Koko Martono – FMIPA - ITB

037

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut dinamakan barisan. Barisan bilangan real 1 2 3, , ,a a a ditulis 1{ }n na =

• , atau disingkat {an}. Secara formal, barisan (tak hingga) ini didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli .

Ilustrasi Barisan bilangan real yang polanya 1, 4, 7, ⋅⋅⋅ mempunyai ru-mus eksplisit suku ke-n berbentuk 3 2, 1,2,na n n= - = . Dalam bentuk rumus rekursif barisan ini ditulis 1 11, 3, 2n na a a n-= = + ≥ .

Barisan konvergen Barisan {an} dikatakan konvergen ke L jika an da-pat dibuat sebarang dekat ke L dengan mengambil n yang besar. Secara formal, barisan {an} konvergen ke L, ditulis lim ,nn

a LÆ•

= atau na LÆ jika

0 | | .nN n N a Le e" > $ Œ ' ≥ fi - < Barisan yang tidak konvergen di-namakan divergen, mungkin limitnya ∞, − ∞, atau tidak ada (oskilasi).

Ilustrasi Barisan {an} dengan 11n na = - ; { }1 2 3

2 3 40, , , , konvergen ke 1

karena 1lim lim 1 1( )nn n na

Æ Æ• •= - = . Perhatikan situasi geometrinya.

1 + ε 1 1 − ε 11n na = - 1 2 3 4 N

y 1 + ε 1 1 − ε 1( ) 1 xy a x= = - 0 1 N x

B & D BR 038

Contoh Buktikan ( )1lim lim 1 1nn n naÆ Æ• •

= - = dengan definisi limit barisan.

Bukti Akan dibuktikan 10 1 1 .| |nN n Ne e" > $ Œ ' ≥ fi - - <

dik dicari bktkan Karena

1 1 11 1| |n n n ee- - = < ¤ > , maka ambillah N bilangan asli yang lebih besar

dari 1e , maka 1n N e≥ > mengakibatkan 1 11 1 .| |n n e- - = <

Sifat limit barisan Untuk barisan konvergen {an}, {bn} dan konstanta k:(1) lim

nk k

Æ•=

(2) lim limn nn nka k a

Æ Æ• •=

(3) lim ( ) lim limn n n nn n na b a b

Æ Æ Æ• • •± = ±

(4) lim ( ) lim limn n n nn n na b a b

Æ Æ Æ• • •◊ = ◊

(5) lim

limlim , lim 0nnn

n nnnn n

aab b bÆ

Æ•

•

Æ Æ••= π

Sifat barisan konvergen Untuk barisan { }, ( )n na a f n= ; jika lim ( )

xf x L

Æ•= , maka lim ( )

nf n L

Æ•= .

Prinsip apit Untuk barisan { },{ },{ }n n na b c , jika n n na b c£ £ dengan na LÆ dan nc LÆ , maka nb LÆ .

Untuk barisan { }na , jika | | 0na Æ , maka 0na Æ . Jika barisan { }na konvergen, maka { }na terbatas. ({ }na barisan terbatas jika 0 | |nM a M n$ > ' £ " Œ )

Jika barisan { }na monoton tak turun dan terbatas di atas, maka { }na konvergen. ({ }na barisan monoton tak turun jika 1n na a n+£ " Œ )

Contoh penggunaan prinsip apit Buktikan jika | | 1r < , maka 0nr Æ .

Bukti Karena | | 1r < , maka 1| | 1r > , akibatnya 1

| |0 1rp p$ > ' = + . Dari sini

diperoleh 1 1| | | | (1 ) 1n n

nr r p pn pn n= = + ≥ + > " Œ , sehingga 10 | |n

pnr£ < .

Karena 1lim 0 0 limn n pnÆ Æ• •

= = (limit pengapitnya 0), maka | | 0nr Æ . Akibatnya

berdasarkan sifat barisan konvergen diperoleh 0nr Æ .

B & D BR 039

Contoh Buktikan barisan { }na dengan 2!n

n na = konvergen ke 0.

Bukti Karena { }na barisan positif, maka { }na terbatas di bawah oleh 0.

Karena 11

11 2 ! 2

( 1)! 12 1n

n n

n

nna na a n na+

+

+ + += ◊ = ◊ = £ , maka 1n na a n+ £ " Œ , akibat-

nya { }na barisan monoton tak naik. Karena { }na monoton tak naik dan ter-batas di bawah oleh 0, maka { }na konvergen ke 0. (sifat barisan konvergen)

Cara lain Karena 2 ( 1)!, 6n n n< - > (buktikan dengan induksi matematika),

maka ( 1)!2 1! !0n

nn

n n na -< = < = . Karena limit pengapitnya 0, maka 0na Æ .

Deret bilangan real Dari barisan {an} buatlah barisan {sn} dengan

1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2, , , , n ns a s a a s a a a s a a a= = + = + + = + + + .

Barisan {sn} dinamakan deret bilangan real dan ditulis 1 nna

=•Â . Suku

ke-n dari barisan {sn} dinamakan jumlah parsial deret. Dari definisi ini langsung diperoleh 1 , 1,2,3,n n na s s n+= - =

Deret konvergen Deret 1 nna

=•Â dikatakan konvergen (punya jumlah)

jika barisan {sn} konvergen dan divergen jika {sn} divergen.

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 1

11( )n n n=

•+Â .

Deretnya: 1

1 1 1 1 12 6 12 20( 1)n n n=

•+ = + + + +Â dengan 1 1 1

( 1) 1n n n n+ += - .

Jumlah parsial deret ini adalah

( ) ( ) ( ) ( )1 111 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 1( 1) 1 11 1 .n k kn n

n nk k k k ns= = ++ + += = - = - + - + + - = -Â Â

Karena ( )11lim lim 1 1nn n ns

Æ Æ• • += - = , maka deret ini konvergen dan jumlah

deretnya 1, ditulis 1

11( ) 1

n n n=•

+ =Â

B & D BR 040

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 1

1n n=•Â .

