FI4184 -- Pengenalan Metode Elemen Hingga
-
Upload
sparisoma-viridi -
Category
Education
-
view
1.843 -
download
23
description
Transcript of FI4184 -- Pengenalan Metode Elemen Hingga
FI4148 22 Oktober 2013 1
Pengenalan Metode Elemen Hingga(Finite Element Method)
Sparisoma Viridi* dan SuprijadiPhysics Department,Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesha 10, Bandung 40132, Indonesia*[email protected]
FI4148 22 Oktober 2013 2
Outline
• Finite Element Method• Syarat batas• Formulasi untuk LDE• Jenis FEM• Kasus 1-d pegas• Kasus 1-d batang• Piranti lunak
FI4148 22 Oktober 2013 3
Finite Element Method
• FEM adalah suatu metode numerik untuk menyelesaikan sebuah persamaan diferensial atau integral (Dixit, ?).
• FEM didasari pada ide dalam membangun obyek kompleks atas satuan sederhana atau membagi obyek kompleks atas satuan-satuan kecil yang mudah ditangani (Liu, 2003).
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148 22 Oktober 2013 4
Finite Element Method (cont.)
• Analisis FE pada suatu permasalahan bersifat sangat skematis sehingga dapat dibagi-bagi menjadi kumpulan langkah logis yang dapat diimplementasikan pada suatu komputer digital dan dapat digunakan pada berbagai permasalahan hanya dengan mengganti data masukannya untuk program komputer (Reddy, 1988).
URI http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lim/albores_b_mi/capitulo7.pdf [20131018.1356].
FI4148 22 Oktober 2013 5
Finite Element Method (cont.)
• FEM dapat diterapkan pada permasalahan-permasalahan, seperti struktur, transfer panas, dan aliran fluida (?, ?).
URI http://homepages.cae.wisc.edu/~me232/lecture_notes/fea.pdf [20131018.1358].
FI4148 22 Oktober 2013 6
Syarat batas
• Terdapat dua jenis syarat batas: syarat batas esensial (SBE) dan syarat batas natural (SBN).
• SBE adalah mencukupi untuk menyelesaikan persamaan diferensial secara lengkap.
• SBN berupa turunan waktu lebih tinggi suku-suku dan tidak mencukupi untuk menyelesai-kan persamaan diferensial, masih membutuh-kan setidaknya satu SBE.
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
FI4148 22 Oktober 2013 7
Syarat batas (cont.)
• Bila terdapat persamaan diferensial 0 < x < L
yang dapat dipecahkan secara lengkap bila – u(0) dan u(L) diketahui atau– u(0) dan du/dx |x = L diketahui
URI http://www.iitg.ernet.in/engfac/rtiwari/resume/usdixit.pdf [20131018.1403].
0
Bdx
duA
dx
d
FI4148 22 Oktober 2013 8
Syarat batas (cont.)
• Manakah yang merupakan syarat batas esensial?
• Manapula yang merupakan syarat batas natural?
FI4148 22 Oktober 2013 9
Formulasi untuk LDE
• Linear differential equation (LDE) dapat memiliki bentuk
di mana u adalah vektor variabel utama per-masalahan (fungsi koordinat) yang didekati dengan fungsi aproksimasi, L operator dife-rensial, dan q vektor fungsi yang diketahui.
0 qLu
FI4148 22 Oktober 2013 10
Formulasi untuk LDE (cont.)
• Terdapat dua formulasi populer FEM, yaitu Galerkin dan Ritz.
• Dalam formulasi Galerkin, variabel utama diaproksimasi dengan suatu fungsi kontinu dalam elemen yang ditinjau.
• Saat ue atau nilai hasil fungsi aproksimasi di-substitusikan, akan diperoleh residu R
RqLu e
FI4148 22 Oktober 2013 11
Formulasi untuk LDE (cont.)
• Idealnya R = 0 di manapun, yang berarti nilai hasil aproksimasi menjadi nilai sebenarnya.
• Dikarenakan sulit untuk memperoleh residu sama dengan nol pada semua titik, maka yang dibuat nol adalah residual yang diberi bobot
dengan w adalah fungsi bobot.
0D
wRdA
FI4148 22 Oktober 2013 12
Formulasi untuk LDE (cont.)
• Untuk mengurangi kebutuhan pada diferen-siabilitas fungsi aproksimasi, persamaan sebe-lumnya dintegralkan per bagian untuk men-distribusikan kembali order turunan dalam w dan R.
• Dalam formulasi Galerkin, fungsi bobot dipilih memiliki bentuk yang sama dengan fungsi aproksimasi untuk ue.
FI4148 22 Oktober 2013 13
Formulasi untuk LDE (cont.)
• Fungsi aproksimasi ada suatu fungsi aljabar.• Dengan demikian, biasanya
dengan [N] adalah matriks fungsi bentuk (shape functions) dan {une} adalah derajat kebebasan dari nodal.
nee uNu
FI4148 22 Oktober 2013 14
Jenis FEM
• Elemen (garis) 1-d
• Kasus: pegas, batang, pipa,
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148 22 Oktober 2013 15
Jenis FEM (cont.)
• Elemen (bidang) 2-d
• Kasus: membran, pelat, kulit, ..
FI4148 22 Oktober 2013 16
Jenis FEM (cont.)
• Elemen (ruang) 3-d
• Kasus: medan 3d, seperti temperatur, perpindahan, tegangan, aliran, kecepatan aliran, ..
