METODE ELEMEN HINGGA

MATERI PERKULIAHAN Metode Elemen Hingga (TS-4035)

Dosen : Ben Novarro BB, ST., MT.

METODE ELEMEN HINGGA

• Hremmkoff dan Mc Henry (1940-an) menggunakan susunan rangka elemen satu dimensi batang dan balok bagi penyelesaian tegangan dalam benda padat kontinum.

• Courant (1943) melakukan kajian solusi tegangan dan bentuk irasional,Dia memperkenalkan fungsi bentuk atau fungsi interpolasi ‘precewise’ elemen segitiga dan segiempat subregion yang dirakit menjadi system global struktur sebagai cara memperoleh solusi numeric.

• Levy (1947) mengembangkan metode gaya atau cara fleksibilitas, kemudian.

• Levy (1953) dia memperkenalkan cara lain yang disebut metoda perpindahan atau metoda matrik kekakuan

SEJARAH PERKEMBANGAN

BAHASAN

• Rangka Bidang (Plane Truss)• Rangka Ruang (Space Truss)• Portal Bidang (Plane Frame)• Grid• Portal Ruang (Space Frame)

Derajat Kebebasan (DOF)1

• Rangka Bidang (Plane Truss)

x

X

Y

i

E,I,A,l

m

k

F3, 3

y

F1, 1

F2, 2

F4, 4

2 Derajat kebebasan per joint pada elemen


• Rangka Ruang (Space Truss)


i

mz

k

x

y

F1,1

F3,3

F4,4

F5,5

F6,6

F2,2


• Portal Bidang (Plane Frame)


x

i

j

E,I,A,L

y

1,F1

2,F2

3,F3

4,F4

5,F5

6,F6


• Grid


F1

F2

F3

F6 F

5

F4


• Portal Ruang (Space Frame)


z m

y m

x m

F4F5

F3 F11

F12

F1F6

F2

F7

F10F9

F8

Rangka Bidang (Plane Truss)1

1.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR

Rotasi titik tidak memberikan pengaruh terhadap tanggap elemen. Hanya gerakan translasi titik kumpul yang merupakan derajat kebebasan

NX = 2*JTK – 2*NS - NR hal mana :NX = jumlah derajat kebebasan strukturJTK = jumlah total titik kumpul, termasuk yang menjadi perletakanNS = jumlah total perletakan sendiNR = jumlah total perletakan rol

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19

1

2 3 4 5

7

6

8 9 10 11


1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19

1

2 3 4 5

7

6

8 9 10 11

Gambar : Penomoran elemen and titik kumpul

1

2 3 4 5

7

6

8 9 10 11

X1,P1

X2,P2

X3,P3

X4,P4

X5,P5

X6,P6

X7,P7

X8,P8

X9,P9

X10,P10

X11,P11

X12,P12

X13,P13

X14,P14

X15,P15

X16,P16

X17,P17

X18,P18

Gambar : Jumlah derajat kebebasan rangka

DOF = (2*11) - (2*2) = 22 - 4 = 18.


2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m

Matrik Kekakuan ini merupakan matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat lokal/elemen, pada batang rangka hanya bekerja tarik atau tekan

mmm

4

3

2

1

4

3

2

1

FS atau

F

F

F

F

0000

0EA

0EA

0000

0EA

0EA


3.MATRIK KEKAKUAN [K]m

perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat

Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi

{} = [T]{X}

4

3

2

1

4

3

2

1

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

X

X

X

X


Atau

Sehingga :

Demikian pula dengan gaya ekivalen 4321 F F F F dinyatakan sebagai

4321 P P P P {F} = [T]{P].

4

3

2

1

4

3

2

1

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

P

P

P

P

F

F

F

F

Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.


akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :

4

3

2

1

4

3

2

1

P

P

P

P

cossin00

sincos 00

00cossin

00sincos

X

X

X

X

cossin00

sincos 00

00cossin

00sincos

0 0 0 0

0 EA

0 EA

0 0 0 0

0 EA

0 EA

Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m

Mengalikan persamaan dengan matrik invers :T 1

P XTST

PTT XTST1

11

:

KTST 1


juga merupakan matrik transpose 1T matrik invers TT

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

T T

PXTST 1

TT 1T =

Dimana:

Matrik orthogonal

Sehingga:

