PERSAMAAN DIFFERENSIAL (PD)

1. Pengertian Persamaan diferensial

Definisi 1.

Persamaan Differensial adalah suatu persamaan yang mengandung turunan pertama atau

lebih dari fungsi. Atau persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang meliputi turunan fungsi

dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas.

(A differential equation is any equation which contains derivatives, either ordinary derivatives or

partial derivatives.)

Persamaan differrensial disingkat dengan PD , diklasifikasikan dalam: tipe, tingkat (ordo),

derajat (pangkat), sebagai berikut :

Tipe PD :

1. PD biasa (Ordinary Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan dari suatu fungsi

satu peubah.

2. PD Parsial (Partial Differential Equation), yaitu jika PD memuat turunan parsial dari suatu

fungsi dengan dua atau lebih peubah bebas.

Tingkat (Ordo)

Tingkat dari suatu PD adalah bilangan yang menunjukkan tingkat tertinggi dari turunan yang

terdapat dalam PD tersebut.

Derajat (Pangkat) atau Degree

Pangkat suatu PD adalah pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang terdapat dalam

PD tersebut.

Contoh 1:

1.dydx

= 4 xadalah PD biasa tingkat 1 pangkat 1

2.

d3 ydx3

+ 3 y= 0adalah PD biasa tingkat 3 pangkat 1

3.{ d2 y

dx2 }3

+ { dydx }

6

= xadalah PD biasa tingkat 2 pangkat 3

4.

∂2 υ∂ y2

+ ∂2 υ∂ x2

= 0adalah PD parsial tingkat 2 pangkat 1

Penyelesaian PD Biasa

Penyelesaian PD biasa adalah suatu hubungan fungsional antara peubah-peubahnya yang

tidak mengandung lagi differensial atau turunan yang memenuhi PD. Penyelesaian PD dapat

berbentuk fungsi eksplisit atau fungsi implisit.

Penyelesaian Umum (PU) atau general solution dari PD pangkat n adalah penyelesaian yang

memuat n konstanta dari hasil integrasi.

Penyelesaian partikulir dari suatu PD adalah suatu penyelesaian yang diperoleh dari PU

dengan memberi suatu nilai pada konstanta dari PU.

Pada integrasi sederhana, konstanta dari hasil integrasi dari PD dapat mempunyai nilai

tertentu dengan adanya syarat batas atau syarat awal yang diberikan. Misalnya pada suatu PD

diketahui untuk nilai x=x0 maka y = y0 , hal ini disebut syarat batas.

Kejadian khusus jika diketahui x = x0 maka y = 0, disebut syarat awal.

2. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU DERAJAT SATU

PD ordo satu derajat satu dapat dinyatakan dalam bentuk :

dydx

= f ( x , y ) ……………………………….. (1)

Jika f(x,y) suatu konstanta, maka penyelesaian didapat dengan mengintegralkan f(x,y) tersebut. Jika

f(x,y) fungsi dengan peubah x dan y, misalkan f(x,y) =

M (x , y )N ( x , y ) biasanya PD dirubah kebentuk :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ……………… (2)

Penyelesaiannya merupakan fungsi implisit, berbeda dengan bentuk persamaan (1). Metode

penyelesaian PD tergantung dari klasifikasi bentuk PD kadang-kadang dapat diselesaikan dengan

lebih dari satu metode.

Pada umumnya PD ordo satu derajat satu dapat diklasifikasikan ke dalam bentuk :

1. Peubah dapat dipisahkan dalam ruas persamaan yang berbeda atau dapat dikelompokkan

dalam 2 kelompok, kelompok peubah x saja dan kelompok y saja sehingga bentuknya menjadi

: f1(x)g1(y) dx + f2(x)g2(y) dy = 0 atau

f 1 ( x )f 2 ( x )

dx +g2 ( y )g1 ( y )

dy = 0 atau

f 1 ( x )f 2 ( x )

dx = −g2 ( y )g1 ( y )

dy

……..(3)

Hal ini biasa disebut PD dengan peubah yang dapat dipisahkan.

