Post on 05-Nov-2015
description
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
Hasilkali Transformasi
Definisi : Andaikan F dan G dua transformasi dengan :
F : V v
G : V v
Sehingga produk atau komposisi dari f dan g yang ditulis sebagai GoF didefinisikan
sebagai (GoF)(P) = G[F(P)], P V
Teorema 5.1 :
Jika F : V v dan G : V v masing-masing suatu transformasi maka hasil kali H = GoF : V v adalah juga transformasi.
Pembuktian
1. H : V v
Transformasi G memiliki daerah nilai dan daerah asal di V
Transformasi F memiliki daerah nilai dan daerah asal di V
2. H surjektif : Anggota kodomain memiliki pasangan didomain
Ambil sebarang y V, akan dibuktikan bahwa H(x) = y
Transformasi G : Ambil sebarang y V dan z V maka G(z) = y
Transformasi F : Ambil sebarang z V dan x V maka F(x) = z
Jadi dapat disimpulkan G(z) = y , G [F(x)] = y atau (GoF)(x) = y sehingga y = H(x)
3. H Injektif : Setiap domain memiliki tepat satu pasangan pada kodomain atau dapat
ditulis PQ maka H(P) H(Q) . Akan dibuktikan menggunakan kontradiksi
Andaikan H(P) = H(Q) maka G[F(P)] = G[F(Q)]
F(P) = F(Q)
P = Q
Dari pembuktian diatas, pengandaian H(P) = H(Q) adalah SALAH. Yang benar
H(P) = H(Q) sehingga dapat disimpulkan bahwa H adalah injektif.
Example :
Andaikan g sebuah garis dan T sebuah transformasi T : V v yang didefinisikan sebagai berikut :
Jika x g, maka T(x) = x
Jika x g maka T(x) adalah titik tengah ruas garis dari x ke g yang tegak lurus.
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
Pembuktian Isometri : Transformasi dan refleksi.
Ambil sebuah garis h tegak lurus g dan Mh (refleksi garis h) atau Mh [T(x)] = y, sehingga
y = (MhoT)(x). apakah merupakan hasil kali isometri? Dari gambar didapat MhoT = ToMh.
Andaikan x = (x,y) maka T(x) = (x, 1/2y) dan Mh[T(x)] = (-x, 1/2y)
Selanjutnya perhatikan (T o Mh) (X) = T [Mh (X)]. Kalau X = (x,y) maka Mh (X) = (-x, y)
dan T[Mh (X)] = (-x, 1/2 y). Oleh karena Mh [T(X)] = T [Mh (X)] maka (Mh o T) (X) = (T o
Mh) (X) yang berlaku untuk semua X V. Jadi, Mh o T = T o Mh . Akan tetapi, sifat komutatif tersebut tidak selalu berlaku.
Pada gambar 5.2 tampak bahwa Mh [T(X)] T [Mh (X)]. Jadi Mh o T T o Mh. Dari contoh di atas dapat dikatakan bahwa apabila S dan T transformasi maka S o T T o S.
Buktikan bahwa memang Mh [T(X)] T[Mh (X)] pada gambar 5.2
Hasilkali transformasi yang telah dibahas di atas tidak hanya terbatas pada dua
transformasi. Kita dapat menyusun terlebih dahulu hasilkali T2 o T1 kemudian dikalikan
dengan T3 . untuk hasilkali transformasi ini kita tulis sebagai T3 (T2 T1). Jadi andaikan P = T1 (P), P = T2 (P), P = T3 (P) maka
mmittajs874.blogspot.com
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HAMKA
[T3 (T2 T1)] (P) = T3 [T2 T1(P)]
= T3 [T2 (T1(P))]
= T3 [T2 (P)]
= T3 (P) = P
Kita juga dapat mengalikan sebagai berikut :
[(T3T2)T1] (P) = (T3 T2)[T1(P)]
= (T3 T2)(P)
= T3 [T2 (P)]
= T3 (P) = P
Jadi, hasilkali transformasi bersifat asosiatif. Kita juga dapat deskripsikan sebagai berikut
T3 (T2 T1) = (T3T2)T1 = T3T2T1