Distribusi Variabel Acak( Diskrit )

Hubungan Beberapa Distribusi

Diskrit

Distribusi Peluang Diskrit

1. Distribusi Bernoulli

2. Distribusi Binomial

3. Distribusi Poisson

4. Distribusi Geometrik

5. Distribusi Binomial Negatif (Pascal)

6. Distribusi Hipergeometrik

Distribusi Bernoulli

Definisi :

Variabel acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli dengan parameter p, dan ditulis dalam bentuk : X ~ BIN (1, p)

X 1 0

P(X=x) p 1 - p

Probability mass function (pmf) untuk distribusi Bernoulli berdasarkan tabel di atas adalah

lainnyauntuk

xuntukp

xuntukp

xpxXP

;0

0;1

1;

)()(

Distribusi Bernoulli

Karakteristik distribusi Bernoulli :

Notasi : X ~ BIN (1, p)

Rata-rata : µ = p

Varians : σ 2 = p (1 – p)

Distribusi BernoulliContoh :

Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sukses, tentukan fungsi peluang, rata-rata, dan varians-nya.

Penyelesaian :

p = P(sukses) = P(muncul angka 2 atau 4) = 2/6 = 1/3

lainnya

xjika

xjika

xp

;0

0;3/2

1;3/1

)(

Rata-rata : µ = p = 1/3

Varians : σ 2 = p (1 – p) = 1/3 (2/3) = 2/9

Contoh:1. Jika dalam suatu permainan sebuah dadu,

kejadian dadu bernilai 4 atau 6 disebut sukses, dan kejadian lainnya disebut gagal, tentukan:

a. Fungsi peluangnya

b. Rata-rata dan variansnya

c. FPM

Jawab:Peristiwa sukses jika dadu bernilai 4 atau 6 Peristiwa gagal jika dadu bernilai 1,2,3,5

Peluang sukses =2 1

(sukses)6 3

P p

Peluang gagal =1 2

(gagal) 1 13 3

P p

a.

11 1

1 , 0,1( ) 3 3

0, lainnya

x x

xp x

x

b.1

( )3

E X p

1 2 2( ) (1 )

3 3 9

Var X p p

c. ( ) (1 ) tXM t p pe 2 1

3 3

te

2. Jika fungsi pembangkit moment suatu variabel acak adalah:

3 5( )

8 8

tXM t e

Tentukan simpangannya Jawab:

( ) (1 ) tXM t p pe

Simpangan:

3(1 )

8 p

3 5 1(1 ) 15

8 8 8

x p p

1110/9/01

Undian Bernoulli (Bernoulli Trial)

Trial

n kali trial hingga sukses pertama

kali

jml sukses dalam n kali

trial

Distribusi Geometrik

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Distribusi Binomial merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali

Misal Xi ~ BIN (1, p), dan X1, X2, … , Xn saling bebas, maka

Xi ~ BIN (n, p)

nxppx

nxpxXP xnx ,,1,0;)1()()(

dimana

)!(!

!

xnx

n

x

n

Distribusi Binomial Karakteristik distribusi Binomial :

Notasi : X ~ BIN (n, p)µ = ? σ 2 = ?

xnx ppx

nxp

)1()(

n

x

xnxt

x

xnxtx

tx

ppex

npp

x

ne

eEtM

0

)1()1(

)()(

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6

Distribusi Binomial

n

x

xnxn abx

nba

0

)(

n

x

xnxt ppex

ntM

0

)1()(

ntpeptM ])1([)(

)(])1([)( 1 tnt pepepntM

22

1

)(])1()[1(

)(])1([)(tnt

tnt

pepepnn

pepepntM

npM )0(

222 )()1()0( npnpnppnnnpM

)1()0()0( 222 pnpnpnpMM

Distribusi Binomial

Contoh :

Pada perusahaan A, 20 persen karyawannya dikategorikan sebagai pekerja yang baik. Jika dipilih 15 karyawan secara acak, berapakah peluang :

a. 4 orang karyawan berkategori baik

b. Paling sedikit 2 orang berkategori baik

c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik

Distribusi Binomial Jawab :

Diketahui : n = 15 ; p = 0.2 1 – p = 0.8

a. 4 orang karyawan berkategori baik x = 4

19.08.02.0!11!4

!158.02.0

4

15)4( 114114

xP

b. Paling sedikit 2 orang berkategori baik x > 2

)]1()0([1)2(1)2( xPxPxPxP

035.08.08.02.00

15)0( 15150

xP

132.0)8.0)(2.0(158.02.01

15)1( 14141

xP

833.0)132.0035.0(1)]1()0([1)2( xPxPxP

Distribusi Binomial

c. Tidak lebih dari 1 orang berkategori baik x < 1

P( x < 1) = P(x = 0) + P(x=1) = 0.035 + 0.132 = 0.167

Contoh:

1. Bila tentukan P(0<X<2) 1

(5, )3

X b~

55 1 2, 0,1,...,5

( ) 3 3

0, lainnya

x x

xp x x

x

(0 2) ( 1) P X P X45 1 2

1 3 3

41 2

53 3

2. Jika tentukan7

1 1( )

2 2

tXM t e

a. Rata-rata dan variansnya

b. (0 2) P X

3. (2, )X b p dan (4, )Y b p5

( 1)9

P X

tentukan ( 1)P Y

~ ~

20

1 (1 ) 0.99 e

(1 ) 0.01 e

1 jika1(1 1) e 0.74

2 2 (1 2) e 0.41

6 0.017

7 0.007

6 (1 6) e

7 (1 7) e

Jadi minimal rata-ratanya coklat yang ada di biskuit adalah 7.

