www.belajar-matematika.com 1

Differensial - IPA

Tahun 2005 1. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar di bawah ini. Agar

luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah….. A . 16 m B . 18 m l C . 20 m D. 22m l E. 24m p

Jawab: Luas = p . 2 l Keliling = 3p + 4l = 120 4l = 120 – 3p

l = 4

3120 p− = 30 -

4

3 p

Luas = p . 2 (30 - 4

3 p)

= 60p - 2

3 p 2

Agar luas maksimum maka differensial luas (Luas ' ) = 0 Luas ' = 60 – 3p = 0 60 = 3p

p = 3

60 = 20 m

Jawabannya adalah C

2. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan

biaya per jam (4x - 800 + x

120) ratus ribu rupiah . Agar biaya minimum, produk tersebut

dapat diselesaikan dalam waktu ........

A . 40 jam C . 100 jam E. 150 jam B . 60 jam D.. 120 jam

www.belajar-matematika.com 2

Jawab:

Biaya yang diperlukan = B = biaya per jam x waktu

= (4x - 800 + x

120). x

= 4x 2 - 800x + 120 Agar biaya minimum turunan B '= 0 B ' = 8x – 800 = 0 8x = 800 x = 100 Jawabannya adalah C

3. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus x = f(t) = 13 +t (s dalam

meter dan t dalam detik). Kecepatan partikel pada saat t = 8 detik adalah ........

A . 10

3 m/detik C.

2

3 m/detik E. 5 ,/detik

B . 5

3 m/detik D. 3 m/detik

Jawab:

s = f(t) = 13 +t = 2

1

)13( +t

kecepatan = v = f ' (t) = 2

12

1

)13(−

+t . 3 = 132

3

+t

f ' (8) = 18.32

3

+ =

252

3 = 10

3

Jawabannya adalah A

www.belajar-matematika.com 3

4. Turunan dari F(x) = 3 22 )53(cos xx + adalah F '(x) = ........

A . 3

2cos 3

1−

(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)

B . 3

2 (6x + 5) cos 3

1−

(3x² + 5x)

C . - 3

2cos 3

1−

(3x² + 5x) sin(3x² + 5x)

D . - 3

2 (6x + 5) tan(3x² + 5x) 3 22 )53(cos xx +

E . 3

2 (6x + 5) tan(3x² + 5x) 3 22 )53(cos xx +

Jawab:

F(x) = 3 22 )53(cos xx + = cos 3

2

(3x )52 x+

F ' (x) = 3

2cos − 3

1

. (3x )52 x+ ( - sin (3x )52 x+ ) (6x + 5)

= -3

2(6x+5)

)53(cos

)53sin(

23

1

2

xx

xx

+

+

)53cos(

)53cos(2

2

xx

xx

+

+

= -3

2(6x+5)

)53cos(

)53sin(2

2

xx

xx

+

+

)53(cos

)53cos(

23

1

2

xx

xx

+

+

= -3

2(6x+5) tan (3x )52 x+ cos 3

2

(3x )52 x+

= -3

2(6x+5) tan (3x )52 x+ 3 22 )53(cos xx +

Jawabannya adalah D

5. Tahun 2006

Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 - 2x – 6y – 7 = 0 di titik yang berabsis 5 adalah….. A. 4x – y – 18 = 0 C. 4x – y + 10 = 0 E. . 4x + y – 15 = 0 B. 4x – y + 4 = 0 D. 4x + y – 4 = 0

Jawab: Persamaan umum lingkaran: x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Dari persamaan lingkaran x 2 + y 2 - 2x – 6y – 7 = 0 didapat A = -2 ; B = -6 dan C = - 7

www.belajar-matematika.com 4

Lingkaran menyinggung persamaan garis di titik yang berabsis 5 atau x = 5 maka : masukkan nilai x= 5 ke dalam pers lingkaran : 5 2 + y 2 - 2.5 – 6y – 7 = 0 25 + y 2 - 10 – 6y – 7 = 0 y 2 - 6y + 8 = 0 (y - 4) (y - 2) = 0 y = 4 atau y = 2 maka titik singgungnya didapat (5,4) dan (5,2) Persamaan garis singgung melalui titik (x1 , y 1 ) pada lingkaran x 2 + y 2 + Ax + By + C

= 0 adalah: x . x1 + y. y 1 + 2

1 A (x + x 1 ) +

2

1B ( y + y 1 ) + C =0

- Persamaan garis singgung melalui titik (5, 4)

