MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL€¦ · MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN...

MODUL MATEMATIKA SMK KELAS X 1

MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL

I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN MACAM OPERASI PADA BILANGAN REAL

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan ini. Anda diharapkan : 1. Dapat membedakan macam-macam bilangan real 2. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian

dua atau lebih bilangan bulat. 3. Dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian

dua atau lebih bilangan bulat.

B. Uraian Materi

1. Macam-Macam Bilangan Real

a. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli merupakan bilangan yang pertama-tama digunakan oleh manusia untuk membilang, yaitu : 1, 2, 3, 4, 5, ……..

A = {1, 2, 3, 4, …}

b. Bilangan Cacah (C)

Pada bilangan asli kita dapat mengadakan operasi pengurangan, misalnya : 6–4 = 2, 30–9 = 21, tetapi bagaimana dengan 6–6 = ? Oleh karena itu dikenal bilangan nol, sehingga 6 – 6 = 0

Bilangan asli dan nol dinamakan Bilangan Cacah

C = {0, 1, 2, 3, …}

c. Bilangan Bulat (B)

Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. Misalnya : 3 – 5 = 2, 20 – 35 = -15

Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan Bilangan Bulat.

B = {…, …, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}

d. Bilangan Rasional

Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan

yang dapat dinyatakan dalam bentuk q

p dengan p,q ∈ B dan q ≠ 0.

Contoh bilangan rasional (Q) = 3; 0,4; 3

2; 4

2

1; 2,51251251….

2

42 = jadi 2 adalah bilangan rasional

10

44,0 = jadi 0,3 adalah bilangan rasional


3

2 dan 4

2

1 jelas bilangan rasional

1,321321321….. dapat dibuktikan sbb :

Misal x = 2,51251251……

1000 x = 2512,51251…..

1000 x = (2512,51251…) – (2,51251251…)

999 x = 2510

x = 999

2510

e. Bilangan Irrasional (Q)

Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

q

pdengan p,q ∈ B dan q ≠ 0.

Contoh : V2, V5,π , log 5,….

f. Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan irrasional.

R = QQ∪

Macam-macam himpunan bilangan tersebut dapat dibuat skema seperti berikut ini :

Bil Real

Bil Irrasional

Bil Rasional

Bil Pecah

Bil Bulat

Bil Bulat Negatif

Bil Nol

Bil Bulat Positif (Bil Asli)

Bil Cacah


2. Operasi hitung pada Bilangan Bulat

a. Operasi penjumlahan

Untuk a, b, c ∈ B berlaku :

1) a + b = b + a Hukum Komutatif

2) (a + b) + c = a + (b + c) Hukum Asosiatif

3) a + 0 = 0 + a = a Nol adalah elemen identitas sifat penjumlahan

Contoh :

1) 7+ 3 =…..

3 + 7 =….

Jadi 7 + 3 = 3 + 7

2) 5 + (-3)=…..

(-3) + 5 =….

Jadi 5 + (-3) = (-3) + 5

3) (2 + 4) + 6 =

6 + 6 =…..

2 + (4 + 6) =

2 + 10 = …..

Jadi (2 + 4) + 6 = 2 + (4 + 6)

b. Operasional Pengurangan

Mengurangi a dengan b sama dengan menambah a dengan lawan b.

Yaitu : a - b = a + (-b)

Contoh:

1) 7 - 3 = 7 + (-3) =…..

2) 10 - 4 =10 + (-4) = …..

3) -2 – (3) = -2 + (-3) =….

4) 7 – (-3) = 7 + 3 =….

c. Operasi Perkalian

Untuk a,b,c ε B berlaku:

1) a x b = b x a Hukum Komutatif

2) (a x b) x c = a x (b x c) Hukum Asosiatif

3) ab + ac = a (b + c) Hukum Distributif terhadap penjumlahan

4) a x 1 = 1 x a = a 1 adalah elemen identitas perkalian


Contoh:

1) 5 x 6 =…..

6 x 5 =…..

Jadi 5 x 6 = 6 x 5

2) (-3 x 4) x 5 = …. x 5 =…..

-3 x (4 x 5) = -3 x ….= …..

Jadi (-3 x 4) x 5 = -3 x (4 x 5)

3) (6 x 5) + (6 x 4) = …..+……=…….

6 x (5 + 4) = …. x ……=……

Jadi (6 x 5) + (6 x 4) = 6 x (5 + 4)

d. Operasi Pembagian

Jika a dan b bilangan-bilangan dan b ≠ 0 maka membagi a dengan b sama

dengan mengalikan a dengan kebalikan dari b (invers perkalian)

Yaitu: a : b = a x b

1 =

b

a

Contoh :

1) 5

20 = …… 3)

7

21

− = ……

2) 5

30− = ……. 4)

4

40

−−

= ……

e. Operasi Campuran

Yang dimaksud operasi campuran dalam hal ini adalah bahwa dalam

satu kalimat matematika mengandung lebih dari satu operasi hitung.

Untuk mendahulukan operasi yang satu dengan yang lain biasanya

menggunakan tanda kurung, dengan lebih mendahulukan yang di dalam

kurung.

Jika tanpa penggunaan kurung maka dalam melakukan

pengoperasian harus memenuhi aturan urutan operasi hitung. Mendahulukan

perkalian atau pembagian daripada penjumlahan atau pengurangan. Jika

operasi sama kuat, maka kerjakan operasi yang di muka dulu. Operasi yang

sama kuat: penjumlahan dan pengurangan perkalian dan pembagian.


Contoh :

1) 6 + 7 – 5 + 3 = ……

2) 3 + ( 6 : 2 ) = 3 + ….. =……

3) ( 4 + 5 ) x 3 = ……x 3 = …..

4) 3 x -2 + 6 : 3 = ….. + ……=……

5) 2 -20 : 4 x 5 = 2- ….. x 5 = ……

3. Operasi Hitung pada Bilangan Pecah

a. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan

Untuk menjumlahkan atau mengurangkan bilangan-bilangan pecahan

terlebih dahulu menyamakan dari tiap sukunya.

Contoh:

1) 3

2 +

5

3 =

15

.... +

15

....

= 15

................+

= 15

19

2) 5

3 –

4

1 =

20

....

20

.... −

= ....

....

b. Operasi Perkalian

Untuk menyelesaikan operasi perkalian dua bilangan pecahan atau

lebih dilakukan dengan “mengalikan pembilang dengan pembilang dan

penyebut dengan penyebut”.

Contoh :

1) + = =

2) 2 x x = x x = =

2 3

4 5

… x ... … x ...

…. ….

1 4

2 3

… 4

2 3

-1 5

-i 5

… x … x …. … x … x ….

… …


c. Operasi Pembagian

Penyelesaian operasi pembagian pada bilangan pecahan dilakukan

dengan mengubah tanda bagi menjadi perkalian dan membalik pecahan

membagi.

: = x Contoh : 1) : = x

= = 2) 5 : = 5 x = 3) : : = x x = =

C. Rangkuman

1. Bilangan bulat, bilangan pecahan dan bilangan desimal merupakan bilangan

rasional.

2. Bilangan real adalah bilangan yang terdiri atas bilangan rasional dan bilangan

irrasional.

3. Pada operasi pembagian hukum komutatif dan hukum asosiatif tidak berlaku.

4. Untuk menjumlahkan dan mengurangkan bilangan pecahan harus terlebih

dahulumenyamakan penyebut dari tiap sukunya.

5. Penyelesaian pembagian bilangan pecahan dilakukan denga mengubah tanda

bagi menjadi kali dan membalik pembaginya.

: = x

a b

m k

a b

k m

5 12

2 3

5 12

… …

… x … … x …

… x … … x …

2 7

… 2

….. …..

5 4

2 3

1 2

5 4

… …

… …

… x … x …. … x … x ….

… …

a b

a b

a b

a b


D. Tugas

Diskusikan penyelesaian soal berikut dengan kelompok belajar anda, dan

presentasikan hasilnya di depan kelas sesuai degan pengarahan guru !

Soal :

1. Gambarlah diaggram Venn yang menunjukkan hubungan antara

himpunan Bilangan Rasional, Bilangan Irrasional,Bilangan Bulat,

Bilangan Cacah, Bilangan Asli dan Bilangan Prima !

2. Hitung: a) 2 (3 + 4) =

3. (-5) x {4-(-2)} =

4. 22

1 + 3

3

1 =

5. 1 4

3 + 2

3

1 =

E. Lembar Kerja Siswa

1. Tuliskan 4 buah bilangan asli yang pertama !

2. Tuliskan 5 buah bilangan cacah yang kedua !

3. Tuliskan bilangan bulat antara -3 dan 4 !

4. Sebutkan definisi bilangan rasional dan berikan 4 contohnya !

5. Tuliskan 3 buah contoh bilangan irrasional !

6. Tunjukkan bahwa 3,3333…adalah bilangan rasional !

7. Buatkan skema bilangan !

8. Jumlahkan.

a. 28 + 59 = c. (-125) + (-30) =

b. 125 + (-40) = d. (-125) + 30 =

9. Kurangkan :

a. 67 - 34 = c. (-67) – 34 =

b. 67 – (-34) = d. (-67) + 34 =

10. Jumlahkan : a. 3 + 2 = c. 2 + 3 =

b. 1 + = d. 5 + =

1 5

1 2

1 8

1 2

4 7

3 4

3 4

1 4


11. Kurangkan :

a. 35

1 – 2

2

1 = c. 4

4

1 – 3

6

1 =

b. 7 5

2 - 2

3

1 = d. 5

2

1 - 4

4

1=

12. Kalikanlah :

a. 6

5 x

7

3 = c.

3

2 x 5 x 1

2

1 =

b. 4 4

1 + 3

2

1 = d. (-5) x 7 x (-2) =

13. Bagilah :

a. 58 : 12 = c. 4 3

1 :

6

5 =

b. 100 : 4 : 5 = d. 5 5

2 : 2

3

1 =

14. Berapakah :

a. 372 : 2 x 5 + 8 x 2

1 =

b. 22 + 6 x 5 : 7 – 4 = 15. Berapakah :

2 x 1 : 3 - 1 =

F. Tes Formatif

Kerjakan soal berikut ini dengan teliti

1. Tuliskan bilangan bulat antara -4 dan 4!

2. Tunjukkan bahwa 3,6666…adalah bilangan rasional !

3. a. 30 + (-8) =

b. 25 – (-5) =

4. a. (-2) x 3 + 16 : 4 =

b. 8 : 2 – 3 x (-4) =

2 3

1 2

1 2

3 4


Gambar disamping menunjukkan sebuah tangga yang terbuat dari besi beton. Jika tiap anak tangga tingginya 22 cm Dan panjang besi beton 12 meter, Berapakah panjang AB ?

5. a. 23

1 x 1

5

3 =

b. 1 4

3 x 1

2

1 =

6. a. 7

3 :

6

5 =

b. 2 : 1 3 =

7. : : = 8. 4 + 2 : 3 x 6 =

9. Diketahui persegi panjang dengan panjang sisinya 7,5m dan lebar 3,5 m.

a. Hitunglah keliling persegi panjang tersebut !

b. Apabila persegi panjang itu dibagi menjadi 3 bagian yang sama, hitunglah

luas masing-masing bagian !

10. Perhatikan gambar di bawah ! II. PECAHAN, PERBANDINGAN, SKALA DAN PERSEN

A. Tujuan

Setelah mempelajari materi ini, diharapkan siswa : 1. Dapat memahami konversi pecahan ke bentuk persen atau pecahan desimal. 2. Dapat menyelesaikan soal-soal perbandingan (senilai dan berbalik nilai) 3. Dapat menentukan ukuran sesungguhnya jika ukuran dalam gambar dan skala

diketahui atau sebalikya. 4. Dapat menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan persen. 5. Dapat menerapkan operasi hitung pada bilangan real dalam menyelesaikan

masalah kejuruan.

1 2

1 4

5 7

3 2

4 6

1 2

1 2

A B

C


B. Uraian Materi

1. Pecahan Pecahan bisa dinyatakan dalam tiga cara : a. Pecahan biasa

Bilangan ini tidak terlalu banyak dipakai dalam kehidupan sehari-hari. Yang paling sering adalah pada ukuran baju, diameter pralon dan beberapa contoh lain.

Contoh : , , 15 , ,…. b. Pecahan Desimal

Bilangan ini biasa dipakai dalam banyak hal khidupan sehari-hari seperti ukuran panjang, berat, kecepatan dan banyak hal yang lain. Pecahan ini menggunakan sistem nilai tempat, nilai suatu angka dalam suatu bilangan tergantung pada tempatnya.

