Post on 22-Mar-2019
Matematika II : Integral Tentu
Dadang Amir Hamzah
sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg
2016
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 2 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 3 / 47
Luas ?
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 4 / 47
Hampiran luas
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 5 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?
1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,segitiga) yang sudah diketahui luasnya.
2 Hitung luas masing-masing3 Jumlahkan4 Hitung limit n→∞5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,
segitiga) yang sudah diketahui luasnya.
2 Hitung luas masing-masing3 Jumlahkan4 Hitung limit n→∞5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,
segitiga) yang sudah diketahui luasnya.2 Hitung luas masing-masing
3 Jumlahkan4 Hitung limit n→∞5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,
segitiga) yang sudah diketahui luasnya.2 Hitung luas masing-masing3 Jumlahkan
4 Hitung limit n→∞5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,
segitiga) yang sudah diketahui luasnya.2 Hitung luas masing-masing3 Jumlahkan4 Hitung limit n→∞
5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan suatu daerah R. Bagaimana menentukan luas R ?1 Hampiri daerah R dengan n bentuk (misalnya persegi panjang,
segitiga) yang sudah diketahui luasnya.2 Hitung luas masing-masing3 Jumlahkan4 Hitung limit n→∞5 Jika limitnya ada misal A, maka luas daerah R adalah A.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 6 / 47
Menghitung luas daerah
Perhatikan gambar
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 7 / 47
Menghitung luas daerah
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
dengan cara yang sama kita dapat menentukan luas daerah S
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
dengan cara yang sama kita dapat menentukan luas daerah S
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
dengan cara yang sama kita dapat menentukan luas daerah S
S = S1 + S2 + S3 + S4
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
dengan cara yang sama kita dapat menentukan luas daerah S
S = S1 + S2 + S3 + S4 = 14 .(
14 .)2
+ 14 .(
12
)2+ 1
4 .(
34
)2+ 1
4 .(1)2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
dengan cara yang sama kita dapat menentukan luas daerah S
S = S1 + S2 + S3 + S4 = 14 .(
14 .)2
+ 14 .(
12
)2+ 1
4 .(
34
)2+ 1
4 .(1)2 = 1532
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 8 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b. Kita dapat menentukan luasdaerah dibawah kurva y = f(x) diatas sumbu-x dengan cara yangsama
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b. Kita dapat menentukan luasdaerah dibawah kurva y = f(x) diatas sumbu-x dengan cara yangsama
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 47
Menghitung luas daerah
Misal diberikan kurva y = f(x), a ≤ x ≤ b. Kita dapat menentukan luasdaerah dibawah kurva y = f(x) diatas sumbu-x dengan cara yangsama
Misalkan luas persegi ke i adalah Ai, Ai = yi(xi − xi−1) = yi∆xiMaka hampiran luasnya adalah
A ≈ A1 +A2 +A3 + · · ·+An
A ≈n∑
i=1
Ai =
n∑i=1
yi∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 9 / 47
Menghitung luas daerah
Luas Ai dihampiri dengan memilih sebarang x̄i, xi−1 ≤ x̄i ≤ xikemudian
Ai ≈ f(x̄i)(xi − xi−1)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 10 / 47
Menghitung luas daerah
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 47
Menghitung luas daerah
Bila yi = f(x̄i) untuk semua i = 1, 2, . . . , n, dengan xi−1 ≤ x̄i ≤ xi,maka
A ≈n∑
i=1
f(x̄i)∆xi.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 47
Menghitung luas daerah
Bila yi = f(x̄i) untuk semua i = 1, 2, . . . , n, dengan xi−1 ≤ x̄i ≤ xi,maka
A ≈n∑
i=1
f(x̄i)∆xi.
Selanjutnya,
A = limn→∞
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 47
Menghitung luas daerah
Bila yi = f(x̄i) untuk semua i = 1, 2, . . . , n, dengan xi−1 ≤ x̄i ≤ xi,maka
A ≈n∑
i=1
f(x̄i)∆xi.
