Post on 08-Dec-2015
description
MATERI PERKULIAHAN Metode Elemen Hingga (TS-4035)
Dosen : Ben Novarro BB, ST., MT.
METODE ELEMEN HINGGA
• Hremmkoff dan Mc Henry (1940-an) menggunakan susunan rangka elemen satu dimensi batang dan balok bagi penyelesaian tegangan dalam benda padat kontinum.
• Courant (1943) melakukan kajian solusi tegangan dan bentuk irasional,Dia memperkenalkan fungsi bentuk atau fungsi interpolasi ‘precewise’ elemen segitiga dan segiempat subregion yang dirakit menjadi system global struktur sebagai cara memperoleh solusi numeric.
• Levy (1947) mengembangkan metode gaya atau cara fleksibilitas, kemudian.
• Levy (1953) dia memperkenalkan cara lain yang disebut metoda perpindahan atau metoda matrik kekakuan
SEJARAH PERKEMBANGAN
BAHASAN
• Rangka Bidang (Plane Truss)• Rangka Ruang (Space Truss)• Portal Bidang (Plane Frame)• Grid• Portal Ruang (Space Frame)
Derajat Kebebasan (DOF)1
• Rangka Bidang (Plane Truss)
x
X
Y
i
E,I,A,l
m
k
F3, 3
y
F1, 1
F2, 2
F4, 4
2 Derajat kebebasan per joint pada elemen
Derajat Kebebasan (DOF)2
• Rangka Ruang (Space Truss)
3 Derajat kebebasan per joint pada elemen
i
mz
k
x
y
F1,1
F3,3
F4,4
F5,5
F6,6
F2,2
Derajat Kebebasan (DOF)3
• Portal Bidang (Plane Frame)
3 Derajat kebebasan per joint pada elemen
x
i
j
E,I,A,L
y
1,F1
2,F2
3,F3
4,F4
5,F5
6,F6
Derajat Kebebasan (DOF)4
• Grid
3 Derajat kebebasan per joint pada elemen
F1
F2
F3
F6 F
5
F4
Derajat Kebebasan (DOF)5
• Portal Ruang (Space Frame)
6 Derajat kebebasan per joint pada elemen
z m
y m
x m
F4F5
F3 F11
F12
F1F6
F2
F7
F10F9
F8
Rangka Bidang (Plane Truss)1
1.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR
Rotasi titik tidak memberikan pengaruh terhadap tanggap elemen. Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan derajat kebebasan
NX = 2*JTK – 2*NS - NR hal mana :NX = jumlah derajat kebebasan strukturJTK = jumlah total titik kumpul, termasuk yang menjadi perletakanNS = jumlah total perletakan sendiNR = jumlah total perletakan rol
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19
1
2 3 4 5
7
6
8 9 10 11
Rangka Bidang (Plane Truss)2
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19
1
2 3 4 5
7
6
8 9 10 11
Gambar : Penomoran elemen and titik kumpul
1
2 3 4 5
7
6
8 9 10 11
X1,P1
X2,P2
X3,P3
X4,P4
X5,P5
X6,P6
X7,P7
X8,P8
X9,P9
X10,P10
X11,P11
X12,P12
X13,P13
X14,P14
X15,P15
X16,P16
X17,P17
X18,P18
Gambar : Jumlah derajat kebebasan rangka
DOF = (2*11) - (2*2) = 22 - 4 = 18.
Rangka Bidang (Plane Truss)3
2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m
Matrik Kekakuan ini merupakan matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat lokal/elemen, pada batang rangka hanya bekerja tarik atau tekan
mmm
4
3
2
1
4
3
2
1
FS atau
F
F
F
F
0000
0EA
0EA
0000
0EA
0EA
Rangka Bidang (Plane Truss)4
3.MATRIK KEKAKUAN [K]m
perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat
Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi
{} = [T]{X}
4
3
2
1
4
3
2
1
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
X
X
X
X
Rangka Bidang (Plane Truss)5
Atau
Sehingga :
Demikian pula dengan gaya ekivalen 4321 F F F F dinyatakan sebagai
4321 P P P P {F} = [T]{P].
4
3
2
1
4
3
2
1
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
P
P
P
P
F
F
F
F
Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.