Contoh

∫ f 1( x )f 2( x )

dx + ∫ g2( y )g1( y )

dy = 0

1.dydx

= y ( 2 x3+3 ) → dyy

=(2 x3+3 ) dx

2. (2+x )dy/dx¿5+ y → dy

(5+ y )= dx

(2+x )

3. y dx+(1+X2 ) dy=0→ dx

(1+x2)+ dy

y=0

4.dydx

+ 1+ y3

x y2 (1+x2 )=0→

y2 dy1+ y3 +

dx

x (1+x2 )=0

dengan mengintegralkan (3) akan diperoleh :

…….(4)

5. Contoh:

Selesaikan PD (1+x2) dy

dx+ xy = 0

Jawab :

(1+x2) dydx

+ xy = 0bila dikali dengan dx, maka :

(1+x2) dy + xy dx = 0 dibagi dengan (1+x2) y maka :

dyy

+ x dx

(1+x2)= 0

dengan mengintegralkan kedua ruas, maka :

∫ dyy

+ ∫ x dx

(1+x2 )= 0

ln y + 12 ln (1 + x2) = C

ln y(1 + x2)1/2 = C

y(1 + x2)1/2 = eC

jika ruas kanan diambil ln C, hal ini boleh karena ln C juga merupakan konstanta,

maka penyelesaian menjadi :

ln y(1 + x2)1/2 = ln C

y(1 + x2)1/2 = C

y/x=

C1

atau y=

C1 x

adalah solusinya

2. PD Homogen, bila fungsi M(x,y) dan fungsi N(x,y) keduanya merupakan fungsi homogen

dengan derajat sama .

Fungsi f(x,y) disebut fungsi homogen pangkat n jika memenuhi fungsi

f( tx,ty ) =t n f(x,y), dengan t adalah konstanta.

Contoh :

a. f(x,y) = 3 x2 y3 - 2 x4 y

f(tx,ty) = 3 (tx)2 (ty)3 - 2 (tx)4 (ty)

= t5 (3 x2 y3 - 2 x4 y)

= t5 f(x,y)

Jadi, f(x,y) disebut homogen derajat 5.

b. g(x,y) = 4 x y2 + 2 x2 y2

g(tx,ty) = 4 (tx) (ty)2 + 2 (tx)2 (ty)2

= t3 (4x y2) + t4 (2 x2 y2)

Jadi, g(x,y) bukan fungsi homogen

Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa jika jumlah pangkat peubah x dan

peubah y sama pada setiap suku dari f(x,y), maka fungsi tersebut adalah homogen.

PD yang berbentuk :

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 ..........................(5)

Disebut PD homogen jika M(x,y) dan N(x,y) keduanya fungsi homogen dengan derajat sama.

Penyelesaian PD homogen yaitu dengan mengandaikan y = Vx atau x = Vy, sehingga

PD tersebut dapat diselesaikan dengan metode peubah dapat dipisahkan.

Jika diandaikan y = Vx maka dy = V dx + x dV ..........................(6)

atau x = Vy maka dx = V dy + y dV ..........................(7)

selanjutnya (6) atau (7) substitusi ke (5) sehingga diperoleh PD dengan peubah dapat

dipisahkan.

