Rangkuman materi isometri lanjutan

0

RANGKUMAN MATERI, SOAL DAN PEMBAHASAN

BAB XIII

LANJUTAN ISOMETRI

disusun guna melengkapi tugas mata kuliah Geometri Transformasi

Dosen pengampu Bapak Ishaq Nuriadin, M.Pd

Oleh

Niamatus Saadah 1201125122

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF DR.HAMKA

2015

1

BAB XIII

ISOMETRI LANJUTAN

Dalam isometri dasar, terdapat empat jenis isometri yaitu :

1. Reflexi pada garis,

2. Translasi,

3. Rotasi,

4. Reflexi geser.

Apabila reflexi geser dikalikan dengan salah satu dari ketiga isometri yang semula atau

reflexi geser dikalikan dengan reflexi geser yang lain, maka apakah kita akan memperoleh suatu

isometri yang baru ?

Contoh kasus:

1. Hasil kali reflexi geser dengan translasi.

Andaikan R sebuah reflexi geser dengan sumbu t sehingga R= GABMt dengan AB // t.

Andaikan GCD sebuah translasi.

Maka GCD R = GCD (GABMt)

= (GCD GAB ) Mt

Karena hasil kali dari dua translasi adalah translasi, maka ada dua garis berarah EF

sehingga GCD GAB = GEF.

Dengan demikian maka GCD R = GEF Mt.

Apabila EF t, maka GEF Mt adalah suatu reflexi pada sebuah garis yang sejajar

dengan t.

Apabila EF tidak tegak lurus pada t, maka GEF Mt adalah suatu reflexi geser.

Jadi dapat disimpulkan bahwa hasil kali reflexi geser dengan sebuah translasi adalah

suatu reflexi atau reflexi geser.

2. Hasil kali reflexi geser dengan reflexi.

Misalkan Ms adalah reflexi pada garis s.

Misalkan R sebuah reflexi geser.

Maka Ms R = Ms (GAB Mt)

= Ms (Mt GAB)

2

= (Ms Mt) GAB

Apabila s // t,

maka Ms Mt sebuah translasi.

Jadi (Ms Mt) GAB juga merupakan translasi.

Sehingga Ms R juga merupakan translasi.

Apabila s tidak sejajar t,

Maka Ms Mt sebuah rotasi.

Dari teorema reflexi geser, diperoleh Ms R = R Ms juga merupakan rotasi.

Jadi dapat disimpulkan bahwa hasil kali reflexi geser dengan reflexi adalah sebuah

translasi atau sebuah rotasi.

Di atas telah dibicarakan berbagai jenis isometri. Lalu timbul pertanyaan, kalau diketahui

dua titik A dan A’, maka ada banyak sekali isometri yang memetakan A pada A’, sebab setiap

titik pada sumbu dapat digunakan sebagai pusat – pusat rotasi yang membawa A ke A’. Ada

pula translasi GAA’, kecuali itu kalau T titik tengah AA’ maka ST adalah setengah putaran yang

memetakan A pada A’.

Apabila ada titik – titik A, A’ dan B, B’, dan jika AB = A’B’ maka ada paling sedikit dua

isometri yang memetakan A pada A’ dan B pada B’.

Bukti :

Dipunyai tiga titik yang tak kolinear (A, B, C).

Andaikan ada dua isometri T1 dan T2 sehingga,

T1(A) = A’ = T2(A)

T1(B) = B’ = T2(B)

Teorema 13.1.(Teorema Ketunggalan Isometri)

Diketahui tiga titik yang tak kolinear yaitu A, B dan C.

Jika pada tiga titik lain A’,B’,C’ maka ada paling banyak satu isometri

yang memetakan A pada A’, B pada B’, dan C pada C’.

3

T1(C) = C’ = T2(C)

Karena T1 dan T2 isometri – isometri, maka

AB = A’B’

AC = A’C’

BC = B’C’

Karena A, B, C tak segaris, maka A’, B’, C’ juga tak segaris.

Andaikan T1(P) T2(P) dan T1(P) = P’, T2(P) = P’’,

Maka PA = P’A’ = P’’A’.