Pada percobaan Binomial, yang dicari adalah peluang sejumlah sukses atau gagal dari n kali ulangan (misalkan peluang paling sedikit terjadi sukses 3 kali dari n ulangan, dll).

Jika ingin diketahui peluang sukses yang ke-k dari n kali percobaan, maka percobaan tersebut adalah percobaan binomial negatif.

Distribusi Binomial Negatif / Pascal

Distribusi Binomial Negatif / Pascal

Distribusi Binomial Negatif adalah pengamatan terhadap percobaan Bernoulli untuk mengamati k “sukses” dengan P(sukses) = p

Notasi : X ~ PAS( p,k )

22 )1(

,p

pk

p

k

1

( ; , ) , , 1, 2,...1

0 , yang lain

k x kxp q

p x k p x k k kk

x

( )1

kt

X t

peM t

qe

23

Contoh:

Misalkan pada percobaan pelemparan mata uang 4x, maka peristiwa yang mungkin terjadi adalah sebanyak 16 (ruang sampel = ). 42

Ingin diketahui:peluang munculnya sisi muka (M) yang ke dua kali terjadi pada lemparan ke -4

24

Ilustrasi :

M

Lemparan 1:

Lemparan 2:

Lemparan 3:

Lemparan 4:

Tiga lemparan pertama harus menghasilkan satu M, dimana saja satu M harus terjadi dari sisa lemparan (4-1)

Lemparan ke 4 sudah pasti M (yang terjadi ke 2 kalinya)

25

Ruang sampel:, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , ,

MMMM MMMB MMBM MMBB

MBMM MBMB MBBM MBBBS

BMMM BMMB BMBM BMBB

BBMM BBMB BBBM BBBB

Variabel acak X menyatakan banyaknya ulangan yang berakhir tepat pada sukses yang ke-k, jika X=4 dan k=2 maka kejadiannya :{MBBM,BMBM,BBMM}

26

Peristiwa:MBBM 2 2( ) P MBBM pqqp p q

BMBM 2 2( ) P BMBM qpqp p q

BBMM 2 2( ) P BBMM qqpp p q

( 2) ( ) ( ) ( ) P X P MBBM P BMBM P BBMM2 2(3)( ) p q 2 23

( )1

p q

2 4 24 1( )

2 1

p q

Distribusi Binomial Negatif / Pascal

Contoh :

Ani dan Santi bermain “ular tangga” berulang kali hingga salah satu diantara mereka menang 5 kali. Misal permainan mereka saling bebas dan peluang Santi memenangkan sebuah permainan adalah 0.58. Berapa peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 ?

Distribusi Binomial Negatif / Pascal

24.0066.017.0

58.042.04

642.058.0

4

6)7()7( 2525

YPXP

Jawab :

Misal X adalah jumlah pengulangan permainan hingga Santi menang 5 kali, dan Y adalah jumlah pengulangan permainan hingga Ani menang 5 kali. Maka X dan Y ~ PAS (5, 0.58)

Peluang bahwa permainan dihentikan setelah pengulangan ke-7 adalah

Berapa peluang Santi menang ?

71.024.0

17.0

)7()7(

)7(

)(

)()(

YPXP

XP

BP

BAPBAP

Misal A = Santi menang

2910/9/01

Trial Geometrik:Coba terus sampai berhasil!!

s

p = 3/4 q = 1 - p = 1/4

g

f(1)= 3/4

s

s

s

g

g

f(3)= 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/64

f(4)= 1/4 x 1/4 x 1/4 x 3/4 = 3/256

f(2)= 1/4 x 3/4 = 3/16

1x

2x

3x

4x

Probabilitas kumulatif s/d 4x =255/256 = 0.9961

3010/9/01

Distribusi Geometrik

Variabel random X berdistribusi geometrik dengan parameter p apabila fungsi peluangnya

f(x) = (1- p)x-1p untuk 0<p<1 dan x=1,2,3,4,……

dan (1- p)x-1p = 1x=1

Distribusi Geometrik

Distribusi Geometrik berasal dari distribusi Binomial dengan penekanan pada pengamatan kejadian “sukses” pertama

Notasi : X ~ GEO( p )

1)1()()( xppxpxXP x = 1,2, …

22 )1(

,1

p

p

p

Distribusi Geometrik

Contoh :

1

13

12

13

1)(

n

nXP

1 set kartu (52 buah) dikocok, satu kartu diambil secara acak dengan pengembalian, pengambilan kartu dianggap sukses jika diperoleh kartu “As”. Berapa peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10?

