝜑 juga mempertahankan sembarang titik dalam

𝐴𝐵 .

Persamaan garis yang melewati A dan B adalah garis tipe I (aL ) dalam

bidang Poincare dengan 𝑎 = 2, sehingga 𝐴𝐵 ≡ 𝑥 = 2.

Ambil sembarang titik 𝐶 ∈ 𝐴𝐵 , kita ambil 𝐶 = (2, 𝑦)

𝜑 𝐶 = 4 − 2, 𝑦

= 2, 𝑦 = 𝐶

Karena 𝜑 𝐶 = 𝐶, maka terbukti bahwa 𝜑 mempertahankan sembarang

titik dalam 𝐴𝐵 . ●

Contoh 3.1.2 merupakan contoh suatu fungsi yang mempertahankan

seluruh titik dari garis 𝐴𝐵 , dalam bidang Poincare.

Selanjutnya, akan dibahas mengenai isometri identitas. Isometri identitas

adalah suatu isometri yang mempertahankan tiga titik yang tidak segaris

atau tiga titik yang tidak kolinear.

Lemma 3.1.2 (Millman & Parker, 1991:306):

Anggap φ ∶ S →S merupakan sebuah isometri dalam geometri netral.

Jika φ mempertahankan tiga titik yang tidak segaris , maka φ adalah

identitas.

Bukti :

Menurut Lemma 3.1.1, 𝜑 juga mempertahankan semua titik dalam garis

𝐴𝐵 , 𝐵𝐶 , dan 𝐴𝐶 dan karena itu, termasuk mempertahankan semua titik

dalam segitiga ABC.

Ambil sembarang titik D dalam S dan sembarang titik E dalam int(𝐴𝐵 ),

dimana E ≠ D. Berdasarkan teorema Pash, 𝐷𝐸 memotong segitiga ABC

pada sebuah titik F, dimana F≠E. Karena E dan F termasuk dalam segitiga

ABC, maka keduanya adalah titik tetap.

Karena itu, setiap titik dari 𝐸𝐹 , termasuk D adalah titik tetap dari 𝜑.

Jadi 𝜑D = D untuk sembarang titik D, sehingga 𝜑 merupakan isometri

identitas. □

Untuk lebih memahami Lemma 3.1.2, perhatikan contoh-contoh berikut.

Contoh 3.1.3 :

Misalkan sebuah fungsi 𝜑: ℍ → ℍ, dimana 𝜑 𝑥, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 , dan tiga

buah titik A, B, C yang tidak segaris. 𝐴 = 2,3 , 𝐵 = 0,1 , 𝐶 = (3,1).

Untuk membuktikan bahwa 𝜑 merupakan isometri identitas, kita harus

menunjukkan bahwa 𝜑 𝐴 = 𝐴 , 𝜑 𝐵 = 𝐵, 𝜑 𝐶 = 𝐶.

𝜑 𝐴 = 2, 3 = 𝐴

𝜑 𝐵 = 0, 1 = 𝐵

𝜑 𝐶 = 3, 1 = 𝐶

Karena 𝜑 𝐴 = 𝐴 , 𝜑 𝐵 = 𝐵, 𝜑 𝐶 = 𝐶 maka 𝜑 dikatakan

mempertahankan tiga titik berbeda yang tidak segaris sehingga 𝜑 adalah

isometri identitas. ●

Contoh 3.1.3, adalah contoh suatu isometri identitas dalam bidang

Poincare.

Setelah membahas mengenai konsep mempertahankan titik, dan isometri

identitas, sekarang kita akan membahas mengenai konsep refleksi.

Anggap l adalah sebuah garis dalam geometri netral. Dan untuk setiap

P ϵ S , anggap Pl adalah proyeksi dari titik P ke l.

Refleksi terhadap garis l adalah fungsi ρl: S →S yang ditentukan

sebagai berikut :

ρlP = P′ dimana P − Pl − P′ dan PPl

≃ P′Pl jika P ∉ l

ρlP = P jika P ∈ l ∎

Untuk lebih memahami Definisi 3.1.2, perhatikan Gambar berikut :

Gambar 3.1 menunjukkan ilustrasi refleksi titik P terhadap garis 𝑙 dalam

bidang Poincare.

Untuk lebih memahami definisi refleksi, perhatikan contoh berikut:

Contoh 3.1.4 :

Misalkan 𝑙 ≡ 𝑥 = 𝑎 merupakan sebuah garis tipe I dalam bidang

Poincare. Kita akan mencari fungsi 𝜌 ∶ ℍ → ℍ, yang merupakan refleksi

terhadap garis 𝑙.

Perhatikan Gambar 3.2 berikut :

R P’ P

Gambar 3.2 Refleksi terhadap garis tipe I

Gambar 3.1

Refleksi dalam Bidang Poincare

𝑃𝑙

𝑃′

Misalkan titik 𝑃(𝑥, 𝑦), dan hasil refleksinya adalah 𝑃′(𝑥′, 𝑦′).

Koordinat titik tengah 𝑃𝑃′ adalah titik 𝑅 = (𝑥+𝑥 ′

2,𝑦+𝑦 ′

2). Titik R ini

terletak dalam garis 𝑙, maka koordinat nya harus memenuhi persamaan

garis 𝑙. Sehingga 𝑥+𝑥 ′

2= 𝑎

𝑦+𝑦 ′

2= 𝑦

𝑥 + 𝑥′ = 2𝑎 𝑦 + 𝑦′ = 2𝑦

𝑥 ′ = 2𝑎 − 𝑥 𝑦′ = 𝑦

Dari perhitungan di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

Untuk sembarang garis 𝑙 ≡ 𝑥 = 𝑎, yang merupakan garis tipe I dalam

bidang Poincare. Rumus umum refleksi terhadap garis 𝑙 tersebut adalah

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑎 − 𝑥, 𝑦 . ●

Selanjutnya akan dibahas mengenai rumus refleksi dalam bidang Poincare,

terhadap garis tipe II.

Contoh 3.1.5 :

Misalkan 𝑙 ≡ (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑟12 merupakan sebuah garis tipe II dalam

bidang Poincare. Kita akan mencari fungsi 𝜌 ∶ ℍ → ℍ, yang merupakan

refleksi terhadap garis 𝑙.

Perhatikan Gambar 3.1.

Ide yang digunakan untuk memperoleh fungsi refleksinya sesuai

dengan definisi refleksi sendiri. Pertama-tama kita akan mencari

persamaan garis (𝑙′) yang menghubungkan titik P, 𝑃𝑙 , dan P’ serta tegak

lurus dengan garis 𝑙. Kemudian kita akan menentukan koordinat dari 𝑃𝑙 .

dengan cara memotongkan garis 𝑙 dengan 𝑙′. Setelah itu, barulah kita mulai

mencari titik P’, yaitu dengan memanfaatkan konsep jarak dalam refleksi.

Jarak P dengan 𝑃𝑙 harus sama dengan jarak P’ dengan 𝑃𝑙 .

Untuk mencari persamaan garis yang tegak lurus garis 𝑙, kita

menggunakan konsep dua buah lingkaran yang berpotongan tegak lurus.

Menurut Hadjiwidjojo (1973), dua lingkaran yang saling berpotongan

tegak lurus memenuhi persamaan :

(𝑃1𝑃2)2 = 𝑟12 + 𝑟2

2 dimana 𝑃1𝑃2 adalah jarak antara kedua titik pusat

lingkaran, 𝑟1 adalah jari-jari lingkaran pertama dan 𝑟2 adalah jari-jari

lingkaran yang kedua.

Diketahui : Titik 𝑃 (𝑥, 𝑦) dan garis 𝑙 ≡ (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑟12

Misalkan garis 𝑙′ ≡ (𝑥 − 𝑑)2 + 𝑦2 = 𝑟22 dan 𝑃′ (𝑥′, 𝑦′)

Garis 𝑙 ⊥ 𝑙′ , maka jarak antara titik pusat lingkaran 𝑙 dengan titik pusat

lingkaran 𝑙′ harus sama dengan jumlah kuadrat dari jari-jari kedua

lingkaran:

(𝑑 − 𝑐)2 = 𝑟12 + 𝑟2

2 .....(1)

Koordinat P dan P’ memenuhi persamaan 𝑙′, maka

(𝑥 − 𝑑)2 + 𝑦2 = 𝑟22 .....(2)

(𝑥′ − 𝑑)2 + 𝑦′2 = 𝑟22 .....(3)

Selesaikan persamaan (1) dan (2) untuk memperoleh nilai 𝑑 dan 𝑟2 .