Jadi A’ terletak pada sumbu ruas garis .

Dengan cara yang serupa, didapat B’, C’ juga terletak pada sumbu .

Jadi A’, B’, C’ segaris.

Ini tentunya berlawanan dengan sifat bahwa A’, B’, C’ tak segaris.

Jadi haruslah T1(P) = T2(P), .

Ini berarti T1 = T2.

Jadi ada paling banyak satu isometri yang memetakan A pada A’, B pada B’, dan C pada C’

Bahwa tidak selalu ada isometri, dapat kita lihat apabila tidak kongruen dengan

.

Bukti:

Dipunyai sebuah sistem koordinat, dengan titik A = (1,0) , B = (h,k) , P = (x,y) dan s garis

melalui titik asal sistem koordinat.

Perhatikan gambar berikut

Teorema 13.2 (Perluasan Teorema Ketunggalan Isometri).

Jka s sebuah garis melalui titik asal sebuah sistem koordinat orthogonal dan

jika Ms memetakan A = (1,0) pada B = (h,k) dan P = (x,y) maka Ms(P) =

(hx + ky, kx - hy).

4

Andaikan T memetakan P = (x,y) pada titik (hx + ky, kx – hy), T(P) = (hx + ky, kx – hy).

Akan dibuktikan bahwa T = Ms.

1. Akan dibuktikan bahwa T sebuah isometri.

Andaikan P1= (x1,y1), P2 = (x2,y2) dua titik sebarang,

Maka P’1=T(P1) = (hx1 + ky1, kx1 – hy1), dan P’2=T(P2) = (hx2 + ky2, kx2 – hy2).

Sehingga,

(P’1P’2)2 = [(hx1 + ky1) – (hx2 + ky2)]

2 + [(kx1 – hy1) – (kx2 – hy2)]2

= [h(x1- x2) + k(y1– y2)]2 + [k(x1 – x2) – h(y1 – y2)]

2

= (h2 + k2)(x1-x2)2 + (k2+h2)(y1-y2)

2

Oleh karena itu B = Ms(A) dan Ms(O) = O.

Maka OB = OA.

Karena OA = 1 dan OB = maka h2 + k2 = 1.

Sehingga

Jadi T sebuah isometri.

2. Akan dibuktikan T = Ms.

Dari uraian di atas, diperoleh :

T(O) = (0,0)

T(A) = (h,k)

T(B) = (h.h + k.k , kh – hk) = (h2 + k2 , 0) = (1,0).

s B(h,k)

O A(1,0)

Gambar 13.1

5

Contoh :

Jika O titik asal sebuah sistem koordinat, dan P = (x,y) sebuah titik, tentukan peta P terhadap

rotasi .

Jawab :

Andaikan s sebuah garis melalui O sehingga sudut dari sumbu –x ke garis s adalah 300.

Kita tahu bahwa Ms(1,0) = .

Jadi Ms(P) = .

Andaikan t adalah sumbu x, maka R0,60 = MsMt.

Jadi R0,60(P) = MsMt(P) = Ms(x-y)

= .

300

s Ms(A)

O A(1,0)

Gambar 13.2

Teorema 13.3.

Himpunan transformasi-transformasi yang terdiri atas translasi,

reflexi, rotasi dan reflexi geser adalah tertutup terhadap operasi komposisi

(perkalian).

6

Bukti :

Dipunyai dua ruas garis dan ruas garis sehingga .

Kasus 1 : .

Perhatikan gambar berikut:

Andaikan dan s sumbu ruas

Maka

Karena A = C maka

Sehingga s melalui A

Jadi dan

Sehingga adalah isometri lawan

Andaikan adalah garis t

Maka

Dan

Jadi adalah isometri langsung.

Teorema 13.4.

Apabila ada dua ruas garis dan ruas garis sehingga

. Maka ada dua isometri yang satu isometri langsung dan yang lain

isometri lawan yang memetakan A pada C dan B pada D.

