Fisika matematika bab4 differensial danintegral

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

Bab 4

Differensial dan Integral

4.1 Review Singkat

Pengertian Turunan (differensial)

Turunan suatu fungsi f(x) terhadap variabel x dilambangkan dengan no-

tasidf(x)

dx. Secara geometrik, turunan suatu fungsi di suatu titik tertentu

menyatakan besar kemiringan fungsi di titik yang dimaksud, sebagaimana di-tunjukkan dalam Gambar 4.1. Berangkat dari pengertian limit, maka definisiturunan f(x) terhadap x dapat diperoleh dari:

df(x)

dx= lim

∆x→0

f(x+∆x)− f(x)

∆x(4.1)

Pengertian Integral

Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan (differensial) sehingga se-ring disebut juga bahwa integral adalah antiturunan. Integral suatu fungsif(x) terhadap x dinyatakan dengan

∫

f(x)dx . Jika g(x) =∫

f(x)dx makaberarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x sama dengan f(x),yang dipenuhi untuk sangat banyak (bahkan tak hingga banyaknya). Misal-kan f(x) = 2x berarti g(x) adalah fungsi yang turunannya terhadap x samadengan 2x, yang dipenuhi oleh x2; x2 + 1; x2 − 0, 3; x2 − 1000 dan lain seba-gainya yang secara umum mempunyai bentuk x2 + C dengan C merupakankonstanta sembarang. Konstanta C ini disebut sebagai konstanta integrasi.

Operasi integral dengan batas a dan b yang dinyatakan dengan∫ b

af(x)dx

dinamakan integral tertentu yang secara geometrik mempunyai arti sebagailuas daerah yang dibentuk antara kurva f(x), sumbu x, garis x = a dan garisx = b. Perhatikan Gambar 4.2 .

53

54 BAB 4. DIFFERENSIAL DAN INTEGRAL

∆x

∆y f(x)

x

y

x0

x

y

dx

df

xx ∆

∆=

= 0

Gambar 4.1: Turunan menyatakan gradien garis singgung di suatu titik.

f(x)

a b

∫b

a

dxxf )(

Gambar 4.2: Integral tertentu menyatakan luas daerah di bawah suatu kur-va.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.2. DIFFERENSIAL PARSIAL 55

4.2 Differensial Parsial

Untuk fungsi yang mempunyai dua atau lebih variabel, misalnya z = f(x, y)yang menggambarkan suatu permukaan dalam sistem koordinat kartesian,turunan terhadap salah satu variabel dapat dilakukan dengan menganggapvariabel lainnya konstan. Misalkan pada suatu permukaan yang dinyatak-an dengan fungsi f(x, y) bila diambil x konstan, maka akan didapat kurvayang merupakan hasil perpotongan permukaan f(x, y) dengan bidang x kon-stan tersebut. Turunan atau differensial seperti ini dinamakan differensialparsial (turunan sebagian). Jika x dianggap konstan, maka turunan yangdiperoleh adalah terhadap variabel y dan interpretasinya tetap sama yaitumenunjukkan slope (kemiringan) dari kurva yang dibentuk dari perpotongankedua permukaan tersebut.

Notasi yang digunakan untuk menuliskan turunan parsial dari fungsi

f(x, y) terhadap variabel y (dengan menganggap x konstan) adalah∂f

∂yatau

lebih lengkapnya sering juga dituliskan sebagai

(

∂f

∂y

)

x

.

Karena fungsi f juga merupakan fungsi dengan variabel y, maka dapatjuga diperoleh turunan parsial f(x, y) terhadap variabel x (dengan meng-

anggap variabel y konstan) dan hal ini dinyatakan sebagai∂f

∂xatau lebih

lengkapnya sering juga dituliskan sebagai

(

∂f

∂x

)

y

.

Jika differensial biasa didefinisikan dengan limit sebagaimana ditunjukkandalam persamaan 4.1, maka untuk turunan parsial definisinya adalah

∂f(x, y)

∂x= lim

∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y)

∆x∂f(x, y)

∂y= lim

∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y

(4.2)

Turunan kedua juga dapat diperoleh untuk fungsi multivariabel tersebut,misalnya untuk fungsi f(x, y) dapat diperoleh turunan-turunan berikut:

∂

∂x

∂f

∂x=

∂2f

∂x2,

∂

∂x

∂f

∂y=

∂2f

∂x∂y,

∂

∂x

∂2f

∂x∂y=

∂3f

∂x2∂y, dlsb

Notasi lain yang sering digunakan untuk menuliskan turunan parsial adalah

fx untuk menyatakan∂f

∂x.

Umumnya (walaupun tidak selalu) terdapat hubungan∂

∂x

∂f

∂y=

∂

∂y

∂f

∂x,

yang disebut sebagai hubungan resiprok (reciprocity relation).


4.3 Differensial Total

Jika z = f(x, y), maka differensial total dari z dinyatakan dengan

dz =∂z

∂xdx+

∂z

∂ydy (4.3)

dz menyatakan perubahan variabel z dalam arah bidang singgung ketika xberubah sebesar dx dan y berubah sebesar dy.

Untuk fungsi yang memiliki variabel lebih banyak, cara yang sama jugadapat dilakukan. Jika u = f(x, y, z, . . .), maka differensial total dari u adalah

du =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz + . . . (4.4)

Dalam persoalan numerik, du adalah pendekatan yang baik untuk ∆ujika turunan parsial dari fungsi f kontinu dan dx, dy, dz, dst cukup kecil.

4.4 Aturan Rantai

Dalam persoalan differensial biasa, jika f merupakan fungsi dari x sedangkanx merupakan fungsi dari variabel t, maka laju perubahan fungsi s terhadapvariabel t dapat diperoleh dengan aturan rantai, yaitu

df

dt=

df

dx

dx

dt(4.5)

Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk fungsi multivariabel. Misalkanz = f(x(t), y(t)), maka dapat dinyatakan

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt(4.6)

Misalnya z = 2t2 sin t, maka diperoleh

dz

dt= 4t sin t+ 2t2 cos t

Misalkan suatu fungsi multivariabel z = f(x, y) dengan x dan y masing-masing adalah fungsi dengan dua variabel yaitu s dan t. Hal ini berarti zadalah fungsi dari s dan t sehingga dapat diperoleh turunan parsial z ter-hadap s dan juga terhadap t. Turunan parsialnya dapat dinyatakan sebagaiberikut

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t

(4.7)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.5. APLIKASI DIFFERENSIAL PARSIAL 57

Misalnya suatu fungsi z = xy dengan x = sin(s+ t) dan y = s− t, maka

∂z

∂x= y

∂z

∂y= x

∂x

∂s= cos(s+ t)

∂x

∂t= cos(s+ t)

∂y

∂s= 1

∂y

∂t= −1

sehingga diperoleh

∂z

∂s= y cos(s+ t) + x(1)

= (s− t) cos(s+ t) + sin(s+ t)

∂z

∂t= y cos(s+ t)− x(1)

= (s− t) cos(s+ t)− sin(s+ t)

Persamaan 4.7 dapat juga dituliskan dalam notasi matriks. Jika u =f(x, y, z), x(s, t), y(s, t), z(s, t), maka dapat dituliskan

(

∂u

∂s

∂u

∂t

)

=

(

∂u

∂x

∂u

∂y

∂u

∂z

)

∂x

∂s

∂x

∂t

∂y

∂s

∂y

∂t

∂z

∂s

∂z

∂t

(4.8)

4.5 Aplikasi Differensial Parsial

Persoalan maksimum dan minimum

Dalam kasus satu variabel, konsep differensial dapat digunakan untuk menca-ri nilai ekstrimum (maksimum atau minimum) suatu fungsi. Titik ekstrimumsuatu fungsi ditandai dengan nilai turunan sama dengan nol di titik tersebut.Untuk mengetahui apakah suatu titik ekstrimum merupakan titik maksimumatau minimum diperlukan informasi tentang turunan kedua di titik tersebut.