⇔ 5x + 4y + 2

1(-2) (x + 5) +

2

1(-6) ( y + 4) -7 = 0

⇔ 5x + 4y - (x + 5) -3 ( y + 4) -7 = 0 ⇔ 5x + 4y – x - 5 -3 y -12 -7 = 0 ⇔ 4x + y – 24 = 0 - Persamaan garis singgung melalui titik (5, 2)

⇔ 5x + 2y + 2

1(-2) (x + 5) +

2

1(-6) ( y + 2) -7 = 0

⇔ 5x + 2y - (x + 5) -3 ( y + 2) -7 = 0 ⇔ 5x + 2y – x - 5 -3 y -6 -7 = 0 ⇔ 4x - y – 18 = 0 Jawaban yang tersedia adalah A

6. Sebuah peluru ditembakkan vertical ke atas dengan kecepatan awal Vo m/detik. Tinggi peluru setelah t detik dinyatakan dengan fungsi h(t)= 100 + 40t – 4t 2 . tinggi maksimum yang dapat dicapai peluru tersebut adalah…. A. 160 m C. 340m E. 800 m B. 200 m D. 400 m

www.belajar-matematika.com 5

Jawab: Tinggi maksimum dicapai apabila h ' (t) = 0 h(t)= 100 + 40t – 4t 2 . h ' (t) = 40 – 8t = 0 40 = 8.t

t = 8

40= 5 detik

tingggi maksimum dicapai pada t = 5 h (5) = 100 + 40 . 5 – 4 . 5 2 = 100 + 200 – 100 = 200 m Jawabannya adalah B

Tahun 2007

7. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = ….

A. 2√3 C. √3 E. ½√2

B. 2 D. ½√3

Jawab:

f(x) = sin² ( 2x + π/6 )

f ' (x) = 2 sin ( 2x + π/6 ) . cos ( 2x + π/6 ). 2

= 4 sin ( 2x + π/6 ) . cos ( 2x + π/6 ) ; 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

= 2 . sin (2x + π/6 +2x + π/6 ) + sin (2x + π/6 – (2x + π/6))

= 2 sin ( 4x + π/3 )+ sin 0 = 2 sin ( 4x + π/3 )

f ' (0) = 2 sin ( 4.0 + 60 0 )

= 2 sin 60 0 = 2 . 2

13 = 3

Jawabannya adalah C

www.belajar-matematika.com 6

Tahun 2008

8. Diketahui 12

3)(

2

+

+=x

xxf . Jika f ' (x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2 f ' (0)

= ….

A. – 10 C. -7 E. -3

B. – 9 D. -5

Jawab:

12

3)(

2

+

+=x

xxf

y = v

u → y ' =

2

''

v

uvvu −

u = x 2 + 3 � u '= 2 x

v = 2x + 1 � v ' = 2

v 2 = (2x + 1) 2

f )(' x = 2

2

)12(

)3(2)12(2

+

+−+

x

xxx� f )0(' =

2)10.2(

)30(2)10.2(0.2

+

+−+= -6

12

3)(

2

+

+=x

xxf � f(0)=

10.2

30

+

+ = 3

f(0) + 2 f ' (0) = 3 + 2. -6 = 3 – 12 = -9

Jawabannya adalah B

9. Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume 4 m ³

terbuat dari

selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin, maka ukuran panjang,

lebar, dan tinggi kotak berturut- turut adalah ….

A. 2 m, 1 m, 2 m C. 1 m, 2 m, 2 m E. 1 m, 1

m, 4 m

B. 2 m, 2 m, 1 m D. 4 m, 1 m, 1 m

www.belajar-matematika.com 7

Jawab:

Cara 1 :

t

l

p

V = 4 m 3

= p . l. t = 4 ; asumsi p = l

maka :

p 2 . t = 4

t = 2

4

p

Luas permukaan kotak(L) = p . l + 2 . l . t + 2 . p . t

= p 2 + 2 . p . 2

4

p + 2. p .

2

4

p

= p 2 + 4 . p . 2

4

p = p 2 +

p

16

Agar minimum maka L ' = 0

L ' = 2 p - 2

16

p = 0 � 2 p =

2

16

p

2 = 3

16

p � p 3 = 8

p = 2 = l

p . l. t = 4

2 . 2 . t = 4

www.belajar-matematika.com 8

t = 4

4 = 1

maka didapat panjang = 2 m, lebar = 2m dan tinggi = 1 m

Cara 2 : trial and error dan merupakan bukti cara 1

buat tabel :

p l t L = p . l + 2 . l . t + 2 . p . t

2 1 2 2 . 1 + 2 . 1 .2 + 2 .2 . 2 = 14

2 2 1 4 +4 + 4 = 12

1 2 2 2 + 8 + 4 = 14

4 1 1 4 + 2 + 8 = 14

1 1 4 1 + 8 + 8 = 17

Terlihat bahwa nilai minimum adalah 12

sehingga p = 2m ; l = 2m dan t = 1 m

Jawabannya adalah B

10. Turunan pertama dari xx

xy

cossin

sin

+= adalah y’ = ….

