Penyederhanaan dan Strategi Pembalikan

Pertemuan ke-6

Operasi penyederhanaan akan menggunakan daftar ekuivalen logis dan hukum-hukum logika proporsional, baik yang memiliki nama maupun tidak.

Penyederhanaan ekspresi logika dibuat sesederhana mungkin sehingga tidak dimungkinkan dimanipulasi lagi.

Penyederhanaan akan berhenti pada bentuk ekspresi logika yang paling sederhana.

Prasyarat : hukum – hukum logika

Contoh 1. (A0)(AA)

A(AA) identitas A1 tautologi A identitas

2. (AB)(ABC) (AB)(A(BC)) tambah kurung A(B(BC)) distributif A((BB)(BC)) distributif A(1(BC)) tautologi A(BC) identitas

3. A→(A→B) A(A→B) A→B AB A(AB) A→B AB A(AB) de Morgan A(AB) negasi ganda A penyerapan

Konsistensi Definisi: koleksi dari pernyatan-pernyataan

disebut konsisten jika pernyataan-pernyataan tersebut secara simultan semuanya benar.

Konsistensi dapat dibuktikan dengan membuat pernyataan menjadi ekspresi logika dan dibuktikan melalui tabel kebenaran.

Contoh 1) Jika Peterpan mengadakan konser, maka penonton

akan hadir jika harga tiket tidak terlalu tinggi.2) Jika Peterpan mengadakan konser, maka harga

tiket tidak terlalu tinggi.3) Dengan demikian, jika Peterpan mengadakan

konser, maka penonton akan hadir.

Validitas argumen di atas harus dibuktikan dengan tabel kebenaran, yang akan membuktikan premis-premis bernilai T dengan kesimpulan bernilai T sehingga akan menghasilkan nilai T juga.

Langkah 1 Mengubah ke variabel proposisional.

A = Peterpan mengadakan konser.B = Penonton akan hadir.C = Harga tiket terlalu tinggi.

Langkah 2 Mengubah pernyataan menjadi ekspresi

logika.1) A→(C→B)2) A→C3) A→B

Langkah 3 Menyusun ekspresi logika menjadi satu kesatuan. Untuk argumen, cara menulis ekspresi logikanya ada

beberapa pilihan, yakni:1) ((A→(C→B)) (A→C))→(A→B)2) {A→(C→B), A→C} = (A→B)

Untuk membuat tabel kebenaran sebaiknya pakailah penulisan ke-1 agar lebih mudah menyusunnya ke dalam tabel kebenaran. Akan tetapi, jika dengan strategi pembalikan, kesimpulan diberi negasi dan diberi operator . Untuk itu pilihlah penulisan ke-2.

Untuk saat ini, digunakan strategi pembalikan berikut untuk menyusun tabel kebenaran

Strategi Pembalikan Strategi pembalikan dilakukan dengan cara

menyalahkan kesimpulan dari argumen yakni:1) Menegasi kesimpulan, atau2) Memberi nilai F

Dengan strategi pembalikan akan ada perlawanan (opposite) dari kesimpulan yang tidak cocok dengan premis-premis, atau tidak konsisten.

Selanjutnya, contoh di atas kesimpulannya akan dinegasikan dan akan ditulis seperti berikut:

((A→(C→B)) (A→C))(A→B)

• Skema:M = C→B; N = A→M; O = A→C;P = A→B; Q = (A→(C→B)) (A→C)R = (A→(C→B)) (A→C)(A→B)

Tabel kebenaranA B C C M N O P P Q R

F F F T F T T T F T F

F F T F T T T T F T F

F T F T T T T T F T F

F T T F T T T T F T F

T F F T F F T F T F F

T F T F T T F F T F F

T T F T T T T T F T F

T T T F T T F T F F F

Ternyata hasil negasi dari kesimpulan dengan premis-premis tidak konsisten, hasilnya F. Karena adanya strategi pembalikan, hasil yang semula bernilai F justru menjadi bernilai T sehingga argumen di atas valid.

