Widyanuklida Vol.5 No.2, Desember 2004: 34-38

APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA PADA MASALAHGELOMrnANGELEKTROMAGNET

SutrasnoPusdiklat Badan Tenaga Nuklir Nasional

ABSTRAKAPLIKASI METODE ELEMEN HINGGA PADA MASALAH GELOMBANG

ELEKTROMAGNET. Pada makalah ini dijelaskan salah satu penerapan metodeelemen hingga pada persoalan elektromagnet dengan electromagnetic analysis program(EMAP). EMAP merupakan kode program pemodelan elemen hingga tiga dimensiberbasis elemen tetrahedral skalar yang dapat digunakan untuk menghitung distribusimedan elektromagnet pada struktur tiga dimensi sederhana. Metode Galerkinditerapkan pada elemen tetrahedral skalar untuk memperoleh penyelesaian pendekatan.

Kode program EMAP ini dibuat dalam bahasa C. Konfigurasi masukan yangdiberikan ke EMAP berupa file berbentuk teks dan numerik, dan menghasilkankeluaran dengan format yang sarna dengan input. Output dari kode programmerupakan sekumpulan numerik yang merupakan titik-titik koordinat dan kuat medanlistrik pada tiap titik koordinat pada domain komputasi. Data numerik relatip sulituntuk diinterpretasi sehingga diperlukan program bantu untuk mengubah data numeriktersebut menjadi bentuk grafik. Perangkat lunak Jandel Sigma Plot 3.0 digunakanuntuk memvisualkan data numerik tersebut. Sedangkan paket program pengolah dataMicrosoft Excell versi 7.0 digunakan agar format output yang dihasilkan oleh kodeprogram sesuai dengan format lunak Jandel Sigma Plot 3.0

Eksperimen numerik dilakukan untuk mengetahui distribusi medan Iistrik padapemandu gelombang (waveguide) persegi empat. Mode TM digunakan untukmengetahui perambatan gelombang elektromagnet di dalam waveguide tersebut.

ABSTRACTAPPLICA TION OF FINITE ELEMENT METHOD ON ELECTROMAGNETIC

PROBLEMS. This paper reports on an application of the finite element method toanalyze electromagnetic problems using ElectroMagnetic Analysis Program or EMAP.EMAP is a three dimensional finite element modelling code. This finite elementmethod is based on the nodal element that can be used to solve field distribution in asimple three dimensional structures. The Galerkin method is employed to formulate theMaxwell equation in the tetrahedral elements.

The source code of EMAP is written in the C programming language. The codereads the input configuration in as an ASCII text file, and provides output in the sameform. Out put from the source code consists of a listing of the nodal coordinates andelectric field strength at each node. These numerical data are not easily understood, soa post processing is needed to manipulate them into a graphical output. To do so, thedata are rearranged by the spreadsheet Microsoft Excell, and then plotted by JandelSgma Plot 3.0 for a visualization.

A number of experiments is carried out to investigate the electric field strengthdistribution in the computation domain. The TM mode are chosen to illustrate wavepropagation in a rectangular waveguide.

Kata Kunci : Metode elemen hingga, gelombang elektromagnet

34

PENDAHULUANMetode elemen hinggga merupakan

salah satu metode numerik untukmemperoleh penyelesaian pendekatansuatu persamaan differensial parsial danmasalah nilai batasnya (1]. Secara umum,persamaan differensial dan rnasalah nilaibatas dapat diselesaikan dengan metodeGalerkin atau metode Ritz. Secaramatematis, metode Galerkin lebih mudahdari metode Ritz. Metode Ritzmemerlukan pengetahuan tentangvariational calculus untuk memperolehpenyelesaian pendekatan. Secara umum,metode Galerkin banyak digunakan untukmenyelesaikan sistem persamaandifferensial, khususnya persamaan yangmempunyai turunan pertama. Metodeelemen hingga menerapkan metodeGalerkin untuk menyelesaikan persamaandifferensial pada suatu subdomain atauelemen. Sebuah domain komputasi tigadimensi tersusun dari sekumpulansubdomain atau elemen tiga dimensi,sehingga pendekatan metode elemenhingga Galerkin dapat digunakan untukmenyelesaikan persamaan differensial diseluruh domain komputasi tersebut.

Perambatan gelombangelektromagnet melalui suatu mediummerupakan salah satu fenomena fisisyang mempunyai bentuk persamaandifferensial, sehingga metode elemenhingga dapat digunakan untukmemodelkan persamaan differensal ini.Pemodelan dapat dilakukan denganmenggunakan elemen skalar atau elemenvektor. Elemen skalar digunakan jikagelombang elektromagnet merambat padamedium homogen, sedangkan elemenvektor dapat diterapkan baik padamedium homogen maupun non-homogen(2].

Meskipun konsep matematis metodeelemen hingga lebih kompleksdibandingkan metode lain misalnyametode beda hingga, tetapi metode ini

Sutrasno, Aplikasi Metode Elemen Hingga ...

berkembang pesat karena kemampuannyauntuk menganalisis persoalan yangmempunyai bentuk geometri rumit (3].