PXTST T

KTST T


4.MERAKIT MATRIK KEKAKUAN STRUKTUR [K]S

T S TT

Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur

[k]m =

2sin cos sin 2sin cos sin

cos sin 2cos cos sin 2cos

2sin cos sin 2sin cos sin

cos sin 2cos cos sin 2cos

L

EA2

4

3

1

4321

[k]m =



1

2 3 4 5

7

6

8 9 10 11

X1,P1

X2,P2

X3,P3

X4,P4

X5,P5

X6,P6

X7,P7

X8,P8

X9,P9

X10,P10

X11,P11

X12,P12

X13,P13

X14,P14

X15,P15

X16,P16

X17,P17

X18,P18

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19

1

2 3 4 5

7

6

8 9 10 11

44 434241

34 333231

24 232221

14 131211

16

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

k

indeks derajat kebebasan struktur

indeks derajat kebebasan elemen 1

9

2 3

10

4

1 9

2 10

3 11

4 12

11 12

44 434241

34 333231

24 232221

14 131211

8

k k k k

k k k k

k k k k

k k k k

k

indeks derajat kebebasan struktur

indeks derajat kebebasan elemen 1

1

2 3

2

4 1 1

2 2

3 11

4 12

11

12


5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P}

04

03

02

01

04

03

02

01

P

P

P

P

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin cos

=

F

F

F

F

F03

F01

F02

F04

(a) Pola Pembebanan Bentang pada Elemen dan Gaya Ujung

i

P03

P01

P02

P04

i

y

X

x

(b) Gaya Ujung Ekivalen pada Sistem Koordinat Struktur/Global

Y

F T Pm m0 0


5.VEKTOR BEBAN EKIVALEN {P}

8S12

e4

S11

e3

S2

e2

S1

e1

4

3

2

1

XX

XX

XX

XX

cos sin 0 0

sin - cos 0 0

0 0 cos sin

0 0 sin - cos

0 0 0 0

0 L

EA 0

L

EA

0 0 0 0

0 L

EA 0

L

EA

F

F

F

F

mmm

4

3

2

1

4

3

2

1

FS atau

F

F

F

F

0000

0EA

0EA

0000

0EA

0EA

ANALISIS RANGKA BIDANG

3m

4m

4m

2.8m2.5m

60.60.5

60.60.5

1.Penentuan Luas Penampang Profil dan Bentang Elemen

profil baja 60.60.5 ,maka luas penampang A = 2*5.82 = 11.64 cm2

Gaya ekivalen dititik, penomoran titik kumpul dan elemen :

3m

4m

4m

2.8m

2.5m

0.1 W

W/4W/2

W/4

71

2

3

4

5

6 8

1

2

3 4

5

678

9 10

1211

13

2. Penentuan Derajat Kebebasan (DOF) Struktur

3. Merakit matriks kekakuan (S)m setiap elemen terhadap sumbu lokal/elemen

4

3

2

1

4

3

2

1

00 00

0L

EA 0

L

EA00 00

0L

EA0

L

EA

F

F

F

F

F1,

1

F2,

2

F3,

3

F4,4

y

x

E,L,A

Dari hubungan {F}m = [S]m{}m

Maka Matrik kekakuan elemen

00 00

0L

EA 0

L

EA00 00

0L

EA0

L

EA

S m

4. Merakit matriks kekakuan [k]m setiap elemen terhadap sumbu global

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

0000

0L

EA0

L

EA0000

0L

EA0

L

EA

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

k m

Parameter unsur matrik [k]m

Matriks kekakuan [k]m setiap elemen :

5. Merakit matriks kekakuan struktur keseluruhan [K]s dari matrik kekakuan elemen [k]m .

penyusunan unsur matrik kekakuan struktur berdasarkan derajat kebebasan pada setiap titik kumpul, disusun unsur matrik kekakuan lengkan [K]S sebagai berikut

12 2111 12 10 129 128 127 126 125 124 123 212 12 1 12

12 1111 1 10 119 118 117 116 115 114 113 112 111 11

12 01101110 019 108 107 106 105 104 013 102 101 10

12 9911910999897969594939291

12 8811810898887868584838281

12 7711710797877767574737271

12 6611610696867666564636261

12 5511510595857565554535251

12 4411410494847464544434241

12 3311310393837363534333231

12 2211210292827262524232221

12 111 1 10 1191817161514131211

S

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

KKKKKKKKKKKK

K

Memasukkan nilai [K]s pada setiap komponen unsur matrik, maka diperoleh :

6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur.

Menentukan beban terpusat ekivalen {P}s dilakukan dengan menghitung pengaruh kemungkinan beban luar maksimum yang bekerja pada sistim struktur.

6. Merakit vektor beban luar struktur {P}s dan beban-beban titik kumpul struktur.

7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s*X={P}s

Dengan menyatakan hubungan derajat kebasan struktur terhadap gaya terpusat ekivalen sebagai persamaan linear simultan [K]S*{X}S={P}S :

Maka diperoleh besarnya perpindahan translasi titik-titik kumpul.