Selanjutnya,
A = limn→∞
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 11 / 47
Contoh 1
Misalkan daerah yang akan dihampiri adalah luas diantara garis y = xdan sumbu-x, dengan x antara 0 dan 1.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 12 / 47
Contoh 1
Misalkan daerah yang akan dihampiri adalah luas diantara garis y = xdan sumbu-x, dengan x antara 0 dan 1.
Agar mudah, kita asumsikan xi − xi−1 = ∆xi = ∆x (konstan).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 12 / 47
Contoh 1
Misalkan daerah yang akan dihampiri adalah luas diantara garis y = xdan sumbu-x, dengan x antara 0 dan 1.
Agar mudah, kita asumsikan xi − xi−1 = ∆xi = ∆x (konstan).Maka hampiran luasnya adalah
A ≈ f(x1)∆x1 + f(x2)∆x2 + · · ·+ f(xn)∆xn= f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn)∆x= ∆x[f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)]=
∑ni=1 ∆x f(xi).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 12 / 47
Contoh 1
∆x = 1−0n = 1
nx0 = 0x1 = 0 + ∆x = 1
nx2 = x1 + ∆x = 0 + ∆x+ ∆x = 0 + 2.∆x = 1
n + 1n = 2
nx3 = x2 + ∆x = x1 + ∆x+ ∆x = 0 + ∆x+ ∆x+ ∆x = 3.∆x = 3
n...xi = i∆x = i
n...xn = n.∆x = 1f(xi) = xi = i
nJadi
A ≈n∑
i=1
∆x f(xi) =
n∑i=1
∆x
(i
n
)=
∆x
n
n∑i=1
i
ingat :∑n
i = n.n+12 (deret aritmatika)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 13 / 47
Contoh 1
A ≈ ∆xn n n+1
2
= ∆xn+12
= 1nn+1
2
= n+12n
Luas A adalahA = lim
n→∞
n+ 1
2n=
1
2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 14 / 47
Sifat Notasi Sigma
Teorema (kelinearan)n∑
i=1
c ai = c
n∑i=1
ai
n∑i=1
(ai + bi) =
n∑i=1
ai +
n∑i=1
bi
n∑i=1
i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+1)2
n∑i=1
i2 = 12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+1)(2n+1)6
n∑i=1
i3 = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
(n(n+1)
2
)2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 15 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
A = limn→∞
n∑i=1
∆x f(xi)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
A = limn→∞
n∑i=1
∆x f(xi)
∆x = 2−0n = 2
n
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
A = limn→∞
n∑i=1
∆x f(xi)
∆x = 2−0n = 2
nxi = 2i
n
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
A = limn→∞
n∑i=1
∆x f(xi)
∆x = 2−0n = 2
nxi = 2i
n
f(xi) = x2i =
(2in
)2= 4i2
n2
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Contoh 2
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) = x2 pada interval[0, 2].Misal A adalah daerah yang dicari. Maka
A = limn→∞
n∑i=1
∆x f(xi)
∆x = 2−0n = 2
nxi = 2i
n
f(xi) = x2i =
(2in
)2= 4i2
n2
Jadi,
A = limn→∞
n∑i=1
2n
4i2
n2
= limn→∞
8n3
n∑i=1
i2 = limn→∞
8n3
n(n+1)(2n+1)6 = 8
3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 16 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 17 / 47
Jumlah Riemann
Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b]
Misalkan P adalah partisi dari [a, b], diwakili oleh himpunan{x0, x1, x2, . . . , xn} dengan
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
dan ∆xi = xi − xi−1 merupakan panjang interval bagian ke i.Pada setiap selang bagian [xi−1, xi] pilih titik sampel x̄i.Jumlah berikut disebut jumlah Riemann
Rp(f) =
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 18 / 47
Jumlah Riemann
Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b]
Misalkan P adalah partisi dari [a, b], diwakili oleh himpunan{x0, x1, x2, . . . , xn} dengan
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
dan ∆xi = xi − xi−1 merupakan panjang interval bagian ke i.
