Konsep Metode Elemen Hingga
-
Upload
wildan-zaki-assegaf -
Category
Documents
-
view
160 -
download
38
description
Transcript of Konsep Metode Elemen Hingga
-
KonsepDasarMetodeElemenHingga(Finite Element Method(FEM))(FiniteElementMethod(FEM))
Apaitumetodeelemenhingga?Sebuahtekniknumerikuntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdanmatematikafisika
FEMsangatpentinguntukmenyelesaikanmasalahmasalahteknikdengangeometri,pembebanandamsifatmaterialyangk l k tid k d t di l ikkomplek,yangtidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitis.
-
Contoh geometri komplekContohgeometrikomplek
Modul truss denganModul truss dengan koneksi antar truss
-
TujuanFEM Penyelesaiananalitis
Analisateganganuntuktruss,batang,danstruktursederhanalainyangdilakukan dengan penyelesaian analitis secara umum berdasarkandilakukandenganpenyelesaiananalitissecaraumumberdasarkanpenyederhanaandanidealisasi.Desainberdasarkanhasilkalkulasidaristrukturyangdiidealisasimemerlukanfaktor keselamatan besar (1 53) dan sebagian besar berdasarkanfaktorkeselamatanbesar(1,53)dansebagianbesarberdasarkanpengalaman.
FEM FEMDesainuntukstrukturkomplekdandengankeakurasianyangtinggimemerlukan:
f ( pengetahuanperilakufisikobjekkomplek(kekuatan,mampualirpanas,aliranfluidadll)
untukmemperkirakanperformansidanperilakudesain;menghitungmargink k l h k k dangkakeselamatan,mengetahuikekurangandesain.
mengidentifikasiperfomansidesainsecarayakin.
-
Prinsip FEMPrinsipFEM PrinsipFEMadalahdiskretisasi(dibuatkecilkecil) Geometriyangsimpledapatselesaikandengananalisasederhana(penyelesaiananalitis)ataupunFEMFEM
Geometrikomplek:Ketidakkontinuan dan geometri sembarangKetidakkontinuandangeometrisembarangmemerlukanFEM
AlurFEM(1)Dunianyata (2)Penyederhanaan (3)Persamaanmatematis (4)Diskretisasi(mesh)
-
DiskretisasiDiskretisasi Membagi modelmenjadi elemenelemen kecil (elemenelemen
hi ) li t h b d titik titik ( d ) d t ihingga)yangsaling terhubung pada titiktitik (node)danatau garisbatas.
Jenisjenis elemen
Elemensatudimensi(1D)
Elemenduadimensi(2D)
Trus,batang,pegas,pipa
Plat, shell, membranPlat,shell,membran
Suhu displacement stressElementigadimensi(3D)
Suhu,displacement,stress,kecepatanaliran
-
Objek Elemenelemen Nodenode
displacement
Stress/tegangan
Strain/reganganKuantitas nodalKuantitasnodalprimer Kuantitasnodalsekunder
-
Sebuahkasus
Luasan batang tirus dapat dihitung denganLuasan batang tirus dapat dihitung denganpendekatan, dengan menggunakan elemenpersegi panjang; dapat terdiri dari satuelemen, dua elemen, empat elemen dst.pSemakin banyak elemen yang digunakan,luasan hitung batang tirus semakinmendekati riil atau erornya semakin kecil(lihat Gb(b)(d)
-
Dalam FEM, dengan semakin banyak elemen yang dipakai displacement terhitung semakin mendekati
l i liti ti t lih t d Gb ( ) (b)penyelesaian analitis, seperti terlihat pada Gb. (a)-(b)
-
Demikianjugateganganyangterhitung,semakinbanyakelemenyangdipakai,teganganterhitungsemakinmendekatipenyelesaiananalitis.p , g g g p y
-
Bagaimana cara kerja FEM?BagaimanacarakerjaFEM?
Bodi dibagi menjadi elemenelemen kecil.g jPersamaan sebuah elemen dihitung dankemudian digabung untuk membuat persamaansistemsistem
Formula umum untuk persamaan yangmerupakan gabungan dari beberapa elemenadalah
[k]{U}={F}di [k] d l h ik k k k {U} d l hdimana [k] adalah matrik kekakuan, {U} adalahvektor dari displacement atau suhu nodal, dan {F}adalah vektor gaya nodal.g y
-
Contoh: 1. Bar (batang) satu dimensiContoh:1.Bar(batang)satudimensi
FFi j
Lx
Batangdiasumsikanterdiridarisatuelemendenganduanodeidanjsepanjangsumbu x dan hanya mengalami displacement aksial Displacement u bervariasisumbuxdanhanyamengalamidisplacementaksial.DisplacementubervariasiterhadapxsepanjangL,sehingga
u=a+bx, (1)denganadanbadalahkonstanta.ik d d l h di l b l dik h i di i d kJikaui danujadalahdisplacementyangbelumdiketahuidisetiapnode,maka
ui=a+bxi (2)uj=a+bxj (3)
Koordinatxi danxj diketahuisehinggaadanbyangtidakdiketahuidapatdihitungi j gg y g p ga=(uixjujxi)/L (4)b=(ujui)/L, (5)
Substitusiadanbkepers(1)diperoleh
(6)jiij u
Lxxu
Lxx
u
-
AtauN N (7)u=Niui + Njuj (7)
dengan Ni=(xj-x)/L dan Nj=(x-xi)/LNi dan Nj adalah fungsi bentuk elemen atau fungsi interpolasi. Fungsi inimengh b ngkan displacement pada nodal i dan nodal jmenghubungkan displacement pada nodal i dan nodal j.Jika i=1 dan j=2, maka
u=N1u1 + N2u2 (8)
Setelah mengetahui hubungan displacement antar nodal, berikutnya adalah hubunganantara displacement dengan gaya yang diberikan. Untuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesarUntuk batang yang dikenai gaya P maka terjadi displacement sebesar
=PL/EA, (9)dengan E modulus elastis, A luas penampangSeperti pada persamaan pegas P=k pers (9) diubah menjadiSeperti pada persamaan pegas P=k, pers. (9) diubah menjadi
P=(EA/L), (10)dengan k=EA/L
-
Untuk batang ditarik dengan gaya F, regangan yang muncul d l hadalah
Setelah diintegralkan menghasilkan Setelah diintegralkan menghasilkan Sesuai dengan hukum Hook
Jika dihubungkan dengan gaya aksial P
Gaya setiap nodal adalah f1 dan f2
-
Secara matrik hubungan gaya nodaldandisplacementnodal
Matrikkekakuan
Contoh 1Sebuah batang tirus elastic dikenai beban P diujungnya danSebuah batang tirus elasticdikenai beban Pdiujungnya dan
ujung yanglaindiclam.Luas penampang batang bervariasimulai Ao di ujung tetap danAo/2diujung bebas.
