Post on 14-Dec-2015
Matematika I (SI-103)
Sistem bilangan real
Matematika 1 - Hanhan Husna F 2
Sistem Bilangan Real
Bilangan yang paling sederhana: bilangan asliBilangan Asli = { 1, 2, 3, …}
Ketika menghitung panjang, atau utang, butuh bilangan yang lebih luas: bilangan bulatBilangan bulat = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Matematika 1 - Hanhan Husna F 3
Bilangan bulat belum cukup luas, ketika dibutuhkan ketelitian: Bilangan rasional (q)½ , 4/5, 2/1, …
Bilangan rasional: m, n bilangan bulat, dapat ditulis menjadi
Matematika 1 - Hanhan Husna F 4
Sudah cukup teliti? Tidak
Di luar bilangan rasional ada bilangan IrasionalContoh: dll
1
1
√2
Matematika 1 - Hanhan Husna F 5
Bilangan Real
Bilangan Rasional
Bilangan Bulat
ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
Bilangan Asli (natural)
Matematika 1 - Hanhan Husna F 6
Desimal
Setiap bilangan rasional dapat dibentuk menjadi desimal. Contoh:½ = 0,55/8 = 0,6253/11 = 0,23076923076923076923076923…
Matematika 1 - Hanhan Husna F 7
Apakah bilangan irasional bisa dibuat desimal?Bisa. Contoh:……
Matematika 1 - Hanhan Husna F 8
Bilangan desimal:Berulang
…Setiap bilangan desimal yang berulang merupakan rasional.
Tak berulangContoh: …Artinya, desimal tak berulang pasti irasional
Matematika 1 - Hanhan Husna F 9
Irasional(Desimal tak berulang)
Rasional(Desimal berulang)
Bilangan Real
Matematika 1 - Hanhan Husna F 10
Kerapatan
Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada bilangan real yang lain.
Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada tak terhingga bilangan rasional dan irasional
a b𝑎+𝑏2
𝑥1𝑥2 𝑥3
Matematika 1 - Hanhan Husna F 11
Sifat-sifat Medan
Hukum Komutatifdan
Hukum Asosiatifdan
Hukum distribusi
Matematika 1 - Hanhan Husna F 12
Elemen identitasAda dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi danInvers (balikan)mempunyai balikan aditif (disebut negatif) , yang memenuhi . kecuali 0 punya balikan perkalian yang memenuhi
Matematika 1 - Hanhan Husna F 13
Operasi Hitungan
Pengurangan dan pembagian didefinisikan sbb:
dan
Matematika 1 - Hanhan Husna F 14
Urutan bilangan
Jika diketahui , maka artinya berada di sebelah kiri pada garis bilangan real
Dari sini didapat positif
Bagaimana jika ?
𝑥 𝑦
Matematika 1 - Hanhan Husna F 15
Sifat urutan
TrikotomiJika dan sebuah bilangan, maka pasti berlaku salah satu di antara hal berikut:
atau atau
Ketransitifan dan
Matematika 1 - Hanhan Husna F 16
Penambahan
PerkalianJika z positif berlaku Jika z negatif berlaku
Matematika 1 - Hanhan Husna F 17
Logika
dibaca “jika p maka q” TIDAK SAMA DENGAN Pernyataan yg ekuivalen dengan adalah:
Disebut juga kontrapositif. Dalam logika, kontrapositif digunakan untuk pembuktian dengan cara kontradiksi (reductio ad absurdum)
Matematika 1 - Hanhan Husna F 18
Contoh: Jumlah suatu bilangan rasional dengan bilangan tak rasional adalah tak rasional.
Pernyataan di atas dapat ditulis:Jika x = m/n, dengan m, n bilangan bulat, dan y irasional, maka x + y irasional.
Matematika 1 - Hanhan Husna F 19
Gunakan kontrapositif, misalkan x + y rasional, maka x + y = p/q dengan p dan q bil. bulat. maka
Artinya y rasional, bertentangan dengan hipotesis. Artinya pernyataan tersbut terbukti
Matematika 1 - Hanhan Husna F 20
Contoh: buktikan jika genap, maka genap.Kontrapositif: jika ganjil maka ganjilBukti:Jika ganjil maka ada sedemikian Maka:
Artinya merupakan bilangan ganjil.
Matematika 1 - Hanhan Husna F 21
• Buktikan• merupakan bilangan irasional. (Petunjuk:
andaikan bisa dibuat p/q• Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah
tak terdefinisi
Matematika 1 - Hanhan Husna F 22
• Untuk setiap x, x^2 > 0• Untuk setiap x <0, x^2>0• Untuk setiap x ada y sedemikian sehingga y > x• Ada y sedemikian sehingga untuk setiap x, y>x