Dari persamaan (1),

𝑟22 = (𝑑 − 𝑐)2 − 𝑟1

𝑟22 = 𝑑2 − 2𝑑𝑐 + 𝑐2 − 𝑟1

substitusikan 𝑟2ke persamaan (2).

𝑥 − 𝑑 2 + 𝑦2 = 𝑑2 − 2𝑑𝑐 + 𝑐2 − 𝑟12

𝑥2 − 2𝑥𝑑 + 𝑑2 + 𝑦2 = 𝑑2 − 2𝑑𝑐 + 𝑐2 − 𝑟12

2𝑐𝑑 − 2𝑥𝑑 = 𝑐2 − 𝑟12 − 𝑥2 − 𝑦2

𝑑 =𝑟1

2−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐

Substitusikan 𝑑 ke persamaan 𝑟22,

𝑟22 = (𝑑 − 𝑐)2 − 𝑟1

𝑟22 =

𝑟12−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐− 𝑐

− 𝑟12

𝑟22 =

𝑟12+𝑦2+(𝑥−𝑐)2

2𝑥−2𝑐

− 𝑟12

Setelah mendapat nilai d dan 𝑟2, sekarang kita akan mencari koordinat titik

tengah yaitu 𝑃𝑙 . Koordinat titik 𝑃𝑙 memenuhi persamaan garis 𝑙 dan 𝑙′.

misal koordinat titik 𝑃𝑙(𝑠, 𝑡), maka :

(𝑠 − 𝑐)2 + 𝑡2 = 𝑟12 .....(4)

(𝑠 − 𝑑)2 + 𝑡2 = 𝑟22 .....(5)

Selesaikan persamaan (4) dan (5) untuk memperoleh nilai s dan t.

(4) - (5) :

𝑠2 − 2𝑠𝑐 + 𝑐2 + 𝑡2 = 𝑟12

𝑠2 − 2𝑠𝑑 + 𝑑2 + 𝑡2 = 𝑟22

−2𝑠𝑐 + 2𝑠𝑑 + 𝑐2 − 𝑑2 = 𝑟12 − 𝑟2

−2𝑠𝑐 + 2𝑠𝑑 = 𝑟12 − 𝑟2

2 − 𝑐2 + 𝑑2

𝑠 =𝑟2

2−𝑟12+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑

Substitusikan 𝑠 ke persamaan (4),

2−𝑟12+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑− 𝑐

+ 𝑡2 = 𝑟12

𝑡2 = 𝑟12 −

𝑟22−𝑟1

2− 𝑐−𝑑 2

2𝑐−2𝑑

Substitusikan (1) ke persamaan di atas,

𝑡2 = 𝑟12 −

𝑟22−𝑟1

2−𝑟22−𝑟1

2𝑐−2𝑑

𝑡2 = 𝑟12 −

−𝑟12

𝑐−𝑑

= 𝑟12 −

𝑟14

𝑐−𝑑 2

𝑡2 =𝑟1

2 𝑐−𝑑 2−𝑟14

𝑐−𝑑 2

𝑡 = ±𝑟1 𝑐−𝑑 2−𝑟1

𝑐−𝑑 ,

dari persamaan (1), kita dapat melihat bahwa 𝑐 − 𝑑 2 − 𝑟12 = 𝑟2, maka

persamaan 𝑡 dapat dituliskan sebagai berikut :

𝑡 = ±𝑟1𝑟2

𝑐−𝑑

Sehingga, koordinat 𝑃𝑙 adalah 𝑟2

2−𝑟12+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑, ±

𝑟1𝑟2

𝑐−𝑑 .

Kita akan menggunakan rumus jarak dalam bidang Poincare seperti sudah

dibahas pada bagian 2.3. Jarak titik P terhadap 𝑃𝑙 harus sama dengan jarak

𝑃𝑙 terhadap P’.

𝑑𝐻 𝑃, 𝑃𝑙 = ln

𝑥−𝑑+𝑟2𝑦

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟1𝑟2𝑐−𝑑

𝑑𝐻 𝑃𝑙 , 𝑃′ = ln

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑥′−𝑑+𝑟2𝑦′

Karena 𝑑𝐻 𝑃, 𝑃𝑙 = 𝑑𝐻 𝑃𝑙 , 𝑃′ , maka

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

.....(6)

Persamaan (6) mengakibatkan

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

Dengan menyederhanakan kemungkinan pertama, kita akan mendapat nilai

𝑥 ′ = 𝑥 dan 𝑦 ′ = 𝑦 sehingga tidak memenuhi definisi refleksi.

Sekarang kita akan menyederhanakan kemungkinan kedua,

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

𝑥−𝑑+𝑟2

𝑥′−𝑑+𝑟2

𝑦′= .

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

.𝑟2

2−𝑟12+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

(𝑥−𝑑+𝑟2)(𝑥′−𝑑+𝑟2)

𝑦 .𝑦′=

𝑟22−𝑟1

2+𝑐2−𝑑2

2𝑐−2𝑑 −𝑑+𝑟2

(𝑥−𝑑+𝑟2)(𝑥′−𝑑+𝑟2)

𝑦 .𝑦 ′=

𝑟22−𝑟1

2+(𝑐−𝑑)2+2𝑟2(𝑐−𝑑 )

2𝑐−2𝑑

2𝑟1𝑟22𝑐−2𝑑

(𝑥−𝑑+𝑟2)(𝑥′−𝑑+𝑟2)

𝑦 .𝑦 ′=

𝑟22−𝑟1

2+(𝑐−𝑑)2+2𝑟2(𝑐−𝑑)

2𝑟1𝑟2

, substitusikan persamaan

(1) sehingga,

(𝑥−𝑑+𝑟2)(𝑥′−𝑑+𝑟2)

𝑦 .𝑦 ′=

𝑟22−𝑟1

2+𝑟22+𝑟1

2+2𝑟2(𝑐−𝑑)

2𝑟1𝑟2

(𝑥−𝑑+𝑟2)(𝑥′−𝑑+𝑟2)

𝑦 .𝑦 ′=

𝑟2+𝑐−𝑑

𝑥 ′ − 𝑑 + 𝑟2 =𝑦 .𝑦 ′ 𝑟2+𝑐−𝑑 2

𝑟12 (𝑥−𝑑+𝑟2)

𝑥 ′ =𝑦 ′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑑 − 𝑟2 .....(7)

Substitusikan persamaan (7) ke persamaan (3).

𝑦 ′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑑 − 𝑟2 − 𝑑 2

+ 𝑦′2 = 𝑟22

𝑦′2 = 𝑟22 −

𝑦 ′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑑 − 𝑟2 − 𝑑 2

𝑦′2 = 𝑟22 −

𝑦 ′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

− 𝑟2 2

𝑦′2 = 𝑟22 −

𝑦 ′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

−2𝑦 ′ 𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑟2 2

𝑦′2 = −𝑦 ′ 2

.𝑦2 (𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2

+2𝑦 ′ 𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑦′2 +𝑦 ′ 2

.𝑦2 (𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2

−2𝑦 ′ 𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑦′2 𝑟1

4 (𝑟2+𝑥−𝑑)2

𝑟14 (𝑟2+𝑥−𝑑)2

+𝑦2 (𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2

− 𝑦′ 2𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑦′ 𝑦′ 𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2 (𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14 (𝑟2+𝑥−𝑑)2

−2𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑦 ′ = 0 atau 𝑦 ′ =2𝑦𝑟2 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

.𝑟1

4(𝑟2+𝑥−𝑑)2

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2 (𝑟2+𝑐−𝑑)4

(untuk 𝑦 ′ = 0 tidak memenuhi karena dalam bidang Poincare, 𝑦 > 0)

𝑦′ = 2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

.....(8)

Substitusikan persamaan (8) ke persamaan (7) sehingga kita mendapatkan

nilai 𝑥′ :

𝑥 ′ = 𝑦′ .𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑑 − 𝑟2

𝑥 ′ =2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

.𝑦 (𝑟2+𝑐−𝑑)2

𝑟12(𝑟2+𝑥−𝑑)

+ 𝑑 − 𝑟2

𝑥 ′ =2𝑟2𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

+ 𝑑 − 𝑟2

Sehingga, koordinat P’ adalah

2𝑟2𝑦

2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4 + 𝑑 − 𝑟2 ,

2𝑦𝑟2𝑟12(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

Dari perhitungan di atas, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

Untuk sembarang garis 𝑙 ≡ (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑟12, yang merupakan garis

tipe II dalam bidang Poincare. Rumus umum refleksi terhadap garis 𝑙

tersebut adalah

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑟2𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

+ 𝑑 − 𝑟2 ,2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

dimana 𝑑 =𝑟1

2−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐 dan 𝑟2

2 = 𝑟1

2+𝑦2+(𝑥−𝑐)2

2𝑥−2𝑐

− 𝑟12 ●

Sekarang akan diberikan contoh refleksi terhadap garis tipe I dan tipe II

dalam bidang Poincare yang persamaannya sudah tertentu.

