Fungsi

EXPERT COURSE

#bimbelnyamahasiswa

• Misalkan A dan B adalah himpunan. Sebuah fungsi f dari A ke B adalah penugasan setiapelemen di A dengan tepat satu elemen di B.

• Ditulis f(a)=b jika b elemen tunggal dari B yang dikaitkan oleh fungsi f ke a A.

26/30/2016

Pengertian Fungsi

Kode dan nama MK

• Istilah “tepat satu” menyatakan bahwa anggota A tidak boleh mempunyai kaitan dengananggota himpunan B, kurang dari satu (berarti tidak mempunyai) atau mempunyai kaitanlebih dari satu (dua, dst). Harus persis satu dan satu-satunya, tidak kurang, tidak lebih.

• Lambang yang digunakan untuk menyatakan f fungsi dari A ke B ditulis f: A B

36/30/2016

• A disebut domain, istilah lain yang muncul adalah: A himpunan daerah asal, atau A himpunan prapeta dari B.

• B disebut kodomain.

• Jika b=f(a), maka b disebut peta dari a, dan a disebut prapeta dari b

46/30/2016

• Jangkauan f atau range f atau biasa ditulis Rf adalah sub himpunan dari kodomain B yang anggotanya mempunyai prapeta di domain, ditulis dalam notasi himpunan: Rf = {b B| ada a A sehingga b=f(a)}. Kata “ada” dalam definisi range f ini, menyatakan minimal satuanggota A yang dikaitkan dengan b.

56/30/2016

Ilustrasi

Gambar a dan b adalah fungsi karena setiap anggota himpunan domain dikaitkan dengan tepat satu anggotahimpunan kodomain. Gambar c bukan fungsi, karena ada satu anggota himpunan domain yang dikaitkan ke duaanggota himpunan kodomain. Gambar d bukan fungsi, karena ada satu anggota di himpunan domain yang tidakdikaitkan ke anggota himpunan kodomain.

66/30/2016

1. Dengan diagram venn

76/30/2016

Cara menyatakan sebuah fungsi

86/30/2016

2. Menggunakan Rumus (Ciri Khas Fungsi Tersebut)

3. Menggunakan himpunan pasangan terurut

96/30/2016

•Fungsi panjang string, yang dinyatakan sebagai LEN($kata). Sehingga LEN(dua)=3, LEN(Bandung)=7, LEN(BAJIGUR)=7.

•f: dengan rumus f(x) = -3x +5

Sehingga f(10)=-25, f(0)=5, f(-5)=20, namun

f(0.5) tidak ada, karena 0.5 .

106/30/2016

Contoh 1

•Definisi:

•Misalkan f fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan misalkan pula S sub himpunan dari A. Peta dari S adalah sub himpunan dari B yang berisikan seluruh peta dari anggota S. Ditulis peta dari S atau f(S), yang memenuhi:

f(S)={f(x)| x S}

116/30/2016

Peta dari Subhimpunan

• Contoh 2

•Misalkan A = {a, b, c, d, e} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2}, didefinisikan fungsi f: A B, dengan rumus f(a)=-2, f(b)=1, f(c)=0, f(d)=1, dan f(e) = 0. Peta dari S = {a, b, c} adalah himpunan f(S)={-2, 1, 0}

•Misalkan A={ x N| x 10}, dan B = {y N| 3 y 23}, didefinisikan fungsi f: A B, dengan rumus f(x) = 2x + 3. Peta dari S = {x N| 3 x 6} adalah himpunan f(S) = {9, 11, 13, 15}

126/30/2016

•Fungsi Injektif (satu-satu)

Fungsi f:A B disebut fungsi satu-satu, jika untuksetiap x1, x2 A dan x1x2, maka f(x1)f(x2). Kalimat ini ekivalen (contrapositive dari implikasi p q not q not p) dengan:

Jika untuk setiap x1, x2 A, f(x1)=f(x2), maka x1=x2

136/30/2016

Sifat-sifat Fungsi

Ilustrasi

146/30/2016

-1

0

1a

0

b -1

0

1

0

b

(a)(b)

-1

1a

0

b

(c)

-1

0

1a

0

b

(d)

0

c

-1

0

1a

0

b

(e)