FI4148 22 Oktober 2013 17
Kasus 1-d pegas
“Everything important is simple”
• Satu elemen pegas:– Dua noda– Dua nodal perpindahan– Dua noal gaya– Satu konstanta pegas (stiffness)
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148 22 Oktober 2013 18
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Hukum Hooke
dengan lij adalah panjang normal pegas.
ijjijiij klxxxxkF sign
FI4148 22 Oktober 2013 19
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada i dengan pegas teregang
• Kasus pada i dengan pegas tertekan
0 ijjiij klxxkF
0 ijjiij klxxkF
FI4148 22 Oktober 2013 20
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kasus pada j dengan pegas teregang
• Kasus pada j dengan pegas tertekan
0 jiijji klxxkF
0 jiijji klxxkF
FI4148 22 Oktober 2013 21
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Umumnya suku sign(xi – xj) k lij menjadi ‘hi-lang’ dalam penyusunan persamaan diferen-sial karena hanya merupakan konstanta.
• Transformasi koordinat, misalnya pada
jiij
jijiij
ijjiij
kukuF
kxlxkF
klxxkF
FI4148 22 Oktober 2013 22
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Atau dapat pula ui dan uj dihitung relatif dari posisinya kesetimbangannya, yaitu xi0 dan xj0.
• Arti dari ui dan uj terhadap posisi kesetim-bangan ini lebih sering digunakan.
• Hubungannya adalahui(t) = xi(t) – xi0
uj(t) = xj(t) – xj0
FI4148 22 Oktober 2013 23
Kasus 1-d pegas (cont.)
jii uukf
ijj uukf
FI4148 22 Oktober 2013 24
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Kedua persamaan sebelumnya menjadi
j
i
j
i
f
f
u
u
kk
kk
0
j
i
j
i
f
f
u
u
kk
kk
0 fKu
FI4148 22 Oktober 2013 25
Kasus 1-d pegas (cont.)
211 uukf
233 uukf
32122 uukuukf
FI4148 22 Oktober 2013 26
Kasus 1-d pegas (cont.)
3
2
1
3
2
1
22
2211
11
0
0
f
f
f
u
u
u
kk
kkkk
kk
0 fKu
22
2211
11
0
0
kk
kkkk
kk
K
FI4148 22 Oktober 2013 27
Kasus 1-d pegas (cont.)
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
33
3322
2211
11
kk
kkkk
kkkk
kk
K
FI4148 22 Oktober 2013 28
Kasus 1-d pegas (cont.)
FI4148 22 Oktober 2013 29
Kasus 1-d pegas (cont.)
2414 uukf
3221244212 uukuukuukf
5332323 uukuukf
3535 uukf
2141 uukf
FI4148 22 Oktober 2013 30
Kasus 1-d pegas (cont.)
• Matriks kekakuan (stiffness matrix)
33
11
3322
124214
44
000
000
00
0
000
kk
kk
kkkk
kkkkkk
kk
K
FI4148 22 Oktober 2013 31
Kasus 1-d batang
• Perpindahan u(x)
• Regangan ε(x)
• Tegangan σ(x)
FI4148 22 Oktober 2013 32
Kasus 1-d batang (cont.)
• Hubungan regangan-perpindahan
• Hubungan tegangan-regangan
dx
du
E
FI4148 22 Oktober 2013 33
Kasus 1-d batang (cont.)
• Fungsi bentuk linier (linear shape functions)
• Dengan demikian
1iN
jNL
x
10
jjii uNuNuxu
FI4148 22 Oktober 2013 34
Kasus 1-d batang (cont.)
• Atau
• Hubungan sebelumnya akan memberikan
di mana B adalah elemen matriks regangan-perpindahan.
Nu
j
iji u
uNNu
BuuN
dx
d
dx
du
FI4148 22 Oktober 2013 35
Kasus 1-d batang (cont.)
• Selanjutnya
LLL
NNd
d
dx
dNN
dx
d
dx
djiji
/1/1111
NB
BuEE
FI4148 22 Oktober 2013 36
Kasus 1-d batang (cont.)
• Energi strain
• Energi yang tersimpan dalam batang
uBBu
BuBu
TT
TTT
V
VV
dV
dVdVU
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1 VEVU
FI4148 22 Oktober 2013 37
Kasus 1-d batang (cont.)
• Kerja oleh dua gaya nodal adalah
• Sistem konservatif
fuT2
1
2
1
2
1 jjii ufufW
WU
FI4148 22 Oktober 2013 38
Kasus 1-d batang (cont.)
• Kembali ke Ku + f = 0, dapat diperoleh
yang merupakan matriks kekakuan.
uBBf T
V
dV
V
dVBBK T
FI4148 22 Oktober 2013 39
Kasus 1-d batang (cont.)
• Untuk kasus ini
11
11
/1/1/1
/1
0
L
EA
AdxLLEL
L
dV
L
V
BBK T
FI4148 22 Oktober 2013 40
Kasus 1-d batang (cont.)
110
132
022
L
EAK
URI http://faculty.ksu.edu.sa/rizwanbutt/Documents/FEM_Lecture_Notes.pdf [20131018.1404].
FI4148 22 Oktober 2013 41
Kasus lain: 2-d dan 3-d
• Lebih kompleks untuk dibahas dalam satu kali perkuliahan.
• Dapat dipelajari dengan menggunakan sumber-sumber yang ada di internet.
• Untuk kasus 1-d pun terdapat permasalahan lain yang dapat dibahas.
FI4148 22 Oktober 2013 42
Piranti lunak
• ABAQUS• FEM• COMSOL
FI4148 22 Oktober 2013 43
Piranti lunak (cont.)
URI http://www.math.chalmers.se/~torbjrn/M3/IntroductionToCOMSOLMultiphysics.pdf [20131021.1038].
FI4148 22 Oktober 2013 44
Terima kasih