Deretnya: 1

1 1 1 12 3 41

n n=• = + + + +Â dengan 1

n na = . (deret harmonik)

Jumlah parsial deret ini dapat ditulis dalam bentuk

( )

( ) ( )

1 1

2 1 2

4 1 2 3 4

8

1/ 2

1/ 2 1/ 2

1 2 8

1 12 2

1 1 1 12 3 4 2

1 1 1 1 1 1 1 15 72 3 4 6 8 2

11 1 1

1 1 2

1 1 3

s as a a

s a a a a

s a a a>

> >

= == + = + = + ◊

= + + + = + + + > + ◊

= + + + = + + + + + + + > + ◊

Dari sini diperoleh 21 12 21 1ns n n≥ + ◊ = + . (buktikan dengan induksi!)

Karena ( )212lim lim 1 ,n

n ns n

Æ Æ• •≥ + = • maka deret ini divergen.

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 11( 1)n

n+

=• -Â .

Deretnya: 11( 1) 1 1 1 1n

n+

=• - = - + - +Â dengan 1( 1) .n

na += -

Jumlah parsial deretnya: {1, bilangan ganjil {1,0,1,0, }0, bilangan genapnns n= = .

Karena {sn} tidak mempunyai limit (oskilasi), maka deret ini divergen.

Sifat deret konvergen Jika deret 1 nna

=•Â konvergen, maka lim 0.nn

aƕ

=

Bukti Misalkan jumlah parsial deret ini adalah sn. Karena deretnya kon- vergen, maka lim .nn

s s sƕ

$ Π' = Akibatnya

1 1lim lim ( ) lim lim 0.n n n n nn n n na s s s s s s- -Æ Æ Æ Æ• • • •= - = - = - =

Ilustrasi Deret 1

12 5nnn=

• +-Â divergen karena 1 1

2 5 2lim 0n

nnƕ

+- = π .

(kontraposisi sifat deret konvergen)

B & D BR 041

Catatan Kebalikan sifat deret konvergen tidak benar lagi. Contoh penyangkalnya adalah

1lim 0n nƕ

= tetapi deret 1

1n n=•Â divergen.

Deret Geometri Bentuk umum: 1 21

nn

ar a ar ar-=• = + + +Â .

Jumlah parsial: 1 2 1

1(1 )1 , 1.

nn k nn k

a rrs ar a ar ar ar r- -

=--= = + + + + = πÂ

2 1

2 1

(1 )1(1 ) (1 ) , 1

n

nn

n nn

nn n

a rr

s a ar ar arrs ar ar ar ar

r s a r s r

-

-

--

= + + + += + + + +

=fi- = - π

Jika | | 1r < , maka 0nr Æ (halaman 2, prinsip apit), akibatnya 1

1(1 ) 11 1 1lim lim

nnnn n n

a r ar r rs ar s a-

= Æ Æ

•

• •

-- - -= = = = = ◊ .

Catatan Dari fenomena 1 2 1= - , 1 12 21 2+ = - , 1 1 1

2 4 41 2+ + = - , ⋅⋅⋅ di-

peroleh 11 1 1 12 4 2 21 2n nnS + = + + + + = - dengan 1lim 2nn

S +Æ•= , sehingga

deret geometri 0

1 1 12 42 1nn=

• = + + +Â konvergen ke 2; 0

12 2nn=

• =Â .

Ilustrasi ( )1

1 1 23

1

1 1 12 2 2 2 1

3 13 32 2 2 3 6.

n n

n n

n

n n n

-

- -

-

= = =• • •◊

-= = = ◊ = ◊ =Â Â Â

Ilustrasi ( ) 12

1

0 11 1 1 1 1 1 2

2 4 8 2 3121 1 1( ) n

nnn n

-

= =• •

+- = - + - + = ◊ - = =Â Â .

Ilustrasi Jika | | 1x < , maka 0

11

nn xx=•

-=Â dan 0

11( 1)n n

n xx=•

+- =Â .

Catatan Deret 1 nna

=•Â yang konvergen ke S ditulis

1 nna S

=• =Â .

Sifat linear deret tak-hingga

(1) Jika c ≠ 0, maka 1 nna

=•Â dan 1 nn

ca=•Â bersama-sama konvergen atau

divergen. (2) Jika

1 nna S

=• =Â dan

1,nn

b T=• =Â maka

1( ) .n nna b S T

=• ± = ±Â

B & D BR 042

Uji jumlah terbatas Deret

1, 0n nn

a a n=• ≥ " ŒÂ konvergen ⇔

1n

n kks a

==Â terbatas di atas.

Uji integral Untuk fungsi f yang kontinu, bernilai positif, dan tak naik pada [1,∞) dengan ( )na f n= berlaku

deret 1 nna

=•Â konvergen ⇔ integral tak-wajar

1( )f x dx

•Ú konvergen.

y

y = f (x) 0 1 2 3 4 5 n x

y

y = f (x) 0 1 2 3 4 5 n x

Uji banding biasa Jika

10 dann n nn

a b n N b=•£ £ " ≥ Â konvergen, maka

1 nna

=•Â konvergen.

Jika 1

0 dann n nna b n N a

=•£ £ " ≥ Â divergen, maka

1 nnb

=•Â divergen.

Uji banding limit Misalkan 0, 0, dan lim n

nn n n

aba b L

Æ•≥ > = .

Jika 0 L< <• , maka 1 nna

=•Â dan

1 nnb

=•Â bersama-sama konvergen

atau divergen. (keduanya konvergen atau keduanya divergen) Jika 0L= dan

1 nnb

=•Â konvergen, maka

1 nna

=•Â konvergen.

Uji banding Untuk deret 1

, 0n nna a n

=• > " ŒÂ dan

1lim n

nn

aa L+

Æ•= ;

jika 1L< , maka deret konvergen.

jika 1L> atau 1lim n

nan

a +

Æ•=• , maka deret divergen.

jika 1L= , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

a1 a2

a3 a4 a5

an

a1 a2 a3 a4 a5

an

B & D BR 043

Aneka Ragam Variasi Contoh Kekonvergenan Deret

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 2123 3nn

n n=•

- +Â .

Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari 1n n≥ " Œ diperoleh 3 3 0.n- + £

Akibatnya 2 23 3 ,n n n- + £ sehingga 2 2

1 13 3n n n- +

≥ dan 2 22 2 23 1n n

nn n n- +≥ = .

Karena deret 1

1n n=•Â divergen, maka deret 21

23 3nn

n n=•

- +Â juga divergen.

Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan 223 3nn

n na

- += dengan

2n nb = .

Karena 21 2

3 3lim lim lim 2n

n nnn n n

a nb b n n

a nÆ Æ Æ• • • - +

= ◊ = ◊ = <• dan deret 1

1n n=•Â di-

vergen, maka deret 2123 3nn

n n=•

- +Â juga divergen.

Cara 3 Dengan uji integral, tunjukkan 212

3 3xdx

x x•

- +Ú divergen (kerjakan rin-

cian prosesnya!). Akibatnya 2123 3nn

n n=•

- +Â divergen.

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 1 3 (2 1)nn

nn=

•+Â .

Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari 2 1n n n< + " Πdiperoleh 2 1 1nn+ < ,

sehingga ( )133 (2 1) .n

nnn + < Karena ( )1

13

n

n=•Â konvergen (deret geometri de-

ngan rasio 13r = ), maka deret

1 3 (2 1)nnnn=

•+Â konvergen.

Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan 3 (2 1)nnnna += dengan

( )1 13 3n

nnb = = . Karena 1 1

23 (2 1)lim lim lim 3nn

n n

nnn n n

a nb b na

Æ Æ Æ• • • += ◊ = ◊ = <• dan

deret ( )113

n

n=•Â konvergen, maka deret

1 3 (2 1)nnnn=

•+Â konvergen.

B & D BR 044

Contoh Selidiki kekonvergenan deret (a) 1

1n n n=•Â , (b)

21lnn n n=

•Â .

(a) Dengan uji integral, karena

( ) ( )3/2 1/21 1 1

2lim lim 2 lim 2 2bb

b b b

dxx x b

x dx x- -

Æ Æ Æ

•

• • •= = - = - + =Ú Ú

(konvergen), maka deret 1

1n n n=•Â konvergen.

(b) Dengan uji integral, karena

( ) ( )22 2(ln )

ln lnlim lim ln(ln ) lim ln(ln ) ln(ln2)b b

b b b

d xdxx x x x b

Æ Æ Æ

•

• • •= = = - =•Ú Ú

(divergen), maka deret 2

1lnn n n=

•Â divergen.

Hampiran jumlah deret Jumlah deret 1 nn

S a=•=Â dapat dihampiri oleh

jumlah parsial 1

nn kk

S a=

=Â dan galatnya adalah 1

.n n kk nE S S a

= +•= - =Â

Dengan kondisi fungsi f pada uji integral diperoleh ( )n nE f x dx

•< Ú .

Contoh (a) Jika jumlah deret konvergen 1

1n n n=•Â dihampiri oleh 100

suku pertama, tentukan suatu batas untuk galatnya. (b) Tentukan n agar galat dari jumlah deret S dan jumlah parsial Sn paling besar 0,005.

(a) Untuk deret ini pilihlah 3/2( ) 1/f x x= yang bernilai positif, monoton tu-run, dan kontinu pada [1,∞). Karena

( )3/2 3/2 1/2100 101 100 100

1 2 210lim 0,2

b

k b

dxk x x

E= Æ

••

•

-= < = = =Â Ú

maka suatu batas untuk galatnya adalah 0,2. (b) Akan dicari n sehingga 0,005n nE S S= - < . Karena

( )3/2 3/2 1/211 2 2lim

b

n k n n b n

dxnk x x

E= + Æ

••

•

-= < = =Â Ú .

maka 0,005n nE S S= - < dipenuhi bilamana 2 0,005n < . Dari sini diper-

oleh 400n > , sehingga 160000n > .

B & D BR 045

Contoh Tunjukkan deret 1

2 !n

nnn

n◊

=•Â konvergen dan hitunglah 2 !lim

n

nn

nn◊

Æ•.

Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini 2 !n

nnn

na ◊= dan

( ) ( )1

11 11

2 ( 1)!1 2 212 !( 1) lim 1

lim lim lim lim 2 1n

n nn

nnn n nn

nnn n n n

a n n na a n enn

a+

++

Æ•+ ◊Æ Æ Æ Æ• • • •

◊ +++ +

= ◊ = ◊ = = = < .

Karena 1lim 1n

nn

aa+

Æ•< , maka deret

12 !n

nnn

n◊

=•Â konvergen. Berdasarkan sifat

deret konvergen diperoleh 2 !lim 0

n

nn

nn◊

Æ•= .

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 1

(2 )!! !nn

n n=•Â .

Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini (2 )!! !nn

n na = dan

121

(2 2)! (2 1)(2 2)1 ! !( 1)!( 1)! (2 )! ( 1)

lim lim lim lim 4 1n

n nnn n n n

a n n nn na a n n n n

a++Æ Æ Æ Æ• • • •

+ + ++ + +

= ◊ = ◊ = = > .

Karena 1lim 1n

nn

aa+

Æ•> , maka deret

1(2 )!

! !nn

n n=•Â divergen.

Deret ganti tanda Bentuk umumnya adalah 1

1 2 3 41( 1) , 0n

n nna a a a a a n+

=• - = - + - + > " ŒÂ ,

suku-suku deret ganti tanda berselang-seling positif dan negatif.

Ilustrasi

( )1 12

111 1

1 1 1 1 1 1 22 4 8 2 312

( 1) 1 1n

nnn n-

-+

= =• •

+- = - + - + = ◊ - = =Â Â ada-

lah deret ganti tanda konvergen. (deret geometri dengan rasio −1/2)

11( 1) 1 2 3 4n

nn+

=• - = - + - +Â adalah deret ganti tanda divergen.