Pada setiap selang bagian [xi−1, xi] pilih titik sampel x̄i.Jumlah berikut disebut jumlah Riemann
Rp(f) =
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 18 / 47
Jumlah Riemann
Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b]
Misalkan P adalah partisi dari [a, b], diwakili oleh himpunan{x0, x1, x2, . . . , xn} dengan
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
dan ∆xi = xi − xi−1 merupakan panjang interval bagian ke i.Pada setiap selang bagian [xi−1, xi] pilih titik sampel x̄i.
Jumlah berikut disebut jumlah Riemann
Rp(f) =
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 18 / 47
Jumlah Riemann
Misalkan f terdefinisi pada interval [a, b]
Misalkan P adalah partisi dari [a, b], diwakili oleh himpunan{x0, x1, x2, . . . , xn} dengan
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b
dan ∆xi = xi − xi−1 merupakan panjang interval bagian ke i.Pada setiap selang bagian [xi−1, xi] pilih titik sampel x̄i.Jumlah berikut disebut jumlah Riemann
Rp(f) =
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 18 / 47
Jumlah Riemann
‖P‖ = max ∆xi disebut norm dari partisi P , adalah panjangsubinterval terpanjang dari partisi P .
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 19 / 47
Integral Riemann
Definisi : Integral RiemannMisalkan f suatu fungsi pada interval tutup [a, b]. Jika
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
ada, maka f disebut terintegral pada interval [a, b]. Nilai limit ini ditulissebagai
∫ ba f(x)dx ∫ b
af(x)dx = lim
‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
yakni integral tentu (integral Riemann) dari f dengan batas a sampai b(pada [a, b]).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 20 / 47
Integral Riemann
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx = lim
n→∞
n∑i=1
f(x̄i)∆xi
Catatan : Nilai a tidak harus kurang dari b
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 21 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.
2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim
‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].
3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim
‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim
‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim
‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Catatan
1 Nilai a tidak harus kurang dari b.2 Jika f ≥ 0, maka nilai limit lim
‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi memberikan luas
daerah grafik f pada [a, b].3 Notasi :
lim‖P‖→0
n∑i=1
f(x̄i)∆xi =
∫ b
af(x)dx
4 Integral tentu∫ ba f(x)dx adalah bilangan, sedangkan integral tak
tentu∫f(x)dx adalah keluarga fungsi-fungsi.
5 lim‖P‖→0
∑ni=1 f(x̄i)∆xi ada, maka f disebut terintegral pada [a, b].
6 x adalah dummy variabel∫ b
af(x)dx =
∫ b
af(t)dt =
∫ b
af(w)dw
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 22 / 47
Sifat-sifat dasar
1∫ aa f(x)dx = 0
2∫ ba f(x)dx = −
∫ ab f(x)dx
3 Sifat penambahan interval∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx+
∫ d
cf(x)dx
Titik c tidak harus diantara a dan b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 23 / 47
Sifat-sifat dasar
1∫ aa f(x)dx = 0
2∫ ba f(x)dx = −
∫ ab f(x)dx
3 Sifat penambahan interval∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx+
∫ d
cf(x)dx
Titik c tidak harus diantara a dan b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 23 / 47
Sifat-sifat dasar
1∫ aa f(x)dx = 0
2∫ ba f(x)dx = −
∫ ab f(x)dx
3 Sifat penambahan interval∫ b
af(x)dx =
∫ c
af(x)dx+
∫ d
cf(x)dx
Titik c tidak harus diantara a dan b.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 23 / 47
Keterintegralan
Teorema : KeterintegralanJika f kontinu pada interval [a, b] kecuali mungkin pada berhinggabuah titik, maka f terintegral. Khusunya
kontinu ⇒ terintegral
Contoh fungsi terintegral1 Suku banyak (polinom)2 Fungsi sinx dan cosx
3 Fungsi rasional pada [a, b] dengan syarat [a, b] tidak memuat titikdimana penyebut bernilai nol.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 24 / 47
Contoh
Fungsi
f(x) =
x2 − 1, jika − 4 ≤ x < −1−x− 1, jika − 1 ≤ x ≤ 1x2, jika 1 < x < 22 jika 2 ≤ x ≤ 4
Terintegral pada [−4, 4] karena kontinu pada [−4, 4] kecuali di x = 1dan x = 2.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 25 / 47
Catatan
∫ b
af(x)dx = lim
n→∞
n∑i=1
∆xf(xi)
dimana :
∆x = b−an
xi = a+ i∆x = a+ i(b−a)n
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 26 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 27 / 47
Latar belakang (Jarak dan Laju)
Misalkan v(t) : laju sesaat; s(t) : jarak tempuh.