Pada Gambar 2-4 (a) fungsi satu-satu, karena setiap prapetayang berbeda mempunyai peta yang berbeda pula; (b) bukan fungsi satu-satu, karena ada prapeta yang berbeda, yaitu 1 dan 0 tetapi memiliki peta yang sama, yaitu 0; (c ) fungsi satu-satu, karena setiap prapeta yang berbedamemiliki peta yang berbeda pula, sekalipun ada anggotakodomain yang tidak memiliki prapeta; (d) bukan fungsisatu-satu (karena ada dua prapeta yang berbeda yaitu 1 dan0 yang mempunyai peta yang sama); (e) bukan fungsi satu-satu, karena bukan fungsi (ada anggota domain yaitu 0 yang memiliki peta dua yaitu 0 dan b).

156/30/2016

Contoh 3

Jika f: apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi satu-satu?

a. f(x)=2x+1

b. f(x)=x2+1

c. f(x)=|x|

d. f(x)= 2x3 + x2

f. f(x)= 2x3 – 6x2

166/30/2016

Jawab:

Perhatikan dalam soal di atas, berlaku domain dan kodomain dalamhimpunan bilangan asli, bukan pada bilangan riil. Harus diperhatikankarakter dari bilangan asli tersebut!

a. Karena untuk setiap x1, x2 bilangan asli dan x1x2, maka didapat

f(x1) = 2x1 + 1, dan f(x2) = 2x2 + 1 dengan demikian f(x1) f(x2).

Sehingga fungsi tersebut termasuk fungsi satu-satu.

b. Karena untuk setiap x1, x2 dan x1x2, maka didapat

f(x1) = x12 + 1, dan f(x2) = x2

2 + 1, dengan demikian f(x1) f(x2).

Mungkin akan ada yang mempertanyakan, bukankah ada f(-1) =

f(1)? Hal ini benar, karena f(-1)=2, dan begitupun f(1) = 2 juga, namun

ingat -1bukan bilangan asli!

176/30/2016

c. Untuk setiap x1, x2 bilangan asli dan x1x2, maka didapatf(x1) = |x1|, dan f(x2) = |x2|, dengan demikian f(x1) f(x2). Mungkin akan ada pertanyaan, bukankah ada f(-3) = f(3)? Hal ini benar, karena f(-3) = 3, dan begitupun f(3) = 3 juga, namun ingat -3 bukan bilangan asli!

186/30/2016

d. Jelas soal ini agak sulit, jika dikerjakan secara langsung, karena itu bisa digunakan konsep turunan pertama yang menghasilkan f’(x)=6x2 + 2x, karena domain bilangan asli berarti f’(x) > 0, monoton naik, akibatnya setiap prapetayang berbeda akan dikaitkan dengan peta yang berbeda pula.

196/30/2016

Untuk soal no. e, seperti pada soal no. d, gunakan konsepturunan untuk menentukan kemonotonan fungsi. Turunanpertama dihasilkan, f’(x) = 6x2 – 12x, denganmemperhatikan domain berupa bilangan asli, maka didapat: f’(1) = -6, namun f’(2) = 0, begitupun f’(3) = 18, selanjutnyaf’(4) = 48, dan terus positif. Dapat diambil kesimpulan fungsif(x) = 2x3 – 6x2 tidak monoton, namun pernah turun danselanjutnya naik, karena itu f(x) = 2x3 – 6x2 bukan fungsisatu-satu.

206/30/2016

•Fungsi f : A B disebut dipetakan pada (onto) atausurjektif (surjective) jika setiap anggota himpunan Bmerupakan peta dari satu atau lebih elemen himpunan A.

•Dengan kata lain seluruh anggota B merupakan range darif.

216/30/2016

Fungsi Pada (onto)

Ilustrasi

Gambar (a) menyatakan fungsi pada, gambar (b) bukan fungsi pada karena ada anggota kodomain yang bukan peta darianggota domain, gambar (c) dan (d) menyatakan fungsi pada

226/30/2016

-1

0

1a

0

b-1

0

1a

0

b

(a)(b)

-1

1a

b

(c)

-1

0

1a

(d)

0

Contoh 4:

Jika f: apakah fungsi-fungsi berikut merupakan fungsi pada?

a. f(x)=2x+1

f(x)=2x + 1 bukan fungsi pada karena ada contohpenyangkal, yaitu 2 yang anggota kodomain, tetapi persamaan 2=2x+1 hanya mempunyai solusi ½