Hitung displacementdi ujung bebas dengan (a)satu elemen,(b)dua elemen danHitung dengan metode analitis.
-
(a) Untuk penyelesaian dengan satu elemen, batang tirus diwakili oleh persegi panjang ( ) p y g , g p g p j gdengan A=3/4Ao), lihat gambar b. Sehingga k menjadi
Hubungan displacement dengan gaya menjadi, dengan F1 adalah gaya reaksi akibat gaya aksi P
U1=0 karena pada tempat tersebut dijepit, sehingga U2 adalah
-
(b)Untukduaelemen,batangtirusdibagimenjadiduaelemenpersgipanjangdenganpanjangsama,tetapiluasnyaberbedadenganA1=7/8AodanA2=5/8Ao(terimasajadululuasaninitanpamengetahuicaramenghitungnya).Sehingga
Karenapadaduaelemenadatiganodal,makaadadisplacementU1,U2danU3
U1 U2 U3
Matrikkekakuanmenjadi[ke]=danhubungandisplacement
k1 k2
dengangayaadalah
F1adalahgayareaksi,F2=0danF3=P.g y ,
-
KarenaU1=0danF2=0maka
Denganmenyelesaikanpersamaanmatriktersebut,U2danU3dapatdiperoleh
(c)Untukmendapatkanpenyelesaiananalitis,diagramkesetimbangangayapadabatangadalah
LuasanbatangtirusadalahA=(1x/2L)denganx=jaraksetiaptitiksembarangsepanjangL
-
Tegangansetiaptitikxdihitungsebagai
Danregangansetiaptitikxadalah
Displacementsetiaptitikxdapatdihitung,denganx=0(titikjepit),danx=Lpada ujung dimana gaya bekerjapadaujungdimanagayabekerja
- Perbedaan displacement antarapenyelesaian analitis dan terhitungd l h 1% t k d l ( kadalah
-
Bagimana cara untuk mendapatkan hubungan matrikk k k ik di l d ikkekakuan,matrik displacementdan matrik gaya
1. Energiregangan;TeoremapertamaCastigliano2. Energipotensialminimum
1. Energiregangan;TeoremapertamaCastiglianoCastiglianoPadabendayangdikenaikerjamekanikluar,bilasistemdalamkesetimbangan,kerjayangdiberikan akan disimpan sebagai energidiberikanakandisimpansebagaienergiregangan.Definisikerjaluar
-
Untukbatang,energireganganadalah
()/2 adalah energi regangan per satuan volume atau disebut densitas()/2adalahenergireganganpersatuanvolumeataudisebutdensitasenergiregangan,Vadalahvolume.
T t C ti liTeoremapertamaCastiglianoUntuksistemelastisdalamkesetimbangan,turunanparsialenergiregangantotalterhadapdefleksidisebuahtitikadalahsamadengangayaterpakaid l h d fl k idalamarahdefleksi.
-
Untuk elemen batang
Secara matrik hubungan tersebut adalah
Hasil dengan metode ini sama dengan hasil yangdiperoleh dari metodesebelumnyasebelumnya.
-
Contoh pegasContohpegas(a) GunakanteoremapertamaCastiglianountukmenyelesaikansistem4
elemenpegas(sepertigambar)untukmendapatkanmatrikkekakuan.Anggapbatangvertikalpadanode2dan3rigid.
(b) Caridispalcementsetiapnodejika,k1=4kN/m,k2=6kN/m,k3=3kN/m.F2=30NdanF4=50N.
-
(a) Energiregangantotaluntuk4pegasadalah
TeoremaCastgliano
Biladisusundalambentukmatrik
-
(b)Denganmemasukkankonstantayangdiketahui,U1=0,F3=0,F1=gayareaksi
Untukmenyelesaikanpersamaanmatriktersebutadadualangkah:Langkah1:Hilangkanbarisdankolomtidakaktif
Langkah2:Kalikanbarispertamadengan12danbariskeduadengan16,tambahkankeduanyadantulishasilnyadibariskedua
Langkah3:Kalikanbarisketigadengan32tambahkankebariskeduadantulishasilnyapadabarisketiga
-
Langkah 4:Selesaikan persamaan (baris)dari palingbawahDi l h U4 U3 d U2Diperoleh U4,U3dan U2
DanF1dihitung dengan menyelesaikan persamaan baris pertama