Untuk setiap t, jarak yang ditempuh pada selang waktu t sampait+ ∆t adalah s(t) = v(t) [(t+ ∆t)− t] = v(t) ∆t.Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 47
Latar belakang (Jarak dan Laju)
Misalkan v(t) : laju sesaat; s(t) : jarak tempuh.Untuk setiap t, jarak yang ditempuh pada selang waktu t sampait+ ∆t adalah s(t) = v(t) [(t+ ∆t)− t] = v(t) ∆t.
Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 47
Latar belakang (Jarak dan Laju)
Misalkan v(t) : laju sesaat; s(t) : jarak tempuh.Untuk setiap t, jarak yang ditempuh pada selang waktu t sampait+ ∆t adalah s(t) = v(t) [(t+ ∆t)− t] = v(t) ∆t.Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].
Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 47
Latar belakang (Jarak dan Laju)
Misalkan v(t) : laju sesaat; s(t) : jarak tempuh.Untuk setiap t, jarak yang ditempuh pada selang waktu t sampait+ ∆t adalah s(t) = v(t) [(t+ ∆t)− t] = v(t) ∆t.Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 28 / 47
Jarak dan Laju
Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Tetapi v(t) = ddts(t) atau
v(t) =d
dt
∫ t
0v(u)du
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 29 / 47
Jarak dan Laju
Jadi, jarak yang ditempuh pada selang waktu a dan t dapatdihampiri oleh
s(t) ≈ v(t1)(t1 − 0) + v(t2)(t2 − t1) + . . .+ v(tn)(t− tn−1)=
∑ni v(ti)∆ti
t0 = 0, t = tn. Ini adalah jumlah Riemann dari fungsi v(t) pada[0, t].Jika v(t) kontinu, maka
limn→∞
n∑i=1
v(ti)∆ti =
∫ t
0v(u)du = s(t), s(0) = 0.
Tetapi v(t) = ddts(t) atau
v(t) =d
dt
∫ t
0v(u)du
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 29 / 47
TDK I
Teorema Dasar Kalkulus IJika f kontinu pada [a, b] dan x ∈ (a, b), dan F (x) =
∫ xa f(t)dt,
a < x < b, maka
dF
dx= F ′(x) atau
d
dx
∫ x
af(t)dt = f(x).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 30 / 47
TDK I
Teorema Dasar Kalkulus IJika f kontinu pada [a, b] dan x ∈ (a, b), dan F (x) =
∫ xa f(t)dt,
a < x < b, maka
dF
dx= F ′(x) atau
d
dx
∫ x
af(t)dt = f(x).
Ingat :d
d�
∫ �
af(t)dt = f(�)
Tiap fungsi kontinu mempunyai antiturunan (terintegralkan)!
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 30 / 47
Exercise
Tentukan F ′(x) dari1 F (x) =
∫ x1
t3√1+t2
dt
2 F (x) =∫ x
0 (2t2 +√t)dt
3 F (x) =∫ x
1 cos3(2t) tan(t) dt
4 F (x) =∫ x
1 x t dt
5 F (x) =∫ x2
1 sin(t)dt
6 F (x) =∫ x2+x
1
√2t+ sin(t)dt
7 F (x) =∫ x−x2
t2
1+t2dt
8 F (x) =∫ sin(x)
cos(x) t5dt
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 31 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 32 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3.