A=C

B

D

s

t

Gambar 13.3

7

Kasus 2 : dan s sumbu


Diperoleh

Andaikan

maka (gambar 13.4) dan (gambar 13.5)

Apabila maka

Jadi satu isometri

Misalkan = t

Maka dan

Maka adalah suatu isometri langsung

Misalkan dan u sumbu

Maka C u karena

t

A

B

C

B’=D

Gambar 13.4

Gambar 13.5

B’

t

A

B

C

u

D

8

Jadi dan

Maka dan

Jadi adalah isometri langsung

Apabila maka MtMuMs(A) = MtMu(C) = Mt(C) = C

Sedangkan MtMuMs(B) = MtMu(B’) = Mt(D) = D

Jadi MtMuMs isometri lawan

Kasus 3 : A= C, B = D

Maka jika

Diperoleh Ms(A) = C dan Ms(B) = D yaitu isometri lawan

Sedangkan I = MsMt adalah isometri langsung

Bukti:

Andaikan T sebuah isometri dan ada tiga titik (A, B, C) yang tak segaris.

Andaikan bahwa T(A) = A’ , T(B) = B’ , T(C) = C’.

Karena , maka menurut teorema 13.4, paling sedikit ada dua isometri yang

memetekan A pada A’ dan B pada B’ , yaitu suatu isometri langsung L+ dan suatu isometri lawan

L-.

Dengan L+ adalah hasil kali dua reflexi garis MtMs dan L- adalah refleksi Ms atau hasil kali tiga

refleksi garis MtMuMs.

Pilih diantara L- dan L+ salah satu yang dapat dinyatakan dengan hasil kali refleksi yang

banyaknya paling sedikit.

Jika L- = Ms, kita misalkan N = L- dan kita ambil N = L+ jika L- = MtMuMs.

Teorema 13.5 :

Setiap isometri adalah hasil kali dari paling banyak tiga refleksi garis.

9

Perhatikan gambar berkut:

Perhatikan C1 = N(C).

Kasus 1. Jika C’ = C1.

Maka N memetakan A pada A’, B pada B’ dan C pada C’.

Jadi menurut teorema ketunggalan isometri, maka T = N.

Kasus 2. Jika C’ C1.

Andaikan = v.

Oleh karena T dan N adalah isometri, maka AC = A’C’ = A’C, dan BC = B’C’=B’C.

Ini berarti bahwa A’ dan B’ sama jauhnya dari ujung – ujung rua garis .

Ini berarti bahwa v adalah sumbu , sehingga Mv(C1)=C’.

Jadi diperoleh:

MvN(A) = MvN(A’) = A’

MvN(B) = MvN(B’) = B’

MvN(C) = MvN(C’) = C’

Dengan menggunakan teorema ketunggalan isometri, maka T = MvN.

Dari kasus 1 dan 2, dapat disimpulkan bahwa T = N atau T = MvN.

Oleh karena N adalah sebuah refleksi garis atau hasil kali dua refleksi garis, maka T adalah hasil

kali dari paling banyak tiga refleksi garis.

A

C

B C’

A’=T(A)

B’=T(B)

(Gambar 13.6)

10

Akibat: Setiap isometri langsung adalah suatu translasi atau suatu rotasi, sedangkan suatu

isometri lawan adalah suatu refleksi atau refleksi geser.

Misalnya MsMtMvMwMr adalah suatu refleksi garis atau suatu refleksi geser sedangkan

GABMuRA,GCDMt adalah sebuah translasi atau suatu rotasi.

Bukti:

Menurut teorema ketunggalan isometri, maka hanya terdapat satu isometri.

Kita tahu bahwa ada sebuah isometri T yang bersifat T(A) = A’ dan T(B) = B’.

Ini disebabkan AB = A’B’.

Andaikan C1 = T(C).

Jika C1=C’, maka bukti selesai.

Jika C1≠ C’, andaikan u = .

Karena A’C1 = A’C’ dan B’C1 = B’C’, maka u adalah sumbu C’C1.

Jadi Mu(C1) = C’.

Dengan demikian diperoleh

MuT(A) = MuT(A’) = A’

MuT(B) = MuT(B’) = B’

MuT(C) = MuT(C’) = C’

Dengan demikian telah terbukti adanya suatu isometri yang memetakan A pada A’ ; B pada B’ ;

dan C pada C’ , yaitu T atau MuT yang memetakan pada .