11( 1) 1 1 1 1n

n+

=• - = - + - +Â adalah deret ganti tanda divergen.

B & D BR 046

Uji kekonvergenan deret ganti tanda Jika barisan { }na semua sukunya

positif, monoton turun, dan lim 0,nna

Æ•= maka

11( 1)n

nna+

=• -Â konvergen.

Ilustrasi Deret 11

1 1 1 12 3 4( 1) 1n

n n+

=• - = - + - +Â konvergen karena

1 0n na n= > " Œ , { }na monoton turun, dan 1lim lim 0.nn n naÆ Æ• •

= =

+a1 −a2 +a3 −a4 0 s2 s4 s s3 s1 x

Taksiran deret ganti tanda Jika deret 1

1( 1)n

nna s+

=• - =Â memenuhi kondisi

di atas dan 11 2 ( 1)n

n ns a a a+= - + + - , maka 1| | .n ns s a +- £

Ilustrasi Deret 11

11

2( 1) n

nn -

+=• -Â konvergen ke 2

3s = dan jumlah 8 suku

pertamanya adalah 8 0,6440625s = . Taksiran jumlahnya memenuhi

8 91

256| | 0,00260416 0,00390625s s a- = < = =… .

Uji kekonvergenan dengan nilai mutlak

Jika deret 1| |nnu

=•Â konvergen, maka deret

1 nnu

=•Â juga konvergen.

Kekonvergenan mutlak dan bersyarat Deret 1 nnu

=•Â dikatakan kon-

vergen mutlak jika 1| |nnu

=•Â konvergen dan konvergen bersyarat jika

1 nnu

=•Â konvergen tetapi deret

1| |nnu

=•Â divergen.

Ilustrasi

Deret 11

11 1 1 1

2 4 82( 1) 1n

nn -

+=• - = - + - +Â konvergen mutlak karena

1 121

1 1 1 12 4 12

1 2nn -=•

-= + + + = =Â . (deret nilai mutlaknya konvergen)

Deret 11

1 1 1 12 3 4( 1) 1n

n n+

=• - = - + - +Â konvergen bersyarat karena

deret ini konvergen tetapi deret 1

1 1 12 31

n n=• = + + +Â divergen.

B & D BR 047

Ilustrasi Deret 16

1

sin (2 1) 1 1 1 1 1 12 16 5 52 2 6 3 12 6n

nn n

p=• -

= + + - - - +Â

konvergen karena deret nilai mutlaknya 16

1

|sin (2 1) |n

nn n

p=• -Â konvergen.

Karena 16|sin (2 1) | 1nn n n n

p-£ dan deret

11

n n n=•Â konvergen (uji integral),

maka deret 16

1

|sin (2 1) |n

nn n

p=• -Â konvergen.

Uji banding mutlak Untuk deret 1

, 0n nna a

=• π dan

1| |

| |lim n

nn

aa L+

Æ•= ;

jika 1L< , maka deret konvergen. jika 1L> , maka deret divergen. jika 1L= , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

Pengaturan kembali suku deret Suku-suku deret konvergen mutlak dapat diatur kembali tanpa berpengaruh pada kekonvergenan atau jum-lah deretnya.

Ilustrasi Deret 11

3!( 1)nn

n n+

=• -Â konvergen mutlak berdasarkan uji ban-

ding mutlak karena 1

1| |1| | | |

1 3 ! 3( 1)! 13lim lim | | lim lim 0 1

nn

nn nnn n n n

a na a n na

++

+Æ Æ Æ Æ• • • •+ += ◊ = ◊ = = < .

Deret pangkat Bentuk umum deret pangkat yang berpusat di 0 adalah 2

0 1 20n

nna x a a x a x

=• = + + +Â dan yang berpusat di 0x adalah

20 0 1 0 2 00

( ) ( ) ( )nnn

a x x a a x x a x x=• - = + - + - +Â

Catatan Dalam notasi ini 00 0a x a= walaupun x = 0.

Ilustrasi Deret geometri 2 30

nn

ax a ax ax ax=• = + + + +Â adalah suatu

deret pangkat yang konvergen ke 1( ) axs x -= untuk | | 1x < (atau 1 1x- < < )

B & D BR 048

Himpunan kekonvergenan deret pangkat Himpunan ini terdiri dari se-mua x di mana suatu deret pangkat konvergen dan di luarnya divergen.

Teorema Himpunan kekonvergenan 0

nnn

a x=•Â selalu berbentuk:

Titik x = 0 (selang [0,0]), jari-jari kekonvergenannya 0. Selang (−R,R) (atau (−R,R], [−R,R), [−R,R]), jari-jari kekonvergenan-nya R.

Seluruh garis real (selang (−∞,∞)), jari-jari kekonvergenannya ∞. Teorema Deret pangkat

0n

nna x

=•Â konvergen mutlak pada interior

(selang buka) dari selang kekonvergenannya.

Ilustrasi Untuk deret 0

! ,nn

n x=•Â uji banding dengan ! n

na n x= membe-

rikan {11| |

| |( 1)!

!0, 0lim lim lim ( 1)| | ., 0

nn

nnn n n

a n xa n x

xL n x x+

+

Æ Æ Æ• • •

+ == = = + = • π Karena L > 1,

maka deret hanya konvergen di x = 0.

Ilustrasi Untuk deret 0 !

n

nxn=

•Â , uji banding dengan !n

nxna = memberikan

11| |

1| |1 ! | |

( 1)! 1lim lim lim lim 0n

nn

n nnn n n n

a x n xa a n nxL a

++

+Æ Æ Æ Æ• • • •+ += = ◊ = ◊ = = . Karena L < 1,

maka deret konvergen x" Œ dan selang kekonvergenannya (−∞,∞).