Perkembangan teknologi komputer,metode komputasi numerik dan sistemdesain berbantuan komputer atau CADsangat menunjang perkembangan metodeelemen hingga. Sejalan denganperkembangan teknologi komputer, makapada saat ini kode perhitungan elemenhingga telah dikembangkan untuk sistemkomputer mikro. Kode program EMAP,yang ditulis dalam bahasa C, dapatdigunakan untuk menganalisis distribusimedan elektromagnet pada struktur tigadimensi yang homogen dengan kondisibatas tertutup, misalnya pemandugelombang.

Waveguide merupakan salah satukomponen sistem telekomunikasi yangdigunakan untuk mengirimkangelombang elektromagnet, misalnya seratoptik dan microstrip line. Secara umum,geometri waveguide berbentuk persegiempat atau silinder. Secara matematis,waveguide persegi empat banyakdigunakan untuk mempelajarikarakteristik waveguide.

HINGGAMETODE ELEMENMETODE GALERKIN

Penerapan metode elemen hinggauntuk menyelesaikan persamaandifferensial dan masalah nilai batas dapatdilakukan dengan metode pendekatan,misalnya metode Galerkin. Metodeelemen hingga Galerkin digunakanmenyelesaikan persamaan Maxwell padasuatu domain dengan pendekatan padatiap elemen. Secara matematis, masalahnilai batas pad a domain n dapatdidefinisikan dalam bentuk persamaansebagai berikut :

~¢=fdengan

35

t; = operator differensial¢ =variabel yang akan dicari

penyelesaiannyaf = fungsi eksitasi.

Pada persoalan gelombangelektromagnet, persamaan differensialadalah persamaan Helmholtz:

1 2VX (-V x E) - kO&rE = - jkoZoJu,

denganV = operator differensialE = variabel yang akan dicari

penyelesaiannyaJ = sumber medan elektromagnet

atau fungsi eksitasie, permitivitas relatip medium

perambatanp" = permeabilitas relatip medium

perambatank; = bilangan gelombangZ; = impendansi intrinsik medium

perambatan.Metode Galerkin

mentransformasikan persamaandifferensial menjadi persamaan aljabaryang dapat diselesaikan secara numerik. .

Persamaan Gelombang Elektromagnetpada waveguide persegi em pat

Pada keadaan tidak ada sumberarus dan mediumnya homogen,persamaan gelombang dapat ditulis :

Dalam sistem koordinatkartesian, persamaan gelombang dalambentuk vektor dapat direduksi menjaditiga persamaan gelombang skalarHelmholtz. Penyelesaian persamaangelombang elektromagnet harusmemenuhi persamaan Maxwell danpersyaratan nilai batasnya. Bentuk

36

Widyanuklida Vol. 5 No.2, Desember 2004: 34-38

geometri waveguide persegi empat dapatdilihat pada gambar I. Pada dindingwaveguide berlaku suatu kondisi batastertentu yang memungkinkan perambatangelombang pada konfigurasi atau modetertentu.

z a

Gambar 1. Waveguide Persegi Empat

Sesuai dengan model waveguide persegiempat dimana dinding pembatasnyabersifat penghantar sempurna makakondisi batas medan listrik pada dindingtersebut adalah :

E,(O!> x !> a,Y = O,z) = E,(O!> x !> a,Y = b,z) = 0

E,(O s x S a,Y = O,z) = E,(O !> x S a,Y = b,z) = 0

E.(x = 0,0 S Y S b,z) = Ey(x = a,O S Y S b,z) = 0

E,(x = O,O!> Y S b,z) = E,(x = a,O s Y s b,z) = 0

Pada kondisi batas ini terlihat bahwakomponen tangensial medan listrikbernilai not pada dinding-dindingwaveguide. Penyelesaian persamaangelombang di dalam waveguide harusmemenuhi persamaan Maxwell danmasalah nilai batasnya. Jika diasumsikanbahwa gelombang elektromagnetmerambat pada arah Z positip, makakonfigurasi medan listrik pada waveguideadalah (I):

Sutrasno, Aplikasi Mctode Elemen Hingga '"

PE-OGRAM EMAPEMAP merupakan program pemodelanelemen hingga yang dapat digunakanuntuk memodelkan distribusi medanelektromagnet pad a domain tiga dimensidengan kondisi batas tertutup. Kodeprogram ini menggunakan metodeGalerkin untuk memformulasikan elementetrahedral skalar dengan fungsipolinomial orde pertama.

Algoritma ProgramProses diskritisasi domain volumemenghasilkan sejumlah heksahedral yangtersusun dari lima buah elementetrahedral. Tiap elemen tetrahedralmenghasilkan matriks tetrahedral.Sedangkan matriks heksahedral tersusundari lima matriks tetrahedral. Matriksglobal merupakan gabungan seluruhmatriks heksahedral, yang menghasilkanpersamaaan aljabar. Dengan kondisi batasyang ada, persamaan matriks dapat ditulisdalam bentuk :

[A][x] = [b]A merupakan matriks sparse yangsimetris berukuran N x N, sedangkan [x]dan [b] adalah matriks kolom. Matriks [x]merupakan matriks yang akan dicaripenyelesaiannya, sedangkan matriks bdiketahui dari input. Penyelesaianpersamaan matriks terse but menghasilkankoefisien-koefisien yang menyatakandistribusi medan listrik di seluruh domainkomputasi.