7. Menyelesaikan persamaan matriks [K]s*X={P}s

Beberapa cara mendapatkan vektor {X} (translasi titik-titik kumpul) antara lain adalah mencari matrik invers [K]-1s dan mengalikannya dengan ={P}s

diperoleh :

]m[

35-

83

94-

90

142-

237

93-

237

91-

245

43-

84

*10

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

8

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

8. Menggambarkan garis elastis struktur (perpindahan titik-titik kumpul terhadap posisi semula).

diperoleh :

]m[

35-

83

94-

90

142-

237

93-

237

91-

245

43-

84

*10

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

8

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Garis Elastis Sistem Struktur Beban Gempa Positif

9. Gaya Dalam Elemen

Setelah memperoleh vektor {X}s, maka gaya-gaya dalam batang (berupa gaya aksial) dihitung dari derajat kebebasan sebagai berikut :

mmmm

4

3

2

1

iSn

i4

Sm

i3

Sl

i2

Sk

i1

FXTS atau

F

F

F

F

XX

XX

XX

XX

cos sin 0 0

sin - cos 0 0

0 0 cos sin-

0 0 sin cos

0 0 0 0

0 L

EA 0

L

EA

0 0 0 0

0 L

EA 0

L

EA

[S]{}={F}

{} = [T]{X}

9. Gaya Dalam Elemen

Perhitungan gaya-gaya dalam aksial [kg] bagi setiap elemen adalah :

Portal Bidang (Plane Frame)1

3.DERAJAT KEBEBASAN STRUKTUR

NRNPJ2NFJ3NJ3NX

dimanaNJ = jumlah total titik kumpul, termasuk perletakanNFJ = jumlah titik yang sifatnya JEPITNPJ = jumlah titik yang sifatnya SENDINR = jumlah titik yang sifatnya ROL

1 3 4 2

5

8 9

6

11

7

10

12 1313

11 128 10

67

1

2 3

9

45

Penomoran elemen and titik kumpul

DOF = (3*13) - (3*2) - (2*1) -(1) = 30

Garis elastis dan vektor perpindahan/rotasi titik kumpul


Vektor Gaya Ekivalen Titik Kumpul


2.MATRIK KEKAKUAN ELEMEN [S]m

x i

j

E,I,A,L

y

1,F

1

2,F

2

3,F

3

4,F

4

5,F

5 6,F

6

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

22

2322

22

2323

F

F

F

F

F

F

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

Δ

4EI

6EI 0

2EI

6EI 0

6EI

12EI 0

6EI

12EI 0

0 0 EA

0 0 EA

2EI

6EI 0

4EI

6EI 0

6EI

12EI 0

6EI

12EI 0

0 0 EA

0 0 EA

mmm FΔS


3.MATRIK KEKAKUAN [K]m

perakitan matrik [K] dari matrik elemen [S] memerlukan proses transformasi koordinat

Hubungan [S]{}={F} ditransformasi menjadi [K]{X} = {P} Dimana hubungan keduanya menjadi

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

X

X

X

X

X

X

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos


Sehingga :

Matrik [T] didefinisikan sebagai matrik transformasi koordinat.

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

P

P

P

P

P

P

100000

0cossin000

0sincos000

000100

0000cossin

0000sincos

F

F

F

F

F

F

atau {F}m = [T]{P]m.

654321 F F F F F F 654321 P P P P P Pbesaran gaya ujung elemen dinyatakan dengan

melalui transformasi koordinat


akan diperoleh matrik kekakuan elemen [k]m ditinjau dari sistem koordinat global/struktur sebagai berikut :

Dalam notasi matrik : [S]m [T ]m {X}m = [T]m {P}m

Mengalikan persamaan dengan matrik invers :T 1

P XTST

PTT XTST1

11

:

KTST 1

6

5

4

3

2

1

6

5

4

3

2

1

22

2323

22

2323

P

P

P

P

P

P

100000

0co ssin000

0s inc o s000

000100

0000c o ss in

0000s inc o s

=

X

X

X

X

X

X

100000

0co ssin000

0s inc o s000

000100

0000c o ss in

0000sinc o s

L

4 E I

L

6 E I-0

L

2 E I

L

6 E I0

L

6 E I-

L

1 2 E I0

L

6 E I-

L

1 2 E I-0

00L

E A00

L

E A-

L

2 E I

L

6 E I-0

L

4 E I

L

6 E I0

L

6 E I

L

1 2 E I-0

L

6 E I

L

1 2 E I0

00L

E A-00

L

E A

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6


juga merupakan matrik transpose 1T matrik invers TT

PXTST 1

TT 1T =

Dimana:

Sehingga:

PXTST T

KTST T

1 0 0 0 0 0

0 cos sin 0 0 0

0 ins - cos 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 cos sin

0 0 0 0 ins - cos

T T



T S TT

Hasil perkalian matrik merupakan transformasi matrik kekakuan elemen [S] menjadi matrik

kekakuan elemen pada sistem koordinat struktur

[k]m =


METODE ELEMEN HINGGA

Documents

Transcript of METODE ELEMEN HINGGA