Ilustrasi Untuk deret 0 ( 1)2

n

nnx

n=•

+Â , uji banding dengan ( 1)2

n

nnx

na +=

memberikan 1

11

| |1| |

( 1)21 | | 1 | |2 2 2( 2)2

lim lim lim limnn

nnnn nnn n n n

a nx x n xa a nxn

L a+

+++Æ Æ Æ Æ• • • •

+ +++

= = ◊ = ◊ = ◊ = .

Akibatnya deret konvergen jika | |2 1xL= < dan divergen jika

| |2 1xL= > , se-

hingga deret konvergen jika 2 2x- < < dan divergen jika 2x> atau 2x<- .

Di titik batas 2x=- diperoleh deret 0

( 1)( 1)

n

n n=• -

+Â yang konvergen. Di titik

batas 2x= diperoleh deret 0

1( 1)n n=

•+Â yang divergen. Jadi selang kekon-

vergenan deret pangkat ini adalah 2 2x- £ < .

B & D BR 049

Contoh Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat 1

( 2)3

n

nnxn=

• +◊ .

Gunakan uji kekonvergenan mutlak dengan ( 2)3

n

nnxna +◊= , diperoleh

111

| |1| |

( 2)1 3 | 2| | 2|3 1 3( 2)( 1) 3

lim lim lim limnnn

nnn nnn n n n

a x n x n xa a nxn

L a++++Æ Æ Æ Æ• • • •

+ ◊ + ++++ ◊

= = ◊ = ◊ = = .

Akibatnya deret konvergen jika | 2|3 1xL += < dan divergen jika | 2|

3 1xL += > , sehingga deret konvergen jika 5 1x- < < dan divergen jika 1x> atau 5x<- .

Di titik batas 5x=- diperoleh deret 1

( 1)n

n n=• -Â yang konvergen. Di titik ba-

tas 1x= diperoleh deret 1

1n n=•Â yang divergen. Jadi selang kekonvergenan

deret pangkat ini adalah 5 1x- £ < .

Operasi pada deret pangkat Turunan dan integral suku demi suku de-ret pangkat di interior selang kekonvergenannya. (interior adalah selang buka terbesar dari selang kekonvergenannya).

Jika 2 3

0 1 2 30( ) n

nns x a x a a x a x a x

=•= = + + + +Â pada selang I, maka

1 21 2 30 1

( ) ( ) 2 3n nn nn n

ddxs x a x na x a a x a x-

= =• •= = = + + +¢ Â Â , x ∈ interior I

1

1 22 300 0 1 2 3( )

nnn

nn na aa x

ns x dx a x dx a x x x+

= =• •

+= = = + + +Â ÂÚ Ú , x ∈ interior I

Ilustrasi Dari deret pangkat 2 311 1 , 1 1x x x x x- = + + + + - < < diperoleh

22 31

(1 )1 2 3 4 , 1 1

xx x x x

-= + + + + - < <

dengan cara menurunkan suku demi suku deret semula.

Ilustrasi Dari deret pangkat 2 311 1 , 1 1x x x x x+ = - + - + - < < diperoleh

2 3 21 1 12 3 4ln (1 ) , 1 1x x x x x x+ = - + - + - < <

dengan cara mengintegralkan suku demi suku deret semula.

B & D BR 050

Teorema Abel (Kekonvergenan deret pangkat di titik ujung selang) Jika

0( ) , ( , ),n

nns x a x x R R

=•= Œ - s kontinu di R dan −R, serta deret kon-

vergen untuk x = R dan x = −R, maka di titik ujung selang berlaku

0( )n

nna R s R

=• =Â dan

0( ) ( )n

nna R s R

=• - = -Â .

Ilustrasi Dari ilustrasi terakhir kita mempunyai deret pangkat 2 3 21 1 1

2 3 4ln (1 ) , 1 1x x x x x x+ = - + - + - < < . Karena fungsi ln (1 )y x= + kontinu di x = 1 dan deret di ruas kanan konver-gen untuk x = 1, maka 1 1 1

2 3 4ln 2 1= - + - + .

Contoh Tentukan deret pangkat untuk 1tan x- dan suatu deret untuk π.

Dari deret pangkat 2 311 1 , 1 1x x x x x- = + + + + - < < gantilah x dengan 2,x-

diperoleh 22 4 61

11 , 1 1

xx x x x

+= - + - + - < < . Integralkan suku demi suku

dari deret ini menghasilkan 1 3 5 71 1 13 5 7tan , 1 1x x x x x x- = - + - + - < < .

Berdasarkan teorema Abel, karena 1tany x-= kontinu di x = 1 dan deret di ruas kanan konvergen untuk x = 1, maka 11 1 1 1

4 3 5 7tan 1 1p -= = - + - + , se-

hingga suatu deret untuk π adalah ( )1 1 13 5 74 1p = - + - + .

Contoh Tunjukkan ( )3 51 1 11 3 5ln 2 , 1 1x

x x x x x+- = + + + - < < dan tentukan

suatu deret untuk ln 2.

2 3 2 3 2

int

int

2 3 2 3 2

1 1 1 11 2 3 4

1 1 1 11 2 3 4

1 ln (1 ) , 1 1

1 ln (1 ) , 1 1x

x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x+

-

= - + - + + = - + - + - < <

= + + +

fi

+ - - = + + + + - < <fi

( )3 51 1 11 3 5ln 2 , 1 1x

x x x x x+- = + + + - < <

Ambil 13x= , diperoleh ( )1

351 4

3

1 1 1 1 13 51 33

ln 2 ln 2+-= = + + ◊ + .

B & D BR 051

Operasi aljabar pada deret pangkat Dua deret pangkat yang konver-gen dapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan suku demi sukunya seperti pada sukubanyak. Dua deret pangkat yang konvergen juga dapat dibagi seperti pembagian panjang pada sukubanyak.

Ilustrasi Tentukan jumlah, selisih, hasilkali, dan hasilbagi deret pang-kat

2 311 1 , 1 1x x x x x+ = - + - + - < < dan

2 311 1 , 1 1x x x x x- = + + + + - < < .