Contoh 3.1.6 :

Misalkan 𝑙 ≡ 𝑥 = −2 adalah sebuah garis dalam bidang Poincare. Jika ada

dua buah titik A (-3, 1) dan B (0,3). Kita akan menggunakan rumus

refleksi pada Contoh 3.1.4 untuk menentukan hasil refleksinya.

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑎 − 𝑥, 𝑦

A’ = 𝜌 𝐴 =(2 −2 − −3 , 1) = (−1, 1)

B’ = 𝜌 𝐵 =(2 −2 − 0, 3) = (−4, 3)

Perhatikan Gambar berikut.

Gambar di atas adalah hasil dari perhitungan lewat software matematika

yang bernama GeoGebra. Dalam GeoGebra, terdapat perintah untuk

merefleksikan suatu obek terhadap suatu garis lurus. Koordinat yang

berwarna biru merupakan objek asli sedangkan koordinat yang berwarna

merah merupakan objek hasil refleksi. Dapat dilihat bahwa hasil

perhitungan dengan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.6, sama dengan

hasil perhitungan dari software. ●

Selanjutnya, akan diberikan beberapa contoh refleksi terhadap garis tipe II

dalam bidang Poincare.

Contoh 3.1.7 (a):

Misalkan 𝑙 ≡ (𝑥 − 1)2 + 𝑦2 = 4 adalah sebuah garis dalam bidang

Poincare. Jika ada titik A (2,1 ) , maka hasil refleksi titik A terhadap garis

𝑙 adalah :

Kita akan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.5.

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑟2𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

+ 𝑑 − 𝑟2 ,2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

Tetapi, sebelum menggunakan rumus tersebut, terlebih dahulu kita harus

menentukan nilai 𝑑 dan 𝑟2.

𝑑 =𝑟1

2−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐=

(4−12 +22 +12 )

2 2 −2(1)= 4

𝑟22 =

𝑟12+𝑦2+(𝑥−𝑐)2

2𝑥−2𝑐

− 𝑟12 =

22+12 +(2−1)2

2(2)−2(1)

− (2)2 = 5 , maka 𝑟2 = 5

𝐴′ = 𝜌 𝐴 = 2 5(1)( 5+1−4)4

(2)4( 5+2−4)2+(1)2( 5+1−4)4 + 4 − 5 ,2(1) 5(2)2( 5+1−4)2( 5+2−4)

(2)4( 5+2−4)2+(1)2( 5+1−4)4

𝐴′ = 𝜌 𝐴 = (3,2). Untuk menunjukkan bahwa titik A’(3,2) benar-benar

merupakan hasil refleksi dari titik terhadap garis 𝑙, kita perlu menyelidiki

jarak antara titik A terhadap 𝐴𝑙 dan jarak 𝐴𝑙 terhadap titik A’.

𝐴𝑙 = 5−4+1−16

2−8,

1−4 =

Jarak titik A terhadap 𝐴𝑙:

𝑙𝑛

2−4+ 5

173−4+ 5

= 𝑙𝑛 10−4 5

3 5−5 = 𝑙𝑛

10−4 5

3 5−5×

3 5+5 = 𝑙𝑛

Jarak titik 𝐴𝑙 terhadap titik A’ :

𝑙𝑛

73−4+ 5

3−4+ 5

= 𝑙𝑛 3 5−5

5− 5 = 𝑙𝑛

3 5−5

5− 5×

5+ 5 = 𝑙𝑛

Terlihat bahwa, 𝑑𝐻 𝐴, 𝐴𝑙 = 𝑑𝐻 𝐴𝑙 , 𝐴′ = 𝑙𝑛 5−1

Oleh karena itu, terbukti bahwa titik A’ (3,2) benar-benar merupakan hasil

refleksi dari titik A(2,1) ●

Contoh 3.1.7 (b):

Poincare. Jika ada titik B (1,1 ) , maka hasil refleksi titik B terhadap garis 𝑙

adalah :

Perhatikan, titik B mempunyai koordinat 𝑥 yang sama dengan pusat garis

𝑙. Oleh karena itu, persamaan garis yang melewati titik B dan pusat garis 𝑙

adalah 𝑥 = 1. Garis 𝑥 = 1 ini merupakan garis yang tegak lurus dengan

garis 𝑙. Sehingga, untuk mencari koordinat 𝐵𝑙 kita tinggal memotongkan

garis 𝑙 dengan garis 𝑥 = 1. Akan didapat koordinat 𝐵𝑙 (1,2).

Setelah itu, untuk mencari koordinat 𝐵′, kita menggunakan konsep jarak

dalam refleksi, yaitu, jarak titik 𝐵 dengan 𝐵𝑙 harus sama dengan jarak titik

𝐵𝑙 dengan titik 𝐵′. Perlu diingat pula bahwa titik 𝐵′ harus terletak pada

garis 𝑥 = 1. Misalkan koordinat 𝐵′(1, 𝑏).

Jarak titik B terhadap 𝐵𝑙:

𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 = 𝑙𝑛

1 = 𝑙𝑛 2

Jarak titik 𝐵𝑙 terhadap titik 𝐵′ :

𝑙𝑛 𝑏

Karena, 𝑑𝐻 𝐵, 𝐵𝑙 = 𝑑𝐻 𝐵𝑙 , 𝐵′ , maka 𝑙𝑛 2 = 𝑙𝑛 𝑏

Sehingga, 𝑏

2= 2 atau

Dari kemungkinan pertama, menunjukkan bahwa 𝐵′ (1,4) sedangkan dari

kemungkinann kedua menunjukkan bahwa 𝐵′ = 1,1 = 𝐵 . Kemungkinan

kedua tidak memenuhi definisi refleksi karena titik 𝐵𝑙 tidak memisahkan titik

𝐵 dan 𝐵′. Oleh karena itu, koordinat hasil refleksi titik 𝐵 1,1 terhadap garis

𝑙 adalah 𝐵′(1,4). ●

Contoh 3.1.7 (c):

Poincare. Jika ada titik C (10,5 ) , maka hasil refleksi titik C terhadap garis

𝑙 adalah :

Kita akan menggunakan rumus pada Contoh 3.1.5.

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑟2𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

+ 𝑑 − 𝑟2 ,2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

Tetapi, sebelum menggunakan rumus tersebut, terlebih dahulu kita harus

menentukan nilai 𝑑 dan 𝑟2.

𝑑 =𝑟1

2−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐=

(4−12 +102 +52)

2 10 −2(1)=

9= 7,111

𝑟22 =

𝑟12+𝑦2+(𝑥−𝑐)2

2𝑥−2𝑐

− 𝑟12 =

22+52 +(10−1)2

2(10)−2(1)

− (2)2 = 33,346 , maka

𝑟2 = 5,775

𝐶 ′ = 𝜌 𝐶 = (1,34 ; 0,19).

Jadi, hasil refleksi titik 𝐶(10,5) terhadap garis 𝑙 adalah titik

𝐶 ′ 1,34 ; 0,19 . ●

Contoh 3.1.7 (d):

Poincare. Jika ada titik D (1,10 ) , maka hasil refleksi titik D terhadap garis

𝑙 adalah :

Perhatikan, titik D mempunyai koordinat 𝑥 yang sama dengan pusat garis

𝑙. Oleh karena itu, persamaan garis yang melewati titik D dan pusat garis 𝑙

adalah 𝑥 = 1. Garis 𝑥 = 1 ini merupakan garis yang tegak lurus dengan

garis 𝑙. Sehingga, untuk mencari koordinat 𝐷𝑙 kita tinggal memotongkan

garis 𝑙 dengan garis 𝑥 = 1. Akan didapat koordinat 𝐷𝑙 (1,2).