Telah diketahui bahwa fungsi multivariabel misalnya z = f(x, y) menya-takan suatu permukaan dalam sistem koordinat xy. Jika pada permukaan


Gambar 4.3: Titik pelana.

tersebut terdapat titik puncak ataupun titik lembah, maka kurva x = constdan y = const yang memotong permukaan tersebut dan melalui titik puncaktersebut juga akan mengalami nilai ekstrimum di titik puncak yang sama.Hal ini berarti di titik puncak tersebut berlaku

∂z

∂x= 0 dan

∂z

∂y= 0 (4.9)

Sama halnya dengan persoalan maksimum-minimum dalam kasus satu va-

riabel, titik yang memenuhi kondisi∂z

∂x= 0 dan

∂z

∂y= 0 dapat berupa ti-

tik maksimum, atau titik minimum, atau titik pelana dan lain sebagainya.Dengan demikian untuk memastikan apakah suatu titik merupakan titik mi-nimum atau titik maksimum atau titik pelana (Gambar 4.3) diperlukan in-formasi tambahan tentang turunan kedua di titik tersebut (meskipun tidaksesederhana persoalan satu variabel).

Contoh 1

Ingin dibuat suatu kotak (tanpa tutup) yang volumenya 5 m3 dengan luaspermukaan kotak minimal.

Misalkan ukuran kotak tersebut adalah p, l dan t sebagaimana ditunjukkan

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011


p

l

t

Gambar 4.4: Kotak berukuran p× l × t.

dalam Gambar 4.4. Volume kotak adalah V = plt. Luas permukaan totalkotak adalah A = 2pt + 2lt + pl. Dengan menggunakan V , maka dapatdinyatakan

p =V

lt−→ A = 2t

V

lt+ 2lt+

V

ltl

= 2V

l+ 2lt+

V

tA(l, t) = 10l−1 + 2lt+ 5t−1

Untuk meminimalkan A berarti turunan parsial A terhadap l dan juga ter-hadap t sama dengan nol, hal ini memberikan

∂A

∂l=

−10

l2+ 2t = 0,

∂A

∂t= 2l − 5

t2= 0

Bila kedua persamaan tersebut diselesaikan diperoleh hasil l = 2t.

Kemudian karena p =V

lt=

5

ltmaka didapat p =

5

2t2.


Contoh 2

Tentukan jarak terdekat dari titik pusat koordinat ke permukaan z = xy+5.

Jarak suatu titik (x, y, z) dari pusat koordinat diberikan dengan√

x2 + y2 + z2.Karena permukaan tersebut diberikan dengan persamaan z = xy + 5, makadiperoleh

d =√

x2 + y2 + (xy + 5)2 =√

x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25

=(

x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)1/2

Untuk meminimalkan d berarti

∂d

∂x=

1

2

(

x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)−1/2

(2x+ 2xy2 + 10y) = 0

∂d

∂y=

1

2

(

x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)−1/2

(2y + 2x2y + 10x) = 0

Bila persamaan tersebut masing-masing dikalikan dengan x dan y, makadidapat

2x2 + 2x2y2 + 10xy = 0

2y2 + 2x2y2 + 10xy = 0

Kemudian keduanya dikurangkan

2x2 − 2y2 = 0 =⇒ x = y

Jadi jarak terpendek dari titik pusat koordinat ke permukaan adalah

d =(

x2 + y2 + x2y2 + 10xy + 25)1/2

=(

y4 + 12y2 + 25)1/2

Contoh 3

Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaany = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusatkoordinat.

Misalkan titik (x, y) adalah titik yang terletak pada lengkungan. Maka jaraktitik tersebut dari pusat koordinat adalah d =

√

x2 + y2. Berarti yang harus

diminimumkan adalah fungsi d tersebut. Meminimalkan fungsi d =√

x2 + y2

sama artinya dengan meminimalkan fungsi f = d2 = x2 + y2.

f = x2 + (1− x2)2 = x2 + 1− 2x2 + x4 = x4 − x2 + 1

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011


turunan fungsi tersebut terhadap x memberikan

df

dx= 4x3 − 2x

Untuk memperoleh kondisi minimal turunan tersebut sama dengan nol se-hingga

df

dx= 4x3 − 2x = 0 −→ x = 0 atau x = ±

√

1

2

Dengan mensubstitusikan ketiga nilai x tersebut dapat diperoleh bahwa jarak

minimum dipenuhi untuk x = ±√

12dengan y = 1

2yaitu dmin = 1

2

√3.

Contoh 4

Cara penyelesaian di atas merupakan cara eliminasi langsung. Cara lain yangdapat digunakan adalah dengan menggunakan turunan implisit.

Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah f = x2 + y2, diperoleh turunanfungsi tersebut yaitu

df = 2xdx+ 2ydy ataudf

dx= 2x+ 2y

dy

dx

Karena y = 1− x2 maka berarti dy = −2xdx. Dengan demikian diperoleh

df = (2x− 4xy)dx ataudf

dx= 2x− 4xy

Untuk meminimumkan f berarti df/dx = 0 yang memberikan x = 0 atau

x = ±√

12. Sebagaimana yang telah diperoleh sebelumnya.

Metode Pengali Lagrange

Cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan maksimum-minimum adalah dengan menggunakan metode pengali Lagrange (LagrangeMultipliers).

Telah ditunjukkan bahwa dalam penyelesaian persoalan maksimum-mi-nimum, pada intinya adalah ingin dicari minimum atau maksimum suatufungsi f(x, y) di mana x dan y terhubung dengan persamaan yang dinya-takan dengan φ(x, y) = const. Kemudian dengan mengatur agar df/dx = 0(sebagaimana contoh 3 di atas) atau df = 0 (sebagaimana contoh 4 di atas).


