MATRIKS Bahan Pengantar Kuliah Analisis Multivariat

Heri Retnawati Pengenalan matriks 1. Definisi matriks Matriks adalah salah satu konsep dalam matematika yang banyak diterapkan pada konsep matematika yang lain seperti penyelesaian program linier dan vektor. Matriks didefinisikan sebagai berikut: Matriks adalah suatu susunan bilangan yang berbentuk persegi panjang yang diatur menurut aturan baris dan kolom. Matriks dilambangkan dengan huruf besar atau alfabet kapital.. Bilangan-bilangan di dalam matriks disebut dengan elemen matriks. Bilangan-bilangan ini diletakkan dalam tanda kurung ataupun tanda kurung siku (bukan kurawal atau tanda mutlak) Perhatikan penulisan matriks berikut ini:

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaaaaaaa...aaa

A

Atau

mn3m2m1m

n3333231

n2232221

n1131211

aaaa

aaaaaaaaa...aaa

A

a11 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-1 kolom ke-1 a21 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-2 kolom ke-1 a32 adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-2 . . . amn adalah elemen matriks A yang terletak pada baris ke-m kolom ke-n amn dengan m = n yaitu yang terletak pada nomor baris dan nomor kolom yang sama dikatakan elemen-elemen matriks yang terletak pada diagonal utama atau elemen diagonal utama.

Sebanyak n kolom

Sebanyak m baris

Sebanyak m baris

Ukuran matriks disebut dengan ordo matriks. Karena matriks A mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n maka matriks A dinyatakan berordo m x n. Jika m = n, biasanya ukuran matriks hanya ditulis “m” saja. Catatan: Ordo matriks ditulis dengan “banyaknya baris x banyaknya kolom”. Tanda “x” tersebut bukan tanda operasi bilangan. Contoh: Tentukan ordo dari matriks:

1. A =

221480321

2. B = 4321

Jawab. 1. Banyaknya baris matriks A adalah 3, banyaknya kolom matriks A adalah 3 maka ordo

matriks A adalah 3x3 atau A3 2. Banyaknya baris matriks B adalah 1, banyaknya kolom matriks B adalah 4 maka ordo

matriks B adalah 1 x 4 atau A1x4 2. Macam-macam matriks istimewa Ada matriks-matriks yang dikatakan istimewa karena ukurannya maupun elemen-elemennya. Matriks-matriks istimewa antara lain: a. Matriks persegi yaitu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh

matriks persegi adalah:

A2=

9142

, B3 =

261450341

b. Matriks baris yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh matriks baris adalah: A1x5 = (2 3 4 6 -1) , B1x3 = (0 0 0) c. Matriks kolom yaitu matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh matriks kolom

adalah:

A2x1=

21

, B4x1=

0044

d. Matriks nol yaitu matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol. Matriks nol diberi

nama O. Contoh matriks nol adalah:

O3x2 =

000000

, O1x5=(0 0 0 0 0)

e. Matriks segitiga atas yaitu matriks yang elemen-elemen di bawah elemen diagonal utama

adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga atas adalah:

K3 =

200450341

f. Matriks segitiga bawah yaitu matriks yang elemen-elemen di atas elemen diagonal utama

adalah bilangan nol. Contoh matriks segitiga bawah adalah:

Q3x3 =

241052001

g. Matriks diagonal yaitu matriks yang semua elemennya adalah nol kecuali paling sedikit terdapat bilangan bukan nol pada diagonal utama. Contoh matriks diagonal adalah:

B3X3 =

400020003

h. Matriks satuan atau matriks identitas yaitu matriks yang diagonal utamanya adalah

bilangan satu dan selain elemen diagonal utama adalah bilangan nol. Suatu matriks yang dikalikan dengan matriks identitas hasilnya adalah matriks itu sendiri. Matriks identitas diberi nama O. Contoh matriks identitas adalah:

I =

100010001

Operasi aljabar matriks Pada pembahasan operasi aljabar matriks pada bagian ini, dikhususkan untuk matriks ordo 2. namun pada prinsipnya berlaku sama untuk matriks yang lain. 1. Transpose matriks Transpose matriks Amxn adalah matriks AT

nxm yaitu dengan menukarkan elemen-elemen baris menjadi elemen-elemen kolom matriks Amxn

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

maka AT =

2212

2111aaaa

Contoh: Tentukan transpose matriks:

1. P =

432

2. Q =

2233

3. R =

333111

Jawab.

