PENERAPAN DIFERENSIAL BAGIAN 2Harga Maksimum dan Minimum (Titik Balik)

Anggota Kelompok :

Ega Andhika Hanggara Putra ( D4 T.E 1B / 08 )Erwin Aria Irawan ( D4 T.E 1B / 09 )Ferdian Pradana ( D4 T.E 1B / 10 )Indira Salma D. ( D4 T.E 1B / 11 )

PROGRAM STUDY TEKNIK ELEKTRONIKAJURUSAN TEKNIK ELEKTRO

POLITEKNIK NEGERI MALANG2010 - 2011

PENERAPAN DIFFERENSIAL BAGIAN 2

Harga Maksimum dan Minimum (Titik Balik)

Tentu anda telah mengenal dengan baik teknik dasar untuk memperoleh harga maksimum

atau minimum suatu fungsi. Operasi ini pernah anda gunakan telah beberapa kali dahulu, tetapi

sebagai penyegaran baiklah kita tinjau sebuah fungsi y = f(x) yang grafiknya ditunjukkan di bawah

Di titik A yaitu pada x = x ₁ dicapai harga y maksimum karena harga y di titik ini lebih besar

dari pada harga y di kiri-kanannya yang dekat padanya.

Demikian pula di B, y merupakan harga minimum, karena harga y di titik B lebih kecil

daripada harga y di kiri-kanannya yang dekat padanya.

Di titik B, y merupakan harga minimum

Titik C perlu diperhatikan lagi. Di titik tersebut nampaknya terdapat setetngah maksimum

dan setengah minimum. Di titik C kurva mendatar, tetapi tidak terus membalik ke bawah, melainkan

membelok ke atas dengan kemiringan positif yang bertambah. Titik ini merupakan salah satu contoh

titik belok (point of inflexion), yaitu berbelok seperti bentuk S.

Titik A, B, dan C disebut titik balik (turning point) grafik, atau harga stasioner y. Anda telah

mengetahui bagaimana kita dapat memperoleh posisi A dan B, meskipun barangkali anda masih

kurang mengenal titik belok. Kita akan membahasnya secara khusus.

Jika sambil bergerak dari kiri ke kanan kita memperhatikan kemiringan grafiknya, maka kita

dapat pula manggambar grafik yang menunjukkan perubahan kemiringan tersebut. Harga

sebenarnya barangkali tidak kita ketahui, tetapi kita dapat melihat apakah harga kemiringan itu

positif atau negative, lebih curam atau kurang curam. Grafik yang kita peroleh ini adalah kurva

turunan pertama dari fungsi yang bersangkutan, dan memang sesungguhnya kita menggambarkan

grafik harga terhadap x.

Kita lihat bahwa di titik x, x₁, x₂, x₃ (yang bersesuaian ketiga titik balik grafik) grafik

bertemu dengan sumbu x dan hanya bertemu di sini, tidak pada tempat lain.

Karena itu kita peroleh hukum pertama yang menyatakan bahwa di titik balik A, B, C, = 0

Jika sekarang kita telusuri kemiringan kurva turunan pertama dan kita buat grafiknya terhadap x,

maka kita peroleh kurva turunan kedua, yang menunjukkan grafik harga terhadap x.

Dari kurva turunan pertama, kita lihat bahwa untuk titik balik berlaku, = 0

Dari kurva kedua, kita lihat bahwa :

Untuk harga maksimum y, negatif

Untuk minimum y, positif

Untuk titik belok, nol

Dari hasil yang telah kita peroleh, sekarang kita dapat menentukan :

i. Harga x di tempat terjadinya titik balik, yaitu dengan mendiferensiasikan fungsinya dan

kemudian memecahkan persamaan, = 0

ii. Harga y di titik tersebut, yaitu dengan sekedar mensubstitusikan harga x yang diperoleh

di atas kee dalam y=f(x).

iii. Jenis masing-masing titik balik (maksimum, minimum, atau titik belok) yaitu dengan

memeriksa tanda di titik tersebut.

Dengan keterangan ini kita dapat melangkah lebih jauh ke arah penggambaran sketsa kurva.

Marilah kita coba terapkan hasil ini untuk contoh sederhana dalam bingkai berikut.

Contoh : tentukan titik balik pada fungsi y =

Dalam hal ini ada dua tahapan yang harus kita lalui :

i. Titik baliknya diberikan oleh persamaan , = 0

ii. Jenis titik baliknya diperoleh dengan mensubstitusikan akar – akar persamaan , = 0

ke dalam pernyataan

Jika negatif, maka y merupakan maksimum

Jika positif, maka y merupakan minimum

Jika nol, maka y merupakan titik belok

Kita membutuhkan koefisien differensial pertama dan kedua, karena itu carilah dahulu keduanya.

Jika y = , maka ….

-

-

i. Titik balik terjadi bila

Yakni titik balik terjadi pada x = 2 dan x = - 1

ii. Untuk menentukan jenis masing-masing titik balik, substistusikan x = 2 ke dalam ,

demikian juga x = - 1

Di titik x = 2, = 4 – 1 = 3, yaitu positif x = 2 menghasilkan ymin

Di titik x = -1, = - 2 - 1 = - 3, yaitu negatif x = - 1 menghasilkan ymaks

Substitusikan ke dalam y = f(x), x = 2 menghasilkan ymin = 1 dan x = - 1 menghasilkan

ymaks = 6 .