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3.
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3.
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3. Jadi, d
dx
(x4
4
)= d
dx
∫ x1 t
3dt, sehinggaselisihnya konstan yakni∫ x
1t3dt− x4
4= K atau A(x) =
∫ x
1t3dt =
x4
4+K
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3. Jadi, d
dx
(x4
4
)= d
dx
∫ x1 t
3dt, sehinggaselisihnya konstan yakni∫ x
1t3dt− x4
4= K atau A(x) =
∫ x
1t3dt =
x4
4+K
Periksa saat x = 1, A(1) = 0
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3. Jadi, d
dx
(x4
4
)= d
dx
∫ x1 t
3dt, sehinggaselisihnya konstan yakni∫ x
1t3dt− x4
4= K atau A(x) =
∫ x
1t3dt =
x4
4+K
Periksa saat x = 1, A(1) = 0
0 = A(1) = 14
4 +K, maka K = −14 dan A(x) =
∫ x1 t
3dt = x4
4 −14 .
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3. Jadi, d
dx
(x4
4
)= d
dx
∫ x1 t
3dt, sehinggaselisihnya konstan yakni∫ x
1t3dt− x4
4= K atau A(x) =
∫ x
1t3dt =
x4
4+K
Periksa saat x = 1, A(1) = 0
0 = A(1) = 14
4 +K, maka K = −14 dan A(x) =
∫ x1 t
3dt = x4
4 −14 .
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Misalkan A(x) =∫ x
1 t3dt. Maka A′(x) = x3.
Kemudian ddx
(x4
4
)= x3. Jadi, d
dx
(x4
4
)= d
dx
∫ x1 t
3dt, sehinggaselisihnya konstan yakni∫ x
1t3dt− x4
4= K atau A(x) =
∫ x
1t3dt =
x4
4+K
Periksa saat x = 1, A(1) = 0
0 = A(1) = 14
4 +K, maka K = −14 dan A(x) =
∫ x1 t
3dt = x4
4 −14 .
Dengan demikian,∫ 10
1 t3dt = A(10) = 104
4 −14 = 9999
4 .
Lebih lanjut,∫ ba t
3dt =∫ b
1 t3dt−
∫ a1 t
3dt = A(b)−A(a).
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 33 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.
Diskusi sebelumnya ( menentukan∫ 10
1 t3dt ) menjadi petunjukbagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.I Jadi,
F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.Diskusi sebelumnya ( menentukan
∫ 101 t3dt ) menjadi petunjuk
bagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.
Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.I Jadi,
F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.Diskusi sebelumnya ( menentukan
∫ 101 t3dt ) menjadi petunjuk
bagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.I Jadi,
F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.Diskusi sebelumnya ( menentukan
∫ 101 t3dt ) menjadi petunjuk
bagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.I Jadi,
F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.Diskusi sebelumnya ( menentukan
∫ 101 t3dt ) menjadi petunjuk
bagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.
I Jadi,F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]
= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
Menghitung Integral
Pada umumnya sulit menghitung integral tentu dengan limitjumlah Riemann.Diskusi sebelumnya ( menentukan
∫ 101 t3dt ) menjadi petunjuk
bagaimana cara menghitung integral tentu lebih mudah.Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) antiturunan dari f pada[a, b], F ′(x) = f(x).
I Misalkan G(x) =∫ x
af(t)dt. Maka G′(x) = f(x) = F ′(x).
I Sehingga, F (x)−G(x) = k, untuk suatu k ∈ R.I Jadi,
F (b)− F (a) = [G(b) + k]− [G(a) + k]= G(b)−G(a)
=∫ b
af(t)dt−
∫ a
af(t)dt
=∫ b
af(t)dt.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 34 / 47
TDK II
Teorema Dasar Kalkulus IIMisalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) = f(x) pada (a, b). Maka∫ b
af(x)dx = F (b)− F (a)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 35 / 47
Teorema Dasar Kalkulus I & II
Teorema Dasar KalkulusMisalkan f kontinu pada [a, b]
1 Jika f kontinu pada [a, b] dan x ∈ (a, b), dan F (x) =∫ xa f(t)dt,
a < x < b, maka
dF
dx= F ′(x) atau
d
dx
∫ x
af(t)dt = f(x).
