Post on 26-Dec-2015
description
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear ElementerMA1223 3 SKS
Silabus :Bab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Sistem Persamaan LinearBab IV Vektor di Bidang dan di RuangBab V Ruang VektorBab VI Ruang Hasil Kali DalamBab VII Transformasi LinearBab VIII Ruang Eigen
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 2
RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan– Ruang Vektor Umum– Subruang– Basis dan Dimensi– Basis Subruang
Beberapa Aplikasi Ruang VektorBeberapa metode optimasi Sistem KontrolOperation Researchdan lain-lain
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 3
Ruang Vektor Umum
Misalkan dan k, l ∈ RiilV dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V tertutup terhadap operasi penjumlahanUntuk setiap
2.
3.
4. Terdapat sehingga untuk setiapberlaku
5. Untuk setiap terdapat sehingga
Vwvu ∈,,
Vvu ∈+maka, Vvu ∈
=+ vu uv +
( ) ( ) wvuwvu ++=++
uuu =+=+ 00V∈0 Vu ∈
Vu ∈ ( )u−
( ) ( ) 0=+−=−+ uuuu
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 4
6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
Untuk setiap dan k ∈ Riil maka
7.
8.
9.
10.
Vu ∈ Vuk ∈
( ) vkukvuk +=+
( ) ulukulk +=+
( ) ( ) ( ) ukluklulk ==
uu =.1
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 5
Contoh :1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian denganskalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan matriks berukuran m x ndengan operasi standar (penjumlahan matriksdan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 6
Ruang Euclides orde nOperasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:• Penjumlahan
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :
( )nn vuvuvuvu +++=+ ...,,, 2211
( )nkukukuuk ,...,, 21=
nnvuvuvuvu +++=• ...2211
( ) 21
uuu •=
( ) vuvud −=, ( ) ( ) ( )2222
211 ... nn vuvuvu −++−+−=
222
21 ... nuuu +++=
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 7
Contoh :
Diketahui danTentukan panjang vektor dan jarak antara keduavektor tersebut
Jawab:Panjang vektor :
Jarak kedua vektor
( )3,2,1,1=u ( )1,1,2,2=v
( ) vuvud −=,
( ) 21
uuu •= 153211 2222 =+++=
101122 2222 =+++=v
( ) ( ) ( ) ( )2222 13122121 −+−+−+−=
( ) ( )7
2111 2222
=
++−+−=
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 8
Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuahruang vektor V
W dinamakan subruang (subspace) Vjika W juga merupakan ruang vektoryang tertutup terhadap operasi penjumlahan danperkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :1. W ≠ { }2. W ⊆ V3. Jika maka4. Jika dan k ∈ Riil maka
Wvu ∈, Wvu ∈+Wu ∈ Wuk ∈
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 9
Contoh :Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semuamatriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnyaadalah nol merupakan subruang dari ruang vektormatriks 2x2
Jawab :
2. Jelas bahwa W ⊂ M2x23. Ambil sembarang matriks A, B ∈ W
Tulisdan
maka0000
1. WO ∈⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= { }≠W
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00
2
1a
aA ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00
2
1b
bB
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 10
Perhatikan bahwa :
Ini menunjukan bahwa
4. Ambil sembarang matriks A ∈ W dan k ∈ Riilmaka
Ini menunjukan bahwa
Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=+
00
00
00
22
11
2
1
2
1
baba
bb
aa
BA
WBA ∈+
Wka
kakA ∈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00
2
1
WkA∈
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 11
Contoh :Periksa apakah himpunan D yang berisi semuamatriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
00ba
A
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
abB
00
Ambil sembarang matriks A, B ∈ WPilih a ≠ b :
, jelas bahwa det (A) = 0
, jelas bahwa det (A) = 0
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 12
BA + ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛abba
Perhatikan bahwa :
=
Jadi D bukan merupakan subruangkarena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan
Karena a ≠ b
Maka det (A + B ) = a2 – b2 ≠ 0
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 13
u
1v 2v nv
nnvkvkvku +++= ...2211
Sebuah vektordinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor
, , … ,
jika vektor – vektor tersebutdapat dinyatakan dalam bentuk :
dimana k1, k2, …, kn adalah skalar Riil.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 14
Contohu v
a
b
c
Misal = (2, 4, 0), dan
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor – vektor di atas
= (4, 2, 6)
c. = (0, 0, 0)
adalah vektor-vektor di R3.
= (1, –1, 3)
b. = (1, 5, 6)
a.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 15
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
6 2 4
3 1- 1
0 4 2
21 kk
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
6 2 4
3 0 1- 4 1 2
2
1
k
k
a. Tulisakan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi.
Ini dapat ditulis menjadi:
Jawab :avkuk =+ 21
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 16
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
0 0 0 2 1 0 2 1
~6 3 0 6- 3- 1 2 1 2
12
1
a u
vua rrr 2+=
dengan OBE, diperoleh:
Dengan demikian,
merupakan kombinasi linear dari vektor dan
atau
v
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 17
bvkukvrr
=+ 21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
6 5 1
3 1- 1
0 4 2
21 kk
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
6 5 1
3 0 1- 4 1 2
2
1
kk
b. Tulis :
ini dapat ditulis menjadi:
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 18
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
3 0 0 2 1 0
1 ~
6 3 0 3 3- 0 0 1
~ 6 3 0
5 1- 4 1 1 2 2
12
12
1
dengan OBE dapat kita peroleh :
Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwaSPL tersebut adalah tidak konsisten(tidak mempunyaisolusi).
Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhib tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 19
c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis
cvkuk rrr=+ 21
artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 20
1v
2v
3v
Himpunan vektor
dikatakan membangun suatu ruang vektor Vjika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakansebagai kombinasi linear dari vektor – vektor di S.
= (1, 1, 2),
= (1, 0, 1), dan
= (2, 1, 3)
Definisi membangun dan bebas linear
{ }nvvvS ,...,, 21=
Contoh :Tentukan apakah
membangun V???
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 21
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
312101211
uuu
kkk
Jawab :
misalkan
.
Tulis :
.
Sehingga dapat ditulis dalam bentuk :
Ambil sembarang vektor di R2
332211 vkvkvku ++=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
uuu
u
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 22
Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
1 1 2 u10 -1 -1 − u2 u10 0 0 − − u3 u1 u2
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten)
Dengan OBE diperoleh :
haruslah u3 – u2 – u1 = 0Agar SPL itu konsisten
Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat)
Dengan demikian vektor – vektor tersebuttidak membangun R3
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 23
{ }nuuuS ,...,, 21=Misalkan
0...1211 =+++ nnukukuk
01 =k 02 =k 0=nk
S dikatakan bebas linear (linearly independent)
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni
,...,
adalah himpunan vektor diruang vektor V
JIKA SPL homogen :
,
Jika solusinya tidak tunggal
(Bergantung linear / linearly dependent)
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 24
( )2,3,1−=u ( )1,1,1 −=a
021
rrr=+ akuk
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
− 000
121311-
2
1
kk
Diketahui dan
Apakah saling bebas linear di R3
Tulis
atau
Contoh :
Jawab :
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 25
~000
121311-
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−~
000
104011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000
001001
dengan OBE dapat diperoleh :
dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu :
k1 = 0, dan k2 = 0.
Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 26
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
231
a⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
111
b⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
46
2c
ckbkak 3210 ++=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−
412613
211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
321
kkk
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000
,
,
Jawab :
atau
=
Tulis :
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3
Contoh :Misalkan
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 27
~010040211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−
000010211
cba ,,
dengan OBE diperoleh :
Ini menunjukan bahwak1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak
adalah vektor-vektor yang bergantung linear.
Jadi
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 28
Basis dan DimensiJika V adalah sembarang ruang vektor
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka S dinamakan basis bagi V
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
• S membangun V
• S bebas linear
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 29
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=2101
,41280
,0110
,63
63M
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡− dc
bakkkk
2101
41280
0110
6363
4321
Contoh :Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :
merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab :
Tulis kombinasi linear :
atau
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−−−−
−−+dcba
kkkkkkkkkkkk
4314321
32141
246123863
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 30
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−−
dcba
kkkk
4
3
2
1
240611213
08161003
dengan menyamakan setiap unsurpada kedua matriks, diperoleh SPL :
Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 • det(MK) ≠ 0 SPL memiliki solusi
untuk setiap a,b,c,dJadi, M membangun M2 x 2
• Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(MK) ≠ 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 31
Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2
maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat…Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal.
Contoh :Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks :
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡1000
,0100
,0010
,1001
juga merupakan basisnya.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 32
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−
−−−=
12211321
1121A Vektor baris
Vektor kolom
Misalkan matriks :
dengan melakukan OBE diperoleh :
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
1 2 0 -10 0 1 00 0 0 0
Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 33
matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
231
,111
basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
1 0-12
0 112
0 0 00 0 0
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 34
Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memilikisatu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
1321
,
1121
Dimensi basis ruang baris = ruang kolomdinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 35
Contoh :Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s = 0p – q + 2r – s = 0–p + 2q – 4r + s = 0 3p – 3s = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatasJawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−
−−−−
03003014210121102212
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 36
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
00000000000021001001
ba
srqp
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0120
1001
dengan melakukan OBE diperoleh :
Solusi SPL homogen tersebut adalah :
dimana a, b merupakan parameter.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 37
Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah :
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0120
,
1001
Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 38
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡8036
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡− 31
21⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡4210
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
2024
Latihan Bab 51.Nyatakanlah matriks
sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
dan
2. Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }b.{1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x – x2}
, ,
3. Periksa, apakah himpunan A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2 !
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 39
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +=++= 2222 cbacxbxaJ
4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakanbasis bagi polinom orde 2 (P2)a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x – x2}b.{– 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2}
Periksa apakah J merupakan subruang
dari ruang vektor Polinom orde duaJika ya, tentukan basisnya
5. Misalkan
merupakan himpunan bagian dari ruang vektorPolinom orde dua.
07/03/2007 12:17 MA-1223 Aljabar Linear 40
6. Diberikan SPL homogen :p + 2q + 3 r = 0p + 2q – 3 r = 0p + 2q + 3 r = 0,
Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−−
12211321
1121
7. Tentukan rank dari matriks :