6

c. 2 xy dy=( x2− y2 ) dx

Persamaan diferensial ini homogen orde 2, karena

Dan untuk N(x,y) = 2xy

Misalkan y=vx maka

dy= v dx + x dv. Kemudian substitusikan ke soal

2x (vx) ( v dx + x dv) = (x2-v2x2) dx

Bagi dengan x2

d. Selesaikan PD : (y2 + xy) dx + x2 dy = 0

Jawab :

M(x,y) = y2 – xy homogen berpangkat 2

N(x,y) = x2 homogen berpangkat 2

Jadi PD tersebut di atas adalah PD homogen

Misalkan y = Vx maka dy = V dx + x dV, PD menjadi :

(V2x2 – x Vx) dx + x2 (V dx + x dV) = 0

x2 (V2 – V) dx + x2 V dx + x3 dV = 0

x2 (V2 – V + V) dx + x3 dV = 0

x2 V2 dx + x3 dV = 0 kedua ruas dikalikan dengan

1

v2 x3

1x

dx + 1

V 2dV = 0

sehingga ∫ 1

xdx + 1

V 2dV = C

ln x – 1V = C atau ln x –

xy = C atau

y = xln x − C

3. PD Eksak, jika memenuhi turunan parsial M(x,y) terhadap y sama dengan turunan parsial

N(x,y) terhadap x, atau dapat dinyatakan dengan :

∂∂ y

M ( x , y ) = ∂∂ x

N ( x , y )

Atau jika diberikan persamaan M dx + N dy = 0 maka PD tersebut persamaan

eksak jika :

∂ M∂ y =

∂ N∂ x

Contoh

1. Apakah PD (x2 – y) dx – x dy = 0 merupakan PD eksak atau bukan?

Solusi

M = (x2 – y), ∂ M∂ y

=−1

N = -x, ∂ N∂ x

=−1

Karena ∂ M∂ y

=−1=∂ N∂ x

maka PD eksak

2. Diberikan PD ( 3y2 + 8x ) dx + ( 6xy + 9y2 ) dy = 0, apakah PD tersebut

eksak atau bukan ?

Jawab :

M = (3 y2 + 8 x ) ,∂ M∂ y

= 6 y

N = (6 xy + 9 y2 ) ,∂ N∂ x

= 6 y } dMdy

= dNdx

= 6 y

PD eksak

4. PD linier jika PD (1) dapat dibawa ke dalam bentuk persamaan :

dydx

+ y P( x ) = Q( x ) atau

dydx

+ x P( y ) = Q( y )

Contoh

1. Apakah PD berikut : dydx

+ y = 2 + 2x merupakan PD linear ?

Solusi

PD tersebut merupakan PD linear karena memenuhi dydx

+ y P( x ) = Q( x ): dimana

P(x) = 1, Q(x) = 2 + 2x

2. Ubah PD : 2(y – 4x2) dx + x dy = 0 ke bentuk PD linear !

Jawab :

PD dapat diubah ke bentuk :

xdydx

+ 2y = 8 x2 atau dydx

+ 2 yx

= 8 x , bentuk umum PD linier.

dimana P(X) =2x

dan Q(x) = 8x

contoh lain PD Linear

3.

dydx

+ 4 y = 124.

dydx

+ 3 x2 y = x2

5.

dydx

+ 4 xy = 6 x6.

2dydx

− 2 x3 y = 8 x2

6.

dydx

− 2 xy = ex2

8.

dydx

+ 3 y = 6 x

9. y’ = x3 – 2xy,

3. Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen

Pertambahan populasi Δ y yaitu kelahiran dikurangi kematian dalam jangka waktu yang pendek

Δt sebanding dengan banyaknya penduduk pada awal jangka waktu itu dan sebanding dengan

panjangnya jangka waktu itu sendiri. Jadi Δ y=ky ∆ t atau Δ yΔt

=ky

Dalam bentuk limit, ini memberikan persamaan diferensial d yd t

=ky, K > 0 populasi bertambah.

K < 0 populasi berkurang. Untuk populasi dunia, sejarah menunjukkan bahwa k sekitar 0,0132

4. Menyelesaikan Persamaan Differensial

d yd t

=ky dengan syarat awal y = y0 apabila t = 0 . Dengan memisahkan peubah dan

mengintegrasikan, kita peroleh

Syarat y = y0 pada saat t = 0 akan menghasilkan C = ln y0 Sehingga,

Ketika k > 0 jenis pertumbuhannya disebut pertumbuhan eksponensial, dan ketika k < 0

disebut peluruhan eksponensial.

