Himpunan dan Sistem Bilangan RealDwi Astuti Aprijani

Definisi himpunanHimpunan adalah kumpulan dari objek-objek tertentu yang tercakup dalam satu kesatuan dengan keterangannya yang jelas Himpunan dinyatakan dengan huruf besar (KAPITAL) seperti A, B, C, dan sebagainya. Sedangkan anggota himpunan atau objek dinyatakan dengan huruf kecil seperti a, b, c, dan sebagainya.

Definisi himpunanHimpunan A sama dengan himpunan B, ditulis A = B, jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A. Dengan kata lain, A dan B memiliki anggota yang benar-benar sama

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, ditulis atau { }

Definisi himpunanDalam teori himpunan, semua himpunan yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan tertentu. Himpunan tertentu ini merupakan himpunan semesta atau semesta pembicaraan, dilambangkan dengan S atau U.Contoh:Himpunan bilangan real merupakan semesta dari himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan bulat

Cara penyajian himpunanEnumerasi: mendaftarkan semua anggotanya dan diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda komaContoh: Himpunan lima bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4, 5}. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}

Cara penyajian himpunanSimbol baku: menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati

Contoh: P = himpunan bilangan bulat positif N = himpunan bilangan asli (natural)Z = himpunan bilangan bulatQ = himpunan bilangan rasionalR = himpunan bilangan realC = himpunan bilangan kompleks

Cara penyajian himpunanNotasi pembentuk himpunan: dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum dari anggota. Contoh:- A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat}- B = {x | x adalah bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}- M = {x | x adalah mahasiswa yang mengambil matakuliah MATA4110}

Cara penyajian himpunanDiagram Venn: menyajikan himpunan secara grafis. Pada umumnya tiap himpunan digambarkan dengan lingkaran dan himpunan semesta (S atau U) digambarkan dengan segiempat

Himpunan dan Himpunan BagianHimpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis A B, jika setiap anggota A juga merupakan anggota B, tetapi tidak semua anggota B merupakan anggota AContoh:A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}maka A B; A C; B C

Himpunan dan Himpunan BagianJika setiap anggota A juga merupakan anggota B, dan setiap anggota B juga merupakan anggota A, maka A B dan B A, atau dengan kata lain A = BContoh:A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {3, 1, 4, 5, 2}maka A = B

Himpunan dan Himpunan BagianJika A B dan B C, maka A CContoh:A = {a, b}; B = {a, b, c}; C = {a, b, c, d}terlihat bahwa A B dan B C.Berdasarkan pernyataan di atas makaA C, dan jika kita periksa, memang benar bahwa A C

Operasi dalam HimpunanGabunganGabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A dan B, ditulis A BOperasi gabungan bersifat komutatif: A B = B A

Operasi dalam HimpunanIrisanIrisan himpunan A dan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A dan juga menjadi anggota B, ditulis ditulis A BOperasi irisan bersifat komutatif:A B = B A

Operasi dalam HimpunanSelisihSelisih himpunan A dan himpunan B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota A tetapi tidak menjadi anggota B, ditulis A BSelisih himpunan B dan himpunan A adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota B tetapi tidak menjadi anggota A, ditulis B APerhatikan bahwa A B B A

Operasi dalam HimpunanKomplemenKomplemen himpunan A adalah himpunan semua objek yang bukan anggota A, atau selisih himpunan semesta S dengan himpunan A, ditulis AC atau AJadi AC = A = S - A

Operasi dalam HimpunanContoh:A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, maka A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}B A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}A B = {3, 4}B A = {3, 4}A B = {1, 2}B A = {5, 6, 7}

Operasi dalam HimpunanContoh:A = {1, 2, 3, 4}; B = {3, 4, 5, 6, 7}, danhimpunan semesta S adalah himpunan semua bilangan bulat positifMaka AC = {5, 6, 7, 8, 9, }BC = {1, 2, 8, 9, 10, }

Sistem Bilangan RealBilangan real merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasionalBilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat, dan b 0Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat, dan b 0 Contoh bilangan irrasional: 2, , bilangan e, dsb

Sistem Bilangan RealHimpunan bilangan real dinyatakan dengan simbol RPada sistem bilangan real, ada hubungan satu-satu antara bilangan-bilangan real dengan titik-titik pada garis bilangan, sehingga tidak terdapat tempat yang kosong pada garis bilangan