Jumlah: Dari 2 3 2 31 1

1 1 (1 ) (1 )x x x x x x x x+ -+ = - + - + + + + + + diperoleh

22 42

12(1 )

xx x

-= + + + , yang menghasilkan 2

2 411

1x

x x-

= + + + .

Selisih: Dari 2 3 2 31 1

1 1 (1 ) (1 )x x x x x x x x+ -- = - + - + - + + + + diperoleh

23 52

12( )x

xx x x-

-= - + + + , yang menghasilkan 2

2 411

1x

x x-

= + + + .

Hasilkali: Dari 2 3 4 2 3 41 11 1 (1 ) (1 )x x x x x x x x x x+ -◊ = - + - + - ◊ + + + + +

diperoleh ruas kanannya adalah 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 61 x x x x x x x x x x x x x x+ + + + + - - - - - - + + + + + + ,

yang setelah disederhanakan sama dengan 2 41 x x+ + + . Dalam kasus ini juga dihasilkan 2

2 411

1x

x x-

= + + + .

Hasilbagi: Dari 2 3 4 2 3 41 11 1 (1 ) (1 )x x x x x x x x x x+ - = - + - + - + + + + +

dengan pembagian panjang diperoleh ruas kanannya adalah 2 31 2 2 2x x x- + - +

2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 71 1x x x x x x x x x x x x x x+ + + + + + + + - + - + - + - + 2 3 4 5 6 71 x x x x x x x+ + + + + + + +

3 5 72 2 2 2x x x x- - - - - 2 3 4 5 6 72 2 2 2 2 2 2x x x x x x x- - - - - - - - 2 4 62 2 2x x x+ + - dst.

Dikerjakan tanpa proses pembagian panjang, kita mempunyai 2 3 2 21 1 2 21 1

1 1 1 1 11 1 2 1 1 2 2 2( )x x x xx x x x x x x x x x x x- + -

+ - + + += = = - = - - + - + = - + - +

B & D BR 052

Deret Maclaurin Perhatikan proses menentukan koefisien deret pang-kat

0( ) n

nnf x a x

=•=Â dinyatakan dalam turunan dari fungsi f pada selang

(−R,R) dengan R jari-jari kekonvergenan deret. 2 3

0 1 2 30( ) n n

n nnf x a x a a x a x a x a x

=•= = + + + + + +Â 0 (0)a ffi =

2 3 11 2 3 4( ) 2 3 4 n

nf x a a x a x a x na x -= + + + + + +¢ 1 (0)a ffi = ¢ 2 2

2 3 4( ) 2 2 3 3 4 ( 1) nnf x a a x a x n na x -= + ◊ + ◊ + + - +¢¢ 2

12 (0)a ffi = ¢¢

33 4( ) 2 3 2 3 4 ( 2)( 1) n

nf x a a x n n na x -= ◊ + ◊ ◊ + + - - +¢¢¢ 313! (0)a ffi = ¢¢¢

.................................................................................. ( )( ) ! !( 1)n

nf x n a n n x= + + + ( )1! (0)n

n na ffi =

Akibatnya kita mempunyai

( )

0(0)!( ) ,

n nn

fnf x x R x R

=•= - < <Â , yang dike-

nal sebagai deret Maclaurin (di sekitar 0) yang konvergen ke f.

Deret Taylor Jika0

( ) ( ) ,nnn

f x a x c R x c R=•= - - < - <Â (c R x c R- < < + ),

maka dengan proses yang sama,

( )

0( )!( ) ( ) ,

n nn

f cnf x x c c R x c R

=•= - - < < +Â .

Deret ini dikenal sebagai deret Taylor di sekitar c yang konvergen ke f.

Contoh Tentukan deret Maclaurin dan deret Taylor di sekitar c untuk fungsi ( ) .xf x e=

Karena

( )( )n xf x e= dengan

( )(0) 1nf = , maka deret Maclaurin untuk fungsi ini

adalah 0 !

nxn

xne

=•= . Karena deret pangkatnya konvergen x" Œ , maka

2 30

1 1! 2 61 ,nx

nxne x x x x

=•= = + + + + ŒÂ .

Karena ( )( ) ,n cf c e= maka deret Taylor dari ( ) xf x e= di sekitar adalah

0 ! ( ) ,cx n

nene x c x

=•= - ŒÂ .

Deret terakhir dapat juga diperoleh dengan cara

0 01! !( ) ( ) ,

cx c x c c n nn n

en ne e e e x c x c x-

= =• •= ◊ = - = - ŒÂ  .

B & D BR 053

Ilustrasi Tentukan deret Maclaurin untuk ( ) sinf x x= dan ( ) cosg x x= .

Dari ( )12( ) cos sinf x x x p= = +¢ , ( )1

2( ) sin sin 2f x x x p=- = + ◊¢¢ diperoleh

( )( ) 12( ) sinnf x x n p= + ◊ , sehingga

( ) 12(0) sin , 0,1,2,3,nf n np= = . Jadi de-

ret Maclaurin untuk fungsi ( ) sinf x x= adalah 3 5 7 2 1

03! 5! 7! (2 1)!( ) sin ( 1) ,nn

nx x x x

nf x x x x+

=•

+= = - + - + = - ŒÂ .

Analog: ( )( ) 12( ) cosng x x np= + dan ( ) 1

2(0) cos , 0,1,2,3,ng n np= = . Jadi deret Maclaurin untuk fungsi ( ) cosg x x= adalah

2 4 6 2

02! 4! 6! (2 )!( ) cos 1 ( 1) ,nn

nx x x x

ng x x x=•= = - + - + = - ŒÂ .

