Matematika I (SI-103)

Sistem bilangan real

Matematika 1 - Hanhan Husna F 2

Sistem Bilangan Real

Bilangan yang paling sederhana: bilangan asliBilangan Asli = { 1, 2, 3, …}

Ketika menghitung panjang, atau utang, butuh bilangan yang lebih luas: bilangan bulatBilangan bulat = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, …}

Matematika 1 - Hanhan Husna F 3

Bilangan bulat belum cukup luas, ketika dibutuhkan ketelitian: Bilangan rasional (q)½ , 4/5, 2/1, …

Bilangan rasional: m, n bilangan bulat, dapat ditulis menjadi

Matematika 1 - Hanhan Husna F 4

Sudah cukup teliti? Tidak

Di luar bilangan rasional ada bilangan IrasionalContoh: dll

1

1

√2

Matematika 1 - Hanhan Husna F 5

Bilangan Real

Bilangan Rasional

Bilangan Bulat

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ

Bilangan Asli (natural)

Matematika 1 - Hanhan Husna F 6

Desimal

Setiap bilangan rasional dapat dibentuk menjadi desimal. Contoh:½ = 0,55/8 = 0,6253/11 = 0,23076923076923076923076923…

Matematika 1 - Hanhan Husna F 7

Apakah bilangan irasional bisa dibuat desimal?Bisa. Contoh:……

Matematika 1 - Hanhan Husna F 8

Bilangan desimal:Berulang

…Setiap bilangan desimal yang berulang merupakan rasional.

Tak berulangContoh: …Artinya, desimal tak berulang pasti irasional

Matematika 1 - Hanhan Husna F 9

Irasional(Desimal tak berulang)

Rasional(Desimal berulang)

Bilangan Real

Matematika 1 - Hanhan Husna F 10

Kerapatan

Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada bilangan real yang lain.

Di antara dua bilangan real a, b, pasti ada tak terhingga bilangan rasional dan irasional

a b𝑎+𝑏2

𝑥1𝑥2 𝑥3

Matematika 1 - Hanhan Husna F 11

Sifat-sifat Medan

Hukum Komutatifdan

Hukum Asosiatifdan

Hukum distribusi

Matematika 1 - Hanhan Husna F 12

Elemen identitasAda dua bilangan real yang berlainan 0 dan 1 yang memenuhi danInvers (balikan)mempunyai balikan aditif (disebut negatif) , yang memenuhi . kecuali 0 punya balikan perkalian yang memenuhi

Matematika 1 - Hanhan Husna F 13

Operasi Hitungan

Pengurangan dan pembagian didefinisikan sbb:

dan

Matematika 1 - Hanhan Husna F 14

Urutan bilangan

Jika diketahui , maka artinya berada di sebelah kiri pada garis bilangan real

Dari sini didapat positif

Bagaimana jika ?

𝑥 𝑦

Matematika 1 - Hanhan Husna F 15

Sifat urutan

TrikotomiJika dan sebuah bilangan, maka pasti berlaku salah satu di antara hal berikut:

atau atau

Ketransitifan dan

Matematika 1 - Hanhan Husna F 16

Penambahan

PerkalianJika z positif berlaku Jika z negatif berlaku

Matematika 1 - Hanhan Husna F 17

Logika

dibaca “jika p maka q” TIDAK SAMA DENGAN Pernyataan yg ekuivalen dengan adalah:

Disebut juga kontrapositif. Dalam logika, kontrapositif digunakan untuk pembuktian dengan cara kontradiksi (reductio ad absurdum)

Matematika 1 - Hanhan Husna F 18

Contoh: Jumlah suatu bilangan rasional dengan bilangan tak rasional adalah tak rasional.

Pernyataan di atas dapat ditulis:Jika x = m/n, dengan m, n bilangan bulat, dan y irasional, maka x + y irasional.

Matematika 1 - Hanhan Husna F 19

Gunakan kontrapositif, misalkan x + y rasional, maka x + y = p/q dengan p dan q bil. bulat. maka

Artinya y rasional, bertentangan dengan hipotesis. Artinya pernyataan tersbut terbukti

Matematika 1 - Hanhan Husna F 20

Contoh: buktikan jika genap, maka genap.Kontrapositif: jika ganjil maka ganjilBukti:Jika ganjil maka ada sedemikian Maka:

Artinya merupakan bilangan ganjil.

Matematika 1 - Hanhan Husna F 21

• Buktikan• merupakan bilangan irasional. (Petunjuk:

andaikan bisa dibuat p/q• Perlihatkan bahwa pembagian oleh 0 adalah

tak terdefinisi

Matematika 1 - Hanhan Husna F 22

• Untuk setiap x, x^2 > 0• Untuk setiap x <0, x^2>0• Untuk setiap x ada y sedemikian sehingga y > x• Ada y sedemikian sehingga untuk setiap x, y>x