236/30/2016

b. f(x)=x2+1

f(x)=x2 + 1 bukan fungsi pada karena ada contohpenyangkal yaitu 3 yang anggota kodomain, tetapi persamaan 3= x2 + 1 mempunyai solusi x= 2

c. f(x)=2x

f(x)=2x bukan fungsi pada karena anggota kodomain yang berupa bilangan ganjil tidak mempunyai prapeta

246/30/2016

c. f(x) = |x| fungsi pada karena x dan f(x) , maka berapun anggota kodomain, selalumempunyai prapeta di pula.

d. Untuk f(x)=x maka berapapun anggota kodomainpada selalu ada prapetanya yang juga anggotaitu sendiri, yaitu bilangan tersebut.

256/30/2016

Fungsi korespondensi satu-satu adalah fungsi yang bersifat satu-satu dan sekaligus bersifat pada.

Contoh 5:

•Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah fungsi yang berkorespondensatu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satu maupun fungsi pada.

• Fungsi f(x) = x – 1 dengan f: Z Z merupakan fungsi yang berkoresponden satu-ke-satu, karena f adalah fungsi satu-ke-satumaupun fungsi pada.

266/30/2016

Fungsi Bijektif (Fungsi Korespondensi satu-satu)

(a) Adalah fungsi bijektif, (b) bukan fungsi bijektif karena tidak bersifat satu-satu, (c) dan (d) bukan fungsi bijektif karena tidak bersifat pada, € bukan fungsi

276/30/2016

-1

0

1a

0

b -1

0

1

0

b

(a)(b)

-1

1a

0

b

(c)

-1

0

1a

0

b

(d)

0

c

-1

0

1a

0

b

(e)

Penjumlahan dan Perkalian Fungsi

•(f1+f2)(x) = f1(x) + f2(x) {nilai fungsi dari fungsitambah fungsi adalah nilai fungsi ditambah nilaifungsi}

•(f1f2)(x) = f1(x) f2(x) {nilai fungsi dari fungsi kali fungsi adalah nilai fungsi dikali nilai fungsi}

286/30/2016

Operasi-operasi pada Fungsi

•(f1 - f2)(x) = f1(x) - f2(x) {nilai fungsi darifungsi kurang fungsi adalah nilai fungsidikurang nilai fungsi}

• atau (f1/f2)(x) = f1(x)/f2(x), jika f2(x) 0 {nilaifungsi dari fungsi bagi fungsi adalah nilaifungsi dibagi nilai fungsi, sepanjang pembagitidak sama dengan nol}

296/30/2016

Contoh 6

Misalkan f dan g fungsi dari R ke R sedemikian sehinggaf(x)=x dan g(x)=x2 – x. Apa fungsi dari f+g dan fg? Dan berapakah (f+g)(3), (fg)(-1), (f-g)(0), (f/g)(2), (f/g)(1)?

Jawab

•(f+g)(x)= f(x) + g(x) = x + (x2 – x) = x2

•(fg)(x)= f(x)g(x)=x(x2 – x)=x3 – x2

•(f+g)(3)=f(3) + g(3) = (3) + (32 – 3)= 3 + 6 = 9

•(fg)(-1) = f(-1) + g(-1) = (-1)((-1)2 – (-1))= -2

•(f-g)(0) = f(0) – g(0) = 0 – (02 - 0) = 0

•(f/g)(2) = 2/ (22 – 2) = 2/ 2 = 1

•(f/g)(1) = tidak ada, karena g(1) = 0

306/30/2016

Invers dari Fungsi

Jika f adalah sebuah fungsi berkorespondensi satu satu

(bijektif) dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan

(invers) dari f.

Invers fungsi f dilambangkan dengan f –1. Misalkan x adalah

anggota himpunan A dan y adalah anggota himpunan B,

maka

f -1 (y) = x jika f(x) = y.

30/06/2016 0:53:27

Fungsi bijektif sering dinamakan jugafungsi yang invertible (dapat dibalikkanatau mempunyai invers), karena kita dapatmendefinisikan fungsi inversnya.

Sebuah fungsi dikatakan not invertible(tidak dapat dibalikkanatau tidakmempunyai invers) jika ia bukan fungsibijektif, karena fungsi balikannya tidak ada.