1. PT = (2 3 4) 2. QT=

2323

3. RT=

313131

2. Kesamaan dua matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika dan hanya jika elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks bernilai sama.

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

dan matriks B =

2221

1211bbbb

,

A = B atau

2221

1211aaaa

=

2221

1211bbbb

a11 = b11 ; a12 = b12 ; a21 = b21 ; a22 = b22

3. Penjumlahan Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks yang dijumlahkan. Syarat dua buah matriks dapat dijumlahkan adalah ukuran kedua matriks sama.

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

dan matriks B =

2221

1211bbbb

,

maka A + B =

2221

1211aaaa

+

2221

1211bbbb

=

22222121

12121111babababa

Contoh:

Jika P =

823021

, Q =

135212

dan R =

302

141, hitunglah:

1. P + Q 2. Q + R 3. P + (Q + R) Jawab.

1. P + Q =

823021

+

135212

=

752

233

2. Q + R =

135212

+

302

141=

433351

3. P + (Q + R) =

823021

+

302

141135

212

=

823021

+

433351

=

450372

Tugas Proyek 1. Menyelidiki sifat-sifat penjumlahan matriks Dengan menggunakan sifat-sifat penjumlahan pada bilangan riil dan definisi penjumlahan matriks, tunjukkanlah bahwa:

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

, matriks B =

2221

1211bbbb

dan

matriks C =

2221

1211cccc

maka

1. A + B = B + A 2. A + (B + C) = (A + B) + C 3. A + O = O + A = A 4. A + (-A) = O Dari tugas proyek 1 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat penjumlahan matriks secara lebih umum. 4. Lawan matriks

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

, maka lawan dari matriks A adalah –A =

2221

1211aaaa

Contoh:

Tentukan lawan dari matriks A =

4321

21

Jawab.

– A =

432121

Sifat-sifat penjumlahan matriks Jika diketahui matriks Amxn, Bmxn dan Cmxn, maka berlaku:

1. Sifat komutatif yaitu A + B = B + A 2. Sifat asosiatif yaitu A + (B + C) = (A + B) + C 3. Setiap matriks mempunyai elemen identitas terhadap operasi

penjumlahan yaitu matriks O 4. Invers dari matriks A adalah –A sehingga A + (-A) = (-A) + A = O

5. Pengurangan Pengurangan dua matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks. Dengan demikian, syarat pengurangan dua matriks adalah ordo dari kedua matriks sama.

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

dan matriks B =

2221

1211bbbb

,

maka A - B =

2221

1211aaaa

-

2221

1211bbbb

=

22222121

12121111babababa

Contoh:

Jika P =

823021

, Q =

135212

dan R =

302

141, hitunglah:

1. P – Q 2. Q – R 3. P – (Q + R) Jawab.

1. P – Q =

823021

–

135212

=

918211

2. Q – R =

135212

–

302

141=

237133

3. P – (Q + R) =

823021

–

302

141135

212

=

823021

–

433351

=

1216

330

6. Perkalian dengan skalar Perkalian matriks dengan skalar dilakukan dengan mengalikan setiap elemen matriks dengan skalar tersebut.

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

dan k suatu skalar (bilangan riil) maka perkalian

matriks A dengan skalar adalah k . A =

2221

1211kakakaka

Contoh 1:

Diketahui matriks A =

4321

21, hitunglah:

1. 2A 2. -5A Jawab.

1. 2A = 2 .

4321

21=

8642

42

2. -5A = -5 .

4321

21=

2015105105

Contoh 2.

Jika P =

823021

, Q =

135212

dan R =

302

141, hitunglah:

1. 2P + 3Q 2. Q – 5R 3. 10(P + Q) Jawab.

1. 2P + 3Q = 2

823021

+3

135212

=

1646042

+

3915636

=

13139

678

2. Q – 5R =

135212

– 5

302

141

=

135212

–

150105205

=

143153197

3. 10(P + Q) = 10

823021

+

135212

=10

752

233

=

705020

203030

Tugas Proyek 2. Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

, matriks B =

2221

1211bbbb

, k dan l adalah skalar

(bilangan riil), dengan menggunakan definisi perkalian matriks dengan skalar dan sifat-sifat perkalian bilangan riil, tunjukkan bahwa: 1. kA = Ak 2. k(lA) = (kl)A 3. k(A + B) = kA + kB Dari tugas proyek 2 di atas, dapat dibuktikan lebih lanjut sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar secara lebih umum. 7. Perkalian dua matriks Perkalian dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali elemen pada satu baris matriks pertama dengan satu kolom pada matrimatriks kedua. ks kedua. Dengan demikian, syarat dua buah matriks dapat dikalikan adalah banyak kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada matriks kedua.