Contoh :

0,275

Angka 2 bernilai 10

2

Angka 7 bernilai 100

7

Angka 5 bernilai 1000

5

c. Persen

Bilangan ini biasanya digunakan untuk menyatakan kadar suatu unsur dalam campuran, aturan pembagian dalam bisnis, keuntungan maupun rugi,pajak dsb. Persen menyatakan perbandingan dengan seratus (perseratus) dan ditulis dengan tanda “% “. Contoh : 3% artinya , 97% artinya Untuk mengubah pecahan biasa ke persen, pecahan biasa tersebut dikalikan dengan 100%. Contoh : a. = x 100% = % = 75%

b. = x 100% = % = 62,5%

c. = x 100% = % = 16 %

1 2

3 4

1 2

3 100

3 100

97 100

3 4

3 4

300 4

5 8

5 8

500 8

1 6

1 6

100 6

2 3


2. Pebandingan

Perbandingan dua buah nilai atau besaran sejenis dapat dinyatakan sebagai pembagian atau pecahan biasa. Secara umum pembagian antara besaran

a terhadap besaran b ditulis a : b atau b

a

Dibaca : “ a dibanding b” A dan b disebut suku-suku perbandingan. Ada dua jenis perbandingan :

a. Perbandingan senilai

Perbandingan senilai adalah perbandingan yang harganya sama. Bentuk umum perbandingan ini adalah A1 : B1: = A1 : B2 atau

= Dalam fisika perbandingan ini dinayakan dengan

= Konstan

Sebagai contoh adalah perbandingan antara jarak yang ditempuh oleh suatu kendaraan dengan bahan bakar yang diperlukan. Jika 100 km memerlukan bahan bakar 10 liter, maka untuk menempuh jarak 250 km dibutuhkan 25 liter.

b. Perbadingan Berbalik

Dikatakan perbandingan berbalik nilai jika kedua perbadingan tersebut mempunyai nilai berbalikan. Bentuk umum :

A1 : B1: = B2 : A2 atau A1A2 = B1B2 Dalam fisika dinyakan dengan A1A2 = konstan

Permisalan dari perbandingan ini adalah perbandingan antara banyaknya pekerja dengan waktu yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu pekerjaan.

Misal untuk menyelesaikan suatu pekerjaan oleh 4 orang memakan waktu 25 hari. Maka pekerjaan tersebut akan selesai dalam waktu 10hari bila dikerjakan oleh 10 orang.

Contoh :

1) Jika harga 4 buah buku tulis adalah Rp. 8.000,00. berapakah harga 20 buah buku tulis?

Jawab :

Harga 4 buah buku tulis = 8.000,00. Harga 1 buah buku tulis = = 2.000,00. Jadi harga 20 buah buku tulis = 20 x Rp.2.000,00 = Rp. 40.000,00

A1 B1

A2 B2

A1 B1

8.000 4


2) Persediaan beras untuk 5 orang akan habis dalam 6 hari. Jika untuk 8 orang beras akan habis dalam berapa hari ?

Jawab :

Banyak orang Banyak hari 5 12 6 X = maka =

Didapat 6x = 60 sehingga x = 10 Beras akan habis dalam waktu 10 hari untuk 6 orang

3. Skala

Jadi skala =

Skala dibedakan menjadi dua macam : a. Skala Perkecilan

Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yag berukuran besar yang tak mungkin muat dalam gambar, seperti : rumah, jarak dua kota dsb.

b. Skala Perbesaran Digunakan untuk menggambarkan benda-benda yang berukuran kecil, dengan diperbesar akan memperjelas gambar. Misalnya benda-benda elektronik yang sangat kecil. Contoh :

Jawab : Panjang rumah sebenarnya 12 m = 1200 cm

a1 a2

b2 b1

5 6

x 12

DENAH RUMAH 2,5’ 4’ 3,5’ 35’ Skala = 1 : 100

Skala adalah perbandingan antara ukuran suatu obyek pada gambar dengan ukuran sebenarnya. Misal dalam denah rumah di samping ini, tertulis skala = 1 : 100, artinya jarak 1 cm pada denah tersebut mewakili 100 cm pada keadaan sebenarnya. Jika dalam gambar tersebut ukuran kamar 4 cm berarti sebenarnya ukuran kamar tersebut adalah 4 x 100 cm = 4 m.

Ukuran pada gambar Ukuran sebenarnya

a. Panjang suatu rumah dalam gambar 8 cm, sedangkan panjang rumah sesugguhnya 12 m.jika tinggi pintu dalam gambar 1,2m, tentukan : 1). Skala gambar rumah tersebut ! 2). Tinggi pintu sesugguhnya !


1) Skala =

= 1501

12008 =

Jadi skala rumah = 1 : 150

2) Tinggi pintu sebenarnya = 1,3 x 150 cm = 195 cm = 1,95

b.

Jawab :

Skala = 7,5 : 1 ⇒ 1 cm sesuai dengan 5,7

1 cm ukuran sesungguhnya.

Jadi diameter sesugguhnya : 3

3 x 5,2

15,7

1 = cm = 0,4 cm = 4 mm

4. Persen

Persen dituliskan dengan %, yang artinya per seratus. Persen ini dipakai hampir pada smua bidang : bisnis, pendidikan, teknik dan bidang lainnya. Misal keuntugan 20%, kelulusan 99%, kadar alkohol 0,5 %, kelembaban 15%. Contoh :

Pak Lukman membayar pajak 15% dari gajinya. Gaji Pak Lukman Rp. 900.000,00 per bulan. a. Berapa besar pajak yang harus dibayar ? b. Berapagaji bersih Pak Lukman ? Jawab : a. Pajak = 15 % x Rp.900.000,00 = x Rp. 900.000,00 = Rp. 135.000,00 = Rp. 765.000,00

C. Rangkuman

1. Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen caranya : Persentase = Pecahan x 100 %

Ukuran pada gambar Ukuran sebenarnya

3 cm

Gambar disamping menunjukkan lubang berbentuk lingkaran dengan skala ,7,5 : 1. Berapakah ukuran diameter lubang sesungguhnya ?

15 100


2. Perbandingan Perbandingan antara besaran a terhadap besaran b ditulis a : b atau Perbandingan senilai, jika dua perbandingan harganya sama.

2

2

1

1

ΒΑ=

ΒΑ

Atau

1

1

ΒΑ

= konstan

Perbandingan berbalik nilai, jika ada perbandingan harganya saling berkebalikan.

A1 A2 = B1 B2 atau A1 A2 = konstan

3. Skala = SebenarnyaUkuran

GambarUkuran

4. Persen adalah perseratus dan ditulis dengan lambang %

D. Tugas

Kerjakan soal berikut ini secara berkelompok masing-masing 3 orang ! 1. Ubahlah ke bentuk pecahan biasa dan persen ! a. b. c. 2. Dalam waktu 45 menit Ali mampu membaca buku sebanyak 20 halaman.

Dalam waktu berapa lama ia akan menyelesaikan membaca buku sejarah Nabi Muhammad setebal 900 halaman ?

3. Dalam kelompok yang terdiri atas 12 siswa, seseorang mendapat kewajiban membayar Rp. 300.000,00 untuk merangkai sebuah personal komputer. Jika 2 orang keluar dari kelompok itu, berapa rupiah beban yang ditanggung masing-masing siswa sekarang ?

4. Carilah sebuah peta atau atlas Pulau Jawa !Ukurlah jarak antara dua kota berikut, kemudian hitunglah jarak sebenarnya dengan melihat skala yang tercantum pada peta atau atlas tersebut! a. Jogja – Bandung b. Surabaya – Jogja

5. Siti membeli sepeda motor dengan membayar Rp.10.000.000,00 sesudah ia mendapat diskon lebaran sebesar 20%. Berapakah harga sepeda motor siti jika tanpa diskon ?

6. Carilah label atau bungkus sesuatu yang di dalamnya memuat %, atau perbandingan, kadar dan lainnya yag sejenis, seperti bungkus susu, kemasan obat dalam kaplet! Terangkan maksudnya di depan kelas!

a b

3 7

3 4

2 5


E. Tes Formatif

Kerjakan Soal berikut ini ! 1. Sebuah benda tenggelam di air 3/8 bagian. Berapa persenkah bagian yang

terapung? 2. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang, pada gambar yang berskala 1: 250

tergambar panjangnya 12 cm dan lebar 6 cm. berapakah luas kebun itu sebenarnya?

3. Campuran zat A : B : C = 1 : 4 : 3. Berapa liter zat A dan C dalam campuran itu jika ternyata zat B yang dikandung sebanyak 2 liter?

4. Seekor sapi pada usia 2 bulan beratnya 50 kg. Harus dipacu menjadi berapa kilogram berat sapi itu agar pada bulan ke 3 beratnya naik sebesar 12,5%?

III. BILANGAN BERPANGKAT

A. Tujuan

Setelah mempelajari materi pembelajaran ini, diharapkan siswa : 1. Dapat memahami sifat-sifat bilangan berpangkat 2. Dapat menyederhanakan bilangan berpagkat 3. Dapat menyelesaikan soal-soal bilangan berpangkat 4. Dapat menyelesaikan persamaan dalam bilangan berpangkat

B. Uraian Materi

1. Pengertian Bilangan Berpangkat Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut : an =

44 344 21faktorn

a....xxaxaxa

an = disebut bilangan berpangkat a = disebut bilangan pokok (dasar) n = disebut pangkat

2. Sifat Bilangan Berpangkat

a. ap x aq = a p + q p,q ∈ A

b. ap x aq = a p - q p,q ∈ A

c. (ap)q = apq p ∈ A

d. (a .b)p = ap . bp p ∈ A

e. p

b

a

=

p

n

b

a p ∈ A

Contoh : a. a4 x a2 = a4+2 = a6

b. a4 x a2 = a4+2 = a6

c. x6 : x = x6-1 = x5


d. (a5)2 = a5x2 = a10

e. (a.b2)3 = a3.b2x3 = a3.b6

f. 4

2

3

n

m

=

2x4

3x4

n

m=

8

12

n

m

g. ( ) 1111 2

2

2

1

2

1

2

1

−=−

=

−

+ XXXX

h. Persamaan perpangkatan 32x1 = 27 ⇔ 32x + 1 = 33 2x + 1 = 3 2x = 3 – 1 2x = 2 x = 1 3. Macam-macam Bilangan Berpangkat 1. Bilangan berpangkat Bulat Positif Contoh :

22 = 2 x 2 54 = 5 x 5 x 5 x 5 108 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

2. Bilangan Berpangkat tak Sebenarnya a. Bilangan Berpangkat Nol Contoh :

A0 , 30, 150 , ……

30 = 32-2 = 2

2

3

3 =

9

9 = 1

a0 = 1 dengan a ≠ 0 Jadi setiap bilangan berpangkat nol selalu menghasilkan satu. b. Bilangan Berpangkat Negatif

Contoh :

100; 10; 1; 0,1; 0,01; 0,001; …. Dapat ditulis : 100 ; 10 ; 1 ; ; ; ; …… 102 ; 101; 100; ; ; 102 ; 101; 100; 10-1; 10-2; 10-3 Jadi = a –n

⇔⇔⇔⇔

1 10

1 100

1 1000

1 101

1 102

1 103

1 an


c. Bilangan Berpangkat Pecahan

4444 34444 21faktorn

nnnnn aaaaa11111

...××××× = 4434421sukun

nnnnna1

....1111

+++++

= n

n

a = a1 = a

Jadi a = adalah bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan dirinya sendiri sebanyak n faktor akan menghasilkan a. hal itu dapat diartikan Jadi a = dengan n∈A, a∈R. Jika a dengan m, n∈ A dengan mengambil analog dari bilangan a Maka 3 dikalikan sebanyak n faktor.

n

m

a x n

m

a x n

m

a x …x n

m

a = nm...n

mnm

nm

nm

a+++++

= a = a m

Jadi a dapat diartikan sama dengan n ma

n

m

a = n ma dengan m, n ∈A. contoh : = = = 2 = 2

C. Rangkuman

1. Bilangan berpangkat adalah hasil perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri secara beruntun.

an = a x a x a x a …x a sebanyak n faktor 2. Sifat-sifat pangkat : a. ap x aq = a p+q p,q ∈ A b. ap : aq = a p-q p,q ∈ A

c. (ap)q = apq p ∈ A

d. (a.b)p = ap.bp p ∈ A

e. = p ∈ A

n

1

n

1

n a

n

m

n

1

n

m

n mn x

n

m

1 16 4 4 16 4 24 4

4

( ) p

bp ap( ) p

b

a


D. Tugas

Kerjakan soal-soal berikut ini secara berkelompok ! 1. Sederhanakanlah !

a. y x y11 b. 62(x3)2 c. (x2)5y5 2. Carilah x dari persamaan berikut!

a. 3x = 81 b. x6 = 64 c. 92x = 27x+2 3. Nyatakan dalam bentuk akar !

a. 3

2

a b. 6

5−

x c. ( )3

232x

4. Nyatakan dalam bentuk pangkat a. b. c.

5. Jika x = 64 tentukan harga

2

1

2

12

1

2

1

xx

xx

+

+ =

E. Tes Formatif

Selesaikanlah soal-soal berikut ini !

1. Nyatakan dalam pangkat positif!

a. b. (a-3)2(a

1)-4

2. Nyatakan dalam bentuk akar atau sebaliknya!

a. )22(

3

p b.