Pada dasarnya, untuk mencari premis-premis yang bernilai T dengan kesimpulan bernilai T sehingga mendapatkan hasil bernilai T, tidak memerlukan tabel kebenaran secara keseluruhan, cukup dengan menemukan pasangan dari variabel proposisional yang akan menghasilkan nilai T pada premis-premis dan kesimpulan.

jika ada premis-premis dan kesimpulan yang bernilai T, bisa dipastikan argumen tersebut valid. Teknik ini disebut model.

Model dan Countermodel Teknik model berusaha mencari premis-

premis dan kesimpulan berupa ekspresi-ekspresi logika yang bernilai T sehingga hasilnya pasti T juga dan berarti arguman valid.

Akan tetapi, karena nilai T diperoleh dari berbagai kemungkinan, dipergunakan strategi pembalikan dengan memberi nilai F pada kesimpulan, sedangkan premis-premis harus tetap bernilai T sehingga hasilnya juga pasti F.

Contoh {A→(C→B), A→C} = (A→B)

Dan ditulis sebagai berikut:(A→(C→B)) (A→C) (A→B)

Maka sekarang akan diberi nilai sebagai berikut:1) (A→(C→B)) T (premis 1)2) (A→C) T (premis 2)3) (A→B) F (kesimpulan)

Setiap premis dan kesimpulan serta variabel proposisional pasti mempunyai nilai, dan ditulis sebagai berikut: v(A→C) T, v(B) T dan seterusnya. v berarti “nilai dari” (value of).

Teknik model akan dilakukan sesuai langkah-langkah berikut ini: Langkah 1: (Cek dengan kesimpulan)

1) Jika v(A→B) F, maka hanya ada satu kemungkinan yaitu: v(A) T dan v(B) F.

2) Jadi v(A) T3) Jadi v(B) F

Langkah 2: (Cek dengan premis 1)1) Jika (A→(C→B)) T, sedangkan sudah

diketahui v(A) T, maka v(C→B) T.2) Jika v(C→B) T, sedangkan v(B) F, maka

di sini hanya ada pilihan yaitu v(C) F.3) Jadi v(C) F, maka v(C) T.

Langkah 3: (Cek dengan premis 2)1) Jika v(A→C) T, sedangkan v(A) T, dan

v(C) F.2) Ini tidak mungkin terjadi. Jika v(A) T, dan

v(C) F, maka seharusnya v(A→C) F

Langkah 4: (kesimpulan)1) Jadi tidak mungkin pada saat yang sama

v(A→(C→B)) T, v(A→C) T dan v(A→B) F.

2) Jika tidak mungkin, maka karena ada strategi pembalikan, argumen di atas valid.

• Lihat hasilnya dalam bentuk tabel kebenaran yang diperoleh:M = C→B; N = A→M; O = A→C;P = A→B; Q = (A→(C→B)) (A→C)R = (A→(C→B)) (A→C) (A→B)

A B C C M N O P Q R

T F T F T T F F F F

Dengan kata lain, kesimpulan (A→B) adalah konsekuensi yang logis dari premis-premis (A→(C→B)) dan (A→C), atau (A→B) adalah model dari (A→(C→B)) (A→C).

Model sebenarnya hanyalah berusaha mencari premis-premis yang bernilai T dengan kesimpulan bernilai T juga di dalam tabel kebenaran dari sekian pasangan variabel-variabel proposisional.

Perhatikan lagi pada tabel kebenarannya, jika tidak dilakukan strategi pembalikan. Penulisan ekspresi logika dari argumen tersebut adalah:

((A→(C→B)) (A→C))→(A→B)Skemanya:M = C→B; N = A→M; O = A→C;P = A→B; Q = (A→(C→B)) (A→C)R = ((A→(C→B)) (A→C))→ (A→B)

Tabel kebenaran

• Ternyata hasilnya adalah tautologi, dan membuktikan bahwa argumen tersebut valid. Premis-premis dan kesimpulan yang bernilai T ada pada baris yang bernomor di depannya.

A B C C M N O P Q R

1 F F F T F T T T T T

2 F F T F T T T T T T

3 F T F T T T T T T T

4 F T T F T T T T T T

T F F T F F T F F T

T F T F T T F F F T

5 T T F T T T T T T T

T T T F T T F T F T