Peluruhan Radioaktif

Tentunya tidak semuanya tumbuh. Beberapa ada yang mengalami penurunan. Khususnya,

zat-zat radioaktif mengalami peluruhan. Persamaan diferensialnya tetap. Hanya saja sekarang untuk k

< 0

d yd t

=ky

Teorema

limh→ 0

(1+h )1h= e

Bukti

Pertama ingat kembali bahwa jika f(x) = ln x maka f’(x)= 1x

dan khususnya, f’(1) = 1

Kemudian, dari definisi turunan dan sifat-sifat ln , diperoleh

Jadi limh→ 0

ln (1+h )1h=1 . Karena g(x)=ex = exp x adalah fungsi yang kontinu, ini berarti kita dapat

melewatkan limit ke dalam eksponen argumentasi berikut

Contoh : Jamil menyimpan uang 500 di bank dengan bunga harian majemuk sebesar 4 % . Andaikan

bunga majemuknya kontinu, berapakah uang Jamil pada akhir tahun ketiga?

Penyelesaian :

A(t)= A0ert= 500e(0,04 )3 = 563,75

Perhatikan bahwa walaupun beberapa bank mencoba mendapatkan promosi iklan dengan

menawarkan bunga majemuk kontinu, beda hasil antara bunga majemuk secara kontinu dan yang

secara harian (yang ditawarkan banyak bank) ternyata sangat kecil.

Berikut pendekatan lain terhadap masalah pemajemukan bunga secara kontinu. Andaikan

Aadalah nilai pada saat t uang sebesar A0 rupiah yang diinvestasikan dengan suku bunga r

mengatakan bahwa bunga majemuk secar kontinu berarti bahwa laju perubahan sesaat dari A

terhadap waktu adalah rA , yakni

d Ad t

=ry

Persamaan diferensial ini adalah A= A0ert

Persamaan Differensial Linear Orde-Satu

Tidak semua persamaan linear dapat dipisahkan. Contohnya dalam persamaan differensial

d yd x

=2 x−3 y

Tidak ada cara untuk memisahkan peubah sedemikian rupa sehingga memiliki dy dan seluruh

ungkapan yang melibatkan y pada satu sisi dan dx beserta seluruh ungkapan yang melibatkan x

pada sisi lainnya.

Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk

d yd x

+P ( x ) y=Q (x)

Dimana P(x) dan Q(x) hanyalah fungsi-fungsi x saja. Persamaan differensial dalam bentuk ini

dinamakan sebagai persamaan differensial orde-satu.

Menyelesaikan Persamaan Linear Orde-Satu

Untuk menyelesaikan persamaan linear orde-satu, pertama kita mengalikan kedua sisi dengan

factor integrasi

e∫P ( x ) dx

Didapatkan

Sisi kiri adalah turunan hasil kali y . e∫P ( x ) dx , maka persamaannya mengambil bentuk

dd x

( y .e∫ P ( x ) dx)=e∫ P ( x ) dx Q(x )

Integrasi kedua sisi menghasilkan

Contoh : Carilah penyelesaian umum dari

d yd x

−3 y=xe3 x

Penyelesaian : Faktor integrasi yang tepat adalah e∫(−3)dx = e−3 x

Di bawah perkalian dengan factor ini, persamaannya akan berbentuk

Jadi penyelesaian umumnya adalah

atau

Tugas Kelompok

MATEMATIKA DASAR II

“ PERSAMAAN DIFFERENSIAL 1 ”

OLEH:

KELOMPOK II

JAMALUDDIN H22112011

AKMAL H22112268

MUH. IQBAL MAULANA H22112289

AHMAD JAMIL H12110290

UNIVERSITAS HASANUDDIN2013