Teorema 13.6 :

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶′ maka ada tepat satu isometri yang memetakan

A pada A’ ; B pada B’ ; C pada C’.

11

O

SOAL - SOAL

Soal I.

1. Diketahui XYZABC , jika isometri T memetakan ABC pada XYZ , lukislah

).(' PTP

Penyelesaian :

Perhatikan gambar di samping,

Buat XYZABC dimana T memetakan

ABC pada XYZ dengan T merupakan

suatu refleksi. Sehingga untuk setiap titik

di V berlaku T(P) = MS(P) = P’.

Perhatikan gambar di samping,

Buat XYZABC dimana T memetakan

ABC pada XYZ dengan T merupakan

suatu rotasi. Sehingga untuk setiap titik di

V berlaku T(P) = R0, = P’

2. Diketahui ABC dengan A = (-2,1) B = (-2,-1) dan C = (-3,1); DEF dengan D = (1,0), E

= (3,0) dan F = (3,1). T sebuah isometri yang memetakan ABC pada DEF . Jika P = (x,y)

tentukan koordinat-koordinat T(P).

Penyelesaian :

Diketahui : ABC dengan A = (-2,1) B = (-2,-1) dan C = (-3,1)

s

12

DEF dengan D = (1,0), E = (3,0) dan F = (3,1)

Pilih T1 = R0,90

T2 = GAX dengan titik X = (0,-1)

Perhatikan gambar di bawah ini :

Karena T1 = R0,90

Diperoleh T1(A) = T1(-2,1) = A’(1,2)

T1(B) = T1(-2,-1) = B’(-1,2)

T1(C) = T1(-3,1) = C’(1,3)

Karena T2 = GAX

Diperoleh T2(A’) = T2(1,2) = E(3,0)

T2(B’) = T2(-1,2) = D(1,0)

T2(C’) = T2(1,3) = F(3,1)

Jadi T = T2T1= GAXR0,90

Ambil sembarang P(x,y)

maka diperoleh T(x,y) = GAXR0,90(x,y) = GAX(y,-x) = (y+2,-x+2)

Jadi koordinat-koordinat titik P(x,y) = P’ = GAX(y,-x) dan P(x,y) = P’’ = (y+2,-x+2)

13

3. Diketahui ABC dengan A = (0,0), B = (2,0) dan C = (2,1) dan XYZ dengan

X = (-3,0), Y = (-3,-2) dan Z = (-2,-2). T sebuah isometri yang memetakan ABC pada

XYZ . Jika P = (x,y) tentukan koordinat-koordinat T (P).

Penyelesaian :

Diketahui : ABC dengan A = (0,0) B = (2,0) dan C = (2,1)

XYZ dengan D = (-3,0), E = (-3,2) dan F = (-2,2)

Pilih T1 = R0,-90

T2 = Mt dengan garis t : x= −3

2

Perhatikan gambar di bawah ini :

Karena T1 = R0,-90

Diperoleh T1(A) = T1(0,0) = A’(0,0)

T1(B) = T1(2,0) = B’(0,-2)

T1(C) = T1(2,1) = A’(-1,-2)

Karena T2 = Mt

Diperoleh T2(A’) = T2(0,0) = X(-3,0)

T2(B’) = T2(0,-2) = Y(-3,-2)

T2(C’) = T2(-1,-2) = Z(-2,-2)

14

Jadi T = T2T1= MtR0,-90

Ambil sembarang P(x,y)

maka diperoleh T(x,y) = MtR0,-90 (x,y) = Mt (-y,-x) = (2k+y,-x)

Jadi koordinat-koordinat titik P(x,y) = P’ = Mt (-y,-x) dan P(x,y) = P’’ = (2k+y,-x).

4. a) Suatu padanan T ditentukan oleh persamaan T[(x,y)] = (2x+y, -x+2y). Apakah T

sebuah refleksi?

b) Putaran ,0R memetakan titik P = (x,y) pada titik (hx – ky),kx + hy). Tentukanlah

.)]([ 1

,0

PR

Penyelesaian :

1. Diketahui : Suatu padanan T dengan T[(x,y)] = (2x+y,-x+2y).


Pilih titik A = (1,0) ; B = (3,0).