A. ( )2cossin

cos

xx

x

+ C.

( )2cossin

2

xx + E.

( )2cossin

cos.sin2

xx

xx

+

B. ( )2cossin

1

xx + D.

( )2cossin

cossin

xx

xx

+

−

Jawab:

y = v

u → y ' =

2

''

v

uvvu −

u = sin x � u '= cos x

v = sinx + cosx � v ' = cos x – sin x

v 2 = (sinx + cosx) 2

y ' = 2

''

v

uvvu − =

2)cos(sin

sin)sin(cos)cos(sincos

xx

xxxxxx

+

−−+

www.belajar-matematika.com 9

= 2

22

)cos(sin

)sinsin(coscossincos

xx

xxxxxx

+

−−+

= 2

22

)cos(sin

)sinsincoscossincos

xx

xxxxxx

+

+−+

= 2)cos(sin

1

xx +

Jawabannya adalah B

Tahun 2009

11. Garis l menyinggung kurva y = 6 x di titik yang berabsis 4. Titik potong garis l dengan

sumbu x adalah ….

A. ( 4,0 ) C. ( 12,0 ) E. ( 6,0 )

B. (–4,0 ) D. (–6,0 )

Jawab:

persamaan garis singgung :

y – b = m(x–a) dimana m = y '

y = 6 x ; x = 4 � y = 6 4 = 6 . 2 = 12

y = 6 x = 6 x 2

1

� y’ = 2

1. 6 . x − 2

1

= x

3 =

4

3= 2

3

persamaan garis singgung di titik (4, 12)

y – 12 = 2

3(x-4)

2y – 24 = 3x – 12

2y = 3x – 12 + 24

2y = 3x + 12

y = x2

3+ 6

Titik potong garis l dengan sumbu x maka y = 0

0 = x2

3+ 6

www.belajar-matematika.com 10

x2

3 = - 6

x = 3

12− = - 4

Sehingga titik potongnya adalah (-4,0)

Jawabannya adalah B

12. Seorang petani menyemprotkan obat pembasmi hama pada tanamannya. Reaksi obat

tersebut t jam setelah disemprotkan dinyatakan dengan rumus f(t) = 15t2 – t3. Reaksi

maksimum tercapai setelah ….

A. 3 jam C. 10 jam E. 30 jam

B. 5 jam D. 15 jam

Jawab:

f(t) = 15t2 – t3

Reaksi maksimum jika f ' (t) = 0

f ' (t) = 30t – 3t 2 = 0

3t (10 -t)=0

t =0 atau t = 10

Jawabannya adalah C

13. Koordinat titik potong garis singgung yang melalui titik (–1,2

9) pada kurva y=

2

1x 2 -

x

4

dengan sumbu Y adalah ….

A. ( 0,–4 ) C. ( 0, 2

9 ) E. ( 0,8 )

B. ( 0,-2

1 ) D. ( 0,

2

15 )

Jawab:

y=2

1x 2 -

x

4

m = y ’ = x - 2

4

x

www.belajar-matematika.com 11

melalui titik (–1,2

9) ,

untuk x = -1 �m = -1 – 4 = -5

Persamaan garis singgung melalui titik (–1,2

9) � a = -1 ; b =

2

9

y – b = m ( x - a)

y - 2

9 = -5 ( x +1)

y = -5x – 5 + 2

9

= -5x - 2

1

Memotong sumbu y maka x = 0

y = -5.0 - 2

1= -

2

1

maka titik potongnya adalah ( 0,-2

1 )

Jawabannya adalah B

14. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar ( 9.000 + 1.000x

+10x 2 ) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga

Rp. 5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh

perusahaan tersebut adalah ….

A. Rp. 149.000,00 C. Rp. 391.000,00 E. Rp. 757.000,00

B. Rp. 249.000,00 D. Rp. 609.000,00

Jawab:

Laba = harga penjualan – biaya produksi

= 5000. x - ( 9.000 + 1.000x +10x 2 )

= - 10x 2 + 4000x – 9000

Memperoleh laba maksimum jika turunan laba = 0 (L ' (x) = 0)

L ' (x) = -20x + 4000 = 0

20x = 4000

www.belajar-matematika.com 12

x = 200

Maka laba maksimumnya adalah :

Laba = -10. 200 2 + 4000. 200 – 9000

= -400000 + 800000 – 9000

= Rp. 391.000,-

Jawabannya adalah C