3. Sederhanakan! a. x x b.

4. Tentukan nilai x! a. = 16-3x+1 b. 9x+2 = 272x+4 5. Jika a =27 dan b = 32tentukan harga 3a 4b !

IV. BILANGAN IRRASIONAL

A. Tujuan

Setelah mempelajari materi ini siswa diharapkan : 1. Dapat memahami tentang konsep bilangan irrasional

3 2 q 2 52y

1

4 43 yx

2

2 3

2

−

−

yx

y x

2

3

3 2 4 x 4 3y

b

a

b

a

b

a( ) ( ) ( )0 -1 -2

c b

cb a3 8 2

4 3 2 34−−

−−

142

1 −x

3

152


2. Dapat menentukan penjumlahan dan pengurangan dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar

3. dapat menentukan pekalian dan pembagian dari dua atau lebih bilangan irrasional bentuk akar

4. Dapat merasionalkan penyebut dari pecahan bentuk akar B. Uraian Materi

1. Pengertian

Bilangan irrasional (bilangan tak terukur) adalah bilangan yang idak dapat

dinyatakan dalam bentukq

p, dengan p,q ∈B dan p ≠ 0.

Bilangan irrasional disebut juga bilangan tak rasional.

Bilangan irrasional diklasifikasikan menjadi 2 kelompok yaitu :

a. Bilangan Pecahan Desimal tak Terbatas tak Berulang

Contoh :

e = 2,718218…. = 3,142857…

b. Bilangan yang Berbentuk Akar

Contoh :

2 = 1,414213562…

3 = 1,732050808… 2. Operasi Bilangan Irrasional

a. Penjumlahan dan Pengurangan

Bilangan irrasional tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan kecuali bilangan itu sejenis, karena besarnya tidak terukur (letak/posisinya tidak dapat ditentukan dengan tepat pada suatu garis bilangan).

Contoh :

1) e + = e +

2) e - ≠ e -

3) 7 + 3 = 7 + 3

4) 7 - 5

5) 3 + 4 3 = (1+ 4) 3 = 5 3

b. Perkalian bentuk akar

ingat bahwa :

a x a = a

π

π π

π π


b x d = db.

a b x c d = ac db.

Contoh :

1) 8 x 3 = 38x = 24 = 4 x 6 = 2 6

2) 3 2 x 2 5 = (3x2) ( 2 x 5 ) = 6 10

3. Menyederhanakan bentuk akar

Ini dilakukan dengan menerapkan perkalian bentuk akar di atas, yaitu sifat

b x d = db.

Contoh :

a. 27= 3.9 = 9 . 3 = 3. 3 = 3 3

b. 75 = 3,25 = 25 . 3 = 5 3

4. Merasionalkan Penyebut suatu Pecahan

a. b = b . b = b = b

ab

b. ba

k

+ =

ba

k

+.

ba

ba

−−

= ba

bak

−− )(

= aba

k(

− - )b

c. =+ ba

k

ba

k

+. =

−

−

ba

ba)( ba

ba

k −−

d. =− ba

k

aa

k

−.

ba

ba

++

= =−

+ba

bak

2

)()( ba

ba

k +−

e. =− ba

k

ba

k

−.

ba

ba

++

= ba

bak

−+ )(

Contoh :

a. 3

7=

3

7.

3

3=

3

37

b. =52

3

52

3.

5

5=

10

35

c. 33

6

+=

33

6

+.

33

33

−−

= 39

)33(6

−−

= 3 - 3

d. 75

3

−=

75

3

−.

75

75

++

= 75

753

−+

= -2

3( )75 +


C. Tugas Sisiwa

Kerjakan soal berikut ini secara berkelompk!

1. Buktikan bahwa 3 , 5 adalah bilangan irasional!

2. Sederhanakan!

a. 48 b. 500

3. Sederhanakan!

a. 282 + b. 54520 +−

4. Tentukan

a. 5332 × b. 22822 ×

5. Rasionalkan penyebut dari!

a. 5

3 b.

23

2

−

D. Tes Formatif

Selesaikan soal-soal berikut ! 1. Sederhanakanlah!

a. 2000 b. 75 c. 80 2. Sederhanakanlah!

a. 38x b. (5 + )2 (5- )2

3. Sederhanakanlah!

a. 500520 +− b. )243(2 + 4. Rasionalkan penyebutnya !

a. 25

3 b.

32

32

++

V. LOGARITMA

A. Tujuan

Setelah mempelajari materi ini diharapkan siswa : 1. Dapat memahami pengertian logaritma. 2. Dapat menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan daftar

logaritma. 3. Dapat menentukan anti logaritma suatu bilangan 4. Dapat memahami sifat-sifat logaritma 5. Dapat mempergunakan logaritma dalam perhitungan-perhitungan.

B. Uraian Materi

1. Pengertian Logaritma Ingat kembali pada bilangan berpangkat, misal :

an = b


dengan a bilangan pokok, n pangkat dan b hasil pangkat. Sekarang jika masalahnya dibalik yaitu hasil pangkat b dan bilangan pokok a diketahui kemudian menentukan n, yaitu :

a…= b atau dengan kata-kata”a pangkat berapa sama dengan b?” atau “b sama dengan a pangkat berapa ? “ pertanyaan itu jawabnya adalah n.

Maka dalam matematika pertayaan itu dinyatakan dengan alog b = n Jadi logaritma adalah invers dari perpangkatan. Jika b = an (a>0dan a≠1) adalah bilangan berpangkat dengan pokok a dan pangkat (eksponen),maka inversnya adalah :

n = alog b disebut logaritma dengan bilangan a. Kesimpulan :

alog b = n ⇔ b = an

dengan a > 0, a ≠ 1, a bilangan pokok logaritma, y = radikal, n haisl penarikan logaritma. Jika bilangan pokok suatu logaritma tidak ditulis, bilangan pokok logaritma tersebut adalah 10.

Contoh :

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma !

a. 8 = 23 c. 9

1 3-2

b. 64 = 82 d. P = 2q

Jawab : a. 8 = 23 ⇔ 2log 8 = …… b. 64 = 82 ⇔ 8log ….= 2

c. 9

1= 3-2 ⇔ …log

9

1 = -2

d. P= 2q ⇔ 2log …= …

2. Tentukan nilainya !

a. 2log 1 b. 3log 27 c. 5log25

1

Jawab : a. 2log 1 = x ⇔ 1 = 2x ⇔ 20 = 2x ⇔ x = 0 b. 3log 27 = x ⇔ 27 = 3x ⇔ 33 = 3x ⇔ x = 3

c. 5log 25

1= x ⇔

25

1= 5x ⇔ 5-2 = 5x ⇔ x = -2

3. Sifat-Sifat Logaritma a. alog (bx c) = alog b + alog c b. alog = alog b – alog c c. alog bn = n x alog b d. alog b =

b c

a

b

log

log


e. alog b = f. alog b x blog c = alog c g. alog b m = alog b i. a a log b = b contoh :

a. alog 3

1+ 3log 27 = 3log (

3

1x ….)

= 3log 9 = 3log….2 = 2

b. 3log 9 - 3log27 = 3log ....

....

= 3log ...

1

= 3log 3-1 = -1

c. 2

1 2log 16-2 2log 4 +

2

1 2log64 = 2log 16…-2log 4…+ log (64)…

= 2log (42) ½ - 2log 42 + log (26) ½ = 2log 4 - 2log 42 + log 23

= 2log ......

........x

= 2log 16

32

= 2log 2 = 1 d. Jika 2log3 = a, nyatakan logaritma di bawah ini dalam dalam a : 8log 3! Jawab :

8log 3 = 8log

3log

=

= 2log3

3log

= 3

1x 2log 3 =

3

1x a =

3

1a

e. 2log 5 x 5log 64 = log 5 x5log 64 = 2log 64 = 2log 26 =6 f. 22 log 5 = 5

4. Menggunakan Daftar Logaritma

a b log

1

23log

3log


Daftar logaritma yang biasa digunakan disbut daftar logaritma biasa yaitu dengan bilangan pokok 10. Dalam daftar logaritma yang ditulis hanya bilangan desimal yang menyatakan hasil logaritma dari suatu bilangan. Bilangan desimal ini disebut mantis. Lajur-lajur dalam logaritma terdiri dari: a. Lajur N (lajur pertama) dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan

secara berurutan dari nol sampai 1000. b. Lajur kedua sampai dengan lajur kesebelas, dari kiri ke kanan berturut-

turut berisi dengan bilangan 0, 1, 2, 3, …, 8, 9. Lajur yang memuat angka nol disebut lajur nol, yang memuat angka 9 disebut lajur sembilan.

Cara Menentukan Logaritma Bilangan Pokok 10 Sebagai contoh: Dengan menggunakan daftar logaritma tentukan nilai logaritma dari : a. log 4,6 b. log 46 c. log 460 Jawab: a. log 4,6 =……

Antara log 1 = 0 dan log 10 = 1

Log 4,6 = 0,….

Angka di depan tanda koma, disebut indek (karateristik). Angka di

belakang tanda koma disebut mantis dari logaritma bilangan itu. Mantis

didapat dalam daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke-6 =6628. jadi

log 4,6 = 0,6628.

b. log 46 =…..

Antara log 10 = 1 dan log 100 = 2

Log 46 = 1,…

Mantis didapat pada daftar logaritma pada baris ke-4 dan lajur ke-5 = 6628. Jadi log 46 = 1,6628 c. log 460 = …..

antara log 100 = 2 dan log 1000 = 3

log 460 = 2,…

dengan cara yang sama dengan di atas diperoleh log 460 =2,6628

5. Menentukan Anti Logaritma Suatu Bilangan

Apabila nilai logaritma suatu bilangan sudah diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan daftar logaritma. Jadi daftar logaritma sekaligus juga merupakan daftar anti logaritma. Sebagai contoh: Tentukan bilangan yang logaritmanya: a. 0,6626 b. 1,6628


c. 2,6628 d. 3,6628

Jawab: a. Misal bilangan yang akan ditentukan itu x, maka log x = 0,6628

Oleh karena log x = 0,6628 (antara 0 dan 1) maka antara 1 dan 10. 0 < log x < 1 maka 1 < x < 10 Kemudian dicari pada daftar logaritma sehingga didapat angka 6628. Selanjutnya dari angka 6628 ditarik garis ke arah kiri sampai lajur N diperoleh angka 4 dan ditarik garis vertikal ke atas diproleh angka 6. Kemudian hasilnya ditulis 46 Maka mantis 6628 berhubungan dengan bilangan 46. Oleh karena bilangan x nilainya di antara 1 dan 10 maka x = 4,6

b. Log x = 1,6628 maka x antara 10 dan 100 Dengan cara seperti di atas diperoleh x = 46.

c. Log x = 2,6628 maka x antara 100 dan 1000 x = 460

d. Log x = 3,6628 maka x antara 1000 dan 10000. x = 4600

C. Rangkuman

1. Logaritma didefinisikan sebagai alog b = n ⇔ b =an 2. Sifat-sifat logaritma a. alog (bxc) = alog b + alog c

b. alog c

b = alog b + alog c

c. alog bn = n x alog b

d. alog b = a

b

log

log

e. alog b = ab log

1

f. alog b x blog c = alog c

g. ma blogn

= blognm a×

h. n`a blogn

= alog b i. an log b = b

D. Tugas Siswa

1. Nyatakan dengan posisi pangkat! a. 3log 81 = 4

b. 2log 4

1= -2

2. Hitunglah nilai logaritma di bawah ini! a. 10log 100


4 ½

7 ½ mm

A B

b. 10log 100

1

3. Sederhanakan! a. 2log 48 – 2log 6 = b. 2log 5 - 2log 20 = c. 6log 4 - 2log 9 = d. 7log 4 + 2 7log 3-2 7log 6 = e. 3log 27 + 3log 3 = 4. Hitunglah : log 25 x 2log x 10 x 5log 4 = 5. Jika 2log 3 = a dan 2log 5 = b, maka nyatakan 6log 50 dalam a dan b E. Tes Formatif

Selesaikan soal-soal berikut ini ! 1. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi logaritma! a. 25 = 32 b. 60 = 1 c. 34 = 81 2. Nyatakan tiap bentuk di bawah ini dengan memakai notasi pangkat!

a. 10log 1 = 0 b. 2log 6 = 6 c. 3log 9

1= -2

3. Gunakan daftar logaritma untuk menentukan nilai tiap logaritma berikut! a. log 2 b. 200 c. log 3,2 4. Tentukan bilangan yang nilai logaritmanya sebagai berikut! a. 0,8388 b. 2,8388 c. 3,8388 5. Sederhanakan! a. 3log 5 + 3log 2 + 3log 4 = b. 3log 27 + 3log 81 = c. 3log 2 + 2log 9 = 6. Jika 2log 3 = a a. 4log 81 = b. 8log 27 7. Jika a = 2 dan b = 64, hitunglah alog b = 8. Tentukan nilai x pada persamaan 2log 3x-2 + 2log 9 – 2log x = 3!

VI. EVALUASI

Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar!

1. Pada gambar di samping tentukanlah panjang AB! 2. Sederhanakan! a. (4a)-2 x (2a)3


b. 4

5

1

3

1

25

x

x

3. a. 3log 9

1+ 3log 18 -3log 6

b. 2log (x-3) + 2log 2 = 2 tentukan nilai x ! 4. Seorang menjual mobil dega harga Rp.40.000.000,00. ternyata ia menderita

kerugian sebesar 20%. Berapakah ia membeli mobil tersebut ? 5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang tergambar dengan ukuran 12,5 cm x

8 cm pada denah dengan skala 1 : 200. Luas sebenarnya tanah tersbut adalah……

6. Dalam tabung yang dapat diubah-ubah volumenya terdapat gas dengan suhu tetap. Pada saat volumenya 4 dm3, tekanannya 1 atmosfir. Maka pada volume 6 dm3 tekanannya adalah…..