2 Misalkan f kontinu pada [a, b] dan F ′(x) = f(x) pada (a, b). Maka∫ b
af(x)dx = F (b)− F (a)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 36 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 37 / 47
Rumus Dasar Integral
1∫
d� = � +K
2∫�nd� = 1
n+1�n+1 +K, n 6= −1
3∫
1�d� = ln |�|+K (dibahas pada bab fungsi transenden)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 47
Rumus Dasar Integral
1∫
d� = � +K
2∫�nd� = 1
n+1�n+1 +K, n 6= −1
3∫
1�d� = ln |�|+K (dibahas pada bab fungsi transenden)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 47
Rumus Dasar Integral
1∫
d� = � +K
2∫�nd� = 1
n+1�n+1 +K, n 6= −1
3∫
1�d� = ln |�|+K (dibahas pada bab fungsi transenden)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 47
Rumus Dasar Integral
1∫
d� = � +K
2∫�nd� = 1
n+1�n+1 +K, n 6= −1
3∫
1�d� = ln |�|+K (dibahas pada bab fungsi transenden)
Teorema : KelinearanJika f dan g terintegral pada [a, b] dan α, β ∈ R, maka αf + βg jugaterintegral pada [a, b] dan∫ b
a[αf(x) + βg(x)]dx = α
∫ b
af(x)dx+ β
∫ b
ag(x)dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 47
Rumus Dasar Integral
1∫
d� = � +K
2∫�nd� = 1
n+1�n+1 +K, n 6= −1
3∫
1�d� = ln |�|+K (dibahas pada bab fungsi transenden)
Teorema : KelinearanJika f dan g terintegral pada [a, b] dan α, β ∈ R, maka αf + βg jugaterintegral pada [a, b] dan∫ b
a[αf(x) + βg(x)]dx = α
∫ b
af(x)dx+ β
∫ b
ag(x)dx
Contoh:∫ 10 (3x2 + 2x+ 1)dx = x3 + x2 + x
∣∣10
= (13 + 12 + 1)− 0 = 3
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 38 / 47
Rumus Dasar Integral (lanjutan)
1∫
sin(x)dx = − cos(x) +K
2∫
cos(x)dx = sin(x) +K
3∫
tan(x)dx = − ln | cos(x)|+K
4∫
sec2(x)dx = tan(x) +K
5∫
sec(x) tan(x)dx = sec(x) +K
6∫
csc(x) cot(x)dx = − csc(x) +K
7∫
csc2(x)dx = − cot(x) +K
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 39 / 47
Urutan dan Keterbatasan
Teorema(Urutan)Jika f dan g terintegral pada [a, b] dan f(x) ≤ g(x) untuk setiapx ∈ [a, b], maka ∫ b
af(x)dx ≤
∫ b
ag(x)dx
Terorema (Keterbatasan)Jika f terintegralkan pada [a, b] dan m ≤ f(x) ≤M untuk tiapx ∈ [a, b], maka
m(b− a) ≤∫ b
af(x)dx ≤M(b− a)
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 40 / 47
Outline
1 Pendahuluan Luas
2 Integral Tentu
3 Teorema Dasar Kalkulus I
4 Teorema Dasar Kalkulus II
5 Rumus Dasar dan Sifat-sifat Integral
6 Metode Substitusi
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 41 / 47
Integral Tak Tentu
Metode substitusi untuk Integral Tak TentuJika g mempunyai turunan dan F adalah antiturunan dari f , maka∫
f(g(x))g′(x)dx = F (g(x)) + C
Penyajian lain∫f(g(x)︸︷︷︸u
)g′(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
= F (u) + C = F (g(x)) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 42 / 47
Aplikasi Substitusi
Untuk menyelesaikan integral∫h(x)dx, tentukan g(x) yang ‘tepat’
sehingga
I integral semula dapat ditulis dalam bentuk∫h(x)dx =
∫f(g(x))g′(x)dx
danI integral
∫f(g(x))g′(x)dx =
∫f(u)du mudah diselesaikan.