Setelah itu, untuk mencari koordinat 𝐷′, kita menggunakan konsep jarak

dalam refleksi, yaitu, jarak titik 𝐷 dengan 𝐷𝑙 harus sama dengan jarak titik

𝐷𝑙 dengan titik 𝐷′. Perlu diingat pula bahwa titik 𝐷′ harus terletak pada

garis 𝑥 = 1. Misalkan koordinat 𝐷′(1, 𝑑).

Jarak titik D terhadap 𝐷𝑙:

𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 = 𝑙𝑛

10 = 𝑙𝑛

Jarak titik 𝐵𝑙 terhadap titik 𝐵′ :

𝑙𝑛 𝑑

Karena, 𝑑𝐻 𝐷, 𝐷𝑙 = 𝑑𝐻 𝐷𝑙 , 𝐷′ , maka 𝑙𝑛 1

5 = 𝑙𝑛

Sehingga, 𝑑

5 atau

Dari kemungkinan pertama, menunjukkan bahwa 𝐷′ (1,2

5) sedangkan dari

kemungkinann kedua menunjukkan bahwa 𝐷′ = 1,10 = 𝐷 . Kemungkinan

kedua tidak memenuhi definisi refleksi karena titik 𝐷𝑙 tidak memisahkan titik

𝐷 dan 𝐷′. Oleh karena itu, koordinat hasil refleksi titik 𝐷 1,10 terhadap

garis 𝑙 adalah 𝐷′ (1,2

5). ●

Setelah memahami mengenai definisi refleksi, sekarang kita akan

membahas mengenai sifat-sifat refleksi. Yang pertama akan diberikan

teorema bahwa refleksi adalah sebuah isometri. Artinya, refleksi

mempertahankan jarak.

Sebuah refleksi dalam geometri netral adalah isometri.

Bukti :

Anggap titik A, B ∈ S dan garis 𝑙 dalam S , dan untuk mudahnya kita

tuliskan 𝜌𝑙 sebagai 𝜌. Kita harus menunjukkan bahwa d(A,B) = d(𝜌𝐴, 𝜌𝐵).

Ada beberapa kondisi yang perlu dipertimbangkan :

i) A dan B berada pada sisi yang sama dari garis 𝑙

ii) A dan B berada pada sisi yang berlawanan dari garis 𝑙

iii) Salah satu titik berada pada garis 𝑙, dan titik lainnya berada diluar

garis 𝑙

iv) Kedua titik berada pada garis 𝑙.

Kita akan membuktikan untuk 4 kondisi di atas:

i) A dan B berada pada sisi yang sama dari garis 𝑙

Anggap A dan B berada pada sisi yang sama dari garis 𝑙. Agar lebih

mudah, perhatikan Gambar 3.8. Jika 𝐴𝐵 tegak lurus dengan garis 𝑙 maka

𝐴𝑙 = 𝐵𝑙 = Q untuk Q tertentu. Anggap f adalah sebuah garis untuk 𝐴𝐵

dengan titik asal Q dan A positif. Maka untuk sembarang P ∈ 𝐴𝐵 ,

𝑓 𝜌𝑃 = −𝑓(𝑃).

Karena itu, d (𝜌𝐴, 𝜌𝐵) = 𝑓 𝜌𝐴 − 𝑓(𝜌𝐵)

= −𝑓 𝐴 + 𝑓(𝐵)

= d (A, B)

Sekarang andaikan 𝐴𝐵 tidak tegak lurus dengan 𝑙 maka 𝐴𝑙 ≠ 𝐵𝑙 (sekarang

perhatikan Gambar 3.8).

Anggap 𝐴𝑙= P dan 𝐵𝑙= Q.

∆ 𝑃𝑄𝐵 ≃ ∆𝑃𝑄𝜌𝐵 (Aksioma SsSdSs) sehingga 𝑃𝐵 = 𝑃𝜌𝐵 dan ∠𝐵𝑃𝑄 ≃

∠𝜌𝐵𝑃𝑄.

Karena 𝐴𝑃 ∥ 𝐵𝑄 , maka B dan Q terletak pada sisi yang sama dari 𝐴𝑃 dan

B ∈ int(∠𝐴𝑃𝑄),

Karena 𝜌𝐴𝑃 ∥ 𝜌𝐵𝑄,maka 𝜌𝐵 dan Q terletak pada sisi yang sama dari 𝜌𝐴𝑃

dan 𝜌𝐵 ∈ int(∠𝜌𝐴𝑃𝑄). Berdasarkan Teorema 2.8.3 (Pengurangan Sudut),

∠𝐴𝑃𝐵 ≃ ∠𝜌𝐴𝑃𝜌𝐵. Maka ∆ 𝐴𝑃𝐵 ≃ ∆𝜌𝐴𝑃𝜌𝐵 (Aksioma SsSdSs) dan

𝐴𝐵 ≃ 𝜌𝐴𝜌𝐵 sehingga

d(A,B) = d(𝜌𝐴𝜌𝐵) .

Gambar 3.8

𝜌𝐵 𝜌𝐴 Q A B

Sekarang akan dibahas pembuktian untuk kondisi ke dua.

ii) A dan B berada pada sisi yang saling berlawanan terhadap 𝑙

(perhatikan Gambar 3.10)

Jika 𝐴𝐵 ⊥ 𝑙 maka 𝐴𝑙 = 𝐵𝑙 = 𝑄. Berdasarkan definisi refleksi,

𝐴𝑄 ≃ 𝜌𝐴𝑄 dan 𝐵𝑄 ≃ 𝜌𝐵𝑄 , sehingga 𝑑 𝐴, 𝑄 = 𝑑(𝜌𝐴, 𝑄) dan 𝑑 𝐵, 𝑄 =

𝑑(𝜌𝐵, 𝑄)

Perhatikan Gambar 3.10 di atas, 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝐴, 𝑄 + 𝑑(𝐵, 𝑄)

𝜌𝐵

𝜌𝐴

Gambar 3.9

𝜌𝐵

𝜌𝐴

Q 𝑙

Gambar 3.10

Karena 𝑑 𝐴, 𝑄 = 𝑑(𝜌𝐴, 𝑄) dan 𝑑 𝐵, 𝑄 = 𝑑(𝜌𝐵, 𝑄), maka persamaan di

atas dapat ditulis sebagai berikut :

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝑄 + 𝑑(𝜌𝐵, 𝑄)

= 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵

Sekarang andaikan 𝐴𝐵 tidak tegak lurus dengan 𝑙 maka 𝐴𝑙 ≠ 𝐵𝑙 . Anggap

𝐴𝑙= P dan 𝐵𝑙= Q.

Perhatikan Gambar di atas, ∆𝐴𝑃𝐶 ≃ ∆𝜌𝐴𝑃𝐶 (Aksioma SsSdSs), sehingga

𝐴𝐶 ≃ 𝜌𝐴𝐶 .

∆𝐵𝑄𝐶 ≃ ∆𝜌𝐵𝑄𝐶 (Aksioma SsSdSs), sehingga 𝐵𝐶 ≃ 𝜌𝐵𝐶

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝐴, 𝐶 + 𝑑(𝐵, 𝐶)

karena 𝐴𝐶 ≃ 𝜌𝐴𝐶 dan 𝐵𝐶 ≃ 𝜌𝐵𝐶 , maka

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝐶 + 𝑑(𝜌𝐵, 𝐶 sehingga 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵

𝜌𝐵

𝜌𝐴

P 𝑙

Gambar 3.11

Sekarang kita akan membahas pembuktian untuk kondisi yang ketiga.

iii) Jika salah satu titik berada pada garis 𝑙, dan titik lainnya berada di

luar garis 𝑙

Kita misalkan 𝐴 ∈ 𝑙, 𝐵 ∉ 𝑙

Jika 𝐴𝐵 ⊥ 𝑙 maka 𝐵𝑙 = 𝐴. Perhatikan Gambar 3.12.

Berdasarkan definisi refleksi, 𝐴 = 𝜌𝐴 dan

𝐵𝐴 ≃ 𝜌𝐵𝐴 .

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝐵, 𝐴) = 𝑑(𝜌𝐵, 𝐴 = 𝑑(𝜌𝐵, 𝜌𝐴)

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵

Sekarang andaikan 𝐴𝐵 tidak tegak lurus dengan 𝑙 maka 𝐵𝑙 ≠ 𝐴.

(Perhatikan Gambar 3.13)

Anggap 𝐵𝑙= Q.