MODUL 2 : APROKSIMASI KESALAHAN I. MEMBILANG DAN MENGUKUR

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian materi belajar ini, Anda diharapkan : 1. Memiliki pemahaman tentang pengertian aproksimasi 2. Memiliki konsep membilang dan mengukur 3. Dapat menentukan pembulatan ke satuan ukuran terdekat 4. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka desimal 5. Dapat menentukan pembulatan ke banyaknya angka signifikan

B. Uraian Materi

Dalam kehidupan sehari-hari membilang dan mengukur sering dianggap sama. Padahal kedua kata tersebut sangatlah berbeda pengertiannya. Hasil membilang merupakan sesuatu yang pasti, tepat atau eksak. Sedangkan mengukur merupakan pendekatan. Contoh hasil kegiatan membilang antara lain : 1. Banyaknya murid suatu sekolah 2. Banyaknya botol pada tiap krat minuman 3. Banyaknya lembaran kertas dalam sebuah buku Contoh hasil kegiatan mengukur antara lain : 1. Panjang ruangan kelas 2. Berat badan si Ali 3. Kecepatan lari seorang atlet

Hasil dari membilang adalah pasti, sedang hasil mengukur merupakan pendekatan sehingga hasilnya berbeda-beda menurut ketelitian yang diiginkan. Dalam pelaksanaan pengukuran kita sering mengadakan pembulatan hasil pengukuran. Ada tiga hasil pembulatan, seperti dalam uraian berikut : 1. Pembulatan ke Satuan Ukuran Terdekat

Aturan pembulatan suatu bilangan adalah : a. Jika angka berikutnya lebih dari atau sama dengan lima (≥ 5), maka nilai

angka di depannya ditambah satu. b. Jika angka berikutnya kurang dari lima (< 5), angka ini dihilangkan dan nilai

angka di depannya tetap.

Contoh :

a. 5,8 kg = 6 kg dibulatkan ke kg terdekat b. 23,12 km = 23,1 km dibulatkan ke persepuluh km terdekat c. 128,253 detik = 128,52 detik, dibulatkan ke perseratus detik terdekat.

2. Pembulatan ke Banyaknya Angka Desimal

Pembulatan ini selain untuk menyatakan pendekatan hasil pengukuran juga kadang-kadang dilakukan untuk mempermudah dalam perhitungan.


Contoh :

150,56342 = 150,5634 (dibulatkan sampai empat tempat desimal) = 150,563 (dibulatkan sampai tiga tempat desimal) = 150,56 (dibulatkan sampai dua tempat desimal) = 150,6 (dibulatkan sampai satu tempat desimal)

3. Pembulatan ke Banyaknya Angka Signifikan

Angka signifikan adalah angka yang bermakna/berarti. Semua angka adalah signifikan kecuali angka yang dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal. Nol adalah angka signifikan kecuali bila dipakai untuk menyatakan tempat koma desimal. Contoh:

a. 0,05 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, maka tidak signifikan. Jadi 0,05 mempunyai 1 angka signifikan.

b. 3,50 kg, nol menyatakan bahwa berat diukur sampai ke perseratusan kg terdekat. Jadi 3,50 mempunyai 3 angka signifikan.

c. 0,09050 m, dua angka nol yang pertama menunjukkan tempat koma, jadi tidak signifikan. Nol yang ketiga dan keempat menunjukkan bahwa jarak telah diukur sampai perseratusribuan yang terdekat, maka nol yang ketiga dan keempat signifikan. Jadi 0,09050 mempunyai 4 angka signifikan.

d. 1,8 x 103 kg, disini 103 tidak dianggap sebagai angka signifikan. Dalam hal ini ada dua angka signifikan.

C. Rangkuman

Macam-macam pembulatan: a. Pembulatan ke satuan ukuran terdekat b. Pembulatan ke banyaknya angka desimal c. Pembulatan ke banyaknya angka signifikan

D. Tugas

Diskusikan soal-soal berikut ini dalam kelompok Anda, kemudian presentasikan hasilnya sesuai yang dikehendaki guru pembimbing ! 1. Bentuk pembulatan dari:

a. 34,532 km ke persepuluh km terdekat adalah…… b. 673,843 ke perseratusan terdekat adalah……

2. Bulatkan ke tempat desimal yang dikehendaki! a. 19,072 (satu tempat desimal) b. 31,98979 (tiga tempat desimal)

3. Bulatkan ke banyaknya angka signifikan a. 7,145 (dua angka signifikan) b. 0,035445 (tiga angka signifikan)

4. Panjang seutas tali 12

75 meter. Tulislah ukuran tersebut dalam bentuk desimal

sampai tujuh tempat desimal kemudian, a. Tentukan banyaknya angka signifikan!


b. Bulatkan sampai 4 angka signifikan! 5. Sebuah karung pupuk tertulis netto 90 kg. Jika harganya Rp12.275,000 maka

harga 1 kg adalah….(bulatkan dalam puluhan rupiah terdekat)

E. Tes Formatif

Isilah titik-titik di bawah ini dengan tepat! 1. Pembulatan 66,1517 ke

a. Seperseratus terdekat adalah……… b. Sepersepuluh terdekat adalah…… c. Satuan terdekat adalah….. d. Ratusan terdekat ……..

2. Pecahan 7

22jika dinyatakan dalam bentuk desimal dengan

a. Dibulatkan sampai 5 tempat desimal adalah….. b. Dibulatkan sampai 2 tempat desimal adalah….

3. Bilangan 25

3jika dinyatakan dalam bentuk desimal, kemudian

a. Dibulatkan sampai 4 angka signifikan adalah……. b. Dibulatkan sampai 3 angka signifikan adalah……

II. KESALAHAN DALAM PENGUKURAN

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian materi ini diharapkan Anda dapat: 1. Menentukan salah mutlak dari suatu pengukuran 2. Menentukan salah relatif dari suatu pengukuran 3. Menghitung persentase kesalahan 4. Menentukan toleransi suatu pengukuran

B. Uraian Materi

1. Satuan Pengukuran Terkecil

Seperti telah kita ketahui bagaimanapun telitinya kita melakukan suatu pengukuran, kita tidak dapat menyatakan ukuran yang tepat (sebenar-benarnya). Selisih antara ukuran yang sebenarnya dan ukuran yang diperoleh dari pengukuran itu disebut kesalahan. Agar pengukuran kita dapat dipercaya, kita harus mengetahui kesalahan pengukuran. Maksimum yang masih dapat diterima. Besarnya suatu kesalahan dapat diperkecil dengan menggunakan alat-alat yang lebih teliti. Tingkat ketelitian dari suatu pengukuran ini disbut dengan Satuan Ukuran Terkecil . Contoh:

a. 12 kg satuan ukuran terkecilnya 1 kg

b. 25,7 meter satuan ukuran terkecilnya 0,1 meter

c. 40,25 menit satuan ukuran terkesilnya 0,01 menit

d. 1,250 ohm satuan ukuran terkcilnya 0,001 ohm


2. Salah Mutlak

Jika kita mengukur panjang buku kita menggunakan penggaris yang ukurannya dalam sentimeter, kita dapat mengatakan panjangnya 25 cm. tetapi ini tidak berarti bahwa panjangnya tepat 25 cm. kita dapat mengatakan bahwa satuan terkecil dari pengukuran itu adalah 1 cm. Jadi panjang sebenarnya lebih dekat ke 25cm daripada ke 24 cm atau 26 cm, yaitu terletak pada suatu tempat antara 24,5 cm dan 25,5 cm. kesalahan pengukuran terbesar yang masih dapat diterima adalah 0,5 cm atau salah mutlak pengukuran itu adalah 0,5 cm. Jadi dapat ditarik kesimpulan bahwa Salah Mutlak (SM) suatu pengukuran adalah setengah dari satuan ukuran terkecilnya.

Salah mutlak = 2

1 x Satuan Ukuran Terkecil

Contoh :

Hasil pengukuran berat Badan Ahmad adalah 65,45 kg. Tentukan a. Satuan ukuran terkecilnya! b. Salah mutlaknya!

Jawab:

a. 65,45 kg satuan ukuran terkecilnya 0,01 kg b. Salah mutlak = ½ x Satuan Ukuran Terkecil = ½ x 0,01 kg = 0,005 kg

3. Salah Relatif Salah Relatif = 4. Persentase Kesalahan Persentase Kesalahan = Salah Mutlak x 100%

Contoh :

Hasil pengukuran jarak kota A dan B yang dilakukan oleh Departemen Perhubungan adalah 50 km. Tentukan kesalahan relatif dan persentase kesalahan dari hasil pengukuran tersebut !

Jawab:

Hasil pengukuran 50 km, maka Satuan ukuran terkecilnya 1 km Salah mutlak = ½ x 1 km = 0,5 km Salah Relatif = =

= 0,01

kuranHasil pengu

kSalah mutla

kuran Hasil Pengu

k Salah Mutla

km

km

50

5, 0


Persentase Kesalahan = salah relatif ½ x 100% = 0,01.1/2 x 100% = 1 % 5. Toleransi

Suatu hasil pengukuran akan bisa diterima jika kesalahan yang dimiliki tidak terlalu besar. Untuk itu perlu ditentukan batas-batas pengukuran yang masih bisa diterima. Batas-batas tersbut adalah : a. Ukuran maksimum (∪ mak ) = Hasil Pengukuran + Salah Mutlak b. Ukuran Minimum (∪ min) = Hasil Pengukuran – Salah Mutlak

Selanjutnya didefinisikan tolransi adalah selisih antara batas atas dan batas bawah.

Toleransi = ∪ mak - ∪ min

Batas atas pengukuran dan batas bawah pengukuran sering disbut juga dengan ukuran maksimum dan ukuran minimum.

C. Rangkuman

1. Kesalahan adalah selisih antara ukuran sebenarnya dengan hasil pengukuran. 2. Satuan Ukuran Terkecil (SUT) adalah tingkat ketelitian dari suatu pengukuran 3. Salah Mutlak (SM) setengah dari ukuran terkecil. 4. Salah Relatif (SR) adalah perbandingan antara salah mutlak dengan hasil

pengukuran. 5. Persentase Kesalahan (PK) adalah salah relatif dikalikan 100%. 6. Toleransi adalah selisih antara ukuran maksimum dan ukuran minimum. 7. Ukuran Maksimum (∪ mak) adalah hasil pengukuran ditambah salah mutlak 8. Ukuran minimum (∪ min) adalah hasil pengukuran dikurangi salah mutlak

D. Tugas Belajar

Lakukan kegiatan pengukuran secara berkelompok, tiap kelompok terdiri atas 3 orang. Tiap kelompok melakukan kegiatan sekali pengukuran terhadap obyek berikut dengan ketelitian yang sesuai kesepakatan antar kelompok. Bandingkan hasil dari tiap-tiap kelompok dengan mempresentasikan di depan kelas! Tuangkan hasilnya dalam tabel berikut!

No Nama Benda Nama

Alat Ukur

Satuan Ukuran Terkecil

Salah Mutlak

Salah Relatif

Persentase Kesalahan

1 Panjang meja siswa paling depan

2 Tinggi pintu 3 Berat sebuah

batu bata

4 Tebal buku tulis (±100hal)

5 Diameter pensil


E. Tes Formatif

Lengkapi tabel berikut!

No Pengukuran Satuan Ukuran

Terkecil Salah

Mutlak Salah Relatif


1 20 m 2 15,2 kg 3 7,25 volt 4 25 menit 5 0,250 derajat

III. OPERASI HASIL PENGUKURAN

A. Tujuan

Setelah mempelajari materi diharapkan siswa dapat : 1. Menentukan hasil penjumlahan dari suatu pengukuran 2. Menentukan selisih dari suatu pengukuran 3. Menentukan hasil kali dari suatu pengukuran

B. Uraian Materi

1. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran, misalkan ukuran I dan II masing-masing mempunyai ukuran maksimum dan ukuran minimum, kemudian kedua ukuranitu kita jumlahkan, maka akan didapatkan hasil penjumlahan berikut : a. Jumlah Maksimum = Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II b. Jumlah Minimum = Ukuran Minimum I + Ukuran Minimum II c. Salah mutlak dari jumlahdua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I

dan salah mutlak ukuran II. Contoh:

Dari dua kali penimbangan hasil panen ikan didapatkan 57 kg dan 63 kg. Tentukan berapakah total minimum dan maksimum dari kedua penimbangan tersebut! Jawab:

Ukuran I 57 kg, maka salah mutlaknya 0,6 kg sehingga ukuran maksimumnya 57,5 kg, minimumnya 56,5 kg. Ukuran II 63 kg, maka salah mutlaknya 0,5 kg sehingga ukuran maksimumnya 63,5 kg, minimumnya 62,5 kg. Jumlah maksimum = 57,5 kg + 63,5 kg = 121 kg Jumlah minimum = 56,5 kg + 62,5 kg = 119 kg

2. Pengurangan Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran kita kurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Selisih Maksimum = Ukuran Maksimum I – Ukuran Minimum II b. Selisih Minimum = Ukuran Minimu I – Ukuran Maksimum II c. Salah Mutlak dari selisih dua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan

salah mutlak ukuran II.