Contoh : Tentukan∫x sin(x2)dx
I Pilih u = x2. Maka du = 2xdx.∫x sin(x2)dx =
∫ (sin(x2)
)xdx =
∫(sin(u))
(12
)du = 1
2
∫sin(u)du
= 12 (− cos(u)) + C = − 1
2 cos(x2) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 47
Aplikasi Substitusi
Untuk menyelesaikan integral∫h(x)dx, tentukan g(x) yang ‘tepat’
sehinggaI integral semula dapat ditulis dalam bentuk∫
h(x)dx =
∫f(g(x))g′(x)dx
dan
I integral∫f(g(x))g′(x)dx =
∫f(u)du mudah diselesaikan.
Contoh : Tentukan∫x sin(x2)dx
I Pilih u = x2. Maka du = 2xdx.∫x sin(x2)dx =
∫ (sin(x2)
)xdx =
∫(sin(u))
(12
)du = 1
2
∫sin(u)du
= 12 (− cos(u)) + C = − 1
2 cos(x2) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 47
Aplikasi Substitusi
Untuk menyelesaikan integral∫h(x)dx, tentukan g(x) yang ‘tepat’
sehinggaI integral semula dapat ditulis dalam bentuk∫
h(x)dx =
∫f(g(x))g′(x)dx
danI integral
∫f(g(x))g′(x)dx =
∫f(u)du mudah diselesaikan.
Contoh : Tentukan∫x sin(x2)dx
I Pilih u = x2. Maka du = 2xdx.∫x sin(x2)dx =
∫ (sin(x2)
)xdx =
∫(sin(u))
(12
)du = 1
2
∫sin(u)du
= 12 (− cos(u)) + C = − 1
2 cos(x2) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 47
Aplikasi Substitusi
Untuk menyelesaikan integral∫h(x)dx, tentukan g(x) yang ‘tepat’
sehinggaI integral semula dapat ditulis dalam bentuk∫
h(x)dx =
∫f(g(x))g′(x)dx
danI integral
∫f(g(x))g′(x)dx =
∫f(u)du mudah diselesaikan.
Contoh : Tentukan∫x sin(x2)dx
I Pilih u = x2. Maka du = 2xdx.∫x sin(x2)dx =
∫ (sin(x2)
)xdx =
∫(sin(u))
(12
)du = 1
2
∫sin(u)du
= 12 (− cos(u)) + C = − 1
2 cos(x2) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 47
Aplikasi Substitusi
Untuk menyelesaikan integral∫h(x)dx, tentukan g(x) yang ‘tepat’
sehinggaI integral semula dapat ditulis dalam bentuk∫
h(x)dx =
∫f(g(x))g′(x)dx
danI integral
∫f(g(x))g′(x)dx =
∫f(u)du mudah diselesaikan.