Jika diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

dan matriks B =

2221

1211bbbb

,

Maka AB =

2221

1211aaaa

2221

1211bbbb

=

2222122121221121

2212121121121111babababababababa

=C

Perhatikan ukuran matrik hasilnya: A2x2B2x2 = C2x2 ! Untuk lebih jelasnya, perhatikan perkalian matrik berikut ini:

Jika diketahui matriks P2x3 =

232221

121211pppppp

dan Q3x3 =

111111

111111

111111

qqqqqqqqq

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar Jika diketahui Amxn, Bmxn, k dan l adalah skalar (bilangan riil) maka berlaku sifat-sifat: 1. kA = Ak 2. k(lA) = (kl)A 3. k(A + B) = kA + kB

PQ =

232221

131211pppppp

333231

232221

131211

qqqqqqqqq

=

332323221321322322221221312321221121

331323121311321322121211311321121111qpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqpqp

Misal hasil kalinya adalah matriks R maka P2x3Q3x3=R2x3.

Jadi, jika hasil kali matriks Amxk dan matriks Bkxn adalah C maka AmxkBkxn = Cmxn (Perhatikan ordo matriks hasil kalinya) Contoh 1: Hitunglah:

1.

8215

21

16

2.

105122

13

203401

Jawab.

1. 2x282

15

2x22116

=

2x21420729

16281225130

2.

2x4105122

13

3x2203401

=

3x4203601412081000

200030104001514800622120033

Tugas Proyek 3. Menyelidiki sifat-sifat perkalian matriks ordo 2

Diketahui matriks A =

2221

1211aaaa

, matriks B =

2221

1211bbbb

, matriks C =

2221

1211cccc

, I adalah

matriks identitas berordo 2, O adalah matriks nol dan k adalah skalar (bilangan riil), selidikilah apakah: 1. AB = BA 2. A(BC) = (AB)C 3. IA = A dan AI = A 4. AO = OA 5. k(AB) = (kA)B

6. A(B + C) = AB + AC 7. (B + C)A = BA + CA Dari tugas proyek 3 di atas, secara umum dapat disimpulkan sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks berikut ini: Contoh 2.

Diketahui matriks A =

3211

, matriks B =

2135

, matriks C =

1340

dan I adalah matriks identitas ordo 2. Hitunglah: 1. a. AB b. BA 2. a. A(BC) b. (AB)C 3. a. IA b. AI 4. a. 2(AB) b. (2A)B 5. a. A(B + C) b. AB + AC Jawab.

1. a. AB=

3211

2135

=

121314

b. BA=

2135

3211

=

53411

Simpulan: AB BA

2. a. A(BC)=

3211

2135

1340

=

3211

26179

=

4036153

b. (AB)C=

3211

2135

1340

=

121314

1340

=

4036153

Simpulan: A(BC) = (AB)C

Sifat-sifat perkalian matriks Perkalian dua matriks yang memenuhi syarat dapat dikalikan berlaku:

1. Sifat asosiatif, misalnya A(BC) = (AB)C 2. I adalah matriks identitas perkalian, misalnya IA = AI = A 3. Sifat distributif perkalian terhadapa penjumlahan/pengurangan, misalnya

A(B + C) = AB + AC 4. Sifat distributif penjumlahan/pengurangan terhadap perkalian, misalnya

(B + C)A = BA + CA Ingat: syarat dua matriks dapat dikalikan adalah banyaknya kolom matriks pertama sama dengfan banyaknya baris matriks kedua

3. a. IA =

1001

3211

=

3211

b. AI =

3211

1001

=

3211

Simpulan: IA=AI

4. a. 2(AB) = 2

3211

2135

=2

121314

=

242628

b. (2A)B =

3211

2

2135

=

6422

2135

=

242628

Simpulan: 2(AB) = (2A)B

5. a. A(B + C) =

3211

2135

+

1340

=

3211

12

75=

3467

b. AB + AC =

3211

2135

+

3211

1340

=

121314

+

159

53

=

3467

Simpulan: A(B + C) = AB + AC Latihan 1.