Selanjutnya karena φ = const, maka dφ = 0 sehingga

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy = 0

dφ =∂φ

∂xdx+

∂φ

∂ydy = 0

Pada metode pengali Lagrange persamaan dφ dikalikan dengan suatu kon-stanta λ kemudian dijumlahkan dengan persamaan df , sehingga didapat ben-tuk persamaan

df + λdφ = 0 −→(

∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x

)

dx+

(

∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y

)

dy = 0 (4.10)

Kemudian jika nilai λ dipilih sedemikian sehingga

∂f

∂y+ λ

∂φ

∂y= 0 (4.11)

maka berarti dari persamaan 4.10 diperoleh

∂f

∂x+ λ

∂φ

∂x= 0 (4.12)

Kemudian persamaan-persamaan 4.11, 4.12 dan φ(x, y) = const diselesaikanuntuk memperoleh tiga variabel x, y dan λ.

Secara ringkas metode pengali lagrange untuk menentukan nilai maksi-mum atau minimum dari suatu fungsi f(x, y) dengan x dan y mempunyaihubungan φ(x, y) = const langkahnya adalah sebagai berikut:

• tuliskan fungsi F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y)

• selesaikan persamaan∂F

∂x= 0,

∂F

∂y= 0 dan φ(x, y) = const untuk

memperoleh x, y dan λ.

Contoh 1

Sebuah kawat dilengkungkan sehingga membentuk kurva dengan persamaany = 1 − x2. Tentukan jarak terpendek lengkungan tersebut dari titik pusatkoordinat dengan metode pengali lagrange.

Dalam hal ini f(x, y) = x2 + y2 dan φ(x, y) = y + x2 = 1.Persamaan F (x, y) berbentuk

F (x, y) = f(x, y) + λφ(x, y) = (x2 + y2) + λ(y + x2) (4.13)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011


Kemudian

∂F

∂x= 2x+ λ 2x = 0

∂F

∂y= 2y + λ y = 0

(4.14)

Dari persamaan pertama diperoleh bahwa x = 0 atau λ = −1. Bila nilaix = 0, maka akan memberikan nilai y = 1, dan bila nilai λ = −1 maka akanmemberikan y = 1

2yang kemudian memberikan x2 = 1

2. Hal tersebut sama

dengan yang diperoleh sebelumnya.

Contoh 2

Gunakan metode pengali Lagrange untuk menentukan jarak minimum darititik pusat koordinat ke perpotongan xy = 6 dengan 7x+ 24z = 0

Fungsi yang akan dicari minimumnya adalah fungsi jarak dari titik pusatkoordinat yang dapat dinyatakan dalam bentuk x2 + y2 + z2. Syarat yangharus dipenuhi berkaitan dengan dua kondisi yaitu xy = 6 dan 7x+24z = 0.Dengan menggunakan metode pengali Lagrange berarti persamaan F (x, y)berbentuk

F (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + λ1(7x+ 24z) + λ2xy

Selanjutnya diperoleh

∂F

∂x= 2x+ 7λ1 + λ2y = 0

∂F

∂y= 2y + λ2x = 0

∂F

∂z= 2z + 24λ1 = 0

Selain ketiga persamaan tersebut terdapat juga dua persamaan lainnya yaitu

xy = 6

7x+ 24z = 0

Dari persamaan kedua dan keempat diperoleh hubungan λ2 = −2y

x, semen-

tara persamaan ketiga memberikan λ1 = − z

12. Bila nilai-nilai λ1 dan λ2 ini


disubstitusikan ke persamaan pertama dan kemudian dengan menggunakanpersamaan keempat akan diperoleh

2x− 7

12x− 2y2

x= 0 =⇒ 2x4 − 7

12x3z − 72 = 0

Kemudian dengan menggunakan persamaan kelima dapat dieliminasi varia-bel z sehingga didapat

x4

(

625

288

)

= 72 =⇒ x = ±12

5

Selanjutnya dapat diperoleh variabel lainnya yaitu y = ±5

2dan z = ∓ 7

10.

Akhirnya diperoleh jarak minimum yaitu d =√

x2 + y2 + z2 =5√2.

4.6 Aturan Leibniz

Berdasarkan definisi integral sebagai anti turuan, yaitu jika

f(x) =dF (x)

dx

berarti∫ x

a

f(t)dt = [F (t)]xa = F (x)− F (a)

dengan a adalah konstanta. Kemudian bila persamaan tersebut didifferensi-alkan akan diperoleh

d

dx

∫ x

a

f(t)dt =d

dx[F (x)− F (a)] =

dF (x)

dx= f(x)

Hal yang sama juga dapat diperoleh

d

dx

∫ a

x

f(t)dt = −dF (x)

dx= −f(x)

Jika batas-batas integralnya merupakan fungsi dari variabel x, maka dapatdiperoleh

d

dx

∫ v(x)

u(x)

f(t)dt =d

dx[F (v)− F (u)] =

d

dxF (v)− d

dxF (u)

=dF

dv

dv

dx− dF

du

du

dx

= f(v)dv

dx− f(u)

du

dx

(4.15)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.6. ATURAN LEIBNIZ 65

Misalnya ingin dihitungdI

dxdengan I =

∫ x1/3

0t2dt. Dalam hal ini f(t) = t2,

u(x) = 0 dan v(x) = x1/3, sehingga

f(u) = f(0) = 0

du

dx= 0

f(v) = f(x1/3) = x2/3

dv

dx=

1

3x−2/3

Dengan demikian diperoleh

d

dx

∫ x1/3

0

t2dt = (x2/3)

(

1

3x−2/3

)

− (0)(0) =1

3

Berikutnya tinjau suatu fungsi yang terdiri dari dua variabel sedemiki-an sehingga F (x) =

∫ b

af(x, y)dy. Sedangkan dari definisi turunan, telah

diuraikan bahwadF

dx= lim

h→0

F (x+ h)− F (x)

h

Dengan demikian dapat dinyatakan

dF

dx= lim

h→0

∫ b

af(x+ h, y)dy −

∫ b

af(x, y)dy

h

= limh→0

∫ b

a

(

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

)

dy

=

∫ b

a

limh→0

(

f(x+ h, y)− f(x, y)

h

)

dy

d

dx

∫ b

a

f(x, y)dy =

∫ b

a

∂f(x, y)

∂xdy

(4.16)

Jika fungsi yang diintegralkan adalah fungsi multivariabel, maka menurutaturan Leibniz 1

d

dx

∫ v(x)

u(x)

f(x, t)dt = f(x, v)dv

dx− f(x, u)

du

dx+

∫ v

u

∂f

∂xdt (4.17)

1Untuk penurunan detail aturan Leibniz, kunjungi:

http://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz integral rule


y = f(x)

∆∆∆∆xa b x

y

Gambar 4.5: Integral tertentu merupakan penjumlahan luas strip-strip kecildi bawah suatu fungsi.

4.7 Integral Ganda (Multiple Integrals)

Telah disinggung sebelumnya bahwa∫ b

af(x)dx menyatakan luas daerah di

bawah kurva f(x). Integral tertentu tersebut merupakan penjumlahan luasstrip-strip kecil di bawah kurva f(x) sebagaimana ditunjukkan dalam Gam-bar 4.5.