Contoh:

Dari dalam drum minyak yang berisi 110 liter minyak diambil sebanyak 25 liter. Tentukan sisa maksimum dan minimum minyak yang masih berada dalam drum itu!

Jawab: Ukuran 110 liter mempunyai : Ukuran maksimum 110,5 liter : Ukuran minimum 109,5 liter Ukuran 25 liter mempunyai : Ukuran maksimum 25,5 liter : Ukuran minimum 24,5 liter Sehingga Sisa maksimum = 110,5 liter – 24,5 liter = 86 liter Sisa minimum = 109 liter – 25,5 liter = 84 liter 3. Perkalian Hasil Pengukuran Jika dua hasil pengukuran dikurangkan akan didapatkan hasil berikut: a. Hasil Kali Maksimum = Ukuran Maksimum I x Ukuran Maksimum II b. Hasil Kali Minimum = Ukuran Minimum I x Ukuran Minimum II

Contoh:

Sebuah kamar mempunyai ukuran panjang 5 meter dan lebar 3 meter. Tentukan ukuran luas maksimum dan minimum kamar tersebut!

Jawab:

Panjang 5 meter maka : Panjang maksimum 5,5 meter Panjang minimum 4,5 meter Lebar 3 meter maka : Lebar maksimum 3,5 meter Lebar minimum 2,5 meter Luas maksimum = 5,5 meter x 3,5 meter = 19,25 meter2 Luas minimum = 4,5meter x 2,5 meter = 11,25 mter2

C. Rangkuman

1. Jumlah Maksimum = Ukuran Maksimum I + Ukuran Maksimum II 2. Jumlah Minimum = Ukuran minimum II 3. Salah mutlak dari jumlah dua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan

salah mutlak ukuran II 4. selisih Maksimum = Ukuran Maksimum I – Ukuran Minimum II 5. Selisih Minimum = Ukuran Minimum I – Ukuran Maksimum II 6. Salah mutlak dari selisih dua pengukuran = jumlah salah mutlak ukuran I dan

salah mutlak ukuran II. 7. Hasil Kali Maksimum = Ukuran Maksimum I x Ukuran Maksimum II 8. hasil kali mimimum = Ukuran Minimum I x Ukuran Minimum II


D. Tugas

Kerjakan soal berikut secara berkelompok dengan membikin kelompok beranggotakan 3 orang! 1. Tentukan : a. Keliling b. Keliling maksimum, c. Keliling minimum Dari bangun berikut! 2. Tentukan a. Luas b. Luas maksimum c. Luas minimum Dari bangun berikut!

E. Tes Formatif

Kerjakanlah soal-soal di bawah ini dengan benar! 1. Dua buah kawat dengan panjang masing-masing 12 m dan 14 m disambung.

Tentukan panjang maksimum sambungan kedua kawat tersebut! 2. Sebuah botol yang berisi 900 ml minyak wangi, diambil 3 kali masing-masing

50 ml. tentukan sisa maksimum minyak wangi tersebut! 3. Ketika panen ikan dilakukan pada dua kolam yang berbeda, menghasilkan berat

ikan yang berbeda walaupun banyak benihnya sama. Kolam A menghasilkan 152,2 kg dan kolam b 175,3 kg. Tentukan : a. Jumlah maksimum dan minimumnya! b. Selisih maksimum dan minimunya!

4. Tentukan kebutuhan ubin maksimum untuk menutup lantai berbentuk persegi panjang dengan panjang 8 m dan lebar 9 m, jika tiap m2 lantai membutuhkan 9 ubin!

5. Sebuah akuarium dibuat berukuran 100 cm x 50 cm x 60 cm. Tentukan volume air maksimum yang bisa ditampung dalam akuarium tersebut!

IV. EVALUASI

Kerjakan Soal berikut ini!

1. Nyatakan 13

61 sebagai pecahan desimal, bulatkan sampai :

a. 5 tempat desimal b. 3 tempat desimal c. 6 angka signifikan

10cm

12cm

8cm

15c

m

25cm

5cm

6cm

10cm

6cm

8cm


2. Lengkapi tabel di bawah ini:

No Pengukuran Satuan Ukuran Terkecil

Salah Mutlak

Salah Relatif


1 17 m 2 750 kg 3 53,2 jam 4 1,02 ampere 5 5,25

3. Carilah batas-batas keliling bentuk-bentuk lmpengan berikut! 4. Suatu batang logam panjangnya 28 cm dipotong spanjang 20 cm. berapakah batas-

batas sisa batang logam tersebut! 5. Berapakah luas maksimum dan minimum dari :

a. Persegi panjang dengan ukuran panjang 5 m dan lebar 4m b. Persegi dengan sisi (6 ± 0,2) cm.

3 c

m

4 cm

5cm

12 cm

8 c

m


MODUL 3: PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN I. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan: 1. Memiliki pemahaman mengenai pengertian persamaam dan pertidaksamaan

linear. 2. Dapat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linear.

B. Uraian Materi 1. Sifat Umum Persamaan

Persamaan akan tetap ekivalen jika kedua ruas ditambah atau dikurangi atau dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

2. Pengertian Persamaan Linear a. Kalimat Terbuka dan Kalimat Tertutup

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Contoh 1 : Ari mempunyai satu kantong kelereng. Budi menambahkan 5 kelereng ke dalam kantong tersebut. Setelah dihitung semua kelerengnya, ternyata ada17 biji. Berapa kelereng Ari seblum ditambah kelereng Budi? Hal tersebut dapat ditulis ke dalam kalimat matematikan sebagai berikut : X + 5 = 17 Berapa x ?

c. kalimat tertutup adalah kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya dari contoh 1 di atas x dapat digenti dengan : o 12 + 5 = 17 bernilai benar o 15 + 5 = 17 bernilai salah

3. Penyelesaian Persamaan Linear Persamaan linear adalah persamaan dengan variabel adalah ax + b = 0, a, b∈R, a ≠ 0 a. Persamaan Linear Satua Variabel Bentuk nilai x dari persamaan 3x - 21 = 0! Jawab: 3x - 21=0 ⇔ 3x – 21 + 21 = 0 + 21 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -21

yaitu 21) ⇔ 3x = 21

⇔ 213

13

3

1 =x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 3 yaitu 3

1)

⇔ x = 7 Jadi nilai x adalah 7 Contoh : Tentukan nilai x dari persamaan 3x + 5 = 25-2x! Jawab: 3x + 5 + 2x = 25 – 2x + 2x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -2x

yaitu 2x)


⇔ 5x + 5 = 25 (disederhanakan) ⇔ 5x + 5 + (-5) – 25 + (-5) (kedua ruas ditambah dengan lawan dari 5

yaitu -5) ⇔ 5x = 20 (disederhanakan)

⇔ 20.5

15.

5

1 =x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 5

yaitu )5

1

⇔ x = 4 Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 4 Contoh 4: Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x-6=24-3x! Jawab: 3x – 6 = 24 -3x ⇔ 3x – 6 + 3x = 24 -3x + 3x (kedua ruas ditambah dengan lawan dari (-

3x yaitu 3x) ⇔ 6x – 6 = 24 (disederhanakan) ⇔ 6x – 6 + 6 = 24 + 6 (kedua ruas ditambah dengan lawan dari -6

yaitu 6) ⇔ 6x = 30 (disederhanakan)

⇔ 30.6

16

6

1 =x (kedua ruas dikali dengan kebalikan dari 6

yaitu )6

1

⇔ x = 5 Jadi himpunan penyelesaian dari persamaannya adalah {5}

b. Persamaan Linear Dua Variabel

Persamaan linear dua variabel adalah suatu persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat dari kdua variabel adalah satu.

Bentuk umum : ax + by = c di mana a,b,c∈R, dan a,b ≠ 0 Penyelesaian satu persamaan linear dua variabel : Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 3y = 6 untuk y∈{-2,0,2}! Jawab: y = -2, Maka 2x + 3y = 6 ⇔ 2x + 3.(-2) = 6 ⇔ 2x – 6 = 6 ⇔ 2 x = 6 + 6 ⇔ 2 x = 12 ⇔ x = 12 : 2 ⇔ x = 6 diperoleh (6,-2) y = 0, maka 2x + 3y = 6 ⇔ 2x + 3.(0) = 6 ⇔ 2x + 0 = 6 ⇔ 2 x = 6 ⇔ x = 3 diperoleh (3,0)


y = 2, maka 2x + 3y = 6 ⇔ 2x + 3.(2) = 6 ⇔ 2x + 6 = 6 ⇔ 2 x = 6-6 ⇔ 2 x = 0 ⇔ x = 0 diperoleh (0,2) Jadi HP = {(6,-2).(3.0),(0,2)}

4. Pengertian pertidaksamaan Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka tidak sama dengan (#) yang dapat menggunakan tanda: <, >, ≥ atau ≤ Contoh: • 2-x<8 • X + 7 ≤ 0 • 3x-4>0 Sedangkan kalimat tertutup yang menggunakan tanda tanda: <,>,≤ atau ≥ disebut ketidaksamaan. Contoh: • 4 + 8 <20 • 10-5 ≥ 2 Kostanta pengganti variabel yang menyebabkan suatu pertidaksamaan menjadi kalimat yang benar disebut penyelesaian. Sedangkan himpunan yang memuat semua penyelesaian dari pertidaksamaan disebut himpunan penyelesaian.

5. Sifat-sifat Pertidaksamaan • Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan

bilangan positif atau bilangan negatif yang sama,maka arah tanda pertidaksamaan tetap.

• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan positif yang sama, maka tanda arahpertidaksamaan tetap

• Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan suatu bilangan negatif yang sama, maka tanda arah pertidaksamaan dibalik.

6. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi satu. a. Pertidaksamaan linear satu variabel Bentuk umum: ax + b < 0; ax + b >; ax + b ≥ 0 atau ax + ≤ 0, dengan a ≠ 0

Contoh :

• x + 4 < 0

• 3x – 1 > 0

• 2x-4 ≤ 0

Mencari himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat ditunjukkan dengan notasi himpunan atau dengan garis bilangan.


Contoh:

Tentukan HP dan grafik garis bilangan dari pertidaksamaan berikut ini,jika x∈ R (x anggota bilangan real)!

1) 3x – 7 > 2

Jawab :

3x - 7 > 2 ⇔ 3x – 7 + 7 > 2+7 Kedua ruas ditambah lawan dari 7- yaitu 7

3x > 9 disederhanakan

⇔ Kedua ruas dikali kebalikan 3 yaitu 3

1

x > 3

HP = {x / x > 3, x∈ R}

Karena tandanya >, maka digambarkan denga noktah berlubang dan arah panah ke kanan.

2) 5x -2 ≤ 4x + 6 ⇔ 5x – 2 + (-4) ≤ 4x + 6+ (-4x) Kedua ruans ditambah dengan lawan

dari 4x yaitu -4x ⇔ x – 2 ≤ 6 disederhanakan

⇔ x -2 + 2 ≤ 6 + 2 Kedua ruas ditambah 2

⇔ x ≤ 8

Jadi HP = {x / x ≤ 8, x ∈R}

Karena tandanya ≤, maka digambarkan dengan noktah padat pada bilangan

8 dan arah panah ke kiri. 3) 2(3-x) ≥ x + 9 ⇔ 6-2x ≥ x + 9 Ruas kiri diselesaikan dahulu dengan cara

mengalikan bilanga yang diluar kurung dengan ada yang didalam kurung.

⇔ 6-2x + (-x) ≥ x + 9 (-x) Kedua ruas ditambah dengan lawan dari x yaitu (-x)

⇔ 6 – 3x ≥ 9 ⇔ 6-3x + (-6) ≥ 9 + (-6) Kedua ruas ditambah dengan 6 ⇔ -3x ≥ 3

⇔ [ ]

−≤−

−3

133

3

1x Kedua ruas dikali dengan kebalikan

Dari -3 yaitu 3

1− dan diperhatikan

tanda petidaksamaannya berubah arah ⇔ x ≤ -1

⇔

9.3

13.

3

1 >x

⇔

0

3

8


Karena tanda pertidaksamaannya ≤ maka digambar dengan noktah

padatdan arah panahnya ke kiri.

4) 2x – 5 ≤ x + 3 < 5x-9

Karena pada soal pertidaksamaan ini ada tiga ruas, maka pertidaksamaan

ini dikerjakan dengan dua penyelesaian.

Penyelesaian pertamadikerjakan dari ruas kiri dengan ruas tengah.

Penyelesaian yang kedua dikerjakan dari ruas tengah dengan ruas kanan.

