Post on 24-Jan-2016
description
INVERS (PEMBALIKAN)
MATRIKS
1
SILABI
• Pembalikan matriks
• Cara pembalikan matriks berordo dua
• Matriks transpos
• Kofaktor
• Adjoin matriks
• Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua
2
PEMBALIKAN Matriks (Matriks Inverse)
12212211
1122
12212211
2121
12212211
1212
12212211
2211
2221
1211
2221
1211
2221
12111
2221
1211
10
01
I AB difinismenurut maka
dengan an dilambangk balikannyadan
A :Andaikan
aaaa
ab
aaaa
ab
aaaa
ab
aaaa
ab
bb
bb
aa
aa
bb
bbBA
aa
aa
-
Berorde 2x2
Determinan
|A|
3
Cara Pembalikan Matriks Berordo DuaMatriks A apabila dibalik disimbolkan dengan A-1
A . A-1 = I Hanya terdapat pada matriks bujur sangkar,
determinan ≠ 0 A = a11 a12 A-1 = b11 b 12
a21 a22 b21 b22
b11 = 1 0
b21 0 1
a11b11 + a12b21 = 1
a21 b11 + a22 b21 = 0
a11 b12 + a12 b22 = 0
a21b12 + a22b22 =1
a11 a12
a21 a22b22
b12
b11 = a22 b11 = a22
a11a22 – a21a12 A b12 = -a12 b12 = -a12
a11a22 – a21a12 A b21 = -a21 b12 = -a21
a11a22 – a21a12 A b22 = a11 b22 = a11
a11a22 – a21a12 A Tentukan balikan matriks A = 4 A = 24 – 20 = 5 b11 = 3 = 0,75 4 b21 = -5 = -1,25 A-1 = 0,75 -1 4 -1,25 2 b12 = -4 = -1 4 b22 = 8 = 2 4
483
Matriks transpos
Jika matriks B diperoleh dari matriks Amxn dengan menukar baris – baris menjadi kolom – kolom atau sebaliknya, maka B sisebut transpos matriks A yang dinyatakan dengan A+ atau A’
A = a11 a12 ……. …….a1n A’ = a11 a21…………………………………..am1
a21 a22 …………. a2n a12 a22…………………………………..am2
am1 am2………………… amn a1n a2n….. …………………amn
Contoh :
A = 2 3 1 A’ = 2 5
5 0 4 3 0
1 4
• Tanda kofaktor minor
ijji
ij MC 17
Kofaktor
Jika A matriks bujur sangkar dengan ordo n dan aij elemen pada bujur ke i kolom ke j , maka Kij adalah kofaktor dari aij.
Jika dibentuk maktriks baru K dengan elemen-elemen kofaktor dari senua elemen A maka :
K : (Kij) = K11 K12……………K1n
K21 K22……….….K2n
Kn1 Kn2…………..Knn
Kofaktor dapat dicari dengan cara
Nilai dari elemen Kij diperoleh dengan mencoret baris ke i dan kolom ke j sehingga tersisa nilai yang tidak tercoret
Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3
4 1 K12 = -4 K22 = 2
K= 1 -4
-3 2
Adjoin matriks
Adjoin dari matriks A yang dinyatakan dengan Adj (A) adalah matriks dengan elemen-elemen sama dengan tranpos matriks kofaktor dari aij :
Jadi Adj (A) = K’ = K11 K21 ………..….. Kn1
K12 K22………………Kn2
K1n K2n……………….Knn
Contoh : A = 2 3 K11 = 1 K 21 = -3
4 1 K12 = -4 K22 = 2
K 1 -4 Adj A = K’ = 1 -3
-3 2 -4 2
A = 1 2 3
3 0 2
2 1 1