4.7.1 Integral Lipat Dua dan Integral Lipat Tiga

Tinjau suatu fungsi multivariabel f(x, y) yang bila digambarkan dalam sis-tem koordinat kartesian fungsi tersebut membentuk suatu permukaan (bi-dang). Dengan pemahaman yang sama untuk fungsi dengan variabel tunggal,maka dapat dipahami bahwa integral lipat dua dari fungsi f(x, y) tersebutmenyatakan volume ruang di bawah permukaan yang dibentuk oleh fungsif(x, y) tersebut. Ilustrasinya ditunjukkan dalam Gambar 4.6.

Dengan demikian, integral lipat dua (double integrals) dari suatu fungsif(x, y) pada suatu daerah A dalam bidang xy menyatakan volume di bawahfungsi f(x, y) dan dibatasi luasan A. Integral ini biasanya ditulis sebagai∫∫

Af(x, y)dxdy.Selain pengertian tersebut di atas, integral lipat dua juga dapat diinter-

pretasikan sebagai luas suatu daerah yang dibatasi oleh suatu kurva tertentu.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.7. INTEGRAL GANDA (MULTIPLE INTEGRALS) 67

Gambar 4.6: Integral lipat dua sebagai volume ruang di bawah suatu per-mukaan.

Perhatikan dari pengertian di atas bahwa∫∫

Af(x, y)dxdy menyatakan volu-

me di bawah suatu permukaan dengan batas luasan A, maka bila diambilf(x, y) = 1 integral

∫∫

Af(x, y)dxdy =

∫∫

Adxdy sama dengan luas daerah A

itu sendiri. Dengan demikian integral lipat dua juga dapat diinterpretasikansebagai luas suatu daerah.

Dengan analogi di atas, dapat dengan mudah dipahami bahwa integrallipat tiga yang berbentuk

∫∫∫

Vf(x, y, x)dxdydz dapat diinterpretasikan se-

bagai ”hyper-volume” atau volume dalam ruang berdimensi 4. Interpreta-si lainnya adalah integral lipat tiga

∫∫∫

Vdxdydz menyatakan volume suatu

objek. Selain itu∫∫∫

Vf(x, y, x)dxdydz dapat juga dipahami sebagai mas-

sa suatu objek tiga dimensi dengan rapat massa yang dinyatakan denganf(x, y, z).

Multiple integrals biasanya dapat diselesaikan dengan cara perulanganintegrasi. Contohnya seperti ditunjukkan berikut ini.

Contoh 1

Tentukan volume di bawah bidang z = 1 + y yang dibatasi dengan bidang-bidang koordinat dan bidang vertikal yang dinyatakan dengan 2x+ y = 2.

Dalam hal ini f(x, y) = 1 + y dan luasan A adalah daerah pada bidang


1

2

1

2

Gambar 4.7: Luasan A pada integral dalam contoh 1.

xy yang dibatas sumbu-sumbu x, y dan garis y = 2 − 2x, sebagaimana di-tunjukkan Gambar 4.7

V =

∫ 1

x=0

(∫ 2−2x

y=0

(1 + y)dy

)

dx =5

3

Dalam perhitungan di atas, fungsi z diintegralkan dulu terhadap y denganbatas-batas yang sesuai kemudian bari diintegralkan terhadap x.Integral yang sama dapat pula dihitung dengan mengintegralkan lebih duluterhadap x kemudian baru terhadap y

V =

∫ 2

y=0

(

∫ 1−y/2

x=0

(1 + y)dx

)

dy

=

∫ 2

y=0

(1 + y)x∣

∣

∣

1−y/2

0dy

=

∫ 2

y=0

(1 + y)(1− y/2)dy

=

∫ 2

y=0

(1 + y/2− y2/2)dy =5

3

Contoh 2

Hitung volume benda pada Contoh 1 di atas dengan menggunakan integrallipat tiga.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011


Dalam hal ini obejk tersebut dapat dipandang sebagai kumpulan kotak-kotakkecil yang masing-masing berukuran sama dengan volume yang dinyatakandengan dV = dx dy dz.Volume total benda dapat dihitung menggunakan integral lipat tiga sebagaiberikut

V =

∫

dV =

∫∫∫

V

dx dy dz

=

∫ 1

x=0

∫ 2−2x

y=0

(∫ 1+y

z=0

dz

)

dy dx

=

∫ 1

x=0

∫ 2−2x

y=0

(1 + y)dy dx =5

3

4.7.2 Penggunaan Integral Ganda

Tinjau suatu kurva yang dinyatakan dengan persamaan y = x2 antara x = 0hingga x = 1. Luas daerah yang dibentuk kurva tersebut dengan sumbu xdan sumbu y adalah

A =

∫ 1

x=0

ydx =

∫ 1

x=0

x2dx =x3

3

∣

∣

∣

1

0=

1

3

Luas suatu permukaan

Luas permukaan tersebut dapat pula dihitung dengan integral lipat dua se-bagai berikut

A =

∫

dA =

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

dydx =

∫ 1

x=0

x2dx =x3

3

∣

∣

∣

1

0=

1

3

Massa Suatu Objek

Elemen luas permukaan yang telah dihitung di atas dinyatakan dengan dA =dxdy. Bila rapat massa objek tersebut adalah ρ = xy, maka massa elemenyang luasnya dA adalah dM = ρdA = xydxdy. Dengan demikian massa


total objek (permukaan) tersebut adalah

M =

∫

dM =

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

xydydx

=

∫ 1

x=0

xdx

[

y2

2

]x2

0

=

∫ 1

0

x5

2dx

=1

12

Panjang Lengkungan Kurva

Jika variabel x berubah sebesar dx dan variabel y berubah sebesar dy, makapanjang lengkungan kurva akibat perubahan tersebut dapat dinyatakan

ds =√

dx2 + dy2 =

√

dx2

(

1 +dy

dx

)

= dx

√

√

√

√

(

1 +

(

dy

dx

)2)

Karena kurva tersebut mempunyai persamaan y = x2 maka diperolehdy

dx=

2x atau

(

dy

dx

)2

= 4x2.

Dengan demikian panjang lengkungan kurva tersebut adalah

s =

∫

ds =

∫ 1

0

dx

√

√

√

√

(

1 +

(

dy

dx

)2)

=

∫ 1

0

dx√

(1 + 4x2) =2√5 + ln(2 +

√5)

4

Pusat Massa Objek

Posisi pusat massa suatu objek ditentukan dengan cara sebagai berikut:

xpm =1

M

∫

xdM ; ypm =1

M

∫

ydM ; zpm =1

M

∫

zdM

dengan M adalah massa total objek.Untuk objek yang berbentuk permukaan seperti yang dimaksud di atas dan

mempunyai rapat massa ρ = xy, telah dihitung bahwa M =1

12. Kemudian

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011


karena objek yang dimaksud terletak pada bidang xy, maka zpm = 0.

xpm =1

M

∫

xdM = 12

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

x2ydydx

= 12

∫ 1

x=0

x2

[

y2

2

]x2

0

dx = 12

∫ 1

x=0

x6

2dx

= 3[

x7]1

0= 3

ypm =1

M

∫

ydM = 12

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

xy2dydx

= 12

∫ 1

x=0

x

[

y3

3

]x2

0

dx = 12

∫ 1

x=0

x7

3dx

=1

2

[

x8]1

0=

1

2

Dengan demikian posisi pusat massa objek tersebut adalah (3, 12).