Sistem Bilangan RealApabila dilakukan operasi penjumlahan dan perkalian pada sistem bilangan real ini, makanya hasilnya merupakan bilangan real juga atau dengan kata lain dikatakan bahwa operasi penjumlahan dan perkalian pada bilangan real bersifat tertutup

Hukum-hukum penjumlahan dan perkalian bilangan realJika a, b R, maka terdapat satu bilangan real c dan d sedemikian sehingga a + b = c dan ab = dJika a, b R, maka a + b = b + a dan ab = baJika a, b, c R, maka a + (b + c) = (a + b) + c dan a(bc) = (ab)c

Hukum-hukum penjumlahan dan perkalian bilangan realJika a, b, c R, maka a(b + c) = ab + acTerdapat bilangan real 0 dan 1 sedemikian sehingga untuk setiap bilangan real a, a + 0 = a dan a.1 = aUntuk setiap bilangan real a, terdapat satu bilangan real b, sedemikian sehingga a + b = 0 b = -a

Hukum-hukum penjumlahan dan perkalian bilangan realUntuk setiap bilangan real a, kecuali 0, terdapat bilangan real c sedemikian sehingga a.c = 1 c = a-1 atau 1/aUntuk setiap a R, berlaku tepat satu di antara tiga pernyataan berikut: a = 0, a positif, atau a positifJumlah dua bulangan positif adalah positifHasil kali dua bilangan positif adalah positifBilangan real a dikatakan negatif jika a positif

Ketidaksamaan dan pertidaksamaanKetidaksamaan adalah pernyataan tentang bilangan-bilangan yang mengandung tanda , , , Contoh: 4 12Pertidaksamaan adalah ketidaksamaan yang mengandung variabelContoh: 4 x 12

Ketidaksamaan dan pertidaksamaanPenyelesaian suatu pertidaksamaan yang mengandung variabel x adalah himpunan semua nilai-nilai x sedemikian sehingga pertidaksamaan tersebut bernilai benarContoh: 4 x 12, maka nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ini adalah x 3

Sifat-sifat ketidaksamaan a 0 jika dan hanya jika a positif a 0 jika dan hanya jika a negatif a 0 jika dan hanya jika -a 0 a 0 jika dan hanya jika -a 0

Jika a b dan b c, maka a c

Sifat-sifat ketidaksamaanJika a b maka a + c b + c, untuk setiap cJika a b dan c d, maka a + c b + dJika a b dan c positif, maka ac bcJika a b dan c negatif, maka ac bcJika 0 a b dan 0 c d, maka ac bd

Latihan soalJika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14}, maka (A B) - A = A. {4, 10}B. {2, 6, 8}C. {4}D.

Latihan soalJika A = { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka (A B) - B =A. { 3, 5, 9 } B. { -2, 6 } C. { -2, 3, 5, 6, 9 } D.

Latihan soalJika A = {a, b, c, d, e}, B = {c, j, k, n, p}, dan C = {d, k, n, q, r}, maka (B - A) C = A. {j, k, n, p} B. {a, b, d, e}, C. {k, n}D. {d}

Latihan soalJika himpunan semesta S = {a, e, i, o, u} dan P = {a, i, u}, Q = {a, e, i}, R = {i, o}, maka P (Q R)' = A. P (Q' R') B. (P Q') R' C. (P Q') R' D. P (Q' R')

Latihan soalJika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14}, maka (A B) - A = A. {4, 10}B. {2, 6, 8}C. {4}D.

Latihan soalHimpunan penyelesaian pertidaksamaan 2 + 3x < 5x + 8 adalahA. (-3, +)B. [-3, +)C. (-, -3)D. (-, -3]

Latihan soalHimpunan penyelesaian pertidaksamaan 4 < 3x 2 10 adalahA. (2, 4)B. (2, 4]C. (2, 10)D. (2, 10]

Latihan soalHimpunan penyelesaian pertidaksamaan 7/x > 2 adalahA. (0, 72)B. [0, 72]C. (0, 72]D. [0, 72)

Latihan soalHimpunan penyelesaian pertidaksamaan x - 5 < 4 adalahA. x < 9 B. x > 1C. 1 < x < 9 D. 1 x 9

Latihan soalHimpunan penyelesaian pertidaksamaan 3x + 2 > 5 adalahA. (73, +) (1, +)B. (-, 73) (1, +)C. (-73, +) (1, +)D. (-, -73) (1, +)