𝜌𝐵

A 𝑙

Gambar 3.12

𝜌𝐵

A 𝑙

Gambar 3.13

∆𝐵𝐴𝑄 ≃ ∆𝜌𝐵𝐴𝑄 (Aksioma SsSdSs), akibatnya 𝐵𝐴 ≃ 𝜌𝐵𝐴 .

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝐵, 𝐴) = 𝑑(𝜌𝐵, 𝐴 = 𝑑(𝜌𝐵, 𝜌𝐴)

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵

Sekarang akan dibahas pembuktian untuk kondisi yang keempat.

iv) Jika kedua titik terletak pada garis 𝑙

𝐴, 𝐵 ∈ 𝑙

Jika 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑙 maka 𝜌𝐴 = 𝐴 dan 𝜌𝐵 = 𝐵.

Sehingga, 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵

Jadi, terbukti bahwa refleksi adalah sebuah isometri. □

Untuk lebih memahami mengenai Teorema 3.1.3 perhatikan contoh

berikut:

Contoh 3.1.8:

Misalkan sebuah refleksi 𝜌: ℍ → ℍ, dimana

𝜌 𝑥, 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑦 , dan dua buah titik A(1,5) dan B (3,7).

Untuk membuktikan bahwa refleksi 𝜌 merupakan isometri, kita harus

menunjukkan bahwa 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 .

𝜌 𝐴 = 2 − 1,5 = (1,5)

𝜌 𝐵 = 2 − 3,7 = (−1,7)

Untuk menghitung jarak titik A dan B, kita perlu mencari nilai c dan r dari

garis 𝐴𝐵 .

𝑐 =𝑦2

2−𝑦12+𝑥2

2−𝑥12

2(𝑥2−𝑥1)=

72−52+32−12

2(3−1)=

𝑟 = (𝑥1 − 𝑐)2 + 𝑦12 = (1 − 8)2 + 52 = 49 + 25 = 74

𝑑 𝐴, 𝐵 = ln 1−8+ 74

53−8+ 74

= 𝑙𝑛 −49+7 74

−25+5 74 = 0,47

Sekarang, untuk menghitung jarak titik A dan B, kita perlu mencari nilai c

dan r dari garis 𝜌𝐴𝜌𝐵 .

𝑐 =72−52 +(−1)2−12

2(−1−1)=

−4= −6

𝑟 = (1 − (−6))2 + 52 = 49 + 25 = 74

𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 = ln 1−(−6)+ 74

5−1−(−6)+ 74

= 𝑙𝑛 49+7 74

25+5 74 = 0,47

Karena 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 , maka terbukti bahwa refleksi 𝜌 𝑥, 𝑦 =

2 − 𝑥, 𝑦 merupakan suatu isometri. ●

Anggap 𝜑 ∶ S →S adalah sebuah isometri dalam geometri netral yang

membuat 2 titik berbeda (A dan B) menjadi titik tetap. Jika φ bukan

identitas maka φ adalah sebuah refleksi terhadap garis 𝑙 = 𝐴𝐵 .

Bukti :

Jika P∈ 𝐴𝐵 = 𝑙 maka 𝜑P = P = 𝜌𝑙P (Lemma 3.1.1)

Andaikan P ∉ 𝑙, ada dua kemungkinan, yaitu P dan 𝜑P berada pada sisi

yang saling berlawanan terhadap garis 𝑙, atau P dan 𝜑P berada pada sisi

yang sama terhadap garis 𝑙.

Jika P dan 𝜑P berada pada sisi yang sama dari 𝑙 dan ∠𝐴𝐵𝜑𝑃 ≃ ∠𝐴𝐵𝑃,

maka Teorema Konstruksi Sudut mengakibatkan 𝐵𝑃 ≃ 𝐵𝜑𝑃 .

Karena 𝐵𝑃 ≃ 𝐵𝜑𝑃 maka 𝜑P = P sehingga 𝜑 membuat 3 titik tidak

segaris menjadi titik tetap. Berdasarkan Lemma 3.1.2, 𝜑 adalah identitas.

Sekarang kita anggap P dan 𝜑P berada pada sisi yang saling berlawanan

terhadap garis 𝑙. Karena 𝜑 isometri, ∆ 𝐴𝐵𝑃 ≃ ∆𝐴𝐵𝜑𝑃 (Aksioma

SsSsSs). Perhatikan Gambar 3.14 berikut :

Karena 𝑃 dan 𝜑P berada pada sisi yang berlawanan dari garis 𝑙 maka

𝑃𝜑𝑃 memotong 𝑙 pada sebuah titik Q.

Kita harus menunjukkan bahwa 𝑃𝑄 ⊥ 𝑙 dan 𝑃𝑄 ≃ 𝜑𝑃𝑄 . Anggap R ≠ Q

adalah sebuah titik lain pada 𝑙. Maka 𝜑R = R dan ∆ 𝑃𝑄𝑅 ≃ ∆𝜑𝑃𝑄𝑅

menurut Aksioma SsSsSs . Perhatikan Gambar 3.15 berikut:

𝜑𝑃

Gambar 3.14 ∆ 𝐴𝐵𝑃 ≃ ∆𝐴𝐵𝜑𝑃

Karena itu, ∆ 𝑃𝑄𝑅 adalah segitiga siku-siku. Karena 𝜑P – Q – P dan

𝑃𝑄 ≃ 𝜑𝑃𝑄 kita dapat 𝜑P = 𝜌𝑙P.

Jadi, 𝜑 = 𝜌𝑙 . □

Teorema 3.1.4 berbicara mengenai isometri dalam geometri netral yang

mempertahankan 2 titik berbeda. Menurut Teorema 3.1.4, jika isometri

tersebut bukanlah suatu isometri identitas, maka isometri tersebut pastilah

sebuah refleksi terhadap garis 𝐴𝐵 , yaitu garis yang melalui kedua titik

tetap.

Dari Teorema 3.1.4 kita dapat mengambil kesimpulan bahwa sembarang

isometri biasa (bukan identitas dan refleksi), hanya memiliki sebuah titik

tetap.

Untuk lebih memahami Teorema 3.1.4, perhatikan contoh berikut :

Contoh 3.1.9 :

Misalkan sebuah fungsi isometri 𝜑: ℍ → ℍ , yang ditunjukkan oleh

𝜑 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 . Diketahui isometri tersebut mempertahankan dua

buah titik A (2,1) dan B(2,6).

𝜑𝑃

Gambar 3.15 ∆ 𝑃𝑄𝑅 ≃ ∆𝜑𝑃𝑄𝑅

Sekarang kita cek apakah 𝜑 mempertahankan titik 𝐶 ∉ 𝐴𝐵 . Jika 𝜑

mempertahankan titik C maka menurut Lemma 3.1.2, 𝜑 adalah isometri

identitas. Tetapi jika 𝜑 tidak mempertahankan titik C, maka 𝜑 adalah

refleksi terhadap garis 𝐴𝐵 .

Ambil sembarang titik C (3, 0)

𝜑 𝐶 = 4 − 3, 0

= 1, 0 ≠ 𝐶

Maka 𝜑 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 adalah refleksi terhadap garis 𝐴𝐵 . ●

Dalam geometri netral, ∆ ABC ≃ ∆DEF jika dan hanya jika ada sebuah

isometri φ dengan φA = D, φB = E, φC = F. Lebih jauh lagi, isometri

tersebut tunggal.

Bukti :

Jika ada sebuah isometri, maka dengan Aksioma SsSsSs, ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≃

∆ 𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶 = ∆𝐷𝐸𝐹. Karena itu kita akan mengasumsikan bahwa

∆ 𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 dan menentukan fungsi isometrinya.

Isometri 𝜑 akan ditulis sebagai komposisi dari 3 isomeri, 𝜑 = 𝜌𝜏𝜎,

dimana masing-masing isometri merupakan refleksi atau identitas.

Jika A = D, maka 𝜎 adalah identitas.

Jika A ≠ D, anggap 𝑙1 adalah garis pembagi dua tegak lurus dari 𝐴𝐷 dan

𝜎 merupakan refleksi terhadap garis 𝑙1. Dalam kasus tersebut,

∆ 𝜎𝐴𝜎𝐵𝜎𝐶 = ∆ 𝐷𝜎𝐵𝜎𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 karena kedua nya kongruen dengan

∆ 𝐴𝐵𝐶.

Kita akan mengulangi proses tersebut dengan ∆ 𝐷𝜎𝐵𝜎𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹.