Penyelesaian I 2x -5 ≤ x + 3 ⇔ 2x -5 + (-x) ≤ x + 3 + (-x) Kedua ruas ditambah (-x) ⇔ x -5 ≤ 3 ⇔ x – 5 + 5 ≤ 3 + 5 Kedua ruas diytambah 5 ⇔ x ≤ 8…………) Penyelesaian 2 x + 3 < 5x – 9 ⇔ x + 3 + (-5x) < 5x -9 + (-5x) Kedua ruas ditambah (-5x) ⇔ -4x + 3 < -9 ⇔ -4x + 3 (-3) < -9 + (-3) Kedua ruas ditambah -3 ⇔ -4x < -12

⇔ [ ] [ ]124

14

4

1 −

−>−−

− x Kedua ruas dikali dengan kebalikan

dari -4 yaitu 4

1− dan perhatikan tanda

pertidaksamaan berubah arah ⇔ x > 3 ……….2) Karena ada dua nilai x, maka nilai xdapat ditulis sebagai berikut : x ≤ 8 atau 3 < x ≤8 Grafik himpunan penyelesaian pada garis bilangan pada titik 3 berupa noktah berlubang dan pada titik 8 berupa noktah padat.

b. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Bentuk umum:

ax + by < c; ax + by > c; ax + by ≤ c atau ax + by ≥ c dengan a ≠ 0 dan b ≠ 0

contoh 1:

Tentukan HP dari 4x -3y ≤ 12; x,y ∈ R!

-1

3 8


Jawab:

1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12!

Untuk x = 0, maka 4.(0) – 3y = 12

- 3y = 12 y = -4 Jadi titiknya (0,-4) Untuk y = 0, maka 4x -3.(0) = 12 4x = 12 x = 3 Jadi titiknya (3,0)

x 0 3 y -4 0

(x,y) (0,-4) (3,0) 2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan garis 4x-3y =12! Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x =0

Dan y = 0. Subtitusikan titik tersebut ke 4x -3y, sehingga didapat 4 (0) – 3(0) = 0 – 0 = 0 Ternyata benar bahwa 0 ≤ 12, sehingga titik (0,0) memenuhi (benar)

3) Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri garis 4x -3y = 12 merupakan daerah penyelesaian (yang diarsir)

Contoh 2: Tentukan HP dari 4x -3y > 12; x,y∈ R! Jawab: 1) Buatlah tabel untuk membuat garis 4x -3y = 12! Untuk x = 0, maka 4.(0) -3y = 12 -3y = 12 y = -4 Jadi titiknya (3,0)

x 0 3 y -4 0

(x,y) (0,-4) (3,0) 2) Selidiki titik yang terletak di kiri atau kanan dikiri atau kanan garis 4x-

3y =12 Misal titik (0,0) yang terletak dikiri garis, titik (0,0) artinya x = 0 dan y = 0. Substitusikan titik tersebut ke 4x-3y sehingga didapat 4(0) – 3(0) = 0 – 0 = 0 Ternyata benar bahwa 0 ≤12, sehingga titik (0,0) tidak memenuhi (salah)

(3,0) X

(0,-4)


3)

C. Rangkuman

Persamaan linear adalah suatu persamaan dengan variabelnya berpangkat satu, Persamaan linear yang dibahas adalah:

� Persamaan linear satu variabel � Persamaan linear dua variabel Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda <, >, ≤, atau ≥, Pertidaksamaan linear satu dan dua variabel adalah pertidaksamaan yang variabelnya berpangkat satu.

D. Lembar Kerja Siswa

Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok Anda kemudian presentasikan hasilnya dengan bimbingan guru!

1. Tentukan HP dari: a. 3x – 15 = 0 b. 3 + x = 2x – 4 c. 4x + 7 = 43-2x 2. Tentukan HP dari persamaan 2x + 3y = 6 Untuk y ∈ {-1,0,1,2,3} 3. Tentukan HP untuk :

a. 2x – 1 < x + 10 b. 3x + 5 > 25 c. 10x + 5 >25 d. 5 < 2 + x <15

E. Lembar Kerja Siswa (45 menit) 1. Tentukan apakah yang berikut ini merupakan kalimat terbuka atau kalimat

tertutup, jika kalimat tertutup, tentukan benar atau salah! a. 28 : 3 = 5 b. 3x + 5 = 7 c. 5 > 3 d. 100 x 5 = 110 2. Tentukan apakah yang berikut ini persamaan, pertidaksamaan, kesamaan

atau ketidaksamaan! a. 19 + 8 = 27 b. 10x ≤ 1 -5x c. 35 – 4x = 3 d. 10 > 9 3. Tentukan HP dari: a. 15 -2x = 25

Jadi daerah yang memuat titik (0,0) atau daerah di kiri garis 4x-3y= 12 bukan merupakan daerah penyelesaian(tidak diarsir)

Y

3,0

(0,-4)


b. 2(x-4) = 3(x-3)

c. 2

1

5

12 +=− xx

d. 43

2

4

3

2=−− xxx

4. Tentukan HP dari : a. 5 + 6 > x b. x + 7 ≤ 6 c. 3x -3 ≤ 3 d. 7 > -4 – x 5. Carilah HP dari 3x + 4y = 12 untuk x ∈ {-2,-1,0,1,2}! II. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini Anda diharapkan dapat: • Memahami pengertian tentang persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat • Menentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat • Menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat • Menyusun persamaan kuadrat

B. Uraian Materi

1. Pengertian Persamaan Kuadrat • Bentuk umum persamaan kuadrat a x2 – bx – c = 0 Dengan a,b,c∈R dan a ≤ 0 • Bentuk persamaan kuadrat lainnyaadalah :

i. ax2 – c = 0:a.b ∈R dan a ≤ 0 disebut persamaan kuadratbentuk asli

ii. ax2 – bx = 0 :a, b ∈R dan a = 0 disebut persamaan kuadrat tidak lengkap

2. Akar-akar Persamaan Kuadrat Untuk menentukan himpunan penyelesaian akar-akar suatu persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara : a. Memfaktorkan

Persamaan kuadrat dengan bentuk umum a x2 + bx + c = 0 Dengan a,b,c ∈R. dan a = 0, maka c a merupakan hasil kali dua bilangan (x1 + x2) dan –b/a merupakan dua jumlah dua bilangan (x1 + x2) sehingga ax2 –bx – c = 0 ⇔ (x1 – x2)(x1 – x2) = 0 Contoh 1. Tentukan HP dari persamaan kuadrat x2 – 8x – 12 = 0 ! Jawab : Cara dua bilangan yang bila dikalikan = 12 dan bila dijumlahkan = -8 Ternyata bilangan itu adalah -6 dan -2 Jadi x2 – 8x – 12 = 0 dapat difaktorkan menjadi

⇔ (x-6) (x-2) = 0 ⇔ x -6 = 0 atau x -2 = 0 ⇔ x1 = 6 atau x2 = 2 Jadi HP = {2,6}


Contoh 2: Tentukan HP dari persamaan 2 x2 + 5x – 3 = 0! Jawab : Analog dengan contoh 1, maka 2 x2 + 5x – 3 = 0 dapat difaktorkan menjadi : ⇔ (2x -1) (x + 3) = 0 ⇔ 2 x – 1 = 0 atau ⇔ x + 3 = 0 ⇔ 2x = ⇔ x = -3

⇔ x = }3,2

1{ −

b. Dengan rumus kuadrat / Rumus abc

x1.2 = a

acbb

2

42 −±−

Keterangan: a = koefisien dari x2 b = koefisien dari x c = konstanta Contoh : 1

Tentukan HP dari persamaan kuadrat x2 -8 x + 12 = 0!

Jawab:

x2 – 8 x + 12 = 0 a = 1; b = -8; c = 12 x1,2 =

⇔ x1,2 = 2

48648 −±

⇔ x1 = 62

48 =+

⇔ x1 = 62

48 =+atau x2 = 2

2

48 =−

HP = { 2,6 } Contoh : 2 Tentukan HP dari persamaan 4 x2 – x – 3 = 0! Jawab: a = 4,b = -1 dan c = -3 x1,2 =

⇔ x1,2 = ( ) ( )

4.2

)3(4.411 2 −−−±−−

1 . 2

12. 1. 4 2 )8 () 8( −−±−−

a

c abb

.2

. .4 2 −±−


⇔ x1,2 = 8

4811 +±

⇔ x1,2 = 8

71+

⇔ x1 = 18

71 =+

⇔ x2 = 4

3

8

71 =−

Jadi HP = { }1,4

3−

c. Dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Contoh : 1 Tentukan HP dari persamaan x2 – 8x + 12 = 0 !

Jawab:

x2 -8x + 12 = 0 ⇔ x2 - 8x = -12

⇔ x2 – 8x + 22

2

812

2

8

−+−=

−

⇔ x2 – 8x + 16 = - 12 + 16 ⇔ x – 4 = ± 2 ⇔ x – 4 = 2 atau ⇔ x – 4 = -2 ⇔ x = 2 + 4 ⇔ x = -2 + 4 ⇔ x = 6 ⇔ x = 2 HP = {2, 6} Contoh 2 :

Tentukan HP dari persamaan 2 x2 – 6x – 5 = 0! Jawab : 2x2 – 6x – 5 = 0 ⇔ 2x2 – 6x = 5

⇔ x2 – 3x = 2

5

⇔ x2 -3x + 22

2

3

2

5

2

3

−+=

−

⇔2

2

3

−x = 4

9

2

5 +

⇔2

2

3

−x = 4

19

⇔2

3−x = 192

1±

⇔ x = 192

1

2

3 ±


⇔ x = 192

1

2

3 + atau ⇔ x = 192

1

2

3 −

Jadi HP = { }192

1

2

3,19

2

1

2

3 −+

3. Jenis-jenis akar dan Diskriminan Persamaan Kuadrat Nilai b2 – 4.a.c disebut diskriminan persamaan kuadrat dan dilambangkan dengan D Sifat-sifat/jenis akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai D, yaitu sebagai berikut : • Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

berbeda (x1 ≠ x2) • Jika D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar real yang

sama/kembar (x1 = x2 ) • Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar yang nyata Contoh : 1 Tentukanlah m agar persamaan 2x 2 – 8x – m = 0 mempunyai dua akar yang sama, berapa akar tersebut ? Jawab : Syarat persamaan kuadrat mempunyai dua akar yang sama adalah D = 0, dari persamaan di atas maka a = 2; b = -8 dan c = -6 D = 0 b2 – 4.a.c = 0 ⇔ (-8) 0).(1.42 =−− m ⇔ 64 + 4m = 0 ⇔ m = -8 M = -8 kita subtitusikan ke persamaan awal: x2 – 8x – m = 0 ⇔ x2 – 8x – (-8) = 0 ⇔ x2 – 8x + 8 = 0 ⇔ (x-2)(x-2) = 0 ⇔ x = 2 Contoh : 2 Tentukan harga k agar persamaan kuadrat k2 x2 + 2 (k + 1) x + 4 = 0 Mempunyai akar: • Nyata ! • Nyata berbeda ! Jawab : a = k2, b = 2 (k + 1) = 2 k + 2, c = 4 D = b2 – 4.a.c ⇔ D = (2k + 2)2 - 4.k2 .4 ⇔ D = 4 k2 + 8 k + 4 – 16 k2 ⇔ D = -12 k2 + 8k + 4 1) Mempunyai dua akar nyata sama

Syarat D = 0 -12 k2 + 8k + 4 = 0


⇔ -3k2 + 2k + 1 = 0 ⇔ 3k2 – 2k – 1 = 0 ⇔ (3k + 1) (k-1) = 0 ⇔ 3 k + 1 = 0 atau ⇔ k-1 = 0 ⇔ 3k = -1 ⇔ 1

⇔ k = -3

1jadi agar persamaan k2 x 2 + 2(k + 1) x + 4 = 0

Mempunyai dua akar nyata sama maka k = atau3

1− k = 1

2) Mempunyai dua akar nyata berbeda Syarat D > 0, maka -12k2 + 8 k + 4 > 0 ⇔ -3 k2 + 2k + 1 > 0 ⇔ 3 k2- 2k – 1 < 0 ⇔ (3k + 1) (k-1) < 0

⇔ k> -3

1dan k < 1

Jadi agar persamaan k2x2 + 2(k + 1)x + 4 = 0 mempunyai dua akar Nyata dan berbeda, maka

3

1− <k<1

4. Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Pada rumus ABC : a

cabbx

.2

..42

2.1

−±−=

Maka a

acb

a

b

a

cabbx

2

4

22

..4 22

1

−+−=−+−= atau

a

acbb

a

b

a

acbbx

2

4

22

4 22

2

−−−−−=−−−=

Berarti : a

acb

a

b

a

acb

a

bxx

2

4

22

4

2

22

21

−−

−+−+−=+

a

b

a

b −=−=2

2

−−−

−+−=+a

acb

a

b

a

acb

a

bxx

2

4

22

4

2

22

21

[ ]

a

c

a

ac

a

acb

a

b ==−−=22

2

2

2

4

4

4

4

4

Jadi dapat disimpulkan, dan dikembangkan menjadi :

1) x1 + x2 = a

b− dan a

cxx =21.

2) a

acbxx

42

21

−=−

3) 212

212

22

1 2)( xxxxxx −+=+

4) 212

212

21 4)()( xxxxxx −+=−

++++−−−−−−++++

3

1− 1


5) 2

21

21

11

xx

xx

xx

+=+

Contoh 1 : Jika akar-akar persamaan 0693 2 =++ xx adalah 1x dan 2x maka tentukanlah :

• 21 xx +

• 21.xx

• 21

11

xx+

• 21 xx −

• 22

21 xx +

Jawab: Dari persamaan 0693 2 =++ xx maka a =3; b = 9 dan c = 6

• 33

921 −=−=−=+

a

bxx

• 23

6. 21 ===

a

cxx

• 2

3

.