1. Diketahui matriks A =

5213

, matriks B =

2136

dan matriks C =

3740

,

tentukan: a. A + B f. 2A + B k. A + B + C b. B + A g. –A + 2C l. A + 2B + C c. A + C h. B + 3C m. –A + 3B +2C d. C + A i. –C + 4A n. –A + (-B) + (-C) e. A + 2B j. 2A + 3B o. 2(A + B) + C

2. Tentukan ordo matriks hasil penjumlahan pada soal nomor 1.

3. Jika matriks P =

803511

, matriks Q =

212124

dan matriks R=

151032

, tentukan:

a. P – Q f. 2(P – R) k. P – Q – R b. P – R g. 3R – P l. P – 2(Q – R) c. Q – R h. Q – 5P m. 4P – 2Q – 2R d. 2P – R i. -2R – P n. 3(P – Q) – 5R e. P – 3Q j. -5P – 3Q o. Q – R – P

4. Tentukan ordo matriks hasil pengurangan pada soal nomor 2. 5. Hitunglah hasil kali dari matriks-matriks berikut ini:

a. (1 1 1 1)

54

32

b. 7542321

c.

5213

713511

d.

4201

01

40

6. Jika matriks A =

0313

5412 dan matriks B =

342

1

,

a. Apakah hasil dari perkalian matriks A dan B? b. Apakah AB = BA? Jelaskan pendapatmu.

7. Diketahui matriks A =

3467

, matriks B =

2153

, matriks C =

3131

dan I

adalah matriks identitas ordo 2, hitunglah: a. (i) AB (ii) BA b. (i) AC (ii) CA c. (i) A(BC) (ii) (AB)C d. (i) IA (ii) AI e. (i) CBI (ii) BCI f. (i) 3(AB) (ii) (3A)B g. (i) A(B + C) (ii) AB + AC h. (i) A(B - C) (ii) AB - AC

8. Diketahui matriks P =

521031342

,matriks Q =

431016120

dan I adalah matriks

identitas ordo 3, tentukan: a. P + Q e. PQ b. P – Q f. QP c. 2P + 3(PQ) g. P(IQ) d. P(P+Q) h. Q(PI)

9. Jika matrika A =

513311

, agar AB = BA tentukan:

a. ordo matriks B b. matriks B

10. Tentukan matriks A jika:

a.

03135312

+ A =

71135236

b. A +

511163385

=

006531242

11. Misal matriks A=

dbca

, tentukan a, b, c dan d jika A

2153

=

1001

12. Misal matriks B=

dbca

, tentukan a, b, c dan d jika

6232

B=

1001

Determinan matriks ordo 2

Jika diketahui matriks A2 =

dcba

, maka determinan dari matriks A adalah:

det A = |A| = dcba

= ad – bc

Jika ad = bc maka det A = 0. Suatu matriks yang determinannya sama dengan nol disebut dengan matriks singular. Matriks singular dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut ini: Catatan: Lambang determinan suatu matriks adalah dengan mengganti kurungnya menjadi kurung tanda mutlak. Contoh:

Hitunglah: a. 1251

b. 1236

Jawab.

a. 1251

= 1 – 10 = –10 b. 1236

= –6 – (–6) = 0

Invers matriks ordo 2 Jika invers dari matriks A adalah A-1 maka berlaku A A-1 = A-1 A = I

Jika diketahui matriks A2 =

dcba

, maka invers dari matriks A adalah:

A-1 =

acbd

Adet1 , dengan det A 0

Jika A adalah suatu matriks, I adalah matriks identitas yang berordo sama dengan matriks A, k adalah skalar, maka A – kI adalah suatu matriks singular. Dengan kata lain, det(A-kI) = 0

Jika det A = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers. Periksa bahwa A A-1 = I

A A-1 =

dcba

acbd

Adet1

A A-1=Adet

1

dcba

acbd

{sifat perkalian matriks dengan skalar}

A A-1=

adbccdcdababbcad

bcad1

A A-1=

adbc0

0bcadbcad

1 {sifat perkalian matriks dengan skalar}

A A-1=

1001

A A-1 = I Coba kalian periksa bahwa A-1 A = I! Contoh 1.