Rangka Bidang (Plane Truss)6
akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :
4
3
2
1
4
3
2
1
P
P
P
P
cossin00
sincos 00
00cossin
00sincos
X
X
X
X
cossin00
sincos 00
00cossin
00sincos
0 0 0 0
0 EA
0 EA
0 0 0 0
0 EA
0 EA
Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m
Mengalikan persamaan dengan matrik invers :T 1
P XTST
PTT XTST1
11
:
KTST 1
Rangka Bidang (Plane Truss)7
juga merupakan matrik transpose 1T matrik invers TT
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
T T
PXTST 1
TT 1T =
Dimana:
Matrik orthogonal
Sehingga:
PXTST T
KTST T
Rangka Bidang (Plane Truss)8
4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S
T S TT
Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur
[k]m =
2sin cos sin 2sin cos sin
cos sin 2cos cos sin 2cos
2sin cos sin 2sin cos sin
cos sin 2cos cos sin 2cos
L
EA2
4
3
1
4321
[k]m =
Rangka Bidang (Plane Truss)9
4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S
1
2 3 4 5
7
6
8 9 10 11
X1,P1
X2,P2
X3,P3
X4,P4
X5,P5
X6,P6
X7,P7
X8,P8
X9,P9
X10,P10
X11,P11
X12,P12
X13,P13
X14,P14
X15,P15
X16,P16
X17,P17
X18,P18
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19
1
2 3 4 5
7
6
8 9 10 11
44 434241
34 333231
24 232221
14 131211
16
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
k
indeks derajat kebebasan struktur
indeks derajat kebebasan elemen 1
9
2 3
10
4
1 9
2 10
3 11
4 12
11 12
44 434241
34 333231
24 232221
14 131211
8
k k k k
k k k k
k k k k
k k k k
k
indeks derajat kebebasan struktur
indeks derajat kebebasan elemen 1
1
2 3
2
4 1 1
2 2
3 11
4 12
11
12
Rangka Bidang (Plane Truss)9
Rangka Bidang (Plane Truss)10
5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P}
04
03
02
01
04
03
02
01
P
P
P
P
cos sin 0 0
sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos
=
F
F
F
F
F03
F01
F02
F04
(a) Pola Pembebanan Bentang pada Elemen dan Gaya Ujung
i
P03
P01
P02
P04
i
y
X
x
(b) Gaya Ujung Ekivalen pada Sistem Koordinat Struktur/Global
Y
F T Pm m0 0
Rangka Bidang (Plane Truss)10
5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P}
8S12
e4
S11
e3
S2
e2
S1
e1
4
3
2
1
XX
XX
XX
XX
cos sin 0 0
sin - cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin - cos
0 0 0 0
0 L
EA 0
L
EA
0 0 0 0
0 L
EA 0
L
EA
F
F
F
F
mmm
4
3
2
1
4
3
2
1
FS atau
F
F
F
F
0000
0EA
0EA
0000
0EA
0EA
ANALISIS RANGKA BIDANG
3m
4m
4m
2.8m2.5m
60.60.5
60.60.5
1.Penentuan Luas Penampang Profil dan Bentang Elemen
profil baja 60.60.5 ,maka luas penampang A = 2*5.82 = 11.64 cm2
Gaya ekivalen dititik, penomoran titik kumpul dan elemen :
3m
4m
4m
2.8m
2.5m
0.1 W
W/4W/2
W/4
71
2
3
4
5
6 8
1
2
3 4
5
678
9 10
1211
13
2. Penentuan Derajat Kebebasan (DOF) Struktur
3. Merakit matriks kekakuan (S)m setiap elemen terhadap sumbu lokal/elemen
4
3
2
1
4
3
2
1
00 00
0L
EA 0
L
EA00 00
0L
EA0
L
EA
F
F
F
F
F1,
1
F2,
2
F3,
3
F4,4
y
x
E,L,A
Dari hubungan {F}m = [S]m{}m
Maka Matrik kekakuan elemen
00 00
0L
EA 0
L
EA00 00
0L
EA0
L
EA
S m
4. Merakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
0000
0L
EA0
L
EA0000
0L
EA0
L
EA
cossin00
sincos00
00cossin
00sincos
k m
Parameter unsur matrik [k]m
Matriks kekakuan [k]m setiap elemen :
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .
penyusunan unsur matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan pada setiap titik kumpul, disusun unsur matrik kekakuan lengkan [K]S sebagai berikut
12 2111 12 10 129 128 127 126 125 124 123 212 12 1 12
12 1111 1 10 119 118 117 116 115 114 113 112 111 11
12 01101110 019 108 107 106 105 104 013 102 101 10
12 9911910999897969594939291
12 8811810898887868584838281
12 7711710797877767574737271
12 6611610696867666564636261
12 5511510595857565554535251
12 4411410494847464544434241
12 3311310393837363534333231
12 2211210292827262524232221
12 111 1 10 1191817161514131211
S
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
KKKKKKKKKKKK
K
Memasukkan nilai [K]s pada setiap komponen unsur matrik, maka diperoleh :
6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur.
Menentukan beban terpusat ekivalen {P}s dilakukan dengan menghitung pengaruh kemungkinan beban luar maksimum yang bekerja pada sistim struktur.
6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur.