Jelas AB = 2 satuan

Diperoleh T(A) = T[(1,0)] = (2.1+ 0,-1+2.0) = (2,-1)

T(B) = T[(3,0)] = (2.3+ 0,-3+2.0) = (6,-3)

15

Jelas T(A) = A’ = (2,-1)

T(B) = B’ = (6,-3)

Sehingga 𝐴′𝐵′ = √(𝑥1−𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)2 = √(2 − 6)2 − (−1 + 3)2 = √12

Jadi AB ≠ A’B’

Karena refleksi merupakan suatu isometri dan salah satu sifat dari isometri adalah

mengawetkan jarak. Maka refleksi juga harus bersifat mengawetkan jarak.

Karena AB ≠ A’B’, maka padanan T bukan merupakan refleksi.

1. Penyelesaian :

Diketahui :

,0R memetakan titik P = (x,y) pada titik (hx – ky),kx + hy).

Ini berarti x’ = x cos - y sin = xh – yk.

Y’ = x sin + y cos = xk + yh.

Sehingga cos = h dan sin = k

Sedangkan untuk - , maka cos (-) = h dan sin (-) = -k .

Jelas bahwa [Ro,(P)]’. [Ro,(P)]=1

[Ro,(P)] = [Ro,(P)]-1

Jadi [Ro,(P)] = (xh+yk,-xk+yh)

2. Andaikan s sebuah garis melalui O = (0,0) dan besarnya sudut dari sumbu-x ke garis s.

Andaikan P = (x,y). Tentukan )(PM s apabila

a) 05,22 ; b) 0135 ; c)

015

Penyelesaian :

1. x' = x cos 22,50- y sin 22,50

= 0,923 x – 0,38 y

y' = x sin 22,50 + y cos 22,50

= 0,38 x + 0,923 y

16

2. x' = x cos 1350- y sin 1350

= 0,202 x – 0,707 y

y' = x sin 1350 + y cos 1350

=0,707 x + 0,202 y

3. x' = x cos (-150) - y sin (-150)

= 0,966 x – 0,259 y

y' = x sin (-150) + y cos (-150)

=0,259 x + 0,966 y

Soal II.

1. Jika AB = CD, maka ada isometri langsung L yang memetakan A pada C dan B pada D.

Lukislah garis-garis s dan t sehingga ts MML

Penyelesaian:

Buatlah sebuah ruas garis (AB) .

Kemudian refleksikan AB terhadap garis t lalu refleksikan lagi terhadap garis s,


sehingga diperoleh MsMt (A) = Ms(A’) = A’’ = C

MsMt (B) = Ms(B’) = B’’ = D

Jadi MsMt merupakan suatu isometri langsung L+.

2. Jika EF = GH maka ada isometri lawan T yang memetakan E pada G dan F pada H. Jika

EF sejajar dengan GH . Lukislah garis-garis s, t dan u sehingga T = Apakah

penyelesaian itu tunggal?

A’ A

B B’

A’’=C

B’’=D

s t

17

Penyelesaian:

Diketahui: - EF = GH

- EF // GH

- T(E) = G dan T(F) = H


Diperoleh T(E) = MsMtMu(E)

= MsMt (E)

= Ms(H)

= G

T(F) = MsMtMu(F)

= MsMt (G)

= Ms(G)

= H

Jelas bahwa T= MsMtMu, dengan T memetakan E pada G dan F pada H.

Jadi pemilihan garis s,t,u pada gambar di atas merupakan penyelesaian.

Akan dibuktikan bahwa ada isometri lain yang memetakan E pada G dan F pada H.


Diperoleh T(E) = MsMtMu(E)

= MsMt (E)

= Ms(G)

= G

T(F) = MsMtMu(F)

= MsMt (F)

= Ms(H)

18

= H

Sehingga pemilihan garis s, t, u di atas juga merupakan penyelesaian.

Jadi Penyelesaian untuk masalah di atas tidak tunggal.