Tentukan determinan dan invers dari matriks P =

5231

Jawab. det P = (1)(5) – (2)(-3) = 11

P-1=

111

113

112

115

1325

111

Contoh 2.

Tentukan matriks B jika

5522

B =

15

2

Jawab.

Misal A =

5522

dan C =

15

2 maka

AB= C A-1AB = A-1C {kalikan kedua ruas dari arah kiri dengan A-1) (A-1A)B = A-1C {sifat asosiatif pada perkalian matriks} I B = A-1C {A-1A = I} B = A-1C {IB = B karena I adalah matriks identitas}

Karena A-1=

25

25201

2525

)10(101 maka

B =

2

14020

201

152

2525

201

Jadi B =

21

Catatan: AB = C A-1AB = A-1C {kedua ruas dikalikan dengan A-1 dari kiri} I B = A-1C B = A-1C AB = C AB B-1 = C B-1 {kedua ruas dikalikan dengan B-1 dari kanan} A I = CB-1 A = CB-1 Latihan 2. 1. Tentukan determinan dan invers dari matriks-matriks berikut ini:

a.

1111

f.

1001

b.

8243

g.

2233

c.

4225

h.

5213

d.

5213

i.

0113

e.

1416

j.

5515

2. Diketahui matriks A=

6354

, B=

3ba1

, C=

34312

dan D=

1ac1c2

,

hitunglah determinan matriks D, jika A + B = CD

3. Diketahui matriks A =

2433

dan I adalah matriks identitas ordo 2. Jika A – kI adalah

matriks singular, hitunglah nilai dari k. 4. Tentukan matriks X pada persamaan AX = B jika:

a. A=

1014

dan B =

51216

b. A=

11

12 dan B =

61123

c. A=

22

15 dan B =

122221

d. A=

12

11 dan B =

4022103

e. A=

1110

dan B =

32

5. Tentukan matriks Y pada persamaan YP = Q jika

a. P =

2325

dan Q = (-13 -6)

b. P =

5153

dan Q =

1301

c. P =

11133

dan Q =

1301

d. P =

0117

dan Q =

7001417

e. P =

2334

dan Q =

101

5100511

6. Jika

sincoscossin

cossin

yx

, carilah nilai x dan y.

7. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunyai determinan? Jelaskan pendapatmu! 8. Bilamana suatu matriks ordo 2 tidak mempunayi invers? Jelaskan pendapatmu! Menyelesaikan sistem persamaan linier dua veriabel dengan determinan matriks Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:

2

1

22

11cc

yx

baba

Matriks koofisien Matriks variabel

Matriks hasil

Dari persamaan matriks tersebut, ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:

D = 22

11baba

Dx=22

11bcbc

Dy=22

11caca

Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:

x = D

Dx dan y = D

Dy

Catatan: D adalah determinan dari matriks koofisien Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama dengan elemen-elemen pada matriks hasil Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil Menyelesaikan sistem persamaan linier dua variabel dengan invers matriks Diketahui sistem persamaan linier dengan veriabel x dan y sebagai barikut: a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Untuk memperoleh penyelesaiannya, sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:

2

1

22

11cc

yx

baba

2

11

22

11

22

111

22

11cc

baba

yx

baba

baba

2

1

12

12

1221 cc

aabb

baba1

yx

1001

2

1

12

12

1221 cc

aabb

baba1

yx

2112

2112

1221 cacacbcb

baba1

yx

1221

21121221

2112

babacacababacbcb

yx

Jadi, x = 1221

2112babacbcb

dan y =

1221

2112babacaca

Ringkasnya:

Misal

2

1

22

11cc

Cdanyx

X,baba

A

Jika AX = C maka X = A-1C Contoh. Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan menggunakan determinan matriks dan invers matriks. 2x + y = 7 x – 3y = -7 Jawab. Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:

7

7yx

3112

Cara 1. Penyelesaian dengan determinan matriks

D = 31

12

= -6 – 1 = -7

Dx= 3717

= -21 + 7 = -14

Dy= 7172

= -14 – 7 = -21

x = 27

14D

Dx

dan y = 3721

DDy

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3 Cara 2. Penyelesaian dengan invers matriks

7

7yx

3112

77

3112

yx

3112

3112 11

77

3112

yx

.I1

7

72113

71

yx

32

yx

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linier tersebut adalah x = 2 dan y = 3 Latihan 3. Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut ini dengan menggunakan determinan matriks dan invers matriks. 1. 2. 3. Determinan matriks ordo 3