7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s*X={P}s
Dengan menyatakan hubungan derajat kebasan struktur terhadap gaya terpusat ekivalen sebagai persamaan linear simultan [K]S*{X}S={P}S :
Maka diperoleh besarnya perpindahan translasi titik-titik kumpul.
7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s*X={P}s
Beberapa cara mendapatkan vektor {X} (translasi titik-titik kumpul) antara lain adalah mencari matrik invers [K]-1s dan mengalikannya dengan ={P}s
diperoleh :
]m[
35-
83
94-
90
142-
237
93-
237
91-
245
43-
84
*10
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
8
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
8. Menggambarkan garis elastis struktur (perpindahan titik-titik kumpul terhadap posisi semula).
diperoleh :
]m[
35-
83
94-
90
142-
237
93-
237
91-
245
43-
84
*10
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
8
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Garis Elastis Sistem Struktur Beban Gempa Positif
9. Gaya Dalam Elemen
Setelah memperoleh vektor {X}s, maka gaya-gaya dalam batang (berupa gaya aksial) dihitung dari derajat kebebasan sebagai berikut :
mmmm
4
3
2
1
iSn
i4
Sm
i3
Sl
i2
Sk
i1
FXTS atau
F
F
F
F
XX
XX
XX
XX
cos sin 0 0
sin - cos 0 0
0 0 cos sin-
0 0 sin cos
0 0 0 0
0 L
EA 0
L
EA
0 0 0 0
0 L
EA 0
L
EA
[S]{}={F}
{} = [T]{X}
9. Gaya Dalam Elemen
Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :
9. Gaya Dalam Elemen
Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :
9. Gaya Dalam Elemen
Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :
9. Gaya Dalam Elemen
Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :
Portal Bidang (Plane Frame)1
3.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR
NRNPJ2NFJ3NJ3NX
dimanaNJ = jumlah total titik kumpul, termasuk perletakanNFJ = jumlah titik yang sifatnya JEPITNPJ = jumlah titik yang sifatnya SENDINR = jumlah titik yang sifatnya ROL
1 3 4 2
5
8 9
6
11
7
10
12 1313
11 128 10
67
1
2 3
9
45
Penomoran elemen and titik kumpul
DOF = (3*13) - (3*2) - (2*1) -(1) = 30
Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul
Portal Bidang (Plane Frame)2
Vektor Gaya Ekivalen Titik Kumpul
Portal Bidang (Plane Frame)3
2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m
x i
j
E,I,A,L
y
1,F
1
2,F
2
3,F
3
4,F
4
5,F
5 6,F
6
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2322
22
2323
F
F
F
F
F
F
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
4EI
6EI 0
2EI
6EI 0
6EI
12EI 0
6EI
12EI 0
0 0 EA
0 0 EA
2EI
6EI 0
4EI
6EI 0
6EI
12EI 0
6EI
12EI 0
0 0 EA
0 0 EA
mmm FΔS
Portal Bidang (Plane Frame)4
3.MATRIK KEKAKUAN [K]m
perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat
Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
X
X
X
X
X
X
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
Portal Bidang (Plane Frame)5
Sehingga :
Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
P
P
P
P
P
P
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
F
F
F
F
F
F
atau {F}m = [T]{P]m.
654321 F F F F F F 654321 P P P P P Pbesaran gaya ujung elemen dinyatakan dengan
melalui transformasi koordinat
Portal Bidang (Plane Frame)6
akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :
Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m
Mengalikan persamaan dengan matrik invers :T 1
P XTST
PTT XTST1
11
:
KTST 1
6
5
4
3
2
1
6
5
4
3
2
1
22
2323
22
2323
P
P
P
P
P
P
100000
0co ssin000
0s inc o s000
000100
0000c o ss in
0000s inc o s
=
X
X
X
X
X
X
100000
0co ssin000
0s inc o s000
000100
0000c o ss in
0000sinc o s
L
4 E I
L
6 E I-0
L
2 E I
L
6 E I0
L
6 E I-
L
1 2 E I0
L
6 E I-
L
1 2 E I-0
00L
E A00
L
E A-
L
2 E I
L
6 E I-0
L
4 E I
L
6 E I0
L
6 E I
L
1 2 E I-0
L
6 E I
L
1 2 E I0
00L
E A-00
L
E A
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Portal Bidang (Plane Frame)7
juga merupakan matrik transpose 1T matrik invers TT
PXTST 1
TT 1T =
Dimana:
Sehingga:
PXTST T
KTST T
1 0 0 0 0 0
0 cos sin 0 0 0
0 ins - cos 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 cos sin
0 0 0 0 ins - cos
T T
Portal Bidang (Plane Frame)8
4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S
T S TT
Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik
kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur
[k]m =
Portal Bidang (Plane Frame)9