Jika 𝜎𝐵 = 𝐸 maka 𝜏 adalah identitas.

Jika 𝜎𝐵 ≠ 𝐸, maka anggap 𝑙2 adalah pembagi dua tegak lurus dari 𝜎𝐵𝐸

dan anggap 𝜏 adalah refleksi terhadap 𝑙2. Dalam kasus tersebut, 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸.

Ingat bahwa 𝐷𝜎𝐵 = 𝜎𝐴𝜎𝐵 ≃ 𝐷𝐸 sehingga D ∈ 𝑙2. Karena itu, 𝜏𝐷 = 𝐷.

Ingat juga bahwa ∆ 𝐷𝐸𝜏𝜎𝐶 = ∆ 𝜏𝜎𝐴𝜏𝜎𝐵𝜏𝜎𝐶 ≃ ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 .

Kita ulangi proses tersebut, satu kali lagi. Jika 𝜏𝜎𝐶 = 𝐹 maka 𝜌 adalah

identitas.

Jika tidak, anggap 𝜌 adalah refleksi terhadap garis 𝑙3 = 𝐷𝐸 = 𝜏𝜎𝐴𝜏𝜎𝐵 .

Ingat bahwa 𝑙3 adalah pembagi 2 tegak lurus dari 𝐹𝜏𝜎𝐶 dalam kasus ini.

Karena itu,

Gambar 3. 16

𝜏𝜎C

𝜌 𝑙3

𝜌𝜏𝜎𝐴 = 𝜌𝜏𝐷 = 𝜌𝐷 = 𝐷

𝜌𝜏𝜎𝐵 = 𝜌𝐸 = 𝐸

𝜌𝜏𝜎𝐶 = 𝐹

Jadi, 𝜑 = 𝜌𝜏𝜎 memberikan isometri yang diinginkan. Semua itu untuk

menunjukkan bahwa 𝜑 adalah tunggal.

Sekarang anggap bahwa 𝜓 juga merupakan isometri sehingga 𝜓𝐴 = 𝐷,

𝜓𝐵 = 𝐸, 𝜓𝐶 = 𝐹. Lalu, 𝜓−1𝜑 membuat titik A, B, dan C merupakan titik

tetap sehingga menurut Lemma 3.1.2 𝜓−1𝜑 merupakan identitas dan

𝜓 = 𝜑. Karena itu, ada sebuah isometri tunggal yang memindahkan A, B,

C ke D, E, F.

Teorema 3.1.5 mengatakan bahwa dua buah segitiga ∆ 𝐴𝐵𝐶 dan ∆𝐷𝐸𝐹

dapat dikatakan kongruen jika dan hanya jika terdapat sebuah isometri

yang memasangkan ketiga titik sudut pada segitiga ∆ 𝐴𝐵𝐶 dengan ketiga

titik sudut pada ∆𝐷𝐸𝐹. Teorema 3.1.5 juga mengatakan bahwa isometri

yang membuat ∆ 𝐴𝐵𝐶 kongruen dengan ∆𝐷𝐸𝐹, hanya ada tepat satu

isometri.

Contoh 3.1.10 :

Misalkan sebuah segitiga ∆ 𝐴𝐵𝐶 dengan titik-titik sudut, 𝐴 1,1 ,

𝐵 3,6 , dan 𝐶(6,2).

Kita akan mencari sebuah segitiga lain yang kongruen dengan ∆ 𝐴𝐵𝐶

tersebut. Untuk mencari segitiga lain yang kongruen dengan ∆ 𝐴𝐵𝐶, kita

perlu menentukan sebuah isometri terlebih dahulu. Misalkan terdapat

sebuah isometri 𝜑: ℍ → ℍ, dimana 𝜑 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 .

𝜑 𝐴 = 4 − 1,1 = (3,1)

𝜑 𝐵 = 4 − 3, 6 = (1,6)

𝜑 𝐶 = 4 − 6, 2 = (−2,2)

Dari hasil perhitungan di atas, kita mendapatkan koordinat dari hasil

isometri ketiga titik sudut ∆ 𝐴𝐵𝐶. Selanjutnya, segitiga yang kongruen

dengan ∆ 𝐴𝐵𝐶 adalah ∆ 𝐷𝐸𝐹, dimana 𝐷 = 𝜑 𝐴 = 3,1 ,

𝐸 = 𝜑 𝐵 = 1,6 , dan 𝐹 = 𝜑 𝐶 = (−2,2) . ●

Selanjutnya, akan diberikan akibat mengenai konsep isometri dalam

kaitannya dengan refleksi.

Akibat 3.1.6 (Millman & Parker, 1991:310):

Dalam geometri netral, setiap isometri merupakan komposisi dari paling

banyak 3 refleksi.

Bukti :

Ambil sebuah isometri 𝜑 dan sembarang ∆𝐴𝐵𝐶.

Jika 𝜑A = D, 𝜑B = E, 𝜑C = F, maka ∆ 𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 (Aksioma SsSsSs).

Dengan menggunakan bukti Teorema 3.1.5, 𝜑 = 𝜌𝜏𝜎 dimana setiap

𝜌, 𝜏, 𝜎 masing-masing merupakan identitas atau sebuah refleksi. Karena

itu, sembarang isometri merupakan komposisi dari paling banyak 3

refleksi. □

Akibat 3.1.6 mengatakan bahwa setiap isometri merupakan komposisi dari

paling banyak 3 refleksi. Dari akibat ini, kita dapat mengambil kesimpulan

bahwa jika kita mengkomposisikan tiga buah refleksi, maka hasilnya pasti

sebuah isometri. Perhatikan contoh berikut :

Contoh 3.1.11 :

Misalkan terdapat tiga buah refleksi 𝜌: ℍ → ℍ, dimana

𝜌1 𝑥, 𝑦 = 2 − 𝑥, 𝑦 , 𝜌2 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 , dan

𝜌3 𝑥, 𝑦 = −𝑥, 𝑦

Kita akan mencari hasil komposisi dari ketiga refleksi tersebut. Setelah itu,

kita akan menyelidiki apakah hasil komposisi tersebut benar berupa

isometri atau tidak.

𝜌2𝜌3 𝑥, 𝑦 = 4 − −𝑥 , 𝑦 = 4 + 𝑥 ,𝑦)

𝜌1𝜌2𝜌3 𝑥, 𝑦 = 2 − (4 + 𝑥), 𝑦 = −2 − 𝑥 ,𝑦)

Hasil komposisi dari ketiga refleksi tersebut adalah

𝜌1𝜌2𝜌3 𝑥, 𝑦 = (−2 − 𝑥, 𝑦)

Sekarang kita akan menyelidiki apakah fungsi tersebut bersifat isometri.

Misalkan terdapat dua buah titik 𝐴(2,3) dan 𝐵(2,5).

𝜌1𝜌2𝜌3 𝐴 = −2 − 2 , 3) = (−4, 3)

𝜌1𝜌2𝜌3 𝐵 = −2 − 2 , 5) = (−4, 5)

𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑙𝑛 𝑦2

𝑦1 = 𝑙𝑛

𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 = 𝑙𝑛 5

3 = 𝑑 𝐴, 𝐵

Karena 𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝑑 𝜌𝐴, 𝜌𝐵 , maka terbukti bahwa hasil komposisi dari

tiga refleksi merupakan suatu isometri. ●

3.2 Aksioma Cermin

Anggap {S , ℒ, d, m merupakan geometri protraktor dan ambil sebuah

garis l. Cermin dalam l adalah sebuah isometri μ yang mempertahankan

garis dan besar sudut, mengakibatkan semua titik dalam l menjadi titik

tetap, dan memisahkan titik asli dan hasil isometrinya pada sisi yang saling

berlawanan terhadap garis l (yaitu, jika P∉ l, maka P dan μP terletak pada

sisi yang saling berlawanan dari garis l )

Sebuah geometri protraktor memenuhi aksioma cermin jika untuk setiap

garis l ada sebuah cermin dalam l. ∎

Definisi 3.2.1 berbicara mengenai aksioma cermin. Sebuah geometri

protraktor dikatakan memenuhi aksioma cermin jika untuk setiap garis 𝑙,

terdapat sebuah cermin dalam garis tersebut. Konsep cermin dalam garis 𝑙,

merupakan suatu isometri 𝜇, yang:

(i) mempertahankan garis

(ii) mempertahankan besar sudut

(iii) membuat semua titik pada garis 𝑙 menjadi titik tetap

(iv) memisahkan sisi dari titik asli dengan hasil isometrinya.