K11 = 0 2 = -2 K21 = - 2 3 = 1 K31 = 2 3 = 4
1 1 1 1 0 2
K12 =- 3 2 = 1 K22 = + 1 3 = -5 K32 = - 1 3 = 7
2 1 2 1 3 2
K13 = 3 0 = 3 K23 = - 1 2 = 3 K33 = 1 2 = -6
2 1 2 1 3 0
K = -2 1 3 Adj A = K’ = -2 1 4
1 5 3 1 5 7
4 7 -6 3 3 -6
Menentukan Kebalikan (Invers) Matriks Dengan Matriks Adjoin, jika A matriks bujur sangkar ordo n yang non singular dan Kij kofaktor dari elemen aij, maka invers matriks A adalah A-1 dengan
A-1 = Adj (A)
A
Contoh :
1. A = 8 4 K11 = 3 K21 = -5
5 3 K12 = -4 K22 = 8
Adj A = 3 -4 A = 24 – 20 = 4 Jadi A-1 = 3 -4 = 3/4 -1
-5 8 -5 8 -5/4 2
4
Cara pembalikan matriks berordo lebih dari dua
2. A = 0 1 2
1 2 3
2 1 1
K11 = 2 3 = -1 K21 = - 1 2 = 1 K31 = 1 2 = -1
1 1 1 1 2 3
K12 = - 1 3 = +5 K22 = 0 2 = -4 K32 = - 0 2 = 2
2 1 2 1 1 3
K13 = 1 2 = -3 K23 = - 0 1 = 2 K33 = 0 1 = -1
2 1 2 1 1 2
Adj A = -1 1 -1 A = 0 1 2 0 1 A = 0+6+2 – 8-0-1
5 -4 2 1 2 3 1 2 = -1
-3 2 -1 2 1 1 2 1
A-1 = Adj (A) -1 1 -1
A = 5 -4 2
-3 2 -1
-1
= 1 -1 1
-5 4 -2
3 -2 1
+ + + - - -
Minor dan Kofaktor• Kofaktor Laplace Expansion ;
jika |A| = 0, kemudian |A| adalah tunggal,maka tidak dapat diidentifikasi
3231
222113
3331
232112
3332
232211
aa
aaM
aa
aaM
aa
aaM
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
ijji
ij MC 1
n
jjj CaA
111
12
AC'
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
nnnn
n
n
CCC
CCC
CCC
21
22212
12111
13
Matriks AC'
n
jnjnj
n
jjnj
n
jjnj
n
jnjj
n
jjj
n
jjj
n
jnjj
n
jjj
n
jjj
nxn
CaCaCa
CaCaCa
CaCaCa
CA
112
11
12
122
112
11
121
111
14
A
A
A
CA
00
00
00
nIAA
100
010
001
15
Inverse Matriks A
nIACA
IA
CA
IA
CA
IAA
CAA 11
1A
A
C
16
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
• Sehimpunan persamaan linier dapat disajikan dalam bentuk notasi Matriks.
• Bentuk umumnya :
A m x n X n x 1 = c m x 1
• Jika m = n dan A mempunyai inverse Matriks bujursangkar yang non-singular, maka :
A n x n X n x 1 = c n x 1
17
• Penyelesaian untuk vektor kolom x dapat diperoleh dengan membalik Matriks A :
X n x 1 = A-1 n x n c n x 1
• Selain itu juga bisa diselesaikan dengan kaidah cramer
18
Aturan Cramer
n
iinin
n
iii
n
iii
CdA
x
CdA
x
CdA
x
1
*
12
*2
11
*1
1
1
1
19
n
iiCdA
1111
n
iii CdA
x1
1*1
1
n
iii
n
iijij
CaA
CaA
111
1
A
Ax
A
Ax
nn
*
1*1
20
A
A
aad
aad
aad
Ax
nnnn
n
n
1
2
2222
1121
*1
1
1212111*1
1nn CdCdCd
Ax
21
Latihan
Selesaikan himpunan-himpunan persamaan linier berikut dengan menggunakan matrix balikan (inverse matriz) dan kaídah Cramer
31235
3746
732
321
321
321
xxx
xxx
xxx
22