Jika diketahui matriks A3 =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

maka determinan dari matriks A adalah

Det A = | A | = (a11 a22a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) – (a31 a22 a13 + a32 a23 a11 + a33 a21 a12) Rumus tersebut diperoleh dengan aturan sarrus sebagai berikut:

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aaaaaa

aaaaaaaaa

Cara penggunaan aturan sarrus: 1. Susun elemen-elemen matriks pada kolom pertama dan kedua di sebelah kanan kolom ketiga 2. Kalikan elemen-elemen matriks sesuai dengan arah panah 3. Determinannya adalah jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke bawah

dikurangi jumlah hasil kali elemen-elemen matriks arah panah ke atas. Contoh: Hitunglah determinan dari matriks:

+ + +

2x + 3y = 11 x – 2y = -12 x + y = 3 2x + y = 1 2u + 5v = -5 u – 2v = -7

4. 4a – 3b = 8 a – 2b = 7

5. 3v + 3w = 6 v + 5w = -6

1. A =

511163385

2. B =

510321

321

Jawab. 1. dengan menggunakan atruran sarrus:

116385

511163385

det A =

511163385

(150 + 8 + 9) – (18 – 5 – 120) = 274

2. dengan menggunakan aturan sarrus:

1021

21

510321

321

det A = 510321

321

= (-10 + 0 + 3) – (0 + 3 – 5) = -5

Menyelesaikan sistem persamaan linier tiga variabel dengan determinan matriks

150 8 9

18 5 120

-10 0 3

0 3 5

Diketahui sistem persamaan linier dengan variabel x, y dan z sebagai berikut: a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2 a3x + b3y + c3z = d3 Sistem persamaan linier tersebut dapat dinyatakan dalam perkalian matriks sebagai berikut:

333

222

111

cbacbacba

zyx

=

3

2

1

ddd

Dari persamaan matriks tersebut ditetapkan determinan-determinan sebagai berikut:

D =

333

222

111

cbacbacba

Dx =

333

222

111

cbacbacba

Dy =

333

222

111

cbacbacba

Dz =

333

222

111

cbacbacba

Maka penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah:

x = D

Dx y =D

Dy z =D

Dz

Catatan: D adalah determinan dari matriks koofisien Dx adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen pada kolom pertama dengan elemen-elemen pada matriks hasil Dy adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom kedua dengan elemen-elemem pada matriks hasil Dz adalah determinan dari matriks koofisien dengan mengganti elemen-elemen pada kolom ketiga dengan elemen-elemem pada matriks hasil Contoh: Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut menggunakan determinan matriks. x + y + z = 6 2x + 3y + z = 11 x + 2y + 3z = 14 Jawab.

Matriks koofisien Matriks variabel

Matriks hasil

Sistem persamaan linier tersebut dapat disusun dalam perkalian matriks sebagai berikut:

321132111

zyx

=

14116

D = 321132111

= (9 + 1 + 4) – (3 + 2 + 6) = 14 – 11 = 3

Dx = 32141311116

= (54 + 14 + 22) – (42 + 12 + 33) = 90 – 87 = 3

Dy = 31411112161

= (33 + 6 + 28) – (11 + 14 + 36) = 67 – 61 = 6

Dz = 14211132611

= (42 + 11 + 24) – (18 + 22 + 28) = 77 – 68 = 9

x = 133

DDx y = 2

36

DDy z = 3

39

DDz

Jadi penyelesaian dari sistem persamaan linier di atas adalah x = 1, y = 2 dan z = 3 Latihan 4. Selesaikanlah sistem persamaan linier tiga veriabel berikut dengan menggunakan determinan matriks. 1. 2x + y + z = 7 x + 3y + z = 10

x + 5y + 3z = 20 2. u + v + w = 4 5u + 3v + w = 4

u + 2v + w = 6 3. -x + y + z = -3 x + 3y + z = -1

6x + 5y + 3z = 7 4. 2a + b = 8 a + b + c = 5

7a - b + 5c = 5 5. p + q – r = 7 -p - q + r = -7

2p - q + 3r = 10

EKSPLORASI

Diketahui matriks A =

302113

211, matriks B =

333

222

111

cbacbacba

dan I =

100010001

Jika AB = I dan BA = I, carilah matriks B.