Jadi ada 4 syarat yang harus dipenuhi oleh suatu isometri agar bisa disebut

sebagai sebuah cermin dalam suatu garis 𝑙.

Dalam bagian 2.10 sudah dibuktikan bahwa isometri dalam geometri netral

adalah sebuah kolineasi dan mempertahankan besar sudut. Pada bagian ini

akan dibicarakan cermin dalam konteks geometri protraktor yang lebih

umum, sehingga perlu diasumsikan bahwa sebuah cermin adalah isometri

yang mempertahankan garis dan besar sudut. Perlu diingat, karena cermin

mempertahankan ruas garis dan besar sudut, maka untuk sembarang

cermin 𝜇, ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝜇𝐴𝜇𝐵𝜇𝐶.

Untuk lebih memahami mengenai aksioma cermin, perhatikan contoh

berikut :

Contoh 3.2.1 :

Misalkan garis 𝑙 ≡ 𝑥 = 2, merupakan sebuah garis dalam bidang Poincare.

Isometri 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 merupakan sebuah cermin dalam garis 𝑙.

Misal ada 2 buah titik 𝐴 0,1 , dan 𝐵 −2, 3 .

Akan ditunjukkan bahwa isometri tersebut memenuhi aksioma cermin .

(i) Akan di tunjukkan bahwa 𝜇 mempertahankan garis.

𝜇 merupakan sebuah isometri, padahal menurut Susanta (1990) isometri

itu sendiri bersifat kolineasi. Oleh karena itu, isometri 𝜇 terbukti

mempertahankan sembarang garis dalam bidang Poincare.

(ii) Sekarang akan ditunjukan bahwa 𝜇 mempertahankan sudut.

Diketahui 𝜇 adalah sebuah isometri, oleh karena itu, untuk sembarang

∆𝐴𝐵𝐶, berlaku ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝜇𝐴𝜇𝐵𝜇𝐶 (Aksioma SsSsSs). Karena, ∆𝐴𝐵𝐶 ≃

∆𝜇𝐴𝜇𝐵𝜇𝐶 , maka sudut-sudutnya juga kongruen. Akibatnya, besar sudut-

sudut yang bersesuaian sama. Oleh karena itu, terbukti bahwa 𝜇

mempertahankan besar sudut.

(iii) Sekarang akan ditunjukkan bahwa isometri 𝜇 mempertahankan

seluruh titik dalam garis 𝑙. Karena 𝑙 ≡ 𝑥 = 2, maka titik-titik pada

sembarang garis 𝑙 mempunyai koordinat (2, 𝑦). Misalkan titik 𝐶 adalah

sembarang titik pada garis 𝑙, maka 𝐶 (2, 𝑦) dan hasil isometri dari titik 𝐶

adalah :

𝜇 𝐶 = 4 − 2, 𝑦 = 2, 𝑦 = 𝐶

Terlihat bahwa 𝜇 𝐶 = 𝐶 untuk sembarang titik C dalam garis 𝑙. Oleh

karena itu terbukti bahwa 𝜇 mempertahankan semua titik dalam garis

cermin 𝑙.

Sekarang akan ditunjukkan bahwa 𝜇 memisahkan sisi dari titik asal dengan

titik hasil isometrinya.

Menurut Definisi 3.1.2, 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 merupakan sebuah refleksi

terhadap garis 𝑥 = 2. Padahal, menurut Definisi 2.6.2, garis 𝑥 = 2 akan

membagi bidang menjadi 2 bagian. Oleh karena itu, isometri 𝜇 akan

memisahkan titik asal dengan titik hasil isometrinya terhadap garis 𝑙.

Karena isometri 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 memenuhi keempat syarat dalam

aksioma cermin, maka terbukti bahwa 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 merupakan

sebuah cermin dalam garis 𝑙 ≡ 𝑥 = 2 . ●

Setelah memahami definisi aksioma cermin, sekarang akan diberikan

teorema mengenai aksioma cermin dalam hubungannya dengan geometri

netral.

Sebuah geometri protraktor adalah geometri netral jika dan hanya jika

memenuhi aksioma cermin.

Bukti :

Anggap bahwa 𝒢 = {S , ℒ, 𝑑, 𝑚 adalah geometri protraktor. Jika 𝒢adalah

sebuah geometri netral dan 𝑙 adalah sebuah garis maka refleksi 𝜌𝑙 adalah

sebuah cermin dalam 𝑙 sehingga aksioma cermin terpenuhi.

Sekarang anggap bahwa 𝒢 memenuhi aksioma cermin. Kita harus

menunjukkan bahwa Aksioma SsSdSs terpenuhi. Anggap bahwa 𝐴𝐵 ≃

𝐷𝐸 , ∠𝐴 ≃ ∠𝐷, 𝐴𝐶 ≃ 𝐷𝐹 .

Kita harus membuktikan bahwa ∠𝐵 ≃ ∠𝐸, ∠𝐶 ≃ ∠𝐹, dan 𝐵𝐶 ≃ 𝐸𝐹 .

Kita akan menyelesaikan ini dengan sedikit variasi dari bukti Teorema

3.1.5 . Kita akan menemukan paling banyak 3 cermin 𝜌, 𝜏, 𝜎 sehingga

𝜌. 𝜏. 𝜎 (∆𝐴𝐵𝐶) = ∆𝐷𝐸𝐹 . Tiga cermin ini akan memindahkan

∆𝐴𝐵𝐶 pada ∆𝐷𝐸𝐹.

Agar lebih mudah memahami penjelasan berikut, perhatikan Gambar 3.17

berikut .

Jika A = D, maka 𝜎 adalah kolineasi identitas.

Jika A ≠ D, anggap 𝜎 adalah sebuah cermin dalam garis 𝑙1 , pembagi dua

tegak lurus dari 𝐴𝐷 . Karena 𝜎 adalah sebuah cermin pada bisektor

segmen 𝐴𝐷 maka 𝜎A = D.

Jika 𝜎𝐵 = 𝐸 maka 𝜏 adalah identitas. Jika 𝜎𝐵 − 𝐷 − 𝐸, anggap 𝜏 adalah

cermin dalam garis 𝑙2, pembagi sudut dari ∠𝐸𝐷𝜎𝐵. Dalam beberapa kasus

D∈ 𝑙2 sehingga 𝜏𝐷 = 𝐷 (catatan : kita tidak dapat menganggap 𝑙2 sebagai

garis pembagi 2 tegak lurus dari 𝜎𝐵𝐸 karena dalam geometri protraktor,

belum tentu D ∈ 𝑙2 pada kasus tersebut )

Kita anggap 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸. Jika 𝜎𝐵 − 𝐷 − 𝐸 maka karena 𝐷𝜎𝐵 = 𝜎𝐴𝜎𝐵 ≃

𝐴𝐵 ≃ 𝐷𝐸 , 𝑙2 adalah pembagi dua tegak lurus dari 𝜎𝐵𝐸 dan 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸. Jika

Gambar 3. 17 Ilustrasi Teorema 3.2.1

𝜎𝐶

𝜏𝜎𝐶 E 𝑙3

𝜎𝐵, 𝐷, 𝐸 tidak terletak dalam satu garis maka 𝑙2 membagi dua ∠𝐸𝐷𝜎𝐵.

𝜎𝐵 dan 𝜏𝜎𝐵 terletak pada sisi yang saling berlawanan dari garis 𝑙2

sehingga 𝑙2 ∩ 𝜎𝐵𝜏𝜎𝐵 = 𝑄 untuk Q tertentu. Q ∈ int(∠𝐸𝐷𝜎𝐵).

Sekarang ∠𝑄𝐷𝜎𝐵 ≃ ∠𝑄𝐷𝐸 karena 𝑙2 adalah pembagi dua sudut.

∠𝑄𝐷𝜎𝐵 ≃ ∠𝑄𝐷𝜏𝜎𝐵 karena 𝜏 adalah sebuah cermin. 𝜏𝜎𝐵dan E terletak

pada sisi yang saling berlawanan dengan sisi 𝜎𝐵. Menurut Teorema

Konstruksi Sudut, ∠𝑄𝐷𝜏𝜎𝐵 = ∠𝑄𝐷𝐸 sehingga 𝐷𝜏𝜎𝐵 = 𝐷𝐸 . Karena

𝐷𝜏𝜎𝐵 ≃ 𝐷𝜎𝐵 ≃ 𝐴𝐵 ≃ 𝐷𝐸 , 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸. Jadi, 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸 dalam semua

kasus.