11

21

21

21

−=+

=+xx

xx

xx

• 13

9

3

7281..42

21 ==−=−==−a

cab

a

Dxx

• 52.2)3(2)( 221

221

22

21 =−−=−+=− xxxxxx

Contoh 2: Jika 1x dan 2x adalah akar-akar dari persamaan 0243 2 =−− xx maka tentukanlah nilai dari :

• 22

21 xx +

• 1

2

2

1

x

x

x

x+

Jawab : 0243 2 =−− xx , a = 3; b = -4 ; dan c = -2

• 3

4

3

)4(21 =−−=−=+

a

bxx

• 3

221 −==

a

cxx

• 212

212

22

1 2)( xxxxxx −+=+ 9

28

3

4

9

16

3

22

3

42

=+=

−

=


• 3

14

2

3

9

28

3

29

28

21

22

21

1

2

2

1 −=

−=−

=+

=+xx

xx

x

x

x

x

5. Pengertian Pertidaksamaan Kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan dengan variabel berpangkat tertinggi dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah : • 02 >++ cbxax • 02 <++ cbxax • 02 ≥++ cbxax • 02 ≤++ cbxax dengan Rcba ∈≠ ,,,0 Pertidaksamaan kuadrat mempunyai sifat yaitu: • Jika hasil kali kedua faktor lebih besar dari nol, maka kedua faktornya

masing-masing lebih besar dari nol atau keduanya lebih kecil dari nol ,0. 21 >xx maka 01 >x dan 02 >x atau 01 <x dan 02 <x • Jika hasil kali kedua faktor lebih kecil dari nol, maka salah satu faktornya

lebih besar dari nol dan faktor lainnya lebih kecil dari nol, ,021 <−xx

01 >x dan 02 <x atau 01 <x dan 02 >x Contoh : 1 Tentukan HP dari pertidaksamaan !422 2 >+ xx Jawab :

422 2 >+ xx 0422 2 >−+ xx

022 >−+ xx (x-1)(x + 2) > 0 Dengan menggunakan sifat: ,0. 21 >xx maka 01 >x dan ,02 >x sehingga : (1) x – 1 > 0 dan x + 2 > 0 x > 1 x > -2

maka yang memenuhi x > 1 (2) atau x – 1 < 0 dan x + 2 < 0 x < 1 dan x < -2 maka yang memenuhi adalah x < -2 jadi HP = {x/x <-2} contoh : 2 tentukan HP dari pertidaksamaan 35-2x > x2!

-2 1

1

-2


Jawab : 35- 2x > x2 35 – 2x –x2 > 0 Harga no! dari 35 -2x-x2 > 0 adalah 35-2x-x2 = 0 atau x2 + 2x – 35 = 0 (x + 7)(x-5) = 0 x + 7 = 0 atau x – 5 = 0 x = -7 atau x = 5 diujicobakan nilai-nilai x selain harga nol dari 35-2x-x2 (selain x = -7 dan x = 5) Untuk x < -7, misalnya x = -10, maka subtitusikan ke 35 – 2x – x2 > 0 35 – 2.(-10) > (-10)2 15 + 20 > 100

35 > 100 (tidak benar/daerah dikiri -7 adalah daerah yang tidak memenuhi) Untuk -7 < x < 5, misalnya x = 0, maka jika didistribusikan ke 35-2x > x2 35 – 2.(0) > 02 35-0 > 0 35 > 0 (benar/jadi daerah yang terletak di tengah antara -7 sampai 5 adalah daerah yang memenuhi) Untuk x > 5, misalkan x = 10, maka disubtitusikan ke 35-2x > x2 35-2(10) > 102 35-20 > 100 15 > 100 (tidak benar/daerah di kanan x = 5 adalah daerah yang tidak memenuhi) dan digambar dalam bilangan :

−−−−−++++++++++−−−−−−−

Maka HP = { x / - 7 < x < 5

6. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya

Apabila akar-akar sebuah persamaan diketahui, persamaan kuadrat tersbut dapat disusun dengan dua cara : a. Memakai Faktor

Jika sbuah persamaan kuadrat dapat difaktorkan menjadi (x - x1) (x - x2) = 0 maka x1 dan x2 merupakan akar-akar persamaan kuadrat tersebut. Sebaliknya apabila x1 dan x2 merupakan akar-akar sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat itu dapat dinyatakan sebagai : (x-x1) (x-x2) = 0

b. Memakai rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar

-7 5


Persamaan kuadrat bentuk baku ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dapat

dinyatakan sebagai ,02 =++a

cx

a

bx yaitu dengan membagi kedua ruas

persamaan kuadrat semula dengan a. Sedangkan berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, kita mempunyai hubungan :

a. )( 2121 xxa

b

a

bxx +−=⇒−=+

b. 2121 .xxa

c

a

cxx =⇒=

dengan demikian persamaan 02 =++a

cx

a

bx dapat dinyatakan sebagai

0)( 21212 =++− xxxxxx

Contoh : Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarya diketahui sebagai berikut : 1) 4 dan -3

2) 5

2

2

3dan−

Jawab: Memakai faktor 1) x = 4 dan x = -3 0))3()(4( =−−− xx ⇔ 0)3)(4( =+− xx

⇔ 0122 =−− xx

2) danx2

3−= 5

2=x

0)5

2)(

2

3 =−

−− xx

⇔ 0)5

2)(

2

3( =−+ xx

⇔ 05

3

10

112 =−+ xx

⇔ 061110 2 =−+ xx Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar :

1) 41 =x dan 32 −=x

134)( 21 =−+=+ xx

⇔ 12)3).(4(. 21 −=−=xx Jadi persamaan kuadratnya adalah: 01212 =−− xx

⇔ 0122 =−− xx

2) 5

2.

2

321 =−= danxx


5

3)

5

2).(

2

3()( 21 −=−=+ xx

Jadi persamaan kuadratnya adalah:

05

3

10

112 =−

−− xx

⇔ 10x2 + 11x – 6 = 0

7. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan Akar-akar Persamaan Kuadrat lainnya.

Menyusun persamaan kuadrat jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya dapat dilakukan dengan dua cara yaitu : a. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar, yang telah kita pelajari

sebelumnya. b. Penghapusan indeks, jika bentuk akar-akarnya simetri

Contoh 1: Diketahui α dan β adalah akar-akar persamaan 0562 2 =−− xx

Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya !11

βdan

∂

Jawab : Menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar

0)( 21212 =++− xxxxxx

Persamaan kuadrat yang diketahui 056.2 2 =−xx mempunyai akar-akar

α dan β , sehingga α + β =2

5.

2

6 −=−− βαdan

Persamaan kuadrat yang diminta mempunyai akar-akar α1

1 =x dan

,1

2 β=x sehingga

5

6

2

53

.

112 −=

−=+=+=+

βαβα

βαxx

5

2

2

5111

.1

. 21 −=−

===αββα

xx

Substitusikan (5

6)21 −=+ xx dan

5

2. 21 −=xx ke dalam persamaan

0.)( 21212 =++− xxxxxx sehingga diperoleh

⇔ 05

2

5

62 =

−+

−− xx

⇔ 0262 =−+ xx


Memakai penghapusan indeks

Akar-akar α1

1 =x dan β1

2 =x dikatakan simetrti, sebab jika indeks1

dan 2 dihapuskan akan didapat bentuk yang sama.

Jika indeks 1 pada α1=x dihapuskan didapat

α1=x atau

x

1=α sedangkan jika indeks 2 pada β1

2 =x dihapuskan didapat

β1=x atau

x

1=β dengan demikian x

1== βα

Oleh karena α adalah akar-akar dari 0562 2 =−− xx maka berlaku : 0562 2 =−− αα

Dengan substitusi x

1α ke dalam persamaan 0562 2 =−− αα

Diperoleh 051

61

22

=−

−

xx

⇔ 0562

2=−−

xx masing-masing ruas dikalikan 2x

⇔ 0562 2 =−− xx ⇔ 0265 2 =+− xx Contoh: 2

Diketahui α dan β merupakan akar-akar persamaan 0234 2 =−− xx Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya ()3+α dan ( )3+β Dengan cara penghapusan indeks!

Jawab: α merupakan salah satu akar persamaan ,0234 2 =−− xx masa berlaku

hubungan : 0234 2 =−− αα Persamaan yang diminta mempunyai akar-akar )3(1 += αx dan

),3(2 += βx akar-akar ini simetri sebab dengan penghapusan indeks 1 dan 2 akan didapat :

3+= αx = = =⇒ 3−= xα dan 3+= βx = =⇒ 3−= xβ Sehingga 3−== xβα Dengan subtitusi 3−== xβα ke dalam persamaan

0234 2 =−− αα maka diperoleh: 02)3(3)3(4 2 =−−−− xx

⇔ 0293)96(4 2 =−+−+− xxx

⇔ 029336244 2 =−+−+− xxx ⇔ 043274 2 =+− xx


Pada umumnya menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-

akarnya merupakan fungsi akar-akar persamaan kuadrat yang diketahui

lebih mudah dilakukan dngan cara penghapusan indeks, akan tetapi

perlu ditegaskan di sini bahwa cara itu hanya dapat dipakai apabila

bentuk akar akarnya simetri, jika akar-akarnya tidak simetri penentuan

persamaan kuadrat baru harus dilakukan dengan rumus jumlah dan hasil

kali akar-akar.

C. Rangkuman

Bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan a ≠ 0 dan a,b,c ∈R. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan :

• Cara memfaktorkan • Rumus ABC • Melengkapkan kuadrat sempurna

Jenis-jenis akar dan diskriminan persamaan kuadrat : Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai diskriminan: • Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang

berbeda ( )21 xx ≠

• Jika D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar nyata yang sama/kembar ( )21 xx +

• Jika D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua akar tidak nyata/imajiner.

Jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat Jika 1x dan 2x merupakan akar-akar persamaan kuadrat 02 =++ cbxax Maka :

• a

bxx −=+ 21

• a

cxx =21.

• 212

212

22

1 2)( xxxxxx −+=+

Pertidaksamaan kuadrat Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaa dengan variabel berpangkat

tertinggi adalah dua.

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat adalah:

• 02 >++ cbxax • 02 <++ cbxax • 02 ≥++ cbxax • 02 ≤++ cbxax dengan a ≠ 0, a,b,c ∈ R


Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat digunakan pertolongan garis bilangan. Menyusun persamaan kuadrat jika diketahui akar-akarnya dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu : B. Memakai faktor C. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar Menyusun persamaan kuadrat baru jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan akar-akar persamaan kuadrat lainnya dapat dilakukan dengan dua cara : E. Memakai rumus jumlah dan hasil kali akar-akar F. Menggunakan penghapusan indeks

D. Lembar Kerja Siswa

Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota klompok Anda, kemudian Presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru! Tentukanlah HP dari persamaan kuadrat berikut:

a. 0432 =+− xx b. 063 2 =++ xx

Tentukan harga k pada persamaan x2-10x + k = 0 agar akar-akar persamaan kuadrat tersebut mempunyai dua akar nyata yang sama/kembar. Jika 073 2 =−− xx mempunyai akar-akar persamaan 1x dan 2x maka tentukanlah: a. 21 xx +

b. 21xx

c. 21 xx −

d. 21

11

xx+

Tentukan HP dari pertidaksamaan : a. 0542 >−+ xx b. 752 2 ≤+ xx

Susunlah persamaan kuadrat jika diketahui mmpunyai akar-akar: 5 dan -5

4

1

4

3dan

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui: -5 dan 8

3

1

4

1dan−

Jika α dan β akar-akar dari persamaan kuadrat ,0732 =−− xx maka

tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2

1

−α dan

!2

1

−β

E. Tes Formatif


1. Tentukan HP akar-akar persamaan kuadrat berikut ini! a. 024112 =+− xx b. 01522 =+−− xx

2. Tentukan nilai p sehingga px2 + 2x + p = 0 mempunyai akar-akar nyata dan berbeda.

3. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ,0242 =−− xx maka tentukan nilai dari:

a. 21 xx +

b. 21xx

c. 21

11

xx+

d. 21 xx −

e. 22

21 xx +

4. Tentukan HP pertidaksamaan di bawah ini: a. 0443 2 <−− xx b. 358 2 +≥ xx 5. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya diketahui sbagai

berikut: a. 2 dan 5

b. 3

2

2

1dan

III. SISTEM PERSAMAAN

A. Tujuan

Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, Anda diharapkan dapat : Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan eliminasi Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan substitusi Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan campuran eliminasi dan substitusi Menyelesaikan sistem persamaan dua variabel, satu linear dan satu kuadrat.

Uraian Materi

Contoh:

Anna membeli 2 buku dan 3 pensil dengan harga Rp.6.000,00 di toko yang sama, Arum membeli 3 buku dan 1 pensil seharga Rp.5.000,00. berapa harga masing-masing buku dan pensil? Jawab: Bila x menyatakan sbuah buku dan y menyatakan sebuah pensil, maka kalimat tersbut dapat ditulis dalam kalimat matematika sebagai berikut:

600032 =+ yx 50003 =+ yx

Bagaimana penyelesaiannya? Peratikan cara-cara atau langkah-langkah berikut! Bentuk umum


11 ; cybxa =+ dan 222 cybxa =+ dengan 12121 ,,,, cbbaa dan 2c anggota bilangan real. Menyelesaikan sistem persamaan linear adalah mencari himpunan pnyelesaian (HP) dari persamaan linear ituyang juga merupakan nilai dari variabel-variabel yang memenuhi sistem persamaan linearnya. Ada beberapa cara untuk menentukan HP persamaan linear, yaitu: Metode eliminasi Metode substitusi Metode campuran eliminasi dan substitusi Metode Eliminasi

Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan dalam suatu sistem persamaan.