Jawab :

Misal X jumlah pengocokkan sampai diperoleh “As” pertama, maka X ~ GEO (1/13)

Distribusi Geometrik

49.0

13

12

13121

1312

13

1

13

12

13

1

13

12

13

1)10(

99

10

1

10

1

n

n

n

n

XP

maka peluang bahwa kartu “As” baru didapat setelah pengambilan kartu ke-10 adalah

Distribusi Hypergeometrik Misalkan dalam suatu populasi yang berukuran N terdapat

N1 item cacat dan N2 item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata x diantaranya merupakan item cacat, maka peluang cacat pada sampel akan berdistribusi Hypergeometrik ( X ~ HYP( n, N1, N2 ))

dengan fungsi peluang :

1 2

( ) ( )

N N

x n xp x P X x

N

n

11 ;;,,1,0 NNxnNxnx

Distribusi Hypergeometrik

121

1 NN

n

NN

Nn

)1(

)(

)1()(

)(

221

212

21

21212

NN

nNNNn

NNNN

nNNNNn

3610/9/01

ContohTerdapat 20 bola dalam sebuah kotak. 12 hitam dan

8 putih. 5 bola diambil acak tanpa pengembalian. X adalah jumlah bola hitam yang terambil dalam

sampel

Distribusi Hypergeometric

3710/9/01

Berapa peluang X?

N = 20, N1 = 12 (bola hitam), n = 5 (sampel)

P[X=0] = C(12,0)C(8,5)/C(20,5) = 0.0036

P[X=1] = C(12,1)C(8,4)/C(20,5) = 0.0542

P[X=2] = C(12,2)C(8,3)/C(20,5) = 0.2384

P[X=3] = C(12,3)C(8,2)/C(20,5) = 0.3973

P[X=4] = C(12,4)C(8,1)/C(20,5) = 0.2554

P[X=5] = C(12,5)C(8,0)/C(20,5) = 0.0511

Distribusi Hypergeometric

38

SOAL

Suatu kotak mengandung 7 komponen yang terdiri dari 4 komponen merek A dan 3 komponen merek B.Jika 3 komponen diambil secara random dari kotak, berapa probabilitas bahwa tepat terdapat 2 komponen merek A yang terambil?

Distribusi Poisson

Jika percobaan binomial dilakukan sampai mendekati tak hingga kali ( ),dan peluang sukses sangat kecil ( ), maka distribusi binomial akan mendekati distribusi Poisson dengan parameter

Distribusi Poisson dapat dibentuk dari pendekatan distribusi binomial .

n 0p

.np

Distribusi Poisson

Konsep dasar Distribusi Poisson berawal dari distribusi Binomial, oleh karena itu distribusi Poisson disebut sebagai pendekatan/hampiran dari distribusi Binomial

Jika X ~ BIN (n, p) , n ∞ ; np = λ

!)()(

x

expxXP

x

µ = ? σ 2 = ?

X ~ POI (λ)

Distribusi Poisson

!)()(

x

expxXP

x

00 !

)(

!][)(

x

xt

x

xtxtx

x

ee

x

eeeEtM

])1([exp)( te eeetMt

Deret MacLaurin :

)(])1([exp)( tt eetM

2)(])1([exp)(])1([exp)( tttt eeeetM 2)0(;)0( MM

2222 )(])0([)0( MM

Distribusi Poisson

Contoh :

Dalam tabel aktuaria perusahaan asuransi “T” ditentukan bahwa peluang seorang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaan asuransi “T” tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis?

Jawab :

λ = 4000 (0.0002) = 0.8

3595.0!1

)8.0(

!)1(

8.01

e

x

exP

x

43

Contoh 1. Misalkan X adalah variabel acak

berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Jika P(X=0)=0.2, maka tentukan P(X=2).Jawab: ( ) , 0,1,2,...

!

xe

p x xx

0

( 0) 0.20!

e

P X

0.2 e 1.6 2 (1.6)(1,6)

( 2) 0.25842!

e

P X

2. Misalkan dalam pembuatan biskuit Goodtime, jumlah coklat yang jatuh pada biskuit mengikuti distribusi Poisson. Konsumen menginginkan agar peluang sedikitnya dua coklat ada pada biskuit ini lebih besar dari atau sama dengan 0.99. Tentukan berapa nilai terkecil untuk rata-rata coklat yang ada setiap biskuit Goodtime ini.

Contoh

45

Jawab:

Misalkan variabel acak X adalah jumlah coklat yang ada pada biskuit, maka:

( 2) 0.99 P X

1 ( 2) P X 1 ( 0) ( 1) P X P X

1 ( 2) 0.99 P X

( 0)0!

oeP X

1

( 1)1!

eP X

( 0) ( 1) P X P X

(1 ) e

Tabel Jumlah peluangPoisson

0

( ; )r

x

p x