Akhirnya, jika 𝜏𝜎𝐶 berada pada sisi yang sama dari garis 𝐷𝐸 sebagai F,

anggap 𝜌 adalah identitas. Jika tidak anggap 𝜌 adalah sebuah cermin dalam

𝐷𝐸 . Dengan menggunakan Teorema konstruksi sudut, kita dapat

menunjukkan 𝜌𝜏𝜎𝐶 = 𝐹 seperti kita menunjukkan 𝜏𝜎𝐵 = 𝐸.

𝜑 = 𝜌𝜏𝜎 adalah sebuah isometri yang mempertahankan besar sudut

karena 𝜌, 𝜏, 𝜎 adalah isometri yang ketiga nya mempertahankan besar

sudut.

Karena itu, ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝜑𝐴𝜑𝐵𝜑𝐶. Tetapi,

𝜑𝐴 = 𝜌𝜏𝜎𝐴 = 𝜌𝜏𝐷 = 𝜌𝐷 = 𝐷

𝜑𝐵 = 𝜌𝜏𝜎𝐵 = 𝜌𝐸 = 𝐸

𝜑𝐶 = 𝜌𝜏𝜎𝐶 = 𝐹

Karena itu, ∆𝐴𝐵𝐶 ≃ ∆𝐷𝐸𝐹 dan Aksioma SsSdSs terpenuhi. □

Teorema 3.2.1 mengatakan bahwa sebuah geometri protraktor adalah

geometri netral jika dan hanya jika memenuhi aksioma cermin. Dari

Teorema 3.2.1 kita dapat menarik kesimpulan yaitu jika suatu geometri

protraktor memenuhi aksioma cermin, maka geometri protraktor tersebut

merupakan sebuah geometri netral. Begitu juga sebaliknya, jika geometri

protraktor merupakan geometri netral, maka pasti memenuhi aksioma

cermin.

Contoh 3.2.2 :

Bidang Poincare yang memuat isometri 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 merupakan

geometri netral. Hal ini dikarenakan bidang Poincare merupakan geometri

protraktor dan isometri 𝜇 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥, 𝑦 memenuhi aksioma cermin

Bidang Poincare juga memenuhi aksioma cermin, karena bidang Poincare

merupakan sebuah geometri Protraktor sekaligus geometri Netral. ●

BAB IV

PENUTUP

4.1 KESIMPULAN

Berdasarkan hasil pembahasan, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1) a. Refleksi atau pencerminan terhadap garis 𝑙 merupakan suatu fungsi

yang memindahkan suatu titik 𝑃 yang bukan anggota 𝑙, menjadi 𝑃′,

dimana garis 𝑙 ⊥ 𝑃𝑃′ , dan garis 𝑙 membagi dua segmen 𝑃𝑃′ sama

besar. Sedangkan untuk titik P yang merupakan anggota 𝑙, refleksi

terhadap garis 𝑙 akan membuat titik P menjadi titik tetap. Artinya,

untuk kasus P yang anggota 𝑙, maka 𝑃 = 𝑃′.

Dalam bidang Poincare untuk sembarang garis 𝑙 ≡ 𝑥 = 𝑎 yang

merupakan garis tipe I, fungsi refleksi terhadap garis 𝑙 akan diberikan

oleh : 𝜌 𝑥, 𝑦 = 2𝑎 − 𝑥, 𝑦

Sedangkan untuk sembarang garis 𝑙 ≡ (𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 𝑟12 yang

merupakan garis tipe II, fungsi refleksi terhadap garis 𝑙 akan diberikan

oleh :

𝜌 𝑥,𝑦 = 2𝑟2𝑦(𝑟2+𝑐−𝑑)4

𝑟14(𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

+ 𝑑 − 𝑟2 ,2𝑦𝑟2𝑟1

2(𝑟2+𝑐−𝑑)2(𝑟2+𝑥−𝑑)

𝑟14 (𝑟2+𝑥−𝑑)2+𝑦2(𝑟2+𝑐−𝑑)4

dimana 𝑑 =𝑟1

2−𝑐2+𝑥2+𝑦2

2𝑥−2𝑐 dan 𝑟2

2 = 𝑟1

2+𝑦2+(𝑥−𝑐)2

2𝑥−2𝑐

− 𝑟12

b. Aksioma cermin berbicara mengenai sebuah cermin dalam setiap

garis 𝑙. Konsep sebuah cermin dalam garis 𝑙 adalah suatu isometri 𝜇,

yang mempertahankan garis dan besar sudut, membuat semua titik

dalam garis 𝑙 menjadi titik tetap, serta memisahkan sisi dari titik asli

dengan hasil isometrinya.

2) Jika 𝜌𝑙 : S →S adalah refleksi dalam geometri netral, maka

memenuhi sifat :

a) merupakan sebuah isometri.

b) mempunyai minimal 2 titik tetap, yaitu 2 titik yang membentuk

garis 𝑙.

c) hasil komposisi dari beberapa refleksi merupakan isometri.

Jika dalam geometri protraktor, 𝜇: S →S adalah sebuah cermin

dalam garis 𝑙, maka memenuhi sifat :

a) merupakan sebuah isometri.

b) merupakan sebuah kolineasi.

c) mempertahankan sudut.

d) mempunyai minimal 2 titik tetap, yaitu 2 titik yang membentuk

garis 𝑙.

e) merupakan geometri netral.

4.2 SARAN

Untuk pembahasan selanjutnya, tulisan ini dapat dikembangkan

mengenai jenis transformasi lain (translasi atau rotasi) dalam bidang

Poincare, serta defek segitiga dan fungsi krtitis dalam geometri hiperbolik.

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, Robert & Sherbert, Donald. (1927). Introduction to Real Analysis. Urbana:

John Willey & Sons, Inc.

Eisenhart, Luther Pfhaler. (1960). Coordinate Geometry. New York : Dover

Publication, Inc.

Greenberg, Marvin Jay. (1980). Euclidean and Non Euclidean Geometries:

Development and History. San Fransisco: W.H.Freeman and co.

Moeharti Hadiwidjojo. (1973). Ilmu Ukur Analitik Bidang Bagian 1.Yogyakarta:

Yayasan Pembina FKIE-IKIP.

Millman,R.S. & Parker, G.D. (1991).Geometry : A Metric Approach with Models.

New York: Springer.

Prenowitz, W. & Jordan, M. (1965). Basic Concept of Geometry. Massachusetts :

Blaisdell Publishing Company.

Smith, Rolland.R. & Ulrich, James.F. (1956). Plane Geometry. Great Britain:

Harcourt, Brace & World, Inc.

Stillwell, John. (2005). The Four Pillars of Geometry. USA : Springer.

Susanta. (1990). Geometri Transformasi. Yogyakarta : Universitas Gajah Mada.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIsebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan...

Documents

Transcript of PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIsebuah isometri yang bersifat kolineasi dan mempertahankan...

Soal Dan Pembahasan Isometri

1 Panduan Aksioma Kab 20151

Tutorial Langkah Penggambaran Isometri

Soal Dan Pembahasan Isometri 1

Bisnis Metrik Penulisan

184788573 Soal Dan Pembahasan Isometri

Aksioma insidensial dalam geometri euclide

10 Aksioma Internet Sehat dan Aman

Aksioma insidensi dalam geometri euclid final

Manajemen Pemasaran-metrik pemasaran

Kep Dirjen Ttg AKSIOMA 2013

Juknis AKSIOMA 2015

Pelaksanaan aksioma tingkat propinsi tahun 2015

GAMBAR TEKNIK - · PDF fileGambar Teknik 1 Proyeksi Isometri Proyeksi Isometri 1 Pendahuluan Proyeksi isometri(k) dapat digolongkan sebagai gambar piktorial, dimana ketiga bidang obyek

Transformasi Dan Isometri

Rangkuman materi isometri lanjutan

BAB 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN 4.1 Data 25760-Evaluasi... · mengukur metrik-metrik pada SCOR yang bersesuaian dengn tujuan bisnis tersebut. Metrik-metrik yang diberikan oleh SCOR

PEMETAAN ISOMETRI SKRIPSI

DIMENSI METRIK LOKAL, DIMENSI METRIK KETETANGGAAN, …

Petunjuk Teknis AKSIOMA 2017