Rumus Taylor dengan suku sisanya Jika fungsi f mempunyai turunan sampai tingkat-(n+1) pada selang buka I yang memuat c, maka ,x I" Œ

( )2( ) ( )2! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

n nn

f c f cnf x f c f c x c x c x c R x¢¢= + - + - + + - +¢ ,

dengan suku sisa

( 1) 1( )( 1)!( ) ( )n n

nf

nR x x cx+ ++= - , ξ di antara x dan c. Di sini

( )2( ) ( )2! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n nn

f c f cnP x f c f c x c x c x c¢¢= + - + - + + -¢

dikenal sebagai sukubanyak Taylor dan ( )nR x suku sisa Taylor. Teorema Taylor Jika fungsi f mempunyai turunan di semua tingkat pa-

da selang ( , )c r c r- + , maka deret Taylor

( )

0( )! ( )

n nn

f cn x c

=• -Â adalah uraian

fungsi f ⇔ lim ( ) 0,nnR x

Æ•= dengan

( 1) 1( )( 1)!( ) ( ) , ( , )n n

nf

nR x x c c r c rx x+ ++= - Π- + .

Deret Binomial Untuk x yang memenuhi 1 1x- < < dan p" Πberlaku

2 3 ( 1)( 2) ( 1)!(1 ) 1 ,1 2 3

p p p p p nn

p p p px x x x n- - - +Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ Ê ˆ+ = + + + + =Á ˜ Á ˜ Á ˜ Á ˜Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯ Ë ¯

Ilustrasi Dengan rumus deret binomial, 31

2 21/2 21

( )( ) ( 1) 1 3 5 (2 1)12 2! 2 !(1 ) 1 1 , | | 1.

n

nn

nn

nx x x x x◊-= ◊

•- - - ◊ ◊ -+ = - + + = + <Â

B & D BR 054

Hampiran fungsi dengan sukubanyak Taylor Jika fungsi f mempunyai turunan sampai tingkat-(n+1) pada selang buka I yang memuat c, maka

,x I" Π( ) ( ) ( )n nf x P x R x= + , dengan ( )2( ) ( )

2! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n n

nf c f c

nP x f c f c x c x c x c¢¢= + - + - + + -¢

dan ( 1) 1( )( 1)!( ) ( ) , ( , )n n

nf

nR x x c c r c rx x+ ++= - Π- + . Untuk n = 1 kita mempunyai

( ) ( ) ( ) ( )( )nf x P x f c f c x cª = + -¢ , dikenal sebagai hampiran dengan garis singgung. Untuk n = 2 hampiran dengan fungsi kuadrat, dan seterusnya.

Untuk Rn(x) yang terbatas dapat dihitung batas ketelitian hampirannya dan besarnya n agar hampirannya memenuhi batas galat yang diberikan.

Contoh Hitunglah hampiran untuk e dengan galat paling sedikit 610 .-

Uraian Maclaurin dari xe dan suku sisanya adalah 2 3

2! 3! !1 ( )nx

nx x x

ne x R x= + + + + + + , 1

( 1)!( )c n

ne xnR x

+

+= , c di antara 0 dan x.

Untuk menghitung e ambillah x = 1, maka diperoleh 1 1 12! 3! !1 1 (1)x

nne R= + + + + + + , ( 1)!(1)c

ne

nR += , c di antara 0 dan 1.

Andaikan e < 3, maka 10 1 1 3cc e e< < fi < < < fi 1 3( 1)! ( 1)! ( 1)!(1)

c

ne

n n nR+ + +< = < .

Carilah n sehingga 61 3( 1)! ( 1)!(1) 10nn nR -+ +< £ < . Karena 61 3

9! 10!10-< < , ambil-

lah (n + 1) = 10, sehingga n = 9. Jadi hampiran untuk e dengan galat paling sedikit 610- adalah 1 1 1

2! 3! 9!1 1 2,728282e = + + + + + = .

Contoh Hitunglah hampiran cos 62° dengan sukubanyak Taylor derajat dua beserta suatu batas untuk galat hampirannya.

Dari ( ) ( )2 21 1 12 2 3 4 3cos 3 ( )x x x R xp p= - - - - + ambillah 3 9062x p p= = + ,

maka diperoleh ( ) ( )2 2 211 1

2 2 90 904cos62 3 ( ) 0,4694654 ( ),R x R xp p= - - + ª +

dengan batas galat 3 32 2

sin 13 90 90 903! 6| ( )| 0,0000071( ) ( ) ( )| | | |cR x R p p p p= + = < ª .

SOAL LATIHAN MA 1201 – KALKULUS 2A Pokok Bahasan: Deret tak Hingga

Soal uji konsep dengan benar – salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Jika 0 n na b n£ £ " Œ dan barisan { }nb konvergen, maka barisan { }na konvergen. B − S

2. Jika barisan { }na konvergen, maka barisan /{ }na n konvergen ke 0. B − S

3. Jika barisan { }na konvergen dengan lim nna L

Æ•= , maka 3 4lim nn

a L+Æ•= . B − S

4. Jika 1lim ( ) 0n nna a +Æ•- = , maka lim nn

aƕ

ada dan nilainya hingga. B − S

5. Jika deret Σan divergen, maka barisan jumlah parsial dari deretnya tak terbatas. B − S

6. 221

( ln )nn

n n=• +Â adalah suatu deret yang konvergen. B − S

7. ( ) ( ) ( )2 3 10001 1 1 1 13 3 3 3 2+ + + + < . B − S

8. ( )111

n

n n=• -Â adalah suatu deret yang konvergen. B − S

9. Jika deret 0( 3)n

nna x

=• -Â konvergen di x = −1,1, maka deret konvergen di x = 7. B − S

10. Jika0

( ) nnn

f x a x=•=Â dan deret konvergen di x = −1,5, maka

1

00 1( ) nn

anf x dx

=•

+=ÂÚ . B − S

Selidiki kekonvergenan barisan berikut dan tentukan limitnya bila konvergen

11. 29

9 1nn

na

+= 12. cos ( )

nn

na p= 13. lnn

nna = 14. ( ) /221

n

n na = +

15. 2( 1)nn

nna += - 16. n

na n= 17. 2sin

nn

na = 18. sinn na n p=

Tentukan jumlah parsial deret berikut dan jumlahnya bila konvergen

19. ( ) ( )01 1

542 3( )n n

n=• + -Â 20. ( ) 1

1

n

nep

+

=•Â 21.