1. Diketahui ruas-ruas garis yang kongruen , dan ; A = (3,-1), B = (6,-1), C =

(-1,2), D = (-1,5), E = , F = (a,b) sedangkan melalui titik asal O = (0,0). F di

kuadran pertama. Jika P = (x,y).

a) Tentukan sebuah isometri langsung yang memetakan A pada C dan B pada D.

Tentukan pula T(P).

b) Tentukan pula isometri lawan yang memetakan A pada D dan B pada C. Tentukan

pula T(P).

Penyelesaian:

Perhatikan gambar berikut

1. Pilih T=R0,90GAX , dengan X=(2,-1)

Diperoleh T(A) = R0,90GAX (A)

= R0,90GAX [(3,-1)]

= R0,90(2,-1)

= (-1,2)

= C

19

Dan,

T(B) = R0,90GAX (B)

= R0,90GAX [(6,-1)]

= R0,90(5,-1)

= (-1,5)

= D

Jadi isometri langsung T=R0,90GAX memetakan A pada C dan B pada D.

2. Pilih T=R0,90GAXMs , dengan X=(2,-1) dan garis s:

Diperoleh T(A) = R0,90GAX Ms (A)

= R0,90GAX Ms [(3,-1)]

= R0,90 GAX (6,-1)

= R0,90 (5,-1)

= (-1,5)

= D

Dan,

Diperoleh T(B) = R0,90GAX Ms (A)

= R0,90GAX Ms [(6,-1)]

= R0,90 GAX (3,-1)

= R0,90 (2,-1)

= (-1,2)

= C

Jadi isometri langsung T=R0,90GAX Ms memetakan A pada D dan B pada C

3. Diketahui dan yang sama kaki dengan , dan

sedangkan garis tinggi yang melalui D membuat sudut 045 dengan garis

tinggi yang melalui A.

Sebutlah isometri-isometri yang memetakan pada . Nyatakanlah isometri-

isometri ini sebagai hasil kali rotasi-rotasi, translasi-translasi atau reflexi-reflexi.

20

Penyelesaian:

Diketahui: - dan yang sama kaki

- , dan

- garis tinggi yang melalui D membuat sudut 045 dengan garis tinggi yang

melalui A.


Jelas bahwa isometri yang dapat memetakan

pada adalah T = R0,22,5R0,22,5

4. Diketahui ABCD sebuah bujursangkar. Sebutkanlah semua isometri yang memetakan

ABCD pada dirinya sendiri.

Penyelesaian:


Diperoleh MsMs (A) = Ms(A’) = A’’ = A

MsMs (B) = Ms(B’) = B’’ = B

A=A’’ B=B’’

D=D’’ C=C’’

B’ A’

C’ D’

s

21

MsMs (C) = Ms(C’) = C’’ = C

MsMs (D) = Ms(D’) = D’’ = D

Jadi Bujur sangkar ABCD dengan isometri dua kali refleksi terhadap satu garis yang

sama akan memetakan pada dirinya sendiri.

Diperoleh SNSN (A) = SN(A’) = A’’ = A

SNSN (B) = SN(B’) = B’’ = B

SNSN (C) = SN(C’) = C’’ = C

SNSN (D) = SN(D’) = D’’ = D

Jadi Bujur sangkar ABCD dengan isometri dua kali setengah putaran terhadap satu pusat

yang sama maka akan memetakan pada dirinya sendiri.

A=A’’ B=B’’

D=D’’ C=C’’

B’

A’

C’

D’

s

t

A=A’ B=B’

D=D’ C=C’ x O

N

22

Diperoleh Ro,360 (A) = A’ = A

Ro,360 (B) = B’ = B

Ro,360 (C) = C’ = C

Ro,360 (D) = D’ = D

Jadi Bujur sangkar ABCD dengan isometri sebuah rotasi terhadap pusat koordinat O

dengan sudut 360o maka akan memetakan pada dirinya sendiri.

Jadi, Isometri – isometri yang memetakan ABCD pada dirinya sendiri adalah 2 kali

refleksi pada garis yang sama, dua kali setengah putaran dan rotasi 3600.

Rangkuman materi isometri lanjutan

Education

Transcript of Rangkuman materi isometri lanjutan