INVERS DARI FUNGSI

30/06/2016 0:53:27

Contoh 7

fungsi f = {(1, a), (2, b), (3, c)}

dari A = {1, 2, 3} ke B = {a, b, c} adalah fungsi

bijektif. Invers fungsi f adalah

f -1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}

Jadi, f adalah fungsi invertible.

30/06/2016 0:53:27

Tentukan invers fungsi f(x) = x + 2.

Penyelesaian:

Fungsi f(x) = x + 2 adalah fungsi yang berkorespondensatu-satu (bijektif), jadi invers fungsi tersebut ada.

Misalkan f(x) = y, sehingga y = x + 2, maka x = y - 2. Jadi, balikan fungsi balikannya adalah

f -1 (y) = y – 2 atau f -1 (x) = x – 2

Contoh 8

30/06/2016 0:53:27

Tentukan balikan fungsi f(x) = x2 + 3.

Penyelesaian:

f(x) = x2 + 3 bukan fungsi yang berkoresponden

satu-satu (buktikan!). Sehingga fungsi inversnya

tidak ada. Jadi, f(x) = x2 + 3 adalah fungsi yang

not invertible.

Contoh 9

30/06/2016 0:53:27

Komposisi dari dua buah fungsi.

Misalkan g : A B , dan f : B C adalah fungsi. Komposisi f dan g,

dinotasikan dengan f g, adalah fungsi dari A ke C yang

didefinisikan oleh

(f g)(a) = f(g(a))

dengan syarat Df Rg bukan himpunan kosong

30/06/2016 0:53:27

Contoh 10

Diberikan fungsi g = {(1, a), (2, a), (3, b)} yang memetakan A = {1, 2,

3} ke B = {a, b, c}, dan fungsi f = {(a, u), (b, v), (c, w)} yang

memetakan B = {a, b, c}

ke C = {u, v, w}.

Fungsi komposisi dari A ke C adalah

f g = {(1, u), (2, v), (3, w) }

30/06/2016 0:53:27

Diberikan fungsi f(x) = 2x + 2 dan g(x) = x2 + 4. Tentukan f g dan g f .

Penyelesaian:

(i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2 + 4) = 2(x2 + 4) + 2 = 2x2 +10

(ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 2) = (2x + 2)2 + 4 =

4x2 + 8x + 4 + 4= 4x2 + 8x + 8.

Contoh 11

30/06/2016 0:53:27

Beberapa Fungsi Khusus

1. Fungsi Floor dan Ceiling

Misalkan x adalah bilangan real

Fungsi floor dari x:

x menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x

Fungsi ceiling dari x:

x menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebihbesar atau sama dengan x

30/06/2016 0:53:27

Contoh 12

Beberapa contoh fungsi floor dan ceiling

7.6 = 7 3.3 = 4

0.8 = 0 0.7 = 1

6.8 = 6 7.8 = 8

– 0.6 = – 1 – 0.5 = 0

–3.7 = – 4 –4.5 = – 4

30/06/2016 0:53:27

2. Fungsi modulo

Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan b adalah

bilangan bulat positif.

a mod b memberikan sisa pembagian bilangan bulat bila a dibagi

dengan b

a mod b = c sedemikian sehingga a = bq + c, dengan 0 c < m.

Beberapa Fungsi Khusus

30/06/2016 0:53:27

Contoh 13

Beberapa contoh fungsi modulo

29 mod 7 = 1

18 mod 6 = 0

3612 mod 45 = 12

–25 mod 7 = 3 (sebab –25 = 7 (–4) + 3 )

30/06/2016 0:53:27

3. Fungsi Faktorial

4. Fungsi Eksponensial

Untuk pangkat negatif,

1 , 0!

1 2 . ( 1) , 0

aa

a a a

Beberapa Fungsi Khusus

0,

0,1

naaa

na

n

n

n

n

aa

1

30/06/2016 0:53:27

Beberapa Fungsi Khusus

5. Fungsi Logaritmik

Fungsi logaritmik berbentuk

b = aylogay b

30/06/2016 0:53:27

Beberapa Fungsi Khusus

Fungsi Rekursif

Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi fungsinya mengacu

pada dirinya sendiri.

Contoh:

a! = 1 2 … (a – 1) a = (a – 1)! a.

1 , 0!

( 1)! , 0

aa

a a a

30/06/2016 0:53:25