Momen Inersia Objek

Momen inersia terhadap sumbu x, terhadap sumbu y dan terhadap sumbuz yang masing-masing dilambangkan dengan Ix, Iy dan Iz dihitung sebagaiberikut

Ix =

∫

y2dM

Iy =

∫

x2dM

Iz =

∫

(x2 + y2)dM

(4.18)

Dengan demikian untuk objek yang dimaksud akan didapatkan

Ix =

∫

y2dM =

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

y2xydydx =

∫ 1

0

x9

4dx =

1

40

Iy =

∫

x2dM =

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

x2xydydx =

∫ 1

0

x7

2dx =

1

16

Iz =

∫

(x2 + y2)dM =

∫ 1

x=0

∫ x2

y=0

(x2 + y2)xydydx =7

80


4.8 Pengubahan Variabel dalam Persamaan

Differensial Parsial

Salah satu penggunaan penting dari differensial parsial adalah dalam halpengubahan variabel (misalnya dari sistem koordinat kartesian ke sistemkoordinat silinder). Tinjau suatu persamaan differensial parsial yang dikenalsebagai persamaan gelombang yaitu

∂2F

∂x2− 1

v2∂2F

∂t2= 0 (4.19)

Terlihat bahwa persamaan differensial parsial tersebut mempunyai variabelx dan t. Kemudian akan dilakukan pengubahan variabel dengan variabelbaru r dan s, di mana r = x+ vt dan s = x− vt.Dengan menggunakan konsep differensial parsial dan aturan rantai, makadapat dinyatakan

∂F

∂x=

∂F

∂r

∂r

∂x+

∂F

∂s

∂s

∂x=

∂F

∂r+

∂F

∂s=

(

∂

∂r+

∂

∂s

)

F

∂F

∂t=

∂F

∂r

∂r

∂t+

∂F

∂s

∂s

∂t= v

∂F

∂r− v

∂F

∂s= v

(

∂

∂r− ∂

∂s

)

F

Kemudian turunan kedua juga dapat diperoleh

∂2F

∂x2=

∂

∂x

(

∂F

∂x

)

=

(

∂

∂r+

∂

∂s

)(

∂F

∂r+

∂F

∂s

)

=∂2F

∂r2+ 2

∂2F

∂r∂s+

∂2F

∂s2

∂2F

∂t2=

∂

∂t

(

∂F

∂t

)

= v

(

∂

∂r− ∂

∂s

)(

v∂F

∂r− v

∂F

∂s

)

= v2∂2F

∂r2− 2

∂2F

∂r∂s+

∂2F

∂s2

(4.20)

Dengan demikian, dalam variabel yang baru, persamaan gelombang tersebutdapat dituliskan dalam bentuk

∂2F

∂x2− 1

v2∂2F

∂t2= 4

∂2F

∂r∂s= 0 (4.21)

Terlihat bahwa dalam variabel baru tersebut persamaan gelombang menjadibentuk yang lebih sederhana dan lebih mudah diselesaikan (dicari solusinya).

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.9. PENGUBAHAN VARIABEL INTEGRAL: JACOBIAN 73

4.9 Pengubahan Variabel Integral: Jacobian

Dalam penyelesaian suatu persoalan terkadang lebih mudah bila digunakansistem koordinat yang berbeda. Penggunaan sistem koordinat yang berbe-da membawa dampak pada variabel integrasi. Misalnya, elemen luas dalamsistem koordinat kartesian dinyatakan dengan dA = dxdy. Bagaimana ben-tuk elemen luas dalam sistem koordinat yang lainnya? Dalam BAB 3 telahdiuraikan penentuan elemn luas secara geometri. Cara lain yang dapat dila-kukan untuk menentukan bentuk elemen luas (dan juga elemen volume) darisuatu sistem koordinat adalah dengan menggunakan Jacobian.

Misalkan terdapat integral lipat tiga dalam sistem koordinat uvw dandinyatakan dalam bentuk

∫∫∫

f(u, v, w)dudvdw, kemudian sistem koordinatlain yaitu rst dan hubungan antara variabel-variabel dalam sistem koordinatuvw dan sistem koordinat rst diberikan dengan persamaan u = u(r, s, t),v = v(r, s, t), w = w(r, s, t), maka Jacobian dari uvw terhadap rst adalah

J =∂(u, v, w)

∂(r, s, t)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂u

∂r

∂u

∂s

∂u

∂t

∂v

∂r

∂v

∂s

∂v

∂t

∂w

∂r

∂w

∂s

∂w

∂t

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(4.22)

Dengan menggunakan Jacobian tersebut maka integral lipat tiga tersebutbila dinyatakan dalam variabel rst adalah

∫∫∫

fdudvdw =

∫∫∫

f |J | dr ds dt (4.23)

dengan catatan fungsi f(u, v, w) harus diubah menjadi f(r, s, t) dan batasintegrasi juga harus diubah menyesuaikan dengan variabel integral yang barusesuai dengan hubungan antar variabel yang dinyatakan dengan u = u(r, s, t),v = v(r, s, t), w = w(r, s, t)

Contoh 1

Hitunglah luas lingkaran yang jari-jarinya R.

Persamaan sisi lingkaran yang berpusat di pusat koordinat dan berjejari rdinyatakan dengan

x2 + y2 = R2 =⇒ y =√R2 − x2


Dalam sistem koordinat kartesian, luas suatu permukaan dinyatakan dengan

A =

∫

dA =

∫ ∫

dxdy

Dengan demikian luas lingkaran tersebut adalah

A =

∫

dA =

∫ x=R

x=−R

∫

√R2−x2

y=−√R2−x2

dydx

Integral tersebut sulit diselesaikan. Sekarang tinjau sistem koordinat polar(silinder 2D), di mana

x = r cos θ

y = r sin θ

Jacobian yang bersangkutan adalah

J =∂(x, y)

∂(r, θ)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x

∂r

∂x

∂θ

∂y

∂r

∂y

∂θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

cos θ −r sin θ

sin θ r cos θ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= r

Dengan demikian integral lipat dua yang berkaitan dengan luas dinyatakansebagai

A =

∫

dA =

∫ ∫

rdrdθ

Batas integrasi adalah r : 0 → R dan θ : 0 → 2π. Dengan demikian luaslingkaran dihitung sebagai

A =

∫ 2π

θ=0

∫ R

r=0

rdrdθ =

∫ 2π

θ=0

R2

2dθ = πR2

Contoh 2

Diketahui suatu integral dalam variabel xy dinyatakan dengan

I =

∫ 1/2

x=0

∫ 1−x

y=x

(

x− y

x+ y

)2

dydx

Hitunglah integral tersebut dalam variabel rs jika

x =1

2(r − s)

y =1

2(r + s)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.10. DIFFERENSIAL VEKTOR 75

Jacobian yang berkaitan dengan transformasi tersebut adalah

J =∂(x, y)

∂(r, s)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∂x

∂r

∂x

∂s

∂y

∂r

∂y

∂s

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

12

−12

12

12

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=1

2

Batas-batas integrasi dalam integral yang baru adalah s : 0 → r dan r : 0 →1. Fungsi f(x, y) bila dinyatakan dalam variabel r dan s adalah

(

x− y

x+ y

)2

=

(−s

r

)2

=(s

r

)2

Dengan demikian

I =

∫ 1/2

x=0

∫ 1−x

y=x

(

x− y

x+ y

)2

dydx =

∫ 1

r=0

∫ r

s=0

(s

r

)2 1

2dsdr

=1

6

∫ 1

r=0

rdr =1

12

4.10 Differensial Vektor

Jika suatu vektor (misalnya A) komponen-komponennya tidak konstan (mi-salkan merupakan fungsi dengan variabel t), maka dapat diperoleh turunandari vektor tersebut terhadap variabel yang bersangkutan dan hal ini dipero-leh dengan mendifferensialkan masing-masing komponennya sebagai berikut

dA

dt=

dAx

dti+

dAy

dtj+

dAz

dtk (4.24)

Jika suatu vektor yang dinyatakan dengan A = AuA dengan uA menyatakanvektor satuan dalam arah A, maka turunan vektor A terhadap t juga harusmemperhatikan aturan rantai:

dA

dt=

dA

dtuA + A

duA

dt(4.25)

Hal ini penting dalam membahas kinematika benda dalam sistem koordinatortogonal sebagaimana yang telah diuraikan dalam BAB 3.

Operator differensial vektor yang sangat penting dan sering muncul dalamperumusan hukum-hukum fisika adalah ∇ (baca: ”nabla” atau ”del”) yang


merupakan operator differensial terhadap variabel ruang. Bentuk operatornabla ini berbeda antara satu sistem koordinat dengan sistem koordinat yanglain. Dalam sistem koordinat kartesian, bentuk operator nabla adalah

∇ =∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk (4.26)

4.11 Turunan Berarah dan gradient

Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiring-an kurva di titik tertentu. Fungsi multivariabel dapat digambarkan sebagaipermukaan pada sistem koordinat xyz. Turunan di fungsi multivariabel disuatu titik tertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Misalnya tu-runan pada arah x dinyatakan dengan ∂f/∂x. Akibatnya turunan di suatutitik bergantung pada arah mana perubahan terjadi. Hal ini disebut sebagaiturunan berarah (directional derivative).

Misalkan arah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, makaturunan fungsi f di titik (x, y, z) dalam arah vektor v dituliskan sebagai∇vf(x, y, z) atau ringkasnya sebagai ∇vf .

Gradient dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z) didefinisikan sebagai berikut(dalam sistem koordinat kartesian):

∇φ = grad φ =∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj+

∂φ

∂zk (4.27)

Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuantertentu u adalah

dφ

ds= ∇φ · u (turunan berarah) (4.28)

Misalnya turunan berarah φ dalam arah i (yaitu searah sumbu x) adalah

∇φ · i =(

∂φ

∂xi+

∂φ

∂yj+

∂φ

∂zk

)

· i

=∂φ

∂x

4.12 Integral Garis

Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika meng-hitung usaha). Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis)tertentu dan misalnya dilambangkan dengan

∫

C.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.12. INTEGRAL GARIS 77

Contoh 1

Gaya yang dinyatakan dengan F = xyi− y2j bekerja pada suatu benda danbenda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungkan titik (0,0)dan (2,1) pada bidang kartesian. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gayaF tersebut jika lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut berupaparabola dengan persamaan y = 1

4x2.

Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah

W =

∫

dW =

∫

F · dr

Karena F = xyi− y2j dan dr = dxi+ dxj+ dzk, maka

F · dr = xydx− y2dy

Dengan demikian

W =

∫

F · dr =∫

xydx− y2dy

Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola) terdapat hubungan antaravariabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaitu y = 1

4x2, dan

dapat diperoleh bahwa dy = 12xdx dengan demikian dapat dinyatakan

W =

∫

parabola

xydx− y2dy

=

∫ 2

0

x(1

4x2)dx− (

1

4x2)2(

1

2xdx)

=

∫ 2

0

(

1

4x3 − 1

32x5

)

dx =2

3

Contoh 2

Sebagaimana Contoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurusyang menghubungkan titik (0,0) dengan (2,1).

Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan dengan persa-maan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 1

2x. Karena y = 1

2x,


berarti dy = 12dx. Dengan demikian dapat dinyatakan

W =

∫

garis lurus

xydx− y2dy

=

∫ 2

0

x(1

2x)dx− (

1

2x)2(

1

2dx)

=

∫ 2

0

(

1

4x2 − 1

8x2

)

dx = 1

Contoh 3

SebagaimanaContoh 1 dan Contoh 2 namun lintasan yang digunakan ada-lah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) ke (0,1) kemudian dari (0,1)ke (2,1).

Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang pertamaadalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan titik (0,1). Padagaris ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikian dx = 0. Batas integrasi-nya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangkan segmen garis kedua adalahgaris lurus yang menghubungkan titik (0,1) dengan titik (2,1). Pada garisini berlaku y = 0, dengan demikian dy = 0. Batas integrasi adalah darix = 0 hingga x = 2. Integral lintasan tersebut dapat dituliskan menjadi duabagian sesuai segmen garis yang digunakan yaitu

W =

∫

lintasan yg dimaksud

xydx− y2dy

=

∫

segmen 1

xydx− y2dy +

∫

segmen 2

xydx− y2dy

Dengan demikian diperoleh

W =

∫ 1

y=0

(−y2)dy +

∫ 2

x=0

(xdx)

= −1

3+ 2 =

5

3

Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperolehtergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F ter-tentu sedemikian sehingga integral lintasannya sama dan tidak bergantungpada lintasan yang digunakan. Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yangseperti ini dinamakan fungsi (medan) yang bersifat konservatif.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.13. DIVERGENCE 79

4.13 Divergence

Divergence menyatakan bagaimana suatu medan vektor menyebar (divergen)dari suatu titik tertentu. Pengertian lain yang dapat diberikan untuk diver-gensi suatu medan vektor adalah bahwa divergensi menyatakan fluks medanvektor yang keluar dari suatu satuan volume. Secara matematis jika suatumedan vektor dinyatakan dengan V = Vxi + Vyj + Vzk, maka divergensinyaadalah

∇ ·V = div V =∂Vx

∂x+

∂Vy

∂y+

∂Vz

∂z(4.29)

4.14 Curl

Curl menyatakan bagaimana suatu medan vektor berrotasi terhadap suatutitik tertentu. Oleh karenanya curl sering disebut juga sebagai rotasi.

∇×V = curl V

=

(

∂Vz

∂y− ∂Vy

∂z

)

i+

(

∂Vx

∂z− ∂Vz

∂x

)

j+

(

∂Vy

∂x− ∂Vx

∂y

)

k

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zVx Vy Vz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(4.30)

4.15 Laplacian

Selain divergensi dan rotasi, operator differensial vektor yang juga seringmuncul adalah divergensi dari suatu gradient skalar. Operasi ini dinamakansebagai ”laplacian”. Laplacian dari suatu fungsi skalar φ didefinisikan sebagai(dalam koordinat kartesian):

∇2φ = ∇ · ∇φ = div grad φ

=∂2φ

∂x2+

∂2φ

∂y2+

∂2φ

∂z2(4.31)


4.16 Operator differensial vektor dalam sis-

tem koordinat ortogonal (silinder dan

bola)

Faktor Skala

Panjang lengkungan ds dalam suatu sistem koordinat dapat dikaitkan denganoperasi dot product dari vektor elemen panjang ds, yaitu

ds2 = ds · ds (4.32)

Secara umum, misalkan suatu sistem koordinat mempunyai variabel ko-ordinat yang dinyatakan dengan x1, x2 dan x3 dan jika sistem koordinattersebut ortogonal (vektor-vektor basisnya saling tegak lurus) maka dapatdinyatakan:

ds2 = h21dx

21 + h2

2dx22 + h2

3dx23

=3∑

i=1

h2i dx

2i

(4.33)

dengan hi disebut sebagai faktor skala.

Dengan menggunakan faktor skala (hi), vektor perpindahan ds dalamsuatu sistem koordinat ortogonal dapat diperoleh dengan cara

ds = e1h1dx1 + e2h2dx2 + e3h3dx3

=3∑

i=1

eih2i dx

2i

(4.34)

dengan ei adalah vektor satuan dalam sistem koordinat ortogonal tersebut.

Karena vektor elemen panjang dalam sistem koordinat kartesian adalahds = dxi + dyj + dzk, maka berarti faktor skala dalam koordinat kartesianadalah h1 = h2 = h3 = 1. Sedangkan vektor elemen panjang dalam sistemkoordinat silinder adalah ds = drer + rdθeθ + dzez, maka berarti faktorskala dalam koordinat kartesian adalah h1 = 1, h2 = r, h3 = 1. Dengan carayang sama dapat diperoleh faktor skala untuk sistem koordinat bola yaituh1 = 1, h2 = r sin θ, h3 = r.

Dengan menggunakan faktor skala tersebut, ungkapan operator differensi-al vektor dalam sistem koordinat ortogonal dapat digeneralisasi sebagaimanadiuraikan berikut ini.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.17. TEOREMA GREEN 81

Gradient

Dalam sistem koordinat yang ortogonal, bentuk umum dari gradient adalah

∇u = e11

h1

∂u

∂x1

+ e21

h2

∂u

∂x2

+ e31

h3

∂u

∂x3

=3∑

i=1

ei1

hi

∂u

∂xi

(4.35)

Divergence

Perumusan umum untuk divergence dalam sistem koordinat ortogonal adalah

∇ ·V =1

h1h2h3

[

∂

∂x1

(h2h3V1) +∂

∂x2

(h1h3V2) +∂

∂x3

(h1h2V3)

]

(4.36)

Curl

Rotasi (curl) dalam sistem koordinat ortogonal dirumuskan sebagai berikut

∇×V =1

h1h2h3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

h1e1 h2e2 h3e3

∂

∂x1

∂

∂x2

∂

∂x3

h1V1 h2V2 h3V3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

(4.37)

Laplacian

Perumusan umum untuk laplacian dalam sistem koordinat ortogonal adalah

∇2u =1

h1h2h3

[

∂

∂x1

(

h2h3

h1

∂u

∂x1

)

+∂

∂x2

(

h1h3

h2

∂u

∂x2

)

+∂

∂x3

(

h1h2

h3

∂u

∂x3

)]

(4.38)

4.17 Teorema Green

Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubunganantara differensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalambentuk

∫ b

a

d

dtf(t)dt = f(b)− f(a) (4.39)


a bx

y

C

A

yu(x)

yl(x) c

d

x

y

C

A

xr(y)

xl(y)

Gambar 4.8: Luasan A yang berbentuk sembarang.

Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y) dan Q(x, y) di manaturunan keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan Aadalah bentuk sembarang dengan batas-batas absis adalah x = a dan x = bsedangkan batas-batas ordinatnya adalah y = c dan y = d sebagaimanaditunjukkan dalam Gambar 4.8.

Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y) terhadap y,maka dapat dinyatakan

∫∫

A

∂P (x, y)

∂ydydx =

∫ b

a

dx

∫ yu

yl

∂P (x, y)

∂ydy

=

∫ b

a

[P (x, yu)− P (x, yl)] dx

= −∫ b

a

P (x, yl)dx−∫ a

b

P (x, yu)dx

Terlihat bahwa∫ b

aP (x, yl)dx merupakan integral garis dengan lintasan ber-

upa bagian bawah dari kurva C dari titik 1 ke titik 2. Demikian juga bahwaintegral

∫ a

bP (x, yu)dx merupakan integral garis dengan lintasan berupa ba-

gian atas dari kurva C dari titik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atasdapat diganti menjadi integral garis dengan lintasan berupa kurva tertutupC (dari titik 1 kembali ke titik 1) dengan arah berlawanan arah jarum jam.

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.17. TEOREMA GREEN 83

Dengan demikian dapat dituliskan kembali sebagai

∮

C

Pdx = −∫∫

A

∂P (x, y)

∂ydydx (4.40)

Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebihdahulu) dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y)

∫∫

A

∂Q

∂xdxdy =

∫ d

c

dy

∫ xr

xl

∂Q

∂xdx =

∫ d

c

[Q(xr, y)−Q(xl, y)] dy

=

∮

C

Qdy

Artinya diperoleh∫∫

A

∂Q

∂xdxdy =

∮

C

Qdy (4.41)

Kemudian dengan menambahkan persamaan 4.40 dengan persamaan 4.41maka akan didapat

∫∫

A

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dx dy =

∮

C

(Pdx+Qdy) (4.42)

dengan C menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Inte-gral lintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam.

Ungkapan persamaan 4.42 dikenal sebagai teorema Green dan teorema inimenyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk inte-gral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapatdiubah menjadi integral permukaan (lipat dua) pada luasan yang dibentukoleh lintasan tertutup tersebut.

Contoh

Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan∫

(xydx− y2dy)

pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1) ke (0,1)kemudian garis lurus dari titik (0,1) ke titik (0,0) dan dilanjutkan denganlengkungan y = x2 yang menghubungkan titik (0,0) ke titik (2,1).


Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup tersebutdapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua) dengan da-erah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut. Bila digunakanpersamaan 4.42 maka dapat dinyatakan bahwa

P (x, y) = xy dan Q(x, y) = −y2

dengan demikian∂Q

∂x= 0 dan

∂P

∂y= x

Maka diperoleh

∮

C

(xydx− y2dy) =

∫∫

A

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dx dy =

∫∫

A

−x dx dy

= −∫ 1

y=0

∫ 2√y

x=0

x dx dy = −1

4.18 Teorema Divergensi

Misalkan suatu vektor V = Vxi + Vyj, di mana Vx = Q(x, y) dan Vy =−P (x, y) adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektorV tidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z, maka dapat dinyatakan

∂Q

∂x− ∂P

∂y=

∂Vx

∂x+

∂Vy

∂y= div V = ∇ ·V (4.43)

Kemudian tinjau kurva tertutup C yang melingkupi suatu daerah luasan Asebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 4.9.

Sepanjang kurva C tersebut vektor dr merupakan vektor yang menying-gung kurva C, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai

dr = dxi+ dyj

Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah

nds = dyi− dxj (4.44)

dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A)dan ds =

√

dx2 + dy2. Dengan demikian dapat dinyatakan

Pdx+Qdy = −Vydx+ Vxdy = (Vxi+ Vyj) · (dyi− dxj)

= V · n ds(4.45)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.18. TEOREMA DIVERGENSI 85

C

A dr

nds

dx

dy

Gambar 4.9: Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup C.

Kemudian bila persamaan 4.43 dan persamaan 4.45 disubstitusikan ke per-samaan 4.42 akan diperoleh

∫∫

A

(∇ ·V) dx dy =

∮

C

(V · n) ds (4.46)

Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi.Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam ben-

tuk∫∫∫

∇ ·Vdτ =

∫∫

permukaan

V · ndσ (4.47)

dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup.Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (in-tegral volume) dengan integral lipat dua (integral permukaan).

Contoh

Suatu medan vektor berbentukV = x2i+y2j+z2k. Hitunglah∫∫

permukaan

V·n dσ

pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan titik-titik sudutnya ada-lah pada (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0).


Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan menggunakanteorema divergensi.Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektor normali,−i,j,−j,k dan −k. Bila dihitung integralnya secara langsung maka berarti

∫∫

permukaan kubus

V · n dσ =

∫∫

perm. 1

V · i dy dz +∫∫

perm. 2

V · −i dy dz

+

∫∫

perm. 3

V · j dx dz +∫∫

perm. 4

V · −j dx dz

+

∫∫

perm. 5

V · k dx dy +

∫∫

perm. 6

V · −k dx dy

Bila dihitung akan menghasilkan∫∫

permukaan kubus

V · n dσ =

∫ 1

y=0

∫ 1

z=0

12 dy dz +

∫ 1

y=0

∫ 1

z=0

02 dy dz

+

∫ 1

x=0

∫ 1

z=0

12 dy dz +

∫ 1

y=0

∫ 1

z=0

02 dx dz

+

∫ 1

x=0

∫ 1

y=0

12 dx dy +

∫ 1

y=0

∫ 1

z=0

02 dx dy

= 3

Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihitung se-bagai berikut

∇ ·V =

(

∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk

)

·(

x2i+ y2j+ z2k)

= 2x+ 2y + 2z

kemudian∫∫∫

∇ ·V =

∫ 1

z=0

∫ 1

y=0

∫ 1

x=0

(2x+ 2y + 2z) dx dy dz = 3

4.19 Teorema Stoke

Sekarang misalkan Q = Vy dan P = Vx sedangkan suatu vektorV dinyatakandengan V = Vxi+ Vyj. Kemudian akan dapat dinyatakan

∂Q

∂x− ∂P

∂y=

∂Vy

∂x− ∂Vx

∂y= (∇×V) · k (4.48)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.19. TEOREMA STOKE 87

n

C

dσ

Permukaan σ

Gambar 4.10: Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva ter-tutup C.

Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 4.9, maka diperoleh

Pdx+Qdy = (Vxi+ Vyj) · (dxi+ dyj) = V · dr (4.49)

Dengan mensubstitusi persamaan 4.48 dan persamaan 4.49 ke persamaan4.42 akan diperoleh

∫∫

A

(∇×V) · kdx dy =

∮

C

V · dr (4.50)

Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentukteorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah

∮

kurva C

V · dr =∫∫

permukaanσ

(∇×V) · ndσ (4.51)

Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikanGambar 4.10

Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lin-tasan. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatatbahwa permukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permuka-an datar, sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidakperlu berupa permukaan datar.


Contoh

Hitunglah integral∫

(∇×V) · n dσ pada permukaan yang berbentuk kubah(setengah bola) yang dinyatakan dengan persamaan x2+y2+z2 = a2 denganz ≤ 0 jika V = 4yi+ xj+ 2zk.

Dengan menggunakan persamaan 4.30 dapat diperoleh bentuk rotasi darimedan vektor V, yaitu

∇×V = −3k

Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permukaan sete-ngah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan tersebut dinyatakandengan

n =r

|r| =xi+ yj+ zk

a

Selanjutnya dapat diperoleh

(∇×V) · n = −3k · ra= −3

z

a

Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat diperoleh hu-bungan

z = r cos θ

dσ = r2 sin θdθdφ

Sehingga

∫

perm. stgh. bola

−3z

adσ =

∫ 2π

φ=0

∫ π/2

θ=0

−3a cos θ

aa2 sin θ dθdφ

= −3a2∫ 2π

0

dφ

∫ π/2

0

sin θ cos θdθ = −3πa2

Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke. Bi-la menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapat diubahmenjadi integral garis (lintasan). Dalam hal ini kurva tertutup yang digu-nakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titik pusat koordinat.Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi (polar) maka dapatdinyatakan

dr = adθ(− sin θi+ cos θj)

SehinggaV · dr = a2dθ(−4 sin2 θ + cos2 θ)

caku

lfi

5080

by

kh

basa

r;se

m1

2010-2

011

4.19. TEOREMA STOKE 89

Dengan demikian

∮

lingkaran

V · dr = a2∫ 2π

θ=0

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ

Karena∫

sin2 axdx =x

2− sin 2ax

4a+ C, dan

∫

cos2 axdx =x

2+

sin 2ax

4a+ C

maka diperoleh

∮

lingkaran

V · dr = a2∫ 2π

θ=0

(−4 sin2 θ + cos2 θ)dθ = −3πa2

Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral tersebutjuga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnya asalkan per-mukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identik yaitu lingkaranberjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnya saja dapat digunakanpermukaan datar berbentuk lingkaran (lingkaran di bidang xy). Bila digu-nakan permukaan ini, maka arah normal permukaan adalah k. Sehingga

(∇×V) · n = −3k · k = 3

Selanjutnya∫

(∇×V) · ndσ = −3

∫

dσ = −3πa2

Fisika matematika bab4 differensial danintegral

Education

Transcript of Fisika matematika bab4 differensial danintegral