RUANG VEKTOR (V t S )(Vector Space)Catatan : 1 .Jika V mer pakanJika V merupakan r ang ektorruang...

RUANG VEKTORRUANG VEKTOR(V t S )(V t S )(Vector Space)(Vector Space)

dandandandanRuangRuang Bagian (Subspace)Bagian (Subspace)

28/02/200928/02/2009 11budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

RUANG VEKTORRUANG VEKTOR (VECTOR SPACE)(VECTOR SPACE)

Diketahui himpunan V dengan u, v, w ∈ V dan i (+) b l k di t t t V operasi (+) berlaku diantara anggota-anggota V.

Diketahui Field F dengan a, b ∈ F.Antara anggota-anggota F dan anggota-anggota V berlaku operasi (x).gg p ( )Himpunan V disebut ruang vektor atas field F jika berlaku :jika berlaku :


RUANG VEKTOR (lanjut..)

Untuk operasi (+) pada anggota-anggota VUntuk operasi ( ) pada anggota anggota V memenuhi sifat :

1 tertutup; u + v ∈ V1. tertutup; u + v ∈ V2. asosiatif; (u + v) + w = u + (v + w)3 i l id tit 03. mempunyai elemen identitas 0;

sedemikian hingga u + 0 = u4. setiap unsurnya mempunyai invers; setiap

u ada (-u) sehingga u + (- u) = 0u ada ( u) sehingga u ( u) 05. komutatif; u + v = v + u


RUANG VEKTOR (lanjut..)

Antara anggota anggota F dengan anggotaAntara anggota-anggota F dengan anggota-anggota V memenuhi sifat :

6. tertutup; a u ∈ V7. distributif; a ( u + v) = a u + a v( )8. distributif; (a + b) u = a u + b u9 asosiatif; a (b u) = (a b) u9. asosiatif; a (b u) (a b) u

10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1 u = u1 u = u


Catatan :1 Jika V mer pakan r ang ektor anggota1.Jika V merupakan ruang vektor, anggota-

anggota V disebut vektor.gg2.Operasi penjumlahan pada V selanjutnya

di b t i j l h ktdisebut operasi penjumlahan vektor3.Operasi perkalian antara anggota F dengan p p gg g

anggota V disebut perkalian skalar4. Vektor 0 ∈ V yg merupakan elemen identitas

penjumlahan vektor, disebut Vektor nol.penjumlahan vektor, disebut Vektor nol.5. Vektor (-u) yang merupakan invers dari vektor

u adalah lawan atau negatif dari u.28/02/200928/02/2009 55budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

Berdasarkan definisi ruang vektor tersebut, semua himpunan yang memenuhi ke 10 sifat

tersebut dinamakan ruang vektor; dan anggota-g gganggotanya dapat disebut sebagai vektor.

Contoh :M = { semua matriks berdimensi 3x2}. Operasi penjumlahan pada M adalahOperasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks. Operasi

k li d l h k li k l d i Fperkaliannya adalah perkalian skalar dari F dengan anggota-anggota M. g gg ggApakah M merupakan ruang vektor ?28/02/200928/02/2009 66budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

Solusi :Ambil A3x2, B3x2, C3x2 ∈ M

1. Tertutup dipenuhi, sebab A + B = D3x2 ∈ M2. asosiatif dipenuhi, sebab (A + B) + C = A + (B + C)

⎞⎛ 003. Mempunnyai identitas,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

000000

O sehingga A + 0 = A

4. Untuk setiap ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3231

2221

1211

aaaaaa

A ada⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−−−

=−

3231

2221

1211

aaaaaa

A sehingga A + - A = 0⎠⎝ 3231 ⎠⎝ 3231

5. Komutatif dipenuhi ; A + B = B + A 6 Untuk k m ∈ F ; maka k A ∈ M6. Untuk k, m ∈ F ; maka k A ∈ M 7. distributif; k(A + B) = k A + k B8. distributif; (k + m) A = k A + m A9 i if k ( A) (k ) A9. asosiatif; k (m A) = (k m) A10. identitas perkalian; ada 1 ∈ F, sehingga 1 A = A

Karena 10 sifat dipenuhi, maka M adalah ruang vektor.28/02/200928/02/2009 77budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

Manakah yang merupakan ruang vektor ?1 P {sem a polinom berderajat 2} dengan operasi penj mlahan1. P = {semua polinom berderajat 2}, dengan operasi penjumlahan

antara polinom dan perkalian skalar dengan polinom.

2. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1a

+ ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1b

= ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ + 11 ba

dengan operasi perkalian didefinisikan⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 2a ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ 2b ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ − 22 ba

⎟⎞

⎜⎛ 1a

⎟⎞

⎜⎛ 1ka

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

aa

k = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

kaka

3. Himpunan 2-tuple, dengan operasi penjumlahan adalah sbb :

⎟⎞

⎜⎛ 1a

⎟⎞

⎜⎛ 1b

⎟⎞

⎜⎛ + 11 ba

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

aa

+ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

bb

= ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

22

11

baba

⎞⎛ ⎞⎛k=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

aa

k ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1

1ka28/02/200928/02/2009 88budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

Himpunan pasangan berurutan dari n bilangan real (n – tuple) :

⎟⎞

⎜⎛ a1

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

=a

a...

2 dengan operasi penjumlahan yg didefinisikan dengan :

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ na

...

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛aa

2

1

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛bb

2

1

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

++

baba

22

11

dengan operasi perkalian

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝a...

2+

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝b...

2=

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝ + ba...