HASIL NUMERIKMasukanWaveguide persegi empat yangmerupakan model perhitunganmempunyai dimensi lebar yang searahsumbu X 18 satuan sel , tinggi searahsumbu Y dengan 8 satuan sel, danpanjang searah sumbu Z 20 satuan sel.Satu sel merupakan sebuah elemenheksahedral. Diasumsikan bahwagelombang yang merambat pada mediumperambatan mempunyai konstantadielektrik 1.0 dengan frekuensigelombang 16 GHz pada mode dominanTMII.

KeluaranKonfigurasi output yang dihasilkanberbentuk teks atau numerik yangmerupakan nilai distribusi medan listrikdi dalam waveguide persegi empat.Grafik distribusi medan listrik pada sisidepan, atas dan samping waveguidepersegi empat.

KESIMPULANEMAP merupakan program elemen

hingga Galerkin tiga dimensi berbasiselemen tetrahedral skalar yang dapatdigunakan untuk memodelkan persamaangelombang skalar. EMAP didisain untukmenghitung distribusi medan listrik padakonfigurasi tiga dimensi berbentukpersegi empat dengan kondisi batastertutup (Closed boundary).

Pemodelan dilakukan denganmenggunakan waveguide persegi empatpada mode TM II. Data eksperimen

37

numerik menunjukan bahwa distribusimedan Iistrik Ez dan Ex pada dinding atasdan bawah adalah nol, begitu puladistribusi medan listrik E, dan E, padadinding samping.

EMAP dapat dimanfaatkan sebagaialat bantu pendidikan untuk mempelajarimetode elemen hingga, karena relatipmudah untuk dipelajari dan digunakan.

REFERENCE[1]. Jin, J., " The Finite Element

Method in Electromagnetics", JohnWilley and Sons, Inc., New York,1993.

[2]. Gerrit Mur, "Edge Element, theiradvantages and theirdisadvantages," IEEE Trans. Onmagnetics., Vo1.30, No.5,September 1994.

[3]. E. Akin , "Finite Elements forAnalisis and Design," AcademicPress, Inc., London, 1994.

[4]. Website: ftp.emclab.umr.ed[5]. Arkadan, "a Graduate Course on

Finite Elements Analysis forElectromagnetic Application, "IEEE Trans. On Education., Vol.36, No.2, May 1993.

[6]. Webb, "Edge Elements and whatthey can do for you," IEEE Transon Magnetics., Vol. 29, No.2,March 1993.

[7]. Silvester, P.P., R.L. Ferrari,"Finite Elements for ElectricalEngineers," Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1990.

[8]. Huebner, E.A. Thornton, "TheFinite Element MethodforEngineers," John Willey andSons, Inc. New York, 1982.

[9]. Balanis, C.A., "AdvancedEngineering Electromagnetics,"John Willey and Sons, Inc., NewYork,1989.

[10]. Boyse et aI, "A Scalar and VectorPotential Formulation Finite

38

Widyanuklida Vol. 5 No.2, Desember 2004: 34-38

Element Solution to Maxwell'sEquations," IEEE Trans. onMicrowave Theory andTechniques., March 1992.

[11]. Gerrit Mur, "The Finite ElementModelling of Three DimensionalElectromagnetic Fields UsingEdge and Nodal Elements," IEEETrans. on Antennas andPropagation., Vo1.41, No.7, July1993.

[12]. L. Volakis, "Some Finite ElementPreprocessing Algorithms forElectromagnetic Scattering," IEEETrans. on Antennas andPropagation., Vo1.35, No.3, June1993.

[13]. Laroussi, G.I. Costache, "FiniteElement Method Applied to EMCProblem," IEEE Trans. onElectromagnetic Compatibility.,Vo1.35, No.2, May 1993.

[14]. G. Mur, "Compatibility Relationsand the Finite Element Formulationof Electromagnetic FieldProblems," IEEE Trans. onMagnetics., Vo1.30, No.5,September 1994.

[15]. F.Collino and P. Joly, "NewAbsorbing Boundary Conditions of3D Maxwell's Equations," IEEETrans. on Magnetics., Vol.3l,No.3, May 1995.

[16]. Miano, C. Serpico, L. Verolino, F.Villone, "Numerical Solution ofthe Maxwell Equations inNonlinear Media," IEEE Trans. onMagnetics., Vo1.32, No.3, May1996.

[17]. Stupfel, R. Mittra, "NumericalAbsorbing Conditions for theScalar and Vector WaveEquations," IEEE Trans. onAntennas and Propagation.,Vo1.44, No.7, July 1996.