Contoh:

Tentukan HP dari sistem persamaan berikut! 63 =+ yx dan 72 =+ yx

Jawab:

a. Menghilangkan Variabel x Agar variabel dapat dihilangkan, maka koefisien x harus sama

Caranya, kalikan masing-masing persamaan itu terlebih dahulu sedemikian hingga koefisien x dari kedua persamaan tersbut menjasi sama, baru kemudian dihilangkan.

63 =+ yx x 2 = = =⇒ 2 126 =+ yx 72 =+ yx x 1 72 =+ yx -

5y = 5 y = 1

b. Menghilangkan variabel y Kalikan masing-masing persamaan itu terlebih dahulu sedemikian hingga koefisien y dari kedua persamaan tersebut menjadi sama, baru kemudian dikurangkan.

63 =+ yx x 1 x + 3y = 6 72 =+ yx x 3 6x + 3y = 21

- 5x = -15 x = 3 Jadi HP = {(3,1)} Subtitusi artinya mengganti/menyatakan nilai variabel yang satu dengan nilai variabel lainnya. Contoh: Tentukan HP dari sistem persamaan x + 3y = 6 dan 2 x + y = 7! Jawab : Ambil salah satu persamaan, usahakan yang koefisien variabelnya 1 untuk dijadikan penggantinya. x + 3 y = 6 (pers. 1)

2x + y = 7 (pers. 2)


Ambil pers.(1) x + 3y = 6, kemudian diubah menjadi x = 6 – 3y.

Yaitu 2x + y = 7. maka diperoleh :

Yaitu 2x + y = 7, maka diperoleh :

⇔ 2(6-3y) + y = 7

⇔ 12-6y + y = 7

⇔ -5y = -5 = = = =⇒ y =1

Kemudian substitusikan nilai y = 1 ke dalam persamaan x = 6 – 3y maka

menjadi x = 6-3

⇔ x = 3

Jadi HP = {(3,1)} Metode Campuran Yaitu campuran antara metode eliminasi dan substitusi. Contoh : 1 Tentukan HP dari sistem persamaan x + 3y = 6 dan 2x + y =7! Jawab:

63 =+ yx x 2 1262 =+ yx 72 =+ yx x 1 72 =+ yx -

5y = 5 y = 1 y = 1 disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan di atas. Misalnya persamaan (1) sehingga diperoleh x + 3y = 6

x + 3 = 6

x = 3

jadi HP = {(3,1)}

Contoh 2 :

Harga 5 kaleng cat A dan 2 kaleng cat B adalah Rp.165.000,00. jika harga satu kaleng cat B Rp.5.000,00 lebih murah dari satu kaleng cat A, maka berapakah harga satu kaleng cat A dan satu kaleng cat B?

Jawab:

5 Cat A + 2 Cat B harganya Rp. 165.000,00 atau bisa ditulis 5A + 2B = 165.000……………(1) 1B,Rp.5.000,00 lebih murah dari 1A artinya A-B = 5.000……………..(2) 5A + 2B = 165.000 x 1 = = = = =⇒ 5A + 2B = 165.000 A – B = 5.000 x 2 = = = = ⇒ 2A – 2B = 10.000 + 7A = 175.000


A = 25.000 A = 25.000 kita substitusikan ke persamaan A – B = 5.000

25.000 - B = 5.000

25.000 - 5.000 = B

20.000 - B = B

Jadi harga satu kaleng cat A dan satu kaleng cat B =25.000 + 20.000

= Rp. 45.000.000,00

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Bentuk umum persamaan linear dengan tiga variabel adalah !

1111 dcybxa =++ Ζ

2222 dcybxa =++ Ζ

3333 dcybxa =++ Ζ

Untuk menyelesaikan sistem persamaan ini dapat dislesaikan seperti pada persamaan linear dua variabel. Contoh : 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari sistm persamaan :

)1...(..............................92 =++ zyx )2...(..............................62 =−+ zyx )4...(..............................83 =+− zyx

Jawab : Kita eliminasi z dari persamaan (1) dan (2)

92 =++ zyx 62 =−+ zyx +

1533 =+ yx ⇔ )4...(..........5=+ yx Kita eliminasi z dari persamaan (1) dan (3)

92 =++ zyx 83 =+− zyx -

)5.....(..........12 =+− yx Kita eliminasi y dari persamaan (4) dan (5)

5=+ yx x 2 = =⇒ 1022 =+ yx 12 =+− yx x 1 12 =+− yx

x3 = 9 x = 3 Subtitusikan 3=x ke dalam persamaan (4) atau (5), misal kita pilih persamaan (4) sehingga : 5=+ yx ⇔ 3 + y = 9 ⇔ y = 2


Substitusikan x = 3 dan y = 2ke dalam persamaan (1) atau (2) atau (3), misal kita pilih persamaan (1) 92 =++ zyx ⇔ 2(3) + 2 + z = 9 ⇔ 8 + z = 9 ⇔ z = 1 Jadi HP = {(3,2,1)} Contoh : 2 Carilah HP dari sistem persamaan berikut !

)1.........(..........3=++ zyx )2.....(..........423 =+− zyx )3.(....................752 =+ yx

Jawab: Kita eliminasi z dari persamaan (1) dan (2)

3=++ zyx x2 = = =⇒ 6222 =++ zyx 423 =+− zyx x1 zyx 23 +− = 4 -

yx 3+− = 2 …….(4) Kita eliminasi x dari persamaan (3) dan (4)

752 =+ yx x1 = = = = =⇒ 752 =+ yx 23 =+− yx x2 = = = =⇒ 462 =+− yx +

y11 = 11 y = 1 Substitusikan y = 1 ke dalam persamaan (3) atau (4), misal kita pilih persamaan (4) sehingga 23 =+− yx ⇔ 2)1.(3 =+− x ⇔ 32 −=− x ⇔ 1−=− x ⇔ 1=x Substitusikan x = 1 dan y = 1 ke dalam persamaan (1) atau (2), misal kita pilih persamaan (1) sehingga 3=++ zyx ⇔ 1 + 1 + z = 3 ⇔ 2 + z = 3 ⇔ z = 1 Jadi HP = {(1,1,1)}

3. Sistem persamaan Dua Variabel Dengan Satu Linear dan Satu Kuadrat. Pada sistem ini untuk mencari himpunan penyelesaiannya akan lebih mudah jika digunakan cara substitusi. Contoh 1:

Dari system persamaan berikut tentukanlah HP-nya !


)1..(....................2522 =+ yx )2.........(....................1−= xy

Jawab : Substitusikan persamaan (2) ke dalam persamaan (1), maka diperoleh : 22 yx + = 25

⇔ 25)1( 22 =−+ xx

⇔ 251222 =+−+ xxx ⇔ 025122 2 =−++ xx ⇔ 0122 =−− xx ⇔ )3)(4( +− xx = 0 ⇔ 04 =−x atau 03 =+x ⇔ x = 4 atau x = -3 Untuk x = 4, maka y = x – 1 ⇔ y = 4-1 ⇔ y = 3 Sehingga diperoleh (4,3) Untuk x = -3, maka y = x – 1 ⇔ y = -3 -1 ⇔ y = -4 Sehingga diperoleh (-3,-4) Jadi HP = {(-3,-4),(4,3)} Contoh 2 :

Tentukan HP dari :

)2...(..............................12

)1.........(..........1122

=+−=−−

yx

yxyx

Jawab :

Persamaan (2) dapat ditulis menjadi y = 1-2x …………..(3) Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (1), sehingga : Untuk x = 5, maka y = 1-2x ⇔ y = 1-2.5

25

020 5

0)2)(5(

010 3

0103

0 11)4 2 1 (2

11 )21( )2 1 (

11

2

2

222

22

2 2

− ==⇔=+=−⇔

=+−⇔=−−⇔

= ++−⇔

=++−−+−⇔−=−−−−⇔

−= −−

x x

atau x x

xx

xx

xx

xxxxx

xx xx

y xyx


⇔ y = -9 Sehingga diperoleh (5,-9) Untuk x = 2, maka y = 1-2x ⇔ y = 1 – 2.(-2) ⇔ y = 5 Sehingga diperoleh (-2,5) Jadi HP = {(-2.5),(5,-9)}

Rangkuman

Menyelesaikan sistem persamaan linear adalah mencari anggota himpunan penyelesaian dari persamaan linear itu, yang juga merupakan nilai dua variabel variabel yang memenuhi sistem persamaan linearnya.

Beberapa cara untuk menentukan himpunan penyelesaian antara lain adalah: Metode eliminasi Metode substitusi Metode campuran antara eliminasi dan substitusi

Metode eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel dengan menjumlahkan atau mengurangkan dua persamaan dalam suatu sistem persamaan.

Metode substitusi adalah mengganti/menyatakan nilai variabel yang satu dengan nilai variabel lainnya.

Metode campuran ialah metode eliminasi dan metode substitusi yang digunakan secara kombinasi/bersamaan.

Persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara yang sama dengan persamaan linear dua variabel.

Persamaan dua variabel dengan satu linear dan satu kuadrat akan lebih mudah jika diselesaikan dengan metode substitusi.

Lembar Kerja Siswa

Diskusikan soal-soal berikut dengan anggota kelompok Anda, kemudian presentasikan hasilnya sesuai dengan yang ditugaskan oleh guru. Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode

eliminasi! 3x – y = 6

2x + y = 14

2x + y = 4

7x + 2y = 17 Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode

substitusi! a. 2x + y = 5

3x + 2y = 6

b. 2x + y = 4

x – y = 5


Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode campuran! a. 5x + 2y = 9 4x + 3y =-4 b. 3x + y = 7 7x + 2y = 17

Harga 2 kg jeruk dan 1 kg apel adalah 17.000,00, sedangkan harga 3 kg jeruk dan 2 kg apel Rp.29.500. Berapa harga 1 kg jeruk dan harga 1 kg apel?

Tentukanlah HP dari sistem persamaan berikut! y = x2 – 6x + 5

y = x - 1 x2 + 4y = 4 2x + y = 2

6. Tentukan HP dari persamaan : a. x + y + z = 2 3x + y +2z = 4 2x + 3y + z = 7 b. 2x + y – z = 9 x + 2y + z = 6 3x – y + 2z = 17

Tes Formatif Tentukan HP dari persamaan 2x + 3y = 1 dan 3x + y = 5 dengan :

Eliminasi

Substitusi

Campuran!

Budi membeli 3 kg mangga dan 2 kg jeruk degan harga Rp. 12.000,00. jika harga

satu kg jeruk Rp. 1.000,00 lebih mahal dibanding dengan harga satu kg mangga

maka berapa harga satu kg jeruk !

Tentukan HP dari persamaan linear tiga variabel berikut! 2x – y + z = 5

x – 2y + 3z = 9

x + 3y + z = 0

4. Tentukanlah HP 5 0 x – y = 10

IV. EVALUASI KOMPETENSI (Waktu 2 x 45 menit)

1. Tentukanlah HP dari :

a. 2(y-7) = 3(y-10)

b. 3(2x -1) > + (x-1)

c. -2 ≤ 2x – 4 ≤ 2


2. Tentukanlah HP dari:

a. 4x2 – 4x + 1 = 0

b. x2 – 6x + 8 ≥ 0

c. y = x2 – 2x + 5 dan y = 4x

3. Tentukanlah k agar persamaan kuadrat 3x2-kx + 3 = 0 mempunyai akar kembar! 4. Jika akar-akar persamaan x2 – 3x – 5 = 0 adalah α dan β , maka tentukanlah:

a. α 2 + β 2

b. βα11 +

5. Tentukanlah HP dari :

a. 5x + 2y = 9

4x + y = 12

b. x + y + z = 3

4x + 2y + z = 13

2x + y – 2z = 9 6. Ina membeli 2 buah buku dan 4 buah pensil dengan harga Rp. 6.000,00

Ani membeli 5 buah buku dan 2 buah pensil dengan harga Rp.9.000,00

Ida membeli 2 buah buku dan 2 buah pensil dengan membayar satu lembar uang

Rp.10.000,00, berapa uang kembalian yang diterima Ida?

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya -3 dan 5!

Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 4 kurangnya dari akar-akar

persamaan kuadrat 2x2- 6x + 4 = 0!

Persamaan kuadrat x2 – 5 x + 6 = 0 mempunyai akar x1 dan x2. Tentukan persamaan

kuadrat baru yang akar-akarnya 2x1 dan 2x2 !

Apabila persamaan kuadrat x2 + k x – 24 = 0 mmepunyai akar 12 dan -2, maka tentukan

nilai k!

MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL€¦ · MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN...

Documents

Transcript of MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL€¦ · MODUL I: OPERASI BILANGAN REAL I. HIMPUNAN BILANGAN REAL DAN...