1 1lnn

nn=

•+Â

22. 0

(1 ) , 0 2nn

r r r=• - < <Â 23. 2 22

3 3( 1)n n n=

•-

Ê ˆ-Ë ¯Â 24. ( )221ln 1

n n=• -Â

Selidiki kekonvergenan deret berikut dengan uji kekonvergenan deret suku positif

25. 1

22n n=

• -+Â 26. 7/61

3(4 3 )n n=

•+Â 27.

231

nn

ne-=•Â 28. 211

n

nnee=

•+Â

29. 1

1(ln 2)nn=

•Â 30. 1

1sinn nn=•Â 31. 21 2 3n

nn n=

•+ +Â 32.

11

1n n n=•

+Â

33. 1

8!

n

n n=•Â 34. 1001

!n

nn=

•Â 35. 213

nnn n=

• +Â 36. 1

2 !nnnn

n=•Â

37. 1

4!

n

nn

n=• +Â 38. 1 1 1

1 2 2 3 3 4◊ ◊ ◊+ + + 39. 2 3 41 2 3 43 3 3 3+ + + + 40. 2 2 2 2

1 2 3 42 3 4 5+ + + +

55

Tunjukkan deret berikut konvergen ke S dan tentukan hampiran |S − S9|.

41. 11

23 1( 1)n

n n+

=•

+-Â 42. 11

1ln ( 1)( 1)n

n n+

=•

+-Â 43. 11

ln( 1)nn

nn

+=• -Â

Selidiki apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

44. 11

15( 1)n

n n+

=• -Â 45. 1

11

( 1)( 1)nn n n

+=•

+-Â 46. 11 10 1( 1)n

nnn

+=•

+-Â 47. 2

1ln( 1)n

n n n=• -Â

48. 41

1 2( 1) nn

nn+

=• -Â 49. 2

11 1( 1)n

nn

n+

=•

+-Â 50. 2

11

1( 3)nn n

+=• -Â 51.

2sin( 1)n

nn

n n=• -Â

Tentukan himpunan kekonvergenan setiap deret pangkat berikut.

52. 1 ( 1)!

n

nx

n=•

-Â 53. 21

1( 1)

nnn

xn

+=• -Â 54.

0(2 )

!( 1)nn

nxn=

• -Â 55. 1

( 2)( 1)nn

nx

n=• --Â

56. 2 32 3x x x+ + + 57. 3 5 7

3! 5! 7!x x xx- + - + 58.

2 3

2 31 x xx- + - + 59. 2 3

2 32 2 21 x x x- + - +

Tentukan deret pangkat dari fungsi berikut beserta jari-jari kekonvergenannya.

60. 31

(1 )( )

xf x

-= 61. 1

2 3( ) xf x -= 62. 2

41( ) x

xf x

-= 63.

0( ) ln (1 )

xf x t dt= +Ú

Tentukan deret Maclaurin sampai x5 dan deret Taylor sampai (x−a)3 dari fungsi f (x).

64. ( ) tanf x x= 65. ( ) sinxf x e x= 66. ( ) (cos )ln (1 )f x x x= + 67. ( ) sinxf x e x x= + +

68. 21

24

cos 1( )

x xx

f x- -

= 69. 21

1( )

x xf x

+ += 70. 2 3( ) 1 , 1f x x x a= + + = 71. ( ) , 1xf x e a= =

Soal Aneka Ragam

72. Pada deret (a) 211

n n=•Â dan (b) 411n

nn=

•+Â , tentukan n agar 0,0002.n nE S S= - <

73. Tentukan sukubanyak Maclaurin derajat 3 untuk 1/2(1 )x -+ dan batas galat 3( )R x jika | | 0,05.x £

74. Dengan menggunakan deret 1

!nn

nn=

•Â buktikan !lim 0.nn

nnƕ

=

Kunci Jawaban

1. S 2. B 3. B 4. S 5. S 6. B 7. B 8. S 9. B 10. B 11. 3 12. 0 13. divergen 14. e 15. divergen

16. 1 17. 0 18. π 19. 16

5 20.2

( )e

ep p - 21. divergen 22. 1 23. 3 24. −ln 2 25. divergen 26. konvergen

27. konvergen 28. konvergen 29. divergen 30. divergen 31. divergen 32. konvergen 33. konvergen 34. divergen 35. konvergen 36. konvergen 37. konvergen 38. konvergen 39. konvergen 40. divergen 41. 9| | 0,065S S- £ 42. 9| | 0,417S S- £ 43. 9| | 0,23S S- £ 44. k. bersyarat 45. k. mutlak 46. divergen 47. k. bersyarat 48. k. mutlak 49. k. bersyarat 50. divergen 51. k. mutlak 52. 53. −1 ≤ x ≤ 1 54.

55. 1 < x ≤ 3 56. 1 < x < 1 57. 58. 1 < x ≤ 1 59. 2 < x < 2 60. 21 3 6 ;1x x+ + + 61. 21 3 9 2

2 4 8 3;x x- + -

62. 2 6 10 ;1x x x+ + + 63. 2 3 4

2 6 12 ;1x x x- + - 64. 3 52

3 15x xx + + 65.

3 523 30x xx x+ + + 66.

2 3 532 6 40x x xx- - +

67. 2 2 5

2 24 601 3 x x xx+ + + + 68. 2 41

24 720 40320x x- + 69. 3 41 x x x- + - 70. 2 33 5( 1) 4( 1) ( 1)x x x+ - + - + -

71. 2 32 6( 1) ( 1) ( 1)e ee e x x x+ - + - + - 72. (a) n > 5000, (b) n > 50 73.

2 3 63

3 52 8 161 dan | ( )| 2,15 10x x x R x -- + - £ ◊

56