Dari fungsinya sekilas tampak bahwa jika x = 0, y = 5.

a. Di x = - 1, ymakx = 6

b. Di x = 2, ymin = 1

c. Di x = 0 , y = 5

Hubungan titik-titik tersebut dengan lengkungan yang mulus, maka diperoleh :

TITIK BELOK (Point of reflection)

Titik C yang kita tinjau dalam diagram kita yang pertama merupakan titik belok yang khusus.

Pada umumnya, kurva tidak harus memiliki kemiringan nol di titik beloknya.

Titik belok secara sederhana didefiniasikan sebagai titik tempat lengkungan kurva berubah,

yakni dari lengkung ke kanan menjadi lengkung ke kiri, atau dari lengkung ke kiri menjadi lengkung

ke kanan.

Titik C yang kita bahas sebelum ini memang merupakan titik belok, tetapi kemiringan di titik

belok tidak harus sama dengan nol. Titik P dan Q juga merupakan titik belok yang baik dan dalam hal

ini kemiringannya adalah positif.

Kemiringannya boleh positif, negatif ataupun nol bergantung kepada persoalannya, tetapi

yang jelas tidak ada batasan untuk tandanya.

Jadi titik belok adalah sekedar titik pada kirva tempat terjadinya perubahan arah lengkungan kurva.

Jika kemiringan di titik belok tidak sama dengan dengan nol, titik tersebut tidak akan

munculdalam urutan-urutan pengerjaan materi minimum dan maksimum yang bisa,karena dalam

hal ini tidak akan sama dengan nol. Jika demikian bagaimanakahkita dapat menemukan letak

titik tersebut ? mailah kita buat seketsa grafik kemiringan seperti sebelumnya.

P dan q merupakn titik belok

Dalam kurva i kemiringannya selalu positif , tanda ++ menyatakan kemiringan positif yang lebih

besar dari pada +.

Demikian pula dalam kurva 2, kemiringannya selalu negatifdalam kurva 1, memiliki harga

minimum tetapi harganya tidak mencapai nol.

Dalam kurva 2, memiliki harga maksimum tetapi tidak mencapai nol.

Pada masing-masing titik beloknya yakni x=x4 dan x=x5 =0

Kita lihat bahwa di tempat terjadinya titik belok berlaku =0

Inikah petunjuk yang kita cari ? jika benar , berarti untuk mencari titik belok kita tinggal

mendiferensiasikan fungsinya dua kali dan kemudian k kita pecahkan persamaan =0

telah kita lihat bahwa di tempat terjadinya titik belok, .=0

Kemungkina bahwa sama dengan nol di tempat-tempat yang bukan merupakan titik belok.

Karena itu jika kita pecahkan persamaan =0, kita belum dapat yakin sepenunya apakah solusi X=a

yang di peroleh akan memberikan titik belok atau tidak . bagaimana kita dapat menentukannya ?

Mari kita tinjau seperangkat grafik lagi, ini akan meenolong menjelaskan masalah ini.

Misal S adalah titik belok sebenarnya dan T adalah titik pada y=f (x) seperti yang di perlihatkan pada

gambar. Jelas bahwa T bukan titik belok .

Perhatikan perbedaan kedua kurva turunan kedua di atas . pada masing-masing titik ( x=x6 dan x=x7 )

sama dengan nol , apa bedanya ?

Dalam hal ini belok yang sesungguhnya , grafik memotong sumbu x. Dalam hal ini bukan hal titik

belok , grafik hanya menyinggung sumbu x dan tanda tidak berubah.

Pada titik belok, =0 dan terjadi perubahan tanda jika kita bergerak melintasi titik tersebut.

Jadi untuk menentukan titik belok

( i ) kita diferensiasikan y=f(x) dua kali untuk memperoleh

( ii ) kita pecahkan persamaan =0

( iii ) kita uji apakah ada perubahan tanda jika kita bergerak dari kiri ke kanan melintasi harga x

ini

Titik belok terjadi bila =0 dan ada perubahan tanda

Contoh 1 :

Tentukanlah titik belok jika ada pada grafik fungsi !

i. Diferensiasi dua kali

Untuk titik belok, dengan perubahan tanda .

jika memang ada titik belok, haruslah titik tersebut terjadi pada x =

ii. Uji perubahan tanda. Kita tinjau sedikit sebelum x = , yakni x = dan titik

sesudah x = , yakni x = dengan a adalah besaran positif yang kecil, dan kita

selidiki tanda , di kedua harga ini.

,

i. Di x = ,

ii. Di x = ,

Ada perubahan tanda ketika kita melintasi x =

Jika anda perhatikan sketsa grafik fungsi ini, yang pernah anda buat, akan anda lihat bahwa titik

belok terjadi di tempat berubahnya lengkungan ke kanan menjadi lengkungan ke kiri.