SISTEM BILANGAN REALARUM HANDINI PRIMANDARI

Bilangan Real adalah gabungan dari bilangan rasional dan bilangan Irasional

Berikut adalah Skema Bilangan Real

BILANGAN

Bilangan Real

Bilangan Irasional

Bilangan Rasional

Pecahan

Bulat

Bulat Negatif

Cacah

Asli

Nol

DIAGRAM

R

Bilangan Real

Q

Bilangan Rasional

Z

Bilangan Bulat

N

Bilangan Asli

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

Tentukan manakah bilangan rasional atau irasional

LATIHAN 1

SIFAT – SIFAT MEDAN

1. Hukum Komutatif

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥, ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

2. Hukum Asosiatif

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

3. Hukum Distribusi

𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧, ∀ 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ

4. Elemen-elemen Identitas

5. Invers

SIFAT-SIFAT URUTAN BILANGAN REAL

1. Trikhotomi

Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y

2. Ketransitifan

Jika x < y dan y < z maka x < z

3. Penambahan

Jika x < y ↔ 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧

4. Perkalian

Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz.

LATIHAN 2

Sederhanakanlah

1.2𝑥−2𝑥2

𝑥3−2𝑥2+𝑥

2.𝑥2−𝑥−6

𝑥−3

3.2

6𝑦−2+

𝑦

9𝑦2−1−

2𝑦+1

1−3𝑦

4.12

𝑥2+2𝑥+

4

𝑥+

2

𝑥+2

5.

𝑥

𝑥−3−

2

𝑥2−4𝑥+35

𝑥−1+

5

𝑥−3

Buktikan bahwa rata-rata dua buah bilangan terletak

diantara kedua bilangan itu.

𝑎 < 𝑏 ↔ 𝑎 <𝑎 + 𝑏

2< 𝑏

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

GARIS BILANGAN (INTERVAL)

Misal dua bilangan a dan b serta berlaku sifat urutan a < b digambarkan pada garis bilangan berikut :

a b

Interval yaitu suatu himpunan bagian dari bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan tertentu.

DEFINISI INTERVAL DAN NOTASINYA

Notasi Interval : Misalkan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

1. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 < 𝑏

2. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}

3. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}

4. 𝑎, 𝑏 = 𝑥 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}

5. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 > 𝑎}

6. 𝑎,∞ = 𝑥 𝑥 ≥ 𝑎}

7. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 < 𝑏

8. −∞, 𝑏 = 𝑥 𝑥 ≤ 𝑏

9. −∞,∞ = ℝ

KALKULUS I - SISTEM BILANGAN REAL

PERTIDAKSAMAAN REAL

Definisi pertidaksamaan satu peubah yaitu bentuk aljabar dengan satu peubah yang dihubungkan dengan relasi urutan

Bentuk Umum :

𝐴(𝑥)

𝐵(𝑥)<𝐶(𝑥)

𝐷(𝑥)

Dengan A(x), B(x), C(x) dan D(x) adalah polinom

B(x), D(x) 0

LATIHAN 3

10𝑥 − 7 < 5𝑥 − 2

−8 ≤ 2𝑥 + 6 < 3

𝑥2 − 2𝑥 < 3

HARGA MUTLAK

Misalkan 𝑥 ∈ ℝ. Harga mutlak dari x, ditulis

𝑥 ≔ ቊ−𝑥 , 𝑥 ≤ 0𝑥 , 𝑥 > 0

Sifat-sifat :

Misalkan x dan y bilangan-bilangan Real,

1. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦

2.𝑥

𝑦=

𝑥

𝑦

3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦

4. |𝑎 − 𝑏| ≥ | 𝑎 − |𝑏||

5. 𝑥 ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎

Tentukan himpunan penyelesaian:

LATIHAN 4

2

2

1) 2 1 5

2) 3 14 4

3) 2 4 2 3 0

44) 3 6

25) 4 7

x

x x

x x

x

x

Jika a adalah bilangan real dan p adalah bilangan bulat positif, maka:

𝑎1 = 𝑎, 𝑎𝑝 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙∙∙ 𝑎 ∙ 𝑎 (sebanyak p)

Dimana 𝑎 ≠ 0; 𝑎0 = 1, 𝑎−𝑝 =1

𝑎𝑝

𝑎𝑝+𝑞 = 𝑎𝑝𝑎𝑞, 𝑎𝑝−𝑞 = 𝑎𝑝𝑎−𝑞 , 𝑎𝑞 𝑝 = 𝑎𝑝𝑞

𝑎1

𝑞 =𝑞𝑎, dimana a bilangan non-negatif

PANGKAT DAN AKAR

SISTEM KOORDINATKOORDINAT CARTESIUS DAN KUTUB

KOORDINAT CARTESIUS

RUMUS JARAK

Rumus jarak berkenan dengan Teorema Pythagoras

Misalkan kita memiliki titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2), maka jarak antara P dan Q

2 2 2a b c

y

x

P(x1,y1)

Q(x2,y2)

R(x2,y1)

2 2

2 1 2 1d P,Q x x y y

JARAK TITIK KE GARIS

Jarak titik A(x0,y0) ke garis g:ax+by+c=0 dirumuskan:

Contoh:

jarak titik D (4,-1) ke garis 3x-4y=5, yaitu

0 0

2 2

ax by cd A,g

a b

3 4 4 ( 1) 5 11d

59 16

SISTEM KOORDINAT KUTUB

Titik P adalah perpotongan antaralingkaran dengan sinar garis O. Jika radalah jari-jari lingkaran dan θ adalah

sudut antara sinar garis dengan sumbu

kutub, maka (r, θ) dinamakan koordinatkutub (polar)

o

𝑃(𝑟, 𝜃)

x

Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu X pada koordinat kartesius, makaakan berlaku hubungan berikut:

𝜃

P(x,y)=(r,𝜃)

x

y

ytan

x

ysin

r

xcos

r

2 2 2

x r cos

y r sin

r x y

LATIHAN 5

1. Tentukan koordinat kutub dari 3,− 3

2. Tentukan koordinat kartesius dari 4,2

3𝜋

3. Tentukan persamaan kutub dari 2𝑥 − 4𝑦 + 2 = 0