22 dengan operasi perkalian Didefinisikan :

⎠⎝ na ⎠⎝ nb ⎠⎝ + nn ba

⎟⎞

⎜⎛ a1 ⎟

⎞⎜⎛ ka1

Himpunan n-tuple tersebut memenuhi

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛aa

k 2

1

=⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛kaka

2

1 10 sifat ruang vektor. Jadi himpunann-tuple dari bilangan real adalah

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ na...

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ nka... ruang vektor. Secara umum dinyatakan

dengan Rn.28/02/200928/02/2009 99budi murtiyasa ums surakartabudi murtiyasa ums surakarta

Teorema 1:Teorema 1:Andaikan V adalah ruang vektor dengan u∈ V dan k ∈ F makadengan u ∈ V dan k ∈ F, maka

(i) Untuk 0∈ F, berlaku 0 u = O(i) Untuk 0 ∈ F, berlaku 0 u O

(ii) Untuk O ∈ V, berlaku k O = O(iii) Untuk -1 ∈ F, berlaku (-1) u = - u

(iv) Jika k u = 0, maka k = 0 atau u = O(v) –(k u) = (-k) u = k (- u)(v) (k u) ( k) u k ( u)


0 ∈ F, berlaku 0 u = O,Bukti :0 + 0 = 0 sifat field0 + 0 = 0 sifat field(0 + 0) u = 0 u0 + 0 0 if t RV k 70u + 0u = 0u sifat RV ke 70u + 0u + (- 0u) = 0u + (-0u)0u + 0 = 0 sifat RV ke 40u = 0 sifat RV ke 3(terbukti).


RUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIANRUANG VEKTOR BAGIAN

v Ruang vektor

W V⊂

W M M V ⊂

Jika W memenuhi 10 aksioma ruang vektorJika W memenuhi 10 aksioma ruang vektor, maka W disebut Ruang Bagian (Subspace) V

Ruang Vektor Bagian (Subspace)

Teorema :W adalah subspace dari ruang vektor V jikaW adalah subspace dari ruang vektor V jika dan hanya jika • W tidak kosong

T t t t h d j h W• Tertutup terhadap penjumhan; u, v ∈ W; u + v ∈ W

• Tertutup terhadap perkalian; u ∈ W, W d d l h k lau ∈ W; dengan a adalah skalar.

Akibat Teorema :W subspace dari ruang vektor V jika dan hanya

jika :jika :O ∈ WUntuk u v ∈ W maka ku + lv ∈ W;Untuk u, v ∈ W, maka ku + lv ∈ W; dengan k, l adalah skalar.

Contoh :A d ik V R3Andaikan V = R3.

⎟⎞

⎜⎛ a

Apakah W = { | b = 2c; a, b, c ∈ R }. ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ cb

Selidiki apakah W subspace dari V ?.⎠⎝

(i)0 = anggota W sebab 0 = 2.0⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

00

(ii) Misal u = dengan syarat b1 = 2c1

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 0

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

1

1

ba

(ii) Misal u dengan syarat b1 2c1

d b 2

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 1

1

c

⎟⎞

⎜⎛ 2a

v = dengan syarat b2 = 2c2⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

2

cb

⎠⎝ 2c

ku + lv = + =⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 1ka

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ 2

lbla

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

++ 21

lbkblaka

ku + lv = + = ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝ 1

1

kckb

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 2

2

lclb

⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ ++

21

21

lckclbkb

⎠⎝ 1

kb1 + lb2 = 2kc1 + 2lc2 = 2(kc1 + lc2)Jadi ku + lv adalah anggota WJadi ku + lv adalah anggota W. Jadi W subspace V

Teorema :Teorema :Teorema :Teorema :

Andaikan U dan W adalah subspace dari V, Andaikan U dan W adalah subspace dari V, maka U maka U ∩∩ W juga W juga subspacesubspace dari Vdari Vj gj g pp

Bukti :Bukti :Karena U dan W adalah Karena U dan W adalah subspacesubspace, maka , maka OO ∈ U dan O ∈ W, berarti O ∈ (U ∩∩ W).W).O O ∈ U dan O ∈ W, berarti O ∈ (U ∩∩ W). W). Ambil u, v Ambil u, v ∈ (U ∩∩ W), berarti :W), berarti :u, v u, v ∈ U au + bv au + bv ∈ Uu v ∈ WW au + bvau + bv ∈ WWu, v ∈ WW au + bv au + bv ∈ WW

au + bv au + bv ∈ (U ∩∩ W). W).

Jadi Jadi U ∩∩ W adalah W adalah subspacesubspace dari V. dari V.

Contoh :Contoh :Andaikan V = RAndaikan V = R33 Jika U dan W adalahJika U dan W adalahAndaikan V RAndaikan V R . Jika U dan W adalah . Jika U dan W adalah subspace V dengan :subspace V dengan :

U { | b 0 bU { | b 0 b R } dR } d⎞⎛aU = { | a + b = 0; a, b, c U = { | a + b = 0; a, b, c ∈∈ R }, dan R }, dan ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ba

⎟⎞

⎜⎛a

⎟⎠

⎜⎝ c

W = { | a = 2c; a, b, c W = { | a = 2c; a, b, c ∈∈ R }, maka :R }, maka :⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝cb

⎠⎝

⎟⎞

⎜⎛a

UU∩∩W = { | a + b = 0; a = 2c; dng a,b, c W = { | a + b = 0; a = 2c; dng a,b, c ∈∈R }. R }. ⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝cb

Tunjukkan bahwa U Tunjukkan bahwa U ∩∩ W juga W juga subspacesubspace dari V.dari V.⎠⎝c

RUANG VEKTOR (V t S )(Vector Space)Catatan : 1 .Jika V mer pakanJika V merupakan r ang ektorruang...

Documents

Transcript of RUANG VEKTOR (V t S )(Vector Space)Catatan : 1 .Jika V mer pakanJika V merupakan r ang ektorruang...