Contoh : Tentukan∫x sin(x2)dx
I Pilih u = x2. Maka du = 2xdx.∫x sin(x2)dx =
∫ (sin(x2)
)xdx =
∫(sin(u))
(12
)du = 1
2
∫sin(u)du
= 12 (− cos(u)) + C = − 1
2 cos(x2) + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 43 / 47
Exercise
Tentukan integral-integral berikut :1∫x cos(x2 + 1)dx
2∫
sin4(x) cos(x)dx
3∫ √
x
(2+x3/2)2dx
4∫ sin(x)dx√
2+cos(x)
Tulis seluruhnya dalam variabel baru, misalnya u, jangan sisakanx.Selesaikan integral dalam variabel baru u.Substitusi ulang untuk menuliskan hasil akhir dalam x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 47
Exercise
Tentukan integral-integral berikut :1∫x cos(x2 + 1)dx
2∫
sin4(x) cos(x)dx
3∫ √
x
(2+x3/2)2dx
4∫ sin(x)dx√
2+cos(x)
Catatan :
Tulis seluruhnya dalam variabel baru, misalnya u, jangan sisakanx.Selesaikan integral dalam variabel baru u.Substitusi ulang untuk menuliskan hasil akhir dalam x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 47
Exercise
Tentukan integral-integral berikut :1∫x cos(x2 + 1)dx
2∫
sin4(x) cos(x)dx
3∫ √
x
(2+x3/2)2dx
4∫ sin(x)dx√
2+cos(x)
Catatan :Tulis seluruhnya dalam variabel baru, misalnya u, jangan sisakanx.
Selesaikan integral dalam variabel baru u.Substitusi ulang untuk menuliskan hasil akhir dalam x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 47
Exercise
Tentukan integral-integral berikut :1∫x cos(x2 + 1)dx
2∫
sin4(x) cos(x)dx
3∫ √
x
(2+x3/2)2dx
4∫ sin(x)dx√
2+cos(x)
Catatan :Tulis seluruhnya dalam variabel baru, misalnya u, jangan sisakanx.Selesaikan integral dalam variabel baru u.
Substitusi ulang untuk menuliskan hasil akhir dalam x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 47
Exercise
Tentukan integral-integral berikut :1∫x cos(x2 + 1)dx
2∫
sin4(x) cos(x)dx
3∫ √
x
(2+x3/2)2dx
4∫ sin(x)dx√
2+cos(x)
Catatan :Tulis seluruhnya dalam variabel baru, misalnya u, jangan sisakanx.Selesaikan integral dalam variabel baru u.Substitusi ulang untuk menuliskan hasil akhir dalam x.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 44 / 47
Integral tentu
Teorema (Metode substitusi untuk Integral Tentu)Jika g mempunyai turunan dan F adalah antiturunan dari f , maka∫ b
af(g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)f(u)du
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 45 / 47
Contoh
∫ 40 x√
9 + x2dx
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 47
Contoh
∫ 40 x√
9 + x2dxSolusi:
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 47
Contoh
∫ 40 x√
9 + x2dxSolusi:Misalkan u = g(x) = 9 + x2, xdx = 1
2du.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 47
Contoh
∫ 40 x√
9 + x2dxSolusi:Misalkan u = g(x) = 9 + x2, xdx = 1
2du.Cara 1: Tentukan itegral tak tentu∫
x√
9 + x2 dx =∫ √
u12du = 1
2
∫ √udu
= 12
(23u
32
)+ C = 1
3u23 + C
= 13(9 + x2)
23 + C
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 47
Contoh∫ 40 x√
9 + x2dxSolusi:Misalkan u = g(x) = 9 + x2, xdx = 1
2du.Cara 1: Tentukan itegral tak tentu∫
x√
9 + x2 dx =∫ √
u12du = 1
2
∫ √udu
= 12
(23u
32
)+ C = 1
3u23 + C
= 13(9 + x2)
23 + C
Maka ∫ 40 x√
9 + x2dx = 13(9 + x2)
23
∣∣40
= 13 [(9 + 42)
32 − (9 + 02)
32 ]
= 983
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 46 / 47
Integral tentu
Cara 2: Ganti batas integral x = 0→ u = g(0) = 9 danx = 4→ g(4) = 25.
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 47 / 47
Integral tentu
Cara 2: Ganti batas integral x = 0→ u = g(0) = 9 danx = 4→ g(4) = 25.
∫ 40 x√
9 + x2 dx =∫ x=4x=0 x
√9 + x2 dx =
∫ u=25u=9
√u(
12
)du = 1
2
(23u
32
)∣∣25
9
= 13u
32
∣∣25
9= 1
3(2532 − 9
32 ) = 